清单07 等差数列及等比数列（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读）高二数学下学期人教B版

清单07 等差数列及等比数列 清单01 等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 4．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 清单02 等差数列的前项和 1．等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 清单03 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使若，，成等比数列，则 那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 清单04 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 【考点题型一】判断数列是等差（等比）数列（） 【例1】在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【变式1-1】已知数列满足，则（    ） A．4 B．2或 C．4或 D．2 【变式1-2】已知无穷数列满足：，则“对任意，都有”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-3】设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2】已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 【变式2-1】设数列的前项和为. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项. 【变式2-2】数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【变式2-3】若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【变式2-4】已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【考点题型三】等差数列下标和性质（） 【例3】已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】在等差数列中，，当取得最小值时， . 【变式3-2】在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（   ） A．24.5尺 B．25.5尺 C．37.5尺 D．96尺 【变式3-3】在 1 和 15 之间插入 个数，使得这 个数成等差数列． 若这 个数中第 1 个为 ，第 个为 ，则的 值为 （    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【变式3-4】给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数，则此数阵中所有数之和为 ． 【考点题型四】等比数列下标和性质（） 【例4】在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【变式4-1】已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 【变式4-2】（多选）设公比为的等比数列的前项积为，若，则（    ） A．当时， B． C． D． 【变式4-3】（多选）在等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于197 【变式4-4】（多选）已知为正项等比数列的前项积，若，，则（    ） A．的公比的取值范围为 B．数列为递增数列 C．当时，最小 D．当时，最大 【考点题型五】等差（等比）数列前n项和的基本量计算（） 【例5】在等差数列中，前七项之和为30，最后七项之和为110，前项之和是230，则项数为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【变式5-1】记为等差数列的前项和，且，，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．3 【变式5-2】设等比数列的前项和为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-3】已知等比数列的前项和为，且满足，，则（    ） A． B． C．64 D．32 【变式5-4】已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . 【考点题型六】等差数列的前n项和性质（） 【例6】已知是等差数列的前n项和，若，，则（   ） A．75 B．65 C．50 D．55 【变式6-1】已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 . 【变式6-2】设为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【变式6-3】已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【变式6-4】已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【考点题型七】等比数列的前n项和性质（） 【例7】已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【变式7-1】已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【变式7-2】已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 【变式7-3】已知是公比为2的等比数列，若，则 ． 【变式7-4】（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【考点题型八】与（） 【例8】已知等比数列的前项和是，则 . 【变式8-1】（多选）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且满足，，则（    ） A． B． C． D．若，则当最小时， 【变式8-2】设为数列的前项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【变式8-3】已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 【变式8-4】已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：. 【考点题型九】等差数列前n项和的最值（） 【例9】已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和的最大值． 【变式9-1】已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 【变式9-2】已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，那么取得最小正值时n等于（   ） A．1 B．20 C．10 D．19 【变式9-3】已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式9-4】（多选）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2022 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 6 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单07 等差数列及等比数列 清单01 等差数列 1．等差数列的概念：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．即，为常数． 2．等差中项：如果a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项，且． 3．等差数列的通项公式及其变形 以为首项，d为公差的等差数列的通项公式为． 公式的变形：，． 4．等差数列的常用性质 （1）若，则； （2）若，则； （3）下标成等差数列的项组成以md为公差的等差数列 若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 清单02 等差数列的前项和 1．等差数列的前项和 等差数列的前n项和公式：． 令，，可得，则 当，即时，是关于n的二次函数，点是的图象上一系列孤立的点； 当，即时，是关于n的一次函数，即或常函数，即，点是直线上一系列孤立的点． 2．与等差数列各项的和有关的性质 设等差数列（公差为d）和的前n项和分别为， （1）数列是等差数列，首项为，公差为． （2）构成公差为的等差数列． （3）若数列共有项，则，； 若数列共有项，则，． （4），． 清单03 等比数列 1．等比数列的概念 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比． 注意：（1）等比数列的每一项都不可能为0； （2）公比是每一项与其前一项的比，前后次序不能颠倒，且公比是一个与无关的常数. 2．等比中项 如果在与中间插入一个数，使若，，成等比数列，则 那么叫做与的等比中项，此时． 3．等比数列的通项公式及其变形 首项为，公比为的等比数列的通项公式是． 等比数列通项公式的变形：． 4．等比数列与单调性 当或时，是递增数列； 当或时，是递减数列； 当时，为常数列； 当时，为摆动数列，所有的奇数项（偶数项）同号，奇数项与偶数项异号． 清单04 等比数列的前n项和公式 首项为，公比为的等比数列的前项和的公式为 若数列是公比为的等比数列，前n项和为，则有如下性质： （1）若，则；若，则． 推广：若，则． （2）若成等差数列，则成等比数列． （3）若项数为，则，若项数为，则． （4）当时，连续项的和（如）仍组成等比数列（公比为，）．注意：这里连续m项的和均非零． 【考点题型一】判断数列是等差（等比）数列（） 【例1】在数列中，则“”是“数列为等差数列”的（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】D 【详解】当数列为等差数列时，不一定有成立； “”成立也不一定推出“数列为等差数列”； “”是“数列为等差数列”的既不充分也不必要条件； 故选：D 【变式1-1】已知数列满足，则（    ） A．4 B．2或 C．4或 D．2 【答案】C 【详解】因为， 所以数列是首项为0公差为2的等差数列， 所以， 所以 所以 故选：C. 【变式1-2】已知无穷数列满足：，则“对任意，都有”是“数列是等比数列”的（    ） A．充分且不必要条件 B．必要且不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】对任意，都有， 令得，故是公比为2的等比数列， 充分性成立， 若是等比数列，设公比为，则， 则，， 当时，，故必要性不成立， 则“对任意，都有”是“数列是等比数列”的充分且不必要条件. 故选：A 【变式1-3】设数列都是等比数列，则下列选项中一定是等比数列的有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】设等比数列的公比分别为. 与可能为0，故A，B错误； ，故是等比数列，故C正确； ，故是等比数列，故D正确. 故答案为：CD. 【变式1-4】若数列各项均为正数，则“为等比数列”是“为等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【详解】数列中，， 数列为等比数列，令其公比为，则，， 为常数，因此数列为等差数列； 反之，为等差数列，令其公差为，则，即为常数， 因此数列为等比数列， 所以“为等比数列”是“为等差数列”的充要条件. 故选：C 【考点题型二】证明数列是等差（等比）数列（） 【例2】已知数列满足：，.若， (1)求证：为等差数列. (2)求数列的通项公式 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）因为，所以， 即，且因为，所以，， 所以是以为首项，为公差的等差数列； （2）由(1)知， 又，所以， 即数列的通项公式为. 【变式2-1】设数列的前项和为. (1)证明：数列为等比数列； (2)求数列的通项公式，并求数列的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2)，最大项为 【详解】（1）①，②， ②-①，， 故， 而在①中令，又， ，， 是首项为1，公比为的等比数列. （2）由（1）得，， 则， 所以数列是以首项为，公差为1的等差数列. 所以，解得 由， 解得，单调递增；当，单调递减； 所以， 所以数列的最大项为 【变式2-2】数列满足，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）由，可得， 数列是以为首项，2为公差的等差数列； （2）由（1）知，． 【变式2-3】若数列的前n项和为，且满足． (1)求证：是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）当时，且． ， 即． 即．又． 故数列是以首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知， ，当时， ， 当时，不适合上式， 故 【变式2-4】已知数列的首项，且满足. (1)求，； (2)证明：数列为等比数列； (3)求数列的通项公式. 【答案】(1)，； (2)证明见解析； (3) 【详解】（1），. （2）由得， 且，所以数列是首项为2，公比为3的等比数列. （3）由（2）知数列是首项为2，公比为3的等比数列， 所以， 即:. 【考点题型三】等差数列下标和性质（） 【例3】已知等差数列的前n项和为，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在等差数列中，，解得， 由，得，则， 由，得. 故选：C 【变式3-1】在等差数列中，，当取得最小值时， . 【答案】7 【详解】由题设，则，所以， 又，则， 当且仅当时取等号，此时，故7. 故答案为：7 【变式3-2】在中国古代，人们用圭表测量日影长度来确定节气，一年之中日影最长的一天被定为冬至．从冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，其日影长依次成等差数列，若冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，小寒、雨水、清明日影长之和为28.5尺，则大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为（   ） A．24.5尺 B．25.5尺 C．37.5尺 D．96尺 【答案】B 【详解】设这十二个节气的日影长依次成等差数列，其中冬至的日影长为， 由题意可得，冬至、立春、春分日影长之和为， 小寒、雨水、清明日影长之和为， 大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为， 所以． 故选：B． 【变式3-3】在 1 和 15 之间插入 个数，使得这 个数成等差数列． 若这 个数中第 1 个为 ，第 个为 ，则的 值为 （    ） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】C 【详解】根据题意，这个数分别为，根据等差数列下标性质，知道. 故选：C. 【变式3-4】给定81个数排成数阵如下图所示，若每一行，每一列都构成等差数列，且正中间一个数，则此数阵中所有数之和为 ． 【答案】405 【详解】， ， …… ， 所以. 故答案为：405. 【考点题型四】等比数列下标和性质（） 【例4】在等比数列中，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在等比数列中，， 则， 设等比数列的公比为，则， 所以同号，又， 所以. 故选：A. 【变式4-1】已知为正项等比数列，若是函数的两个零点，则（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可得为方程的两个解，则， 解得，易知. 故选：B. 【变式4-2】（多选）设公比为的等比数列的前项积为，若，则（    ） A．当时， B． C． D． 【答案】ACD 【详解】A选项：因为，，则， 所以，所以，所以A正确； B选项：因为，所以，所以B不正确； C选项：因为，所以， 所以，所以C正确； D选项：， 当且仅当时，等号成立，所以D正确； 故选：ACD． 【变式4-3】（多选）在等比数列中，公比为，其前项积为，并且满足 ， ， ，则以下结论正确的是（    ） A． B． C．的值是中最大的 D．使成立的最大自然数等于197 【答案】AB 【详解】因为等比数列中，，所以与同号，所以； 又与一个大于1，一个小于1，再有，所以，. 所以数列是各项均为正数的递减的等比数列，所以，故A正确； 因为，所以，故B正确； 因为，故C错误； 因为， ，所以使成立的最大自然数等于198.故错误. 故选：AB 【变式4-4】（多选）已知为正项等比数列的前项积，若，，则（    ） A．的公比的取值范围为 B．数列为递增数列 C．当时，最小 D．当时，最大 【答案】BC 【详解】由，得，同理由，得， 所以，，所以， 故，所以为递增数列， 当时，最小，无最大值，故A，D错误，B，C正确. 故选：BC. 【考点题型五】等差（等比）数列前n项和的基本量计算（） 【例5】在等差数列中，前七项之和为30，最后七项之和为110，前项之和是230，则项数为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 【答案】C 【详解】由题意易得， 两式相加得，即， 所以，所以， 故选：C. 【变式5-1】记为等差数列的前项和，且，，则（   ） A．12 B．8 C．6 D．3 【答案】C 【详解】由，则，解得或， 由，显然，解得. 故选：C. 【变式5-2】设等比数列的前项和为，若，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】当时，，，且，则，不合题意， 当时，，即，解得， . 故选：B. 【变式5-3】已知等比数列的前项和为，且满足，，则（    ） A． B． C．64 D．32 【答案】A 【详解】设等比数列的公比为，， ，即，． ，，， ，． 故选：A. 【变式5-4】已知各项均为正数的等比数列的前n项和，，， . 【答案】 【详解】由等比数列性质得，又，所以， 设公比为，由得，， 故， 所以，解得， 故，所以. 故答案为： 【考点题型六】等差数列的前n项和性质（） 【例6】已知是等差数列的前n项和，若，，则（   ） A．75 B．65 C．50 D．55 【答案】A 【详解】由等差数列前项和的性质得：成等差数列， ，即， 解得. 故选：A. 【变式6-1】已知数列和都是等差数列，且前n项和分别为，，若，则 . 【答案】 【详解】因数列和都是等差数列，且前n项和分别为，， 由，可设，， 则， . 故答案为：. 【变式6-2】设为等差数列的前项和，已知，则（    ） A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】B 【详解】由等差数列的片段和性质知，成等差数列， 由，得该数列首项为4，公差为2， 所以. 故选：B 【变式6-3】已知为等差数列的前项和，若，且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由等差数列的性质可得为等差数列， 所以，则. 故选：B. 【变式6-4】已知等差数列，的前项和分别为，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列，的前项和分别为，， 所以我们对进行变形，得到， 因为，所以，即，故D正确. 故选：D 【考点题型七】等比数列的前n项和性质（） 【例7】已知一个项数为偶数的等比数列所有项之和为所有奇数项之和的3倍，前2项之积为8，则（   ） A．2 B．-2 C．-1 D．2或-2 【答案】D 【详解】设首项为，公比为，数列共有项，则满足首项为，公比为，项数为项，设所有奇数项之和为， 因为所有项之和是奇数项之和的3倍，所以， 所以，， 故满足，解得， 又， 所以. 故选：D 【变式7-1】已知等比数列的前项和为，若，则 ． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为， 由于，所以，否则， 设，， 则， 所以， ， 所以. 故答案为： 【变式7-2】已知等比数列的前项中，所有奇数项的和为，所有偶数项的和为，则的值为 ． 【答案】 【详解】设等比数列的公比为，设等比数列的前项中，设所有奇数项的和为，所有偶数项的和为， 则， 所以，， 又，则， 因此，. 故答案为：. 【变式7-3】已知是公比为2的等比数列，若，则 ． 【答案】 【详解】记等比数列的公比为，则. 因， 故． 故答案为：200. 【变式7-4】（多选）设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并满足条件，，，下列结论正确的是（     ） A． B． C．是数列中的最大值 D．数列无最大值 【答案】AB 【详解】对于A，由可得，（*）， 由可得. 当时，因，则，则（*）不成立； 所以，则，（*）成立，故，即A正确； 对于B，因，故B正确； 对于C,D，由上分析，且， 则是数列中的最大值，故C错误，D错误. 故选：AB 【点睛】易错点睛：边界条件的遗漏：在判断数列的公比时，容易忽略公比为正的条件，尤其是当涉及到前项和与前项积的比较时，应特别注意各个条件的限制.最大值的判断：在判断数列是否存在最大值时，容易因数列项的变化规律分析不准确而得出错误结论.对于无穷项的数列，要明确变化的趋向. 【考点题型八】与（） 【例8】已知等比数列的前项和是，则 . 【答案】 【详解】因，当时， 当时，， 因数列为等比数列，故当时，，解得. 故答案为： 【变式8-1】（多选）已知等比数列的前n项和为，公比为q，且满足，，则（    ） A． B． C． D．若，则当最小时， 【答案】ABD 【详解】因为，所以， 两式相减得， 因为为等比数列，所以公比， 由，得，则， 由，令，则，解得， 故A，B项正确，C项错误； 选项D，， 则，且，则恒成立， 则数列是以为首项，3为公比的等比数列，且为递增数列， 令，得， 由，，可得， 即， 故当最小时，，故D项正确． 故选：ABD． 【变式8-2】设为数列的前项和，. (1)求； (2)证明是等差数列. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【详解】（1）数列的前n项和， 则当时，； 当时，，满足上式， 所以. （2）由（1）知，当时，， 因此（常数）， 所以数列是等差数列. 【变式8-3】已知数列的前n项和为，且 (1)求数列的通项公式; (2)求数列的前n项和 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由， 当时，， 当时，，满足上式， 综上，； （2）令，得，解得， 令，得，解得， 则当时，， 当时， ， 综上所述，. 【变式8-4】已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)数列满足，，设数列的前项和为，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）当时，，解得. 当时，，相减得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，故，验证时成立， 故； （2），， 故. ， 两式相减可得： ， 所以，. 令，，， 故，且，，， 是从第二项开始单调递减数列，. 故. 【考点题型九】等差数列前n项和的最值（） 【例9】已知数列为等差数列，，． (1)求数列的通项公式； (2)求数列前项和的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设等差数列的公差为， 则，解得， 所以. （2）由，解得， 而，数列是单调递减数列， 所以等差数列的前项为正数，从第项起为负数， 所以时，数列前项和的最大值为. 【变式9-1】已知等差数列的首项为正数，其前 项和 满足 ，则当 取到最大值时， （   ） A． B． 或 C． D． 或 【答案】A 【详解】由于，，故，即. 这意味着，得. 这表明当时，有，而当时，有. 所以对有，对有，这就意味着在时最大. 故选：A. 【变式9-2】已知数列是等差数列，若，且数列的前n项和有最大值，那么取得最小正值时n等于（   ） A．1 B．20 C．10 D．19 【答案】D 【详解】因为数列是等差数列， 则，即， 又因为，且数列的前n项和有最大值，则， 可得，， 故取得最小正值时n等于. 故选：D. 【变式9-3】已知等差数列的前n项和为，对任意，均有成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设等差数列的公差为， 由，又任意均有成立， 所以， 由，而，则. 故选：A 【变式9-4】（多选）公差为的等差数列的前项和为，若，则下列选项正确的是（    ） A． B．时，的最小值为2022 C．有最大值 D．时，的最大值为4043 【答案】ACD 【详解】， ， ， 所以，故A正确； ，所以B错误； 等差数列前项均大于，从项开始均小于，所以为的最大项，所以C正确； ， ，所以D正确； 故选：ACD 15 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$