2025年中考数学二轮专项练习 二次函数图象与系数的关系（武汉专用）

二次函数图 与系数的关系 (武 专用 ) 1． (2025•武 模拟 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a< 0)经过 ( -1，1)，(m，1)两 点，且 0<m< 1．下 四个结论： ① b> 0； ②若 0< x< 1， a(x- 1)2+ b(x- 1) + c> 1； ③若 a=-1， 关于 x的一元二次方 ax2+ bx+ c= 2无实数解； ④点A(x1，y1)，B(x2，y2) 抛物线上，若 x1+ x2>- 1 2 ，x1> x2，总有 y1< y2， 0<m≤ 1 2 ． 其中正 的 (填写 号 )． 2． (2024•武 模拟 )如图，二次函数 y= ax2+ bx+ c(a> 0)的图 与 x轴交于A，B两点，与 y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线 x=-1，有下 结论： ① bc< 0； ② 4a- b- 2c< 0； ③当 x≤-2时，y≥ c； ④若 x1，x2(x1< x2) 方 ax2+ bx+ c= 0的两根， 方 a(x- x1) (x- x2) - 1= 0的两根 m，n(m<n)满足m< x1且n> x2． 其中，正 的 (填写 号 )． 3． (2024•武 模拟 )已知二次函数 y= a(x+ 1) (x-m) (a≠ 0，1<m< 2)，当 x<-1时，y x的增大而增大，下 结论：①当 x> 2时，y x的增大而减 ；②若图 经过点 (0，1)， -1< a< 0；③若 ( -2024，y1)，(2024，y2) 函数图 上的两点， y1< y2；④若图 上两点 ( 1 4 ，y1)，( 1 4 +n，y2)对一 正数n，总有 y1> y2， 1<m≤ 3 2 ．其中结论正 的 ． (填 号 ) 4． (2024•武 模拟 )二次函数 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a> 0)的图 与 x轴交于点 A( -1，0)，B(3，0)．下 说法中：①一元二次方 ax2+ bx+ c= 0的根为 x1= 1，x2=-3；② b2> 4ac；③对于 a的每一个 定的 ，若一元二次方 ax2+ bx+ c= p(p为 数，p< 0)的根 为整数， p的 只有两个；④若点C( -2，y1)，D( 2   ， y2) 该二次函数的图 上， y1> y2．正 结论的 号 ． 5． (2024•青 区模拟 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a≠ 0)经过点 ( -1，0)， (m，0) ( - 1 2 ，n)，且-4<m<-2．下 结论： ① bc> 0； ② (2a- c) (4a- c)< 0； ③当n= 1时，若点 ( -3.5，t) 抛物线上， t≥ 1； ④若关于 x的方 ax2+ bx+ c= x+ 1有两个相 的实数根， 1 3 < a< 1． 其中正 的结论 ． (填写 号 ) 6． (2024•蔡甸区校级模拟 )如图，已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的图 与 x轴交于点 A( -1，0)，与 y轴的交点B (0，-2) (0，-1)之间 (不包括这两点 )，对称轴为直线 x= 1． 下 结论：① bc> 0；② 4ac- b2<-4a；③ 1 3 < a< 2 3 ；④关于 x的方 ax2+ bx+ c+ 2= 0一 定有两个不相 的实数根．其中正 的结论 .(填写 号 ) 7． (2024• 区校级模拟 )已知：二次函数 y= ax2+ bx+ c(a< 0)，过A( -1，0)，B(m， 0) (m> 0)，下 结论：① c= am；②m= 1- ba ；③关于 x的一元二次方 a(x- 2)2+ bx+ c- 2b= 0为两根为 x1= 1，x2=m+ 2；④ am2+ (2a+ b)m+ a+ b+ c< 0．其中正 的结论 ． (只填 号 ) 8． (2024• 区校级模拟 )如图，二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)图 的对称轴为直线 x= -1，下 结论中：① abc> 0；② 3a+ c> 0；③ ( ba )2- 4ca > 4；④当图 经过点 ( 1 2 ，2)时，方 ax2+ bx+ c- 2= 0的两根为 x1、x2(x1< x2)， x1+ 2x2=- 32 ，其中正 的结论 ( 填写 号 )． 9． (2024• 区模拟 )对于函数 y= |ax2+ x| +c(a，c为 数且 a≠ 0)有下 结论： ①当 c= 2时，该函数图 经过定点 (0，2)；②若 a= 1， 函数关于直线 x=- 1 2 对称；③当 x> 0时，y x的增大而增大；④当 a< 0时，若图 与直线 y=m有 2个以上的交点， c<m≤ - 1 4a + c． 其中正 的结论 ． (填写 号 ) 10． (2024•武 区模拟 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x轴的两交点的横 标为m，n，满足 -1<m< 0<n．下 结论： ① a- b+ c> 0； ②若 a> 0，当 x<- 1 2 时，y x的增大而减 ； ③若 a(x-m) (x-n) - 1= 0有一个根 大于m的负数， b2- 4ac<-4a； ④ a2- ab (2a- b+ c) (a- c) > 0． 其中正 的结论 ． (填写 号 ) 11． (2024• 区三模 )已知抛物线 y= a(x- 2)2+ k(a，k为 数 )的 x与 y的部 对 如 表所示： x -2 1 4 5 t y m n p q m 下 四个结论： ① t= 6； ②若 ak> 0， 该抛物线与 x轴 有交点； ③若n> p， m> q； ④若n•p= 0， m•q> 0， 其中正 的结论 (填写 号 )． 12． (2024•武 模拟 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a> 0)的对称轴为直线 x=-1，与 x轴有两个 交点，与 y轴的正半轴相交，有下 结论：① abc> 0；② c- a> 0；③当 x=-n2- 2时，y≥ c； ④若 x1，x2(x1< x2) 方 ax2+ bx+ c= 0的两根， 方 a(x- x1) (x- x2) - 1= 0的两根 m，n(m<n)满足m< x1且n> x2；其中，正 结论 ． 13． (2024• 区模拟 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a< 0)经过点 (2，0) (m，0)，且-3<m< 2，下 结论：① abc> 0；② 9a+ c<-3b；③ 1m =- 1 2 - bc ；④若方 a(x -m) (x- 2) - 4= 0有两个不相 的实数根， 4ac- b2> 16a．其中正 的 .( 填写 号 ) 14． (2024• 夏区模拟 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a> 0)的对称轴为直线 x=-2，且过点 (1， 0)．现有以下结论： ① abc< 0； ②对于任意实数m，都有 2b+ bm≤ 4a- am2； ③关于 x的不 式 ax2+ (b+ c)x> 0的解 为 0< x< 1； ④若点A(x1，y1)、B(x2，y2) 图 上任意两点，且 |x1+ 2| < |x2+ 2|， y1< y2； 其中正 的结论 ． 15． (2025 • 夏区校级月考 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，且 c> 0)图 开 口 上，过点A( -2，-2)，B(n，-2)两点，且-4<n<-3．下 四个结论： ① abc> 0； ③ b2- 4ac< 0； ③若点 ( -3，t) 该抛物线上， t<-2； ④若关于 x的方 ax2+ (b- 1)x+ c= 0有两个相 实数根， 1 2 < a< 1． 其中正 的 ． 16． (2024秋• 夏区校级期末 )抛物线 y= ax2+ bx+ c的对称轴 直线 x=-1，且过点 (1， 0)，顶点 于 二 ，其部 图 如图所示，给出以下 断：① abc> 0；② 4a- 2b+ c< 0；③ 抛物线上两点A(x1，y1)与B(x2，y2)，若有 x1< x2且 x1+ x2<-2， y1< y2；④直线 y= 2x+ 2 与抛物线 y= ax2+ bx+ c两个交点的横 标 为 x3与 x4， x3+ x4+ x3•x4=-5．其中结论 正 的 ． 17． (2025•武 模拟 )实数 a b，若 a≥ b，我们定义Max(a，b) = a，比如Max(1，3) = 3．已 知关于 x的函数 y=Max( -x2+ 4x，kx)，下 结论：①函数图 经过原点；②若 k< 0， 方 y= 4有三个不 实根；③若 k= 1， x≥ 1时，y有最 3；④若 x≥ 0时，y的 x的 增 大而增大， k≥ 2．其中正 的结论 (填写 号 )． 18． (2024秋• 区校级期末 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a< 0)经过点 (2，0)，且 2< c< 3．下 个结论中正 的 (填写 号 )． ①方 ax2+ bx+ c= 0有两个不相 的实数根； ②若对任意的实数m，都有 bm- b≥ am2- a， - 3 8 < a<- 1 4 ； ③若抛物线经过点 ( -1，0)， 抛物线上有且仅有两个点 x轴的距离 于 n(n> 0)， n>- 9a 2 ； ④点A(x1，y1)，B(x2，y2) 抛物线上，且都 y轴右 ，若 4a+ c> 0， (x1- x2) (y1- y2)> 0． 19． (2023秋•武 区校级月考 )已知抛物线 y= a(x+ 1)2+ n(a< 0，n为 数 )的一 形式 为：y= ax2+ bx+ c(a< 0，a，b，c为 数 )．该抛物线与 x轴的一个交点 点 ( -3，0) ( - 2，0)之间． 下 结论： ① a+ b+ c< 0； ② 2a- b= 0； ③一元二次方 ax2+ bx+ c= 0的两根 x1，x2， x1+ x2= 2x； ④对于任意实数m，不 式 a(m2- 1) + (m- 1)b≤ 0恒成立． 其中正 的说法有 (填 号 )． 20． (2024秋•武 期末 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a> 0)经过A(x1，0)，B(x2， 0)两点，且 2< x1< 3< x2< 4．下 四个结论： ① c> 0；② a+ b+ c> 0；③若 a= 1， 关于 x的一元二次方 ax2+ bx+ c=-1有实数解；④ 若 b+ 6a= 0，点M (m，y1)，N (n，y2) 抛物线上，-1< n< 4，若对于任意的m都有 n 得 y1 = y2， m的取 围为-1<m< 7．其中正 的 (填 号 )． 21． (2024•武 模拟 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a< 0)经过 ( -1，1)，(m，0)两 点，且 2<m< 3，下 结论： ① c> 1； ②当 x> 1 2 时，y x的增大而减 ； ③关于 x的不 式 ax2+ bx<(c- 1)x的解 为 x> 0或 x<-1； ④ 2a+ c> 2 3 ． 其中正 的结论 .(填写 号 ) 22． (2024秋• 夏区校级期中 )抛物线 y=-x2+ nx+m交 x轴于点A(a，0) B(b，0)，交 y 轴于点C，顶点为点D， 其 左 移一个单 长 图 关于 y轴对称．下 四个 题，其 中 题的 号 ； ① a+ b= 2； ②对于任意实数 t，总有-t2+nt<-1+n； ③抛物线上有两点P(x1，y1) Q(x2，y2)，若 x1< 1< x2，且 x1+ x2> 2， y1> y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为 E，点G，F x轴 y轴上，当m= 2时，四边形 EDFG 长的最 为 6 2   ． 23． (2024秋•武 区月考 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a< 0)经过A( -2，0)， B(m，0)，且 2<m< 3，顶点为D点，下 结论： ① abc< 0； ② 9a+ 6b+ c< 0； ③不 式 ax2+ bx+ c> c 2 x+ c的解 为-2< x< 0； ④连 DA，DB，若 45° ≤∠DAB≤ 60°， 4a+ 4≤ c≤ 4a+ 4 3   ． 其中正 的结论 ． 24． (2022秋• 区期中 )现有 y 关于 x的二次函数 y= 2mx2+ (1-m)x- 1-m， 下 描述正 的 ． ①当m=-1时，函数图 的顶点 标为 ( 1 2 ，1 2 )； ②当m> 0时，函数图 x轴上截得的线段的长 大于 3 2 ； ③当m≠ 0时，函数图 总过定点； ④若函数图 上任取不 的两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)， 当m< 0时，函数 x> 1 4 时一定能 y2- y1 x2- x1 < 0成立． 25． (2023 • 区校级月考 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数 )，其图 经过点 A( -1，0)．下 四个结论： ①抛物线与 x轴一定有两个不 的交点； ②若 b=-4a， 抛物线经过点 (5，0)； ③若抛物线与 x轴交于点B(不与A重 )，交 y轴于点C且OB=OC， a= 1； ④点A(x1，y1)，B(x2，y2) 抛物线L，若当 x1> x2> 1时，总有 y1< y2， 3a+ c≤ 0．其中正 的 (填写 号 )． 26． (2023秋• 区期中 )设二次函数 y= a(x-m) (x-m- k) (a> 0，m，k 实数 )，现有 以下四个结论： ①抛物线与 x轴交点 标 为 (m，0)、(m+ k，0)； ②当 k= 2时，函数 y的最 为-a； ③当 k= 2时，直线 y= nx- n• (m+ 1) (n为不为 0的任意实数 )与抛物线总有两个不 的交 点； ④当 k= 2时，只有 -2<m< 0时才能保证抛物线与 y轴交点 负半轴． 其中正 的有 ． 27． (2022•新 区校级模拟 )关于二次函数 y= ax2- 4ax- 5(a≠ 0)的四个结论：①对任意 实数m，都有 x1= 2+m与 x2= 2-m对 的函数 相 ；②无论 a取 ，抛物线必过两个定 点；③若抛物线与 x轴交于不 两点A，B，且AB≤ 6， a<- 5 4 ；④若 3≤ x≤ 4，对 y的整 数 有 4个， - 4 3 < a≤-1或 1≤ a< 4 3 ．其中正 的结论 (填写 号 )． 28． (2021秋• 区校级月考 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a> 0)的对称轴 直 线 x= 1，图 与 x轴交于点 ( -1，0)，下 四个结论： ①方 ax2+ bx+ c= 0的解为 x1=-1，x2= 3： ② 3a+ c= 0； ③对于任意实数 t，总有 at2+ bt> a+ b； ④不 式 ax2+ (b- k)x+ c- k≥ 0(k为 数 )的解 为 x≤-1或 x≥ 3+ ka ． 其中正 的结论 .(填写 号 ) 29． (2024秋• 区期末 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c为 数 )经过 ( -1，-1)，(1，0)， (m，0)三点，与 y轴的交点 正半轴．下 结论：①-1<m< 0；② b= 1 2 ；③抛物线与直线 y = kx+ k- 1的一个交点的横 标为 t，若 t> 2， k> 0；④当 a≤-1时， 方 2ax2+ 2bx+ 2c- 1= 0必有两个不相 的实数根．其中正 的 (填写 号 )． 30． (2024秋•武 期末 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0，a，b，c为 数 )经过点 ( -1， 0)，(m，0)，且满足 1<m< 2，2< c< 3．下 四个结论：① abc< 0；② 2a+ c< 0；③抛物线 上的两点M ( -2，y1)，N ( 9 4 ， y2)，当 y1≤ y2时， 1<m≤ 5 4 ；④关于 x的方 ax2+ bx+ c= cx+ 5c 4 无实数根．其中一定正 的 ． (填写 号 ) 31． (2024秋•武 期末 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c为 数，且 a≠ 0)与 x轴两个交 点 标 为 ( -3，0)，(1，0)，下 说法：①抛物线的对称轴为 x=-1；② ac< 0；③若 a> 0， 点A(x1，y1)，B(x2，y2) 抛物线上，且 |x1+ 1| > |x2+ 1|， y1- y2< 0；④当-2≤ x≤ 2时，y = ax2+ bx+ c的最 为-3， a的 为 3 4 或- 3 5 ．其中一定正 的结论有 ( 填写 号 )． 32． (2024秋• 区期末 )如图，二次函数 y= ax2+ bx+ c(a< 0)的图 与 x轴的正半轴相 交于A、B两点，与 y轴交于点C．对称轴为直线 x= 2，且OA=OC，下 结论：① 4a+ b= 0；② 4a> c；③若 ax2+ bx+ c> x+ c， 0< x<-c；④若点E(x1，y1)、点F(x2，y2) 该二次 函数图 上，当 x1+ x2> 4且 x1< x2时， y1> y2．其中正 的结论 ． (填写正 结论的 号 ) 33． (2024秋• 区期末 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数且 a< 0)过 ( -1，0) (m，0)两点，且 3<m< 4，下 四个结论：① c> 0；② 1<- b 2a < 3 2 ；③若关于 x的方 a(x+ 1) (x-m) = 3有实数根， 4ac- b2≥ 12a；④若抛物线过点 (1，4)， -1< a<- 2 3 ．其 中正 的结论 号有 ． 34． (2023秋• 区期中 )二次函数 y= ax2+ bx+ c的部 图 如图所示，图 过点A(3， 0)，对称轴为直线 x= 1，以下四个结论：① abc> 0；② 8a+ c< 0；③对于任意实数m，有 am2+ bm≥-4a- c；④对于实数n> 1 2 ，若 (n，y1)，(n+ 1，y2)为抛物线上两点， y1< y2； 其中正 的 (填写 号 )． 35． (2024秋• 区期中 )已知二次函数 y= x2- 2ax+ a(a为 数 )，下 四个结论：①若 a > 1， 该二次函数图 与 x轴有两个交点；②该二次函数图 经过定点 ( 1 2 ， 1 2 )；③该二次函 数图 的顶点始终不 y轴的正半轴上；④若 a> 0，该二次函数图 与直线 y= x交于点 A(x1，y1)，B(x2，y2)， |x1- x2| < 2a．其中正 的结论 号 ． 36． (2024 • 区校级期中 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a、b、c 数且 a≠ 0)经过A(4， 0)、B( -2，0)、C(1，n)三点，且 n> 0，下 四个结论：① abc< 0；②当 x> 1时，y x增大而 减 ；③一元二次方 ax2+ bx+ c= 0有一个实数根；④不 式 ax2+ bx+ c> n 3 x+ 2n 3 的解 -2< x< 1．其中正 的结论 (填写 号 )． 37． (2024•武 模拟 )已知关于 x的函数 y= x2- |2x- 2| -3，有下 结论： ①当 x<-1时，y x增大而减 ； ②函数的图 轴对称图形； ③点M (x1，m)，N (x2，m) 函数的图 上不 的两点， x1+ x2< 2； ④函数的最 为-6． 其中正 的结论 ． (填写 号 ) 38． (2024秋• 区校级月考 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数 )开口 上，经过A( - 2，-2)，B(t，-2)两点，且 0< t< 2．① ab> 0；②若 a(x+ 3)2+ b(x+ 3) + c>-2， x<-5； ③若 a= 1 3 ， - 10 3 < c<-2；④若点C( -5，y1)，D(3，y2) 抛物线上， -2< y2< y1．以上 结论正 的 ． (填 号 ) 39． (2024秋• 区校级月考 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数 )开口 下，过A( -1，0)，B(m，0)两点，且 1<m< 2．下 四个结论： ① b> 0； ②若m= 3 2 ， 3a+ 2c< 0； ③若点M (x1，y1)，N (x2，y2) 抛物线上，x1< x2，且 y1> y2， x1+ x2> 1； ④当 a≤-1时，关于 x的一元二次方 ax2+ bx+ c= 1必有两个不相 的实数根． 其中正 的 项有 .(填 号 ) 40． (2024秋•东西湖区月考 )已知二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)，且满足条件 a> b> c，a + b+ c= 0，给出以下结论：① ac< 0；②存 满足条件的 a，b，c， 得二次函数 x=- 1 2 时 取得最 ；③ 4a- 2|b| +c> 0；④对任意满足 am2+ bm+ c< 0的实数m，都有 a(m+ 3)2+ b(m+ 3) + c> 0．其中正 的有 (写出所有正 结论的 号 )． 41． (2024秋• 口区月考 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a> 0)经过A( -1，n)，B(5，n)两点，其 中n为大于 0的 数．下 四个结论： ① 4a+ b= 0； ② b2- 4ac> 0； ③若P( 1 2 ，y1)，Q(π，y2)两点 抛物线上， y1> y2； ④当m为任意实数时，b≤ am2+ bm． 其中正 的结论 (填写 号 )． 42． (2024秋•武 期中 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c的 y与 x的部 对 如表： x -4 -3 -1 1 4 y 0 5 9 5 -16 下 结论： ①对称轴为直线 x=-1； ②方 ax2- bx+ c- 9= 0有两个不相 的实数根； ③若点 (m，y1)，( -m- 2，y2) 二次函数图 上， y1= y2； ④满足 ax2+ (b- 1)x+ c< 4的 x的取 围 x<-4或 x> 1． 其中正 结论的 号为 ． 43． (2024秋•青 区期中 )如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c与 x轴交于点A(m，0)，点B(3，0)， 与 y轴交于点C． 下 四个结论： ① abc> 0； ② 3a+ c> 0； ③当-2< x< 2时，a(x+ 1)2+ b(x+ 1) + c> 0； ④点D(t，p)，E(t+ 1，q) 抛物线上，当-2<m<- 3 2 时，总有 p> q， t≥ 1 4 ． 其中一定正 的 ． (填写正 号 )． 44． (2024秋• 南区校级月考 )如图，抛物线 y= ax2+ bx+ c(a< 0)与 x轴交于点A( -1， 0)，B(3，0)，交 y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交 x轴于点E， 下 结论：① b + 2c> 0；② a+ b> am2+ bm(m为任意实数 )；③ a(k2+ 1)2+ b(k2+ 1) > a(k2+ 2)2+ b(k2+ 2)；④一元二次方 ax2+ (b+ m 2 )x+ c-m= 0有两个不相 的实数根．其中正 的结论有 ． 45． (2024秋• 区期中 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c为 数，a< 0)经过点 (m， 0)，m> 0，且 4a- 2b+ c= 0， 下 四个结论：① c> 0；② b- 3a> 0；③若方 ax2+ bx+ c = b有两个不相 的实数根 x1，x2(且 x1< x2)， x2<m；④若 0<m< 2，抛物线过点 (0，1)，且 s= a+ b+ c， s< 3 4 ．其中正 的结论 (填 号 )． 46． (2024秋• 区校级月考 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0，a、b、c 数 )开口 上，过A( -2，0)，B(m，0)两点 (其中 0<m< 1)．下 四个结论：① abc< 0；② a+ b+ c> 0；③若 ca <-1， 当 x>- 3 4 时，y x的增大而增大；④关于 x的不 式 amx2+ bmx>-cx 的解 为 x>m或 x< 0．其中正 的 (填写 号 )． 47． (2024秋•武 期中 )如图，函数G图 由 y= x2+ 2x+ 2(x≤ 0)的图 C1 它关于 (0，2)成中心对称的图 C2组成．下 说法：①函数G图 关于 y轴对称；②当-1≤ x≤ 1 时，函数G x的增大而增大；③直线 y= k与G图 有三个交点， 1< k< 3．且 k≠ 2；④ 已知不重 的两点A(a，ya)，B(b，yb) 函数G的图 上，且 a< 0< b，a+ b= 0，若当 a≤ x ≤ b时，函数G的最大 最 为 为定 ． a的取 围为-1- 2   ≤ a≤-1．其中正 的 题有 (填 号 )． 48． (2024秋• 口区期中 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c为 数 )经过点 ( -2，0)，且 c< 0． 下 四个结论： ① 4a- 2b+ c= 0； ②当 x<-2时，y> 0； ③若点 (1，1)，(2，t) 抛物线上， t> 8 3 ； ④不 式 t(at+ b)≥ a+ b对任意的实数 t都成立， 4a+ b+ c 4c- 5a < 1 6 ． 其中正 的结论 (填写 号 )． 49． (2024秋• 区期中 )已知一个二次函数 y= ax2+ bx+ c的自变量 x与函数 y的几组对 如表： x … -4 -2 0 3 5 … y … m n 0 -3 h … 其中m<n<- 4 3 ，h<-3，现有以下表述： ①当 x> 0时，y x的增大而减 ； ②图 不经过 二 ； ③关于 x的一元二次方 ax2+ bx+ c= 0(a≠ 0)一定有一个 于 3的正数根； ④当m+n<-13时 a<- 1 2 ． 其中正 的结论 号 ． 50． (2024秋• 区期中 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a< 0)与 x轴交于A( -3，0)，B两点，与 y轴交于点 C，点 (m- 6，n)与点 (4-m，n)也 该抛物线上．下 结论：①点 B的 标为 (1，0)；②方 ax2+ bx+ c+ 2= 0有两个不相 的实数根；③ 3 4 a+ c< 0；④当 x=-t2- 2(t 为 数 )时，y< c．其中正 结论的 号 ． 51． (2024秋•武 区期中 )已知点 (m，n) 抛物线 y= ax2+ 2ax+ c上，下 结论：①若 a= c， 抛物线与 x轴只有一个公共点；②若抛物线与 x轴的公共点 (x1，0) (x2，0)满足 1x1 + 1x2 = 1， c=-2a；③当-5≤m≤ 0时，n的取 围 -1≤n≤ 3， a的 ± 4 15 ；④若点 (m， p) 直线 y=-ax+ c- 2a上，当-2<m<-1时，p> n， 抛物线开口 上．其中正 结论 .(填 号 ) 52． (2024秋•武 期中 )如图 抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，且 a≠ 0)的一部 ， 其对称轴 直线 x= 1，且与 x轴的一个交点 标 ( -1，0)，1< c< 2，有下 结论：① abc< 0：② 2 3 < b< 4 3 ；③若m(am+ b)< 4a+ 2b， 0<m< 2；④若 2ax1 2- bx1= 2ax2 2- bx2，且 x1≠ x2， x1+ x2=-1．其中正 的结论有 ． 53． (2024秋• 区校级月考 )二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的部 图 如图所示，图 过点 ( -1，0)，对称轴为直线 x= 1．下 结论：① 2a+ b= 0；② 9a+ 3b≤-c；③若点A( -3， y1)、点B( - 2 5 ， y2)，点C(4，y3) 该函数图 上， y1< y2< y3；④若方 a(x+ 1) (x- 3) =- 3的两根为 x1 x2，且 x1< x2， x1<-1，x2> 3．其中一定正 的结论有 (填写 号 )． 54． (2024秋• 夏区校级月考 )已知抛物线 y= ax2- 2ax+ c(a，c 数且 a≠ 0，c> 0)经 过点A(3，0)．下 四个结论：①该抛物线一定经过B( -1，0)；② 2a+ c> 0；③点M 1(t+ 2， y1)，M2(t+ 3，y2) 抛物线上，且 y1> y2， t<- 3 2 ；④若m，n(m< n) 方 ax2- 2ax+ c= p的两个根，其中 p> 0， -3<m<n< 1．其中正 的结论 (填写 号 )． 55． (2024秋•武 区校级月考 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a< 0，a、b、c为 数 )的部 图 如图所示，对称轴 直线 x=-1，且与 x轴的一个交点 点 ( -3，0) ( -2，0)之间． 下 结论： ① a+ b+ c< 0； ② 3a+ c< 0； ③一元二次方 3ax2+ (3b- c)x= 0的两根为 x1、x2， |x1- x2| < 3； ④对于任意实数m，不 式 a(m2- 1) + (m+ 1)b< 0恒成立． 上述说法正 的 ． (填 号 ) 56． (2024秋• 口区月考 )抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a> 0)与 x轴交于 ( -1， 0)，(m，0)两点，其中 1<m< 2，下 四个结论： ① abc> 0； ② a+ b+ c< 0； ③ ax2+ bx+ c> cx+ c的解 -1< x< 0； ④A(x1，y1)，B(x2，y2)两点 抛物线上，若 x1+ x2> 1 2 ，x1> x2，总有 y1> y2， 1<m≤ 3 2 ．其 中正 的结论 (填写 号 )． 57． (2024秋• 区校级月考 )二次函数 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数，a≠ 0)的自变量 x 与函数 y的部 对 如下表： x ⋯ -2 -1 0 1 2 y ⋯ t m -2 -2 n 且当 x=- 1 2 时，y> 0．下 结论：① a+ b= 0；② x= 3 关于 x的方 ax2+ bx+ c= t的一 个根；③点 (x1，y1) (x2，y2)都 抛物线上，且 x1+ x2> 1， 当 x1< x2时，y1> y2；④ 3(m+ n) > 20．其中正 的结论 ( 号 )有 ． 58． (2023•蔡甸区模拟 )二次函数 y= ax2+ bx+ c(a≠ 0)的大致图 如图所示，顶点 标为 ( -2，-9a)，下 结论：① abc> 0；② 16a- 4b+ c< 0；③若方 ax2+ bx+ c=-1有两个根 x1， x2，且 x1< x2， -5< x1< x2< 1；④若抛物线与 y轴的交点 (0，-2)与 (0，-3)之间， a的 取 围 2 5 < a< 3 5 ．其中正 结论的 ． 59． (2021秋•武 区月考 )如图，已知抛物线 y= ax2+ bx+ c的对称轴 y轴右 ，抛物线与 x轴交于点A( -2，0) 点B，与 y轴的负半轴交于点C，且OB= 2OC， 下 结论：① a- bc  > 0；② 2b- 4ac= 1；③ a= 1 4 ；④当-1< b< 0时， x轴下方的抛物线上一定存 关于对称 轴对称的两点M，N (点M 点N 左边 )， 得AN ⊥BM．其中正 的结论 (填写 号 )． 60． (2024•武 模拟 )已知抛物线 y= ax2+ bx+ c(a，b，c 数 )，且 4a- 2b+ c= 0．下 结论：①若 a= b， 抛物线经过点 (1，0)； ②若抛物线的对称轴为直线 x=- 1 2 ， 方 cx2+ 2bx+ 4a= 0一定有实数根 x= 2；③若 4ac - b2< 2b- c< 0， 方 ax2+ bx+ c- 1= 0有两个不相 的实数根；④点A(x1，y1)，B(x2， y2) 抛物线上，若 b> a> 0， 当 x1< x2<-2时，y1> y2．其中结论正 的 ． ( 填 号 ) 4 二次函数图象与系数的关系（武汉专用） 参考答案与试题解析 一．填空题（共60小题） 1．（2025•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m． 其中正确的是 　②③④　 （填写序号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∵a＜0， ∴b＜0，故①错误； ∵0＜m＜1， ∴m﹣（﹣1）＞1，即（﹣1，1），（m，1）两点之间的距离大于1， 又∵a＜0， ∴x＝m﹣1时，y＞1， ∴若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1，故②正确； 由①可得， ∴，即﹣1＜b＜0， 当a＝﹣1时，抛物线解析式为y＝﹣x2+bx+c， 设顶点线坐标为， ∵抛物线y＝﹣x2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1）， ∴﹣1﹣b+c＝1， ∴c＝b+2， ∴， ∵﹣1＜b＜0，，对称轴为直线b＝﹣2， ∴当b＝0时，t取得最大值为2，而b＜0， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无解，故③正确； ∵a＜0，抛物线开口向下，点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，，x1＞x2，总有y1＜y2， 又， ∴点A（x1，y1）离较远， ∴对称轴， 解得：，故④正确； 故答案为：②③④． 2．（2024•武汉模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论： ①bc＜0； ②4a﹣b﹣2c＜0； ③当x≤﹣2时，y≥c； ④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2． 其中，正确的是　③④　 ．（填写序号）． 【答案】③④． 【解答】解：∵抛物线的开口方向向上， ∴a＞0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴． ∴b＝2a． ∴b＞0． ∵抛物线与y轴交于y轴的正半轴， ∴c＞0． ∴bc＞0，①的结论错误； 由抛物线可知：当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＜0． ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴． ∴b＝2a． ∴a﹣2a+c＜0． ∴c﹣a＜0． ∴4a﹣b﹣2c＝4a﹣2a﹣2c＝2（a﹣c）＞0，②的结论错误； ∵x＝0时，y＝c，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣2时，y＝c． ∴由抛物线的对称性可知：当x≤﹣2时，y≥c． ∴③的结论正确； ∵若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根， ∴a（x﹣x1）（x﹣x2）＝0，A（x1，0），B（x2，0）， 设直线y＝1与抛物线交于点M，N，如图， 分别过点M，N作x轴的垂线，垂足对应的数字为m，n， 即方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n， 由图象可得：m＜x1，n＞x2； ∴④的结论正确． 综上，正确结论是③④． 故答案为：③④． 3．（2024•武汉模拟）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，下列结论：①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2024，y1），（2024，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m．其中结论正确的是 　①③④　 ．（填序号） 【答案】①③④． 【解答】解：∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2）， ∴当y＝0时，x1＝﹣1，x2＝m，x1＜x2． 又∵当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0，开口向下． ∴当x＞2＞x2时，y随x的增大而减小，故①正确； 又∵对称轴为直线x，1＜m＜2， ∴0． 若（﹣2024，y1），（2024，y2）是函数图象上的两点，2024离对称轴近些， 又抛物线开口向下， 则y1＜y2，故③正确； 若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，1＜m＜2， 又该函数与x轴的两个交点为（﹣1，0），（m，0）， ∴0． 解得1＜m，故④正确； ∵二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a为非零常数，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大， ∴a＜0． 若图象经过点（0，1），则1＝a（0+1）（0﹣m），得1＝﹣am． ∵a＜0，1＜m＜2， ∴﹣1＜a，故②错误； ∴①③④正确；②错误， 故答案为：①③④． 4．（2024•武汉模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列说法中：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3；②b2＞4ac；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＜0）的根为整数，则p的值只有两个；④若点C（﹣2，y1），在该二次函数的图象上，则y1＞y2．正确结论的序号是 　②③④　 ． 【答案】②③④ 【解答】解：如图， ∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝﹣1，x2＝3，所以①错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， 即b2＞4ac，所以②正确； ∵抛物线与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴当x＝0和x＝2时，函数值相等，且函数值为负数； x＝1时，函数值有最小值； ∴对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＜0）的根为整数，p的值只有两个；所以③正确； ∵抛物线开口向上， 而点C（﹣2，y1）到直线x＝1的距离比点到直线x＝1的距离大， ∴y1＞y2，所以④正确． 故答案为：②③④． 5．（2024•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（m，0）和，且﹣4＜m＜﹣2．下列结论： ①bc＞0； ②（2a﹣c）（4a﹣c）＜0； ③当n＝1时，若点（﹣3.5，t）在抛物线上，则t≥1； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝x+1有两个相等的实数根，则． 其中正确的结论是 　①②④　 ．（填写序号） 【答案】①②④． 【解答】解：如图： 由已知抛物线y＝ax2+bx+c过点（﹣1，0），得a﹣b+c＝0， ∵经过点（﹣1，0），（m，0）， ∴对称轴， ∵﹣4＜m＜﹣2，， ∴对称轴：，即， ①当a＞0时，b＞0，c＞0；当a＜0时，b＜0，c＜0，则bc＞0，故①符合题意， ②抛物线过点（m，0），﹣4＜m＜﹣2，所以（4a﹣2b+c）（16a﹣4b+c）＜0， 又∵b＝a+c， ∴（2a﹣c）（4a﹣c）＜0，故②符合题意； ③当n＝1时， ∴t不确定，故③不符合题意， ④若关于x的方程ax2+bx+c＝x+1有两个相等的实数根，ax2+（b﹣1）x+c﹣1＝0有两个相等的实数根， ∴（b﹣1）2﹣4a（c﹣1）＝0，即（a+c﹣1）2﹣4a（c﹣1）＝0， ∴（a﹣c+1）2＝0， ∴c＝a+1，b＝2a+1， ∵抛物线为y＝ax2+（2a+1）x+a+1， ∴， 又∵， 解得，故④符合题意， 故答案为：①②④． 6．（2024•蔡甸区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①bc＞0；②4ac﹣b2＜﹣4a；③；④关于x的方程ax2+bx+c+2＝0一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 　①②③　 .（填写序号） 【答案】①②③． 【解答】解：①∵函数图象开口方向向上， ∴a＞0； ∵对称轴在y轴右侧， ∴a、b异号， ∴b＜0， ∴抛物线与y轴交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴bc＞0，故①正确； ②∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴的交点在（0，﹣1）的下方，对称轴在y轴右侧a＞0， ∴最小值：1， ∵a＞0， ∴4ac﹣b2＜﹣4a，故②正确； ③∵图象与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间， ∴﹣2＜c＜﹣1， ∵x1x2＝（﹣1）×3＝﹣3， ∴c＝﹣3a， ∴﹣2＜﹣3a＜﹣1， ∴，故③正确； ④x＝1时，y2， ∴两个相等的实数根． 故④错误； 综上所述，正确的有①②③， 故答案为：①②③． 7．（2024•江汉区校级模拟）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0），过A（﹣1，0），B（m，0）（m＞0），下列结论：①c＝am；②m＝1；③关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx+c﹣2b＝0为两根为x1＝1，x2＝m+2；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0．其中正确的结论是 　②③④　 ．（只填序号） 【答案】②③④． 【解答】解：①∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）过A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）过B（m，0）（m＞0）， ∴am2+bm+c＝0， ∴am2+（a+c）m+c＝0， ∴am（m+1）+c（m+1）＝0， ∴c＝﹣am，故①错误； 由①知，b＝a+c＝a﹣am， ∴m＝1，故②正确； ③∵a（x﹣2）2+bx+c﹣2b＝0可转化为a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0， ∴关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0的根是二次函数y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c与x轴交点的横坐标， ∵二次函数y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c是由二次函数y＝ax2+bx+c向右平移2个单位得到的， 二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0），过A（﹣1，0），B（m，0）（m＞0）， ∴二次函数y＝a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c过点（1，0），（m+2，0）， ∴关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+b（x﹣2）+c＝0两根为x1＝1，x2＝m+2，故③正确； ④∵am2+bm+c＝0， ∴am2+（2a+b）m+a+b+c＝am2+2am+bm+a+b+c＝2am+a+b＝﹣2c+a+a+c＝2a﹣c， ∵a＜0，c＞0， ∴2a﹣c＜0， 即am2+（2a+b）m+a+b+c＜0，故④正确． 故答案为：②③④． 8．（2024•江汉区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中：①abc＞0；②3a+c＞0；③（）24；④当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则x1+2x2，其中正确的结论是 　②③④　 （填写序号）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， 即1， ∴b＝2a＞0， ∵抛物线与y轴的交点在x轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①错误； ∵x＝1时，y＞0， ∴a+b+c＞0， 而b＝2a， ∴3a+c＞0，所以②正确； ∵b＝2a，a＞0，c＜0， ∴（）244，所以③正确； ∵图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1，x2（x1＜x2）， ∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的一个交点为（，2）， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝2的另一个交点为（，2）， 即x1，x2， ∴x1+2x22，所以④正确． 故答案为：②③④． 9．（2024•洪山区模拟）对于函数y＝|ax2+x|+c（a，c为常数且a≠0）有下列结论： ①当c＝2时，该函数图象经过定点（0，2）； ②若a＝1，则函数关于直线x对称；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④当a＜0时，若图象与直线y＝m有2个以上的交点，则c＜mc． 其中正确的结论是 　①②④　 ．（填写序号） 【答案】①②④． 【解答】解：对于①： 当c＝2时， 函数即y＝|ax2+x|+2＝|（ax+1）x|+2， 当x＝0，y＝2， ∴图象过定点（0，2）， 故①正确． 对于②： 当a＝1时， ，如图： 其图象关于直线对称，向上或下平移C个单位，仍然关于直线对称． 故②正确； 对于③： 取a＝﹣1，c＝0， 函数为y＝|x2﹣x|， 此时对称轴为， 图象如下： 在时，y随x的增大而减小． 故③错误． 当a＜0时，设y＝|ax2+x|， 此时对称轴为直线， 此时顶点是， 可以发现当直线y＝m﹣c在时， y＝m﹣c的图象与y＝|ax2+a|有4个不同的交点． 当y＝m﹣c过时，这时两图象有3个不同交点． 这时， ∴， ∴当，两图象有2个以上交点， 所以． 所以④正确． 故答案为：①②④． 10．（2024•武昌区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足﹣1＜m＜0＜n．下列结论： ①a﹣b+c＞0； ②若a＞0，当时，y随x的增大而减小； ③若a（x﹣m）（x﹣n）﹣1＝0有一个根是大于m的负数，则b2﹣4ac＜﹣4a； ④． 其中正确的结论是 　①②④　 ．（填写序号） 【答案】①②④． 【解答】解：∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与x轴的两交点的横坐标为 m，n，满足﹣10，故①正确； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足﹣10时，﹣1/2＜b/2a＜0， ∴当x＜﹣1/2时，y随x的增大而减小，故②正确； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与x轴的两交点的横坐标为 m，n，y＝ax2+bx+c＝a（x﹣m）（x﹣n）； ∵a（x﹣m）（x﹣n）﹣1＝0 有一个根是大于m的负数， ∴抛物线y＝a（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝1的交点中有一 个交点的横坐标大于m小于0， ∴a（x﹣m）（x﹣n）＝1有两个根，且两根之积＜0， ∴c/a＜0， ∴ac＜0， ∴b2﹣4ac＞0，故③错误； ∵抛物线 y＝ax2+bx+c 与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足﹣10，当x＝0时，y＝c＞0， ∴a﹣b＞0，c＞0，n，满足﹣10， 当x＝0时，y＝c＞0， ∴a﹣b＞0，c＞0， ∴2a﹣b＞0，a﹣c＜0， 故④正确； 综上所述，本题的正确答案为①②④． 故答案为：①②④． 11．（2024•江汉区三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a，k为常数）的x与y的部分对应值如表所示： x ﹣2 1 4 5 t y m n p q m 下列四个结论： ①t＝6； ②若ak＞0，则该抛物线与x轴没有交点； ③若n＞p，则m＞q； ④若n•p＝0，则m•q＞0， 其中正确的结论是 　①②　 （填写序号）． 【答案】①②． 【解答】解：①由表可知，抛物线的对称轴为直线x＝2， ∵x＝1和x＝5时对应的函数值相等， ∴x＝5和x＝t时对应的函数值相等， ∴t＝6，故①正确； ②∵a＞0， ∴抛物线开口向上，抛物线的对称轴为直线 x＝2， ∴．当x＝2时，函数的最小值为k， ∴ak＞0， ∴该抛物线与x轴没有交点，故②正确； ③∵n＞p， ∴x＝3时对应的函数值大于x＝4时对应的函数值， ∴x＝6时对应的函数值小于x＝5时对应的函数值， ∴m＜q，故③不正确； ④∵n•p＝0， ∴n＝0或p＝0， ∴x＝3或x＝4时对应的函数值为0， ∴．x＝1或x＝5时对应的函数值大于0，或x＝1或x＝5时对应的函数值小于0， ∴m＞0或m＜0，q＞0或 q＜0， ∴m•q＞0或m•q＜0，故④错误． 综上所述，正确的结论有①②． 故答案为：①②． 12．（2024•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴有两个交点，与y轴的正半轴相交，有下列结论：①abc＞0；②c﹣a＞0；③当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论是 　①③④　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：由题意得：a＞0，，b2﹣4ac＞0，c＞0， ∴a＞0，b＝2a＞0，c＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵b2﹣4ac＞0， ∴（2a）2﹣4ac＞0， 4a2﹣4ac＞0， ∴4a（a﹣c）＞0， ∵a＞0， ∴a﹣c＞0， ∴c﹣a＜0，故②错误； ∵对称轴为直线x＝﹣1， ∴（0，c）关于对称轴的对称点为（﹣2，c）， ∵x＝﹣n2﹣2≤﹣2，且a＞0， ∴y≥c，故③正确； ∵x1，x2是函数与x轴的交点，m，n是函数与y＝1的交点， ∴m＜x1且n＞x2，故④正确； 故答案为：①③④． 13．（2024•洪山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过点（2，0）和（m，0），且﹣3＜m＜2，下列结论：①abc＞0；②9a+c＜﹣3b；③；④若方程a（x﹣m）（x﹣2）﹣4＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＞16a．其中正确的是 　②③　 .（填写序号） 【答案】②③． 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0），开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线经过点（2，0）和（m，0），且﹣3＜m＜2， ∴抛物线的对称轴在y轴的右侧， ∴b＞0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故①错误， ②∵抛物线经过点（2，0）， ∴4a+2b+c＝0， ∴2a+b， ∴9a+c＝4a+2b+5a＝﹣2c+5a， ∵a＜0，c＞0， ∴﹣2c+5a＜0， 即9a+c＜﹣3b， 故②正确， ③∵抛物线经过点（2，0）和（m，0），且﹣3＜m＜2， 可知b＝﹣a（2+m），c＝2am， ∴， 故③正确， ④∵方程a（x﹣m）（x﹣2）﹣4＝0有两个不相等的实数根， 即a（x﹣m）（x﹣2）＝4有两个不相等的实数根， ∴顶点坐标4， ∵a＜0， ∴4ac﹣b2＜16， 故④错误， 故答案为：②③． 14．（2024•江夏区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论： ①abc＜0； ②对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2； ③关于x的不等式ax2+（b+c）x＞0的解集为0＜x＜1； ④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2； 其中正确的结论是 　①④　 ． 【答案】①④． 【解答】解：因为抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为直线x＝﹣2， 所以， 则b＝4a． 因为a＞0， 所以b＞0． 因为抛物线过点（1，0）， 所以a+b+c＝0， 所以c＜0， 所以abc＜0． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝﹣2，且开口向上， 所以当x＝﹣2时，函数取得最小值， 则对于任意实数m，都有am2+bm+c≥4a﹣2b+c， 即2b+bm≥4a﹣am2． 故②错误． 二次函数的大致图象如图所示， 因为当x＞1时， 二次函数y＝ax2+bx+c的图象在一次函数y＝c（1﹣x）图象的上方， 所以当x＞1时，ax2+bx+c＞c（1﹣x），即ax2+（b+c）x＞0． 故③错误． 因为点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|， 所以点A离抛物线的对称轴的距离小于点B离对称轴的距离． 因为抛物线的开口向上， 所以y1＜y2． 故④正确． 故答案为：①④． 15．（2025春•江夏区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且c＞0）图象开口向上，过点A（﹣2，﹣2），B（n，﹣2）两点，且﹣4＜n＜﹣3．下列四个结论： ①abc＞0； ③b2﹣4ac＜0； ③若点（﹣3，t）在该抛物线上，则t＜﹣2； ④若关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个相等实数根，则． 其中正确的是 　①③④　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且c＞0）图象开口向上，过点A（﹣2，﹣2），B（n，﹣2）两点，且﹣4＜n＜﹣3， ∴抛物线的对称轴在﹣3和﹣2.5之间， ∴0，a＞0， ∴b＞0， ∵c＞0， ∴abc＞0，故①正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且c＞0）图象开口向上，过点A（﹣2，﹣2），B（n，﹣2）两点， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴b2﹣4ac＞0，故②错误； ∵抛物线的对称轴在﹣3和﹣2.5之间，且开口向上， ∴当点（﹣3，t）在该抛物线上，则t＜﹣2，故③正确； ∵关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个相等实数根， ∴（b﹣1）2﹣4ac＝0， ∴b2﹣4ac＝2b﹣1， ∴2b﹣1＞0， ∴b， ∵， ∴a， ∴a＜1，故④正确， 故答案为：①③④． 16．（2024秋•江夏区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③抛物线上两点A（x1，y1）与B（x2，y2），若有x1＜x2且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；④直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x3与x4，则x3+x4+x3•x4＝﹣5．其中结论正确的是 　①③④　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，经过（1，0）， ∴1，a+b+c＝0， ∴b＝2a，c＝﹣3a， ∵a＜0， ∴b＜0，c＞0， ∴abc＞0，故①正确， ∵抛物线对称轴是直线x＝﹣1，经过（1，0）， ∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称， ∴x＝﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0，故②错误； ∵抛物线上两点A（x1，y1）与B（x2，y2），x1＜x2且x1+x2＜﹣2， ∴1， ∵点A（x1，y1）到对称轴的距离大于点B（x2，y2）到对称轴的距离， ∵抛物线开口向下， ∴y1＜y2，故③正确； 令2x+2＝ax2+bx+c，则整理得ax2+（b﹣2）x+c﹣2＝0， ∵直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x3，x4， ∴x3+x4，x3x4 ∴x3+x4+x3•x45，故④正确， 故答案为：①③④． 17．（2025•武汉模拟）实数a和b，若a≥b，我们定义Max（a，b）＝a，比如Max（1，3）＝3．已知关于x的函数y＝Max（﹣x2+4x，kx），下列结论：①函数图象经过原点；②若k＜0，则方程y＝4有三个不等实根；③若k＝1，则x≥1时，y有最小值3；④若x≥0时，y的值随x的值增大而增大，则k≥2．其中正确的结论是　①③④　 （填写序号）． 【答案】①③④． 【解答】解：①由题意，当x＝0时，﹣x2+4x＝0，kx＝0， ∴函数图象经过原点，故①正确． ②在平面直角坐标系中画y1＝﹣x2+4x与y2＝kx（k＜0）的图象如下， 由图象可以发现，M的图象与y＝4这条直线只要两个交点， ∴当k＜0时，方程y＝4有两个不等的实根， 故②不正确． ③当k＝1时，y2＝x， 在平面直角坐标系中画出y1＝﹣x2+4x与y2＝kx的图象如下， 由题中M的定义可知，当1≤x≤3时，M＝y1，当x＞3时，M＝y2， 当x＝1时，M＝﹣12+4×1＝3，当x＝3时，M＝﹣32+4×3＝3， 根据图象可知，当x≥1时，M最小值为3． 故③正确． ④在平面直角坐标系中画出y1＝﹣x2+4x与y2＝kx（k＝2，k＞2，k＜2）的图象如下， 由图可知，当x≥0时，若k＝2，M的值随x的值增大而增大， 若k＜2，M的值随x的增大先增大再减小再增大， 若k＞2，M的值随x的值增大而增大， ∴当x≥0时，M的值随x的值增大而增大，则k≥2． 故④正确． 故答案为：①③④． 18．（2024秋•汉阳区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过点（2，0），且2＜c＜3．下列个结论中正确的是 　①②　 （填写序号）． ①方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根； ②若对任意的实数m，都有bm﹣b≥am2﹣a，则； ③若抛物线经过点（﹣1，0），在抛物线上有且仅有两个点到x轴的距离等于n（n＞0），则； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，若4a+c＞0，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0． 【答案】①②． 【解答】解：由题意得4a+2b+c＝0， ∴， ∴， ∵a＜0，2＜c＜3， ∴4a﹣c≠0， ∴，即方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，故①正确，符合题意； 由bm﹣b≥am2﹣a，可得a﹣b+c≥am2﹣bm+c， 即对任意的实数m，都有a﹣b+c≥am2﹣bm+c， ∵x＝﹣1时，y＝a﹣b+c， 故可得此时对称轴为直线x＝﹣1， ∴b＝2a， ∵4a+2b+c＝0， ∴4a+4a+c＝0，即c＝﹣8a， ∵2＜c＜3， ∴2＜﹣8a＜3，解得，故②正确，符合题意； 由题意可得抛物线开口向下，经过（﹣1，0）和（2，0），可得抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线上有且仅有两个点到x轴的距离等于n（n＞0）， ∴n大于顶点纵坐标， ∴， ∵， ∴b＝﹣a， ∵4a+2b+c＝0， ∴4a﹣2a+c＝0，即c＝﹣2a， ∴，故③错误，不符合题意； ∵， ∴对称轴为直线， ∵a＜0，4a+c＞0， ∴， ∴对称轴在y轴左侧， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，a＜0， ∴当x1＞x2时，y1＜y2，此时（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， 当x1＜x2时，y1＞y2，此时（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0， 故④错误，不符合题意， 故答案为：①②． 19．（2023秋•武昌区校级月考）已知抛物线y＝a（x+1）2+n（a＜0，n为常数）的一般形式为：y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）．该抛物线与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间．则下列结论： ①a+b+c＜0； ②2a﹣b＝0； ③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2，则x1+x2＝2x； ④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+（m﹣1）b≤0恒成立． 其中正确的说法有 　①②　 （填序号）． 【答案】①②． 【解答】解：①∵抛物线y＝a（x+1）2+n（a＜0，n为常数）， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，顶点为（﹣1，n）， ∵抛物线与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间． ∴当x＝1时，y＜0， 即a+b+c＜0，所以①结论正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴1， ∴b＝2a， ∴2a﹣b＝0，所以②结论正确； ③∵一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的交点的横坐标为x1，x2， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴x1+x2＝﹣2，所以③结论错误； ④∵x＝﹣1时，函数有最大值y＝a﹣b+c＞0，x＝1时，y＝a+b+c＜0， ∴m＝﹣1时，am2+bm+c＞a+b+c，即a（m2﹣1）+（m﹣1）b＞0，所以④结论错误； 故答案为：①②． 20．（2024秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）经过A（x1，0），B（x2，0）两点，且2＜x1＜3＜x2＜4．下列四个结论： ①c＞0；②a+b+c＞0；③若a＝1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有实数解；④若b+6a＝0，点M（m，y1），N（n，y2）在抛物线上，﹣1＜n＜4，若对于任意的m都有n使得y1＝y2，则m的取值范围为﹣1＜m＜7．其中正确的是 　①②④　 （填序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：∵a＞0，且与x轴交点2＜x1＜3＜x2＜4， 则抛物线图象如图， 很明显c＞0， 故①正确，符合题意； 当a＝1时，y＝a+b+c＞0， 故②正确，符合题意； 设抛物线顶点为D，过D作DH⊥x轴于点H， ∴D（，）， ∴DH， 令y＝ax2+bx+c＝0， 则xA+xB，xA•xB， ∴AB＝|xA﹣xB| ， ∵a＝1， ∴AB2， ∵2＜x1＜3＜x2＜4， ∴0＜AB＜2， ∴0＜DH＜1， ∴顶点纵坐标大于﹣1， 即二次函数y＝ax2+bx+c与直线y＝﹣1无交点， ∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1无实数解， 故③错误，不符合题意； 若b+6a＝0，则b＝﹣6a， ∴对称轴为直线x3， 若对于任意的m都有n使得y1＝y2， 则点M和点N要么重合，要么关于对称轴对称， ∵﹣1＜n＜4， ∴当点M和点N重合时，则﹣1＜m＜4； 当点M和点N关于对称轴对称时， ∵点N到对称轴的距离范围为1＜d＜4， ∴点N到对称的距离范围也为1＜d＜4， 此时2＜m＜7， ∴﹣1＜m＜7， 故④正确，符合题意； 综上，正确的有①②④； 故答案为：①②④． 21．（2024•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，0）两点，且2＜m＜3，下列结论： ①c＞1； ②当x时，y随x的增大而减小； ③关于x的不等式ax2+bx＜（c﹣1）x的解集为x＞0或x＜﹣1； ④2a+c． 其中正确的结论是 　③④　 .（填写序号） 【答案】③④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，1）， ∴a﹣b+c＝1． ∴b＝a+c﹣1． ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过（﹣1，1），（m，0）两点，且2＜m＜3， ∴． 整理不等式组得：． ∴． ①+②得：﹣2c＜﹣1． ∴c． 故①错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过（﹣1，1）， ∴n＜﹣1． 取n＝﹣1.5． ∵2＜m＜3， ∴0.5＜m+n＜1.5． ∴0.250.75． ∴抛物线的对称轴x可能的取值范围是：0.25＜x＜0.75． ∴对称轴可能为直线x＝0.6． ∴当x＜0.6时，y随x的增大而增大，x＞0.6时，y随x的增大而减小． 故②错误． ∵ax2+bx＜（c﹣1）x， ∴ax2+bx﹣（c﹣1）x＜0． ∴ax2+（b﹣c+1）x＜0． ∵b＝a+c﹣1， ∴不等式可整理为：ax2+ax＜0． 若ax2+ax＝0． ax（x+1）＝0． 解得：x1＝0，x2＝﹣1． y＝ax2+ax的图象如图所示： ∴ax2+ax＜0的解集为：x＞0或x＜﹣1． ∴关于x的不等式ax2+bx＜（c﹣1）x的解集为x＞0或x＜﹣1； 故③正确； ∵b＝a+c﹣1．当x＝2时，函数值大于0， ∴4a+2b+c＞0． ∴4a+2（a+c﹣1）+c＞0． ∴6a+3c＞2． ∴2a+c． 故④正确． 故答案为：③④． 22．（2024秋•江夏区校级期中）抛物线y＝﹣x2+nx+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，顶点为点D，将其向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是 　①③　 ； ①a+b＝2； ②对于任意实数t，总有﹣t2+nt＜﹣1+n； ③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6． 【答案】①③． 【解答】解：∵将抛物线y＝﹣x2+nx+m向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称， ∴平移后的交点（a﹣1，0）和（b﹣1，0）关于y轴对称， ∴a﹣1+b﹣1＝0， ∴a+b＝2， 故①正确，符合题意； ∵将抛物线y＝﹣x2+nx+m向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称， ∴抛物线y＝﹣x2+nx+m关于直线x＝1对称， ∴当x＝1时，y有最大值，即y＝﹣1+n+m， ∴对于任意实数t，﹣t2+nt+m≤﹣1+n+m，当x＝t时取等， ∴﹣t2+nt≤﹣1+n， 故②错误，不符合题意； ∵x1＜1＜x2， ∴点P和点Q在对称轴两侧，即点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧， ∵x1+x2＞2， ∴x2﹣1＞1﹣x1， ∴点Q距离对称轴更远， ∵开口向下， ∴y1＞y2， 故③正确，符合题意； ∵抛物线y＝﹣x2+nx+m关于直线x＝1对称， ∴1， ∴n＝2， 当m＝2时，抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+2， ∴C（0，2），D（1，3）， ∵点C和点E关于对称轴对称， ∴E（2，2）， ∴DE， 如图，作点D关于y轴对称点D'，作点E关于x轴对称点E'，则D'（﹣1，3），E'（2，﹣2）， ∴D'E'， 四边形EDFG周长＝DE+DF+FG+GED'F+FG+GE'， 当D'、F、G、E'四点共线时，D'F+FG+GE'＝D'E'， 此时四边形EDFG周长有最小值为， 故④错误，不符合题意； 综上，真命题的有①③， 故答案为：①③． 23．（2024秋•武昌区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（﹣2，0），B（m，0），且2＜m＜3，顶点为D点，下列结论： ①abc＜0； ②9a+6b+c＜0； ③不等式的解集为﹣2＜x＜0； ④连接DA，DB，若45°≤∠DAB≤60°，则． 其中正确的结论是　①④　 ． 【答案】①④． 【解答】解：∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∵抛物线经过A（﹣2，0），B（m，0），且2＜m＜3，顶点为D点，a＜0， ∴抛物线对称轴，则b＞0， ∴①abc＜0正确； 将A（﹣2，0）代入y＝ax2+bx+c， 得c＝2b﹣4a， ∴b， ∵xA＝﹣2，2＜xB＜3， ∴， 由于9a+6b+c＜0等价于9a+6b+（2b﹣4a）＜0， 等价于5a+8b＜0， 根据不等式的性质，等价于，而， 故矛盾，∴②错误， ∵， ∴2ax2+2bx+2c＞cx+2c，则2ax2+（2b﹣c）x＜0， 当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝0，则4a＝2b﹣c， ∴2ax2﹣4ax＜0， ∵a＜0， ∴x2﹣2x＞0，即x（x﹣2）＞0， ∴或， ∴不等式可得解集为x＞2或x＜0，故③错误； 过点D作DN⊥x轴于点N， 由y＝ax2+bx+c可知， ∵xA，xB是方程ax2+bx+c＝0的两根， ∴， ∴， 代入，得：， 当∠DAB＝45°，∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA＝45°， ∴∠ADB＝90°， ∴N为AB中点， ∴， 当∠DAB＞45°，则， ∴∠DAB≥45°，则，即， 根据不等式的性质化简得：Δ2≥4Δ， 同上可求Δ≥4或Δ≤0（舍）， ∴b2﹣4ac≥4，即，即，同上可得， ∴c≥4a+4， 当∠DAB＝60°，则∠ADN＝30°，而， ∴由勾股定理得：， 当∠DAB＜60°，则， ∴当∠DAB≤60°，则， 即， 即Δ2≤12Δ， 则Δ≤12， 则b2﹣4ac≤12， 即， ∴， ∴， ∴④正确， 综上所述，正确的选项是①④， 故答案为：①④． 24．（2022秋•汉阳区期中）现有y是关于x的二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，则下列描述正确的是 　①②③　 ． ①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标为（，）； ②当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ③当m≠0时，函数图象总过定点； ④若函数图象上任取不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则当m＜0时，函数在x时一定能使0成立． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：①当m＝﹣1时，y＝﹣2x2+2x＝﹣2（x）2， ∴顶点坐标为（，）， 故①正确； ②当m＞0时，由y＝0得：Δ＝（1﹣m）2﹣4×2m（﹣1﹣m）＝（3m+1）2， ∴x， ∴x1＝1，x2， ∴|x1﹣x2|， ∴函数图象截x轴所得的线段长度大于， 故②正确； ③当m≠0时，y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m＝（2x2﹣x﹣1）m+x﹣1， 当2x2﹣x﹣1＝0时，y的值与m无关， 此时x1＝1，x2， 当x1＝1，y＝0；当x2时，y2， ∴函数图象总经过两个定点（1，0），（，）， 故③正确； ④m＜0时，抛物线的对称轴：x0，抛物线开口向下， 故x时，只有当对称轴在x右侧时，y才随x的增大而减小，即0成立， 故④错误． 故答案为：①②③． 25．（2023春•江岸区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象经过点A（﹣1，0）．下列四个结论： ①抛物线与x轴一定有两个不同的交点； ②若b＝﹣4a，则抛物线经过点（5，0）； ③若抛物线与x轴交于点B（不与A重合），交y轴于点C且OB＝OC，则a＝1； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线L，若当x1＞x2＞1时，总有y1＜y2，则3a+c≤0．其中正确的是 　②④　 （填写序号）． 【答案】②④． 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象经过点A（﹣1，0）， ∴a﹣b+c＝0． ∴b＝a+c． ∵Δ＝b2﹣4ac＝（a+c）2﹣4ac＝（a﹣c）2≥0， ∴抛物线与x轴有两个不同的交点或顶点在x轴上， 故①的结论不正确，不符合题意； ②∵b＝﹣4a， ∴对称轴为直线x2， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过点A（﹣1，0）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）的图象经过（5，0）， 故②的结论正确，符合题意； ③当x＝0时，y＝c， ∴C（0，c）， ∴OC＝|c|， ∵OB＝OC， ∴B（c，0）或（﹣c，0）， 令y＝0，则ax2+bx+c＝0， 当B（c，0）时，c， ∴a＝1； 当B（﹣c，0）时，﹣c， ∴a＝﹣1； 当c＝0时，B、C、O三点重合，此时OB＝OC， ∴a≠0． 综上所述：a的值为或或a≠0； 故③的结论不正确，不符合题意； ④∵a﹣b+c＝0， ∴b＝a+c， ∵当x1＞x2＞1时，总有y1＜y2， ∴在x＞1时，y随x值的增大而减小， ∴1，且a＜0， ∴b≤﹣2a，此时a+c≤﹣2a， ∴3a+c≤0； 故④的结论正确，符合题意； 故答案为：②④． 26．（2023秋•汉阳区期中）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），现有以下四个结论： ①抛物线与x轴交点坐标分别为（m，0）、（m+k，0）； ②当k＝2时，函数y的最小值为﹣a； ③当k＝2时，直线y＝nx﹣n•（m+1）（n为不为0的任意实数）与抛物线总有两个不同的交点； ④当k＝2时，只有在﹣2＜m＜0时才能保证抛物线与y轴交点在负半轴． 其中正确的有 　①②③④　 ． 【答案】①②③④． 【解答】解：令y＝0，得a（x﹣m）（x﹣m﹣k）＝0， 解得：x＝m或x＝m+k， ∴抛物线与x轴交点的坐标分别为（m，0）、（m+k，0）， 故①正确； 当k＝2时，二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）， 即y＝a（x﹣m﹣1）2﹣a， ∵a＞0， ∴函数y有最小值为﹣a， 故②正确； 当k＝2时，二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）， 其与直线y＝nx﹣n•（m+1）联立， 得a（x﹣m）（x﹣m﹣2）＝nx﹣n•（m+1）， 整理，得ax2﹣（2am+2a+n）x+（am2+2am+mn+n）＝0， Δ＝[﹣（2am+2a+n）]2﹣4a（am2+2am+mn+n）＝4a2+n2＞0， ∴直线y＝nx﹣n•（m+1）（n为不为0的任意实数）与抛物线总有两个不同的交点， 故③正确； 当k＝2时，二次函数为y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣2）， 当x＝0时，y＝am（m+2）， 要保证抛物线与y轴交点在负半轴， 则am（m+2）＜0， 即，此时无解， 或，解得﹣2＜m＜0， 故④正确． 综上，正确的有：①②③④． 故答案为：①②③④． 27．（2022•新洲区校级模拟）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的四个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②无论a取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a；④若3≤x≤4，对应y的整数值有4个，则a≤﹣1或1≤a．其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：①二次函数对称轴为直线x2， ∵2， ∴2+m与2﹣m关于直线x＝2对称， ∴对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等， ∴①正确； ②∵y＝ax2﹣4ax﹣5＝（x2﹣4x）a﹣5， ∴无论a取何值，抛物线一定过两个定点（0，﹣5）和（4，﹣5）， ∴②正确； ③∵若抛物线与x轴交于不同两点A，B， 设A（n，0），B（p，0），且n＞p， ∵n，p是方程ax2﹣4ax﹣5＝0的两个不同的根， ∴n+p＝4，np， ∴AB＝p﹣n， ∵AB≤6， ∴1636， ＜1＞a＞0时，解不等式得a≥1， ＜2＞a＜0时，解不等式得a≤1， 综上所述：a≥1或a＜0， ∵若抛物线与x轴交于不同两点， ∴16a2+20a＞0， ∴a＞0或a， 综上所述：a≥1或a， ∴③错误； ④∵＜1＞a＞0时，若3≤x≤4，y随x的增大而增大， 当x＝3时，y＝9a﹣12a﹣5＝﹣3a﹣5， 当x＝4时，y＝16a﹣16a﹣5＝﹣5， ∴﹣3a﹣5≤y≤﹣5， ∵y的整数值有4个， ∴﹣9＜﹣3a﹣5≤﹣8， ∴1≤a， ＜2＞a＜0时，若3≤x≤4，y随x的增大而减小， ∴﹣5≤y≤﹣3a﹣5， ∵y的整数值有4个， ∴﹣2≤﹣3a﹣5＜﹣1， ∴a≤﹣1， 综上所述：a≤﹣1或1≤a， ∴④正确． 28．（2021秋•江岸区校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣1，0），下列四个结论： ①方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3： ②3a+c＝0； ③对于任意实数t，总有at2+bt＞a+b； ④不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣k≥0（k为常数）的解集为x≤﹣1或x≥3． 其中正确的结论是 　①②　 .（填写序号） 【答案】①②． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴的另一交点为（3，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的解即为抛物线与x轴交点的横坐标：x1＝﹣1，x2＝3， 故①正确； 将（﹣1，0）代入抛物线得：a﹣b+c＝0， 又∵抛物线的对称轴x1，即：2a+b＝0， ∴3a+c＝0， 故②正确； ∵抛物线的对称轴x＝1，且a＞0，抛物线开口向上， ∴抛物线的最小值为a+b+c， ∴对任意t，at2+bt+c≥a+b+c， 即at2+bt≥a+b， 故③错误； 由②可知：c＝﹣3a，b＝﹣2a， ∴y＝ax2+（b﹣k）x+c﹣k＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k， 对称轴x1， 当x＝﹣1时，y＝0， 设y＝ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k与x轴另一交点横坐标为t， 则1， 解得：t＝3， 当31，即k≤﹣4a时， ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≤3或x≥﹣1， 当k≥﹣4a时，ax2﹣（2a+k）x﹣3a﹣k≥0的解集为：x≥3或x≤﹣1， 故④错误． 另解：设y1＝a（x+1）（x﹣3），y2＝k（x+1）， 则y＝a（x+1）（x﹣3）﹣k（x+1）＝（x+1）[a（x﹣3）﹣k]＝a（x+1）[x﹣（3）]（a＞0）， 令y＝0，得x1＝﹣1，x2＝3， ∵﹣1与3的大小不确定， 故④错误． 故答案为：①②． 29．（2024秋•江汉区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过（﹣1，﹣1），（1，0），（m，0）三点，与y轴的交点在正半轴．下列结论：①﹣1＜m＜0；②；③抛物线与直线y＝kx+k﹣1的一个交点的横坐标为t，若t＞2，则k＞0；④当a≤﹣1时，则方程2ax2+2bx+2c﹣1＝0必有两个不相等的实数根．其中正确的是 　②④　 （填写序号）． 【答案】②④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过（﹣1，﹣1），（1，0）两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当y＝0时，， 解得：， ∵抛物线与x轴的交点为（1，0），（m，0）， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴0， ∴a， ∴， ∴，即m，故结论①错误； ∵b，故结论②正确； ∵y＝kx+k﹣1＝k（x+1）﹣1， ∴直线y＝kx+k﹣1经过定点（﹣1，﹣1）， ∵抛物线经过点（﹣1，﹣1）， ∴抛物线与直线y＝kx+k﹣1的一个交点的横坐标为﹣1，即t＝﹣1， ∵t＞2， ∴抛物线与直线y＝kx+k﹣1在x＞2时有交点， 当x＝2时，，y2＝2k+k﹣1＝3k﹣1， ∴3k﹣1＞3a， ∴， ∵a， ∴k＞0不一定成立，故结论③错误； ∵2ax2+2bx+2c﹣1＝0， ∴， ∴，即抛物线y＝ax2+bx+c与直线 y的交点的个数即为方程2ax2+2bx+2c﹣1＝0的解的个数， ∵a≤﹣1， ∴抛物线开口向下， ∵抛物线与y轴的交点在正半轴， ∴c＝﹣a， ∴抛物线与直线y有两个交点， ∴方程2ax2+2bx+2c﹣1＝0必有两个不相等的实数根，故结论④正确． 综上所述，正确的结论是②④， 故答案为：②④． 30．（2024秋•武汉期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）经过点（﹣1，0），（m，0），且满足1＜m＜2，2＜c＜3．下列四个结论：①abc＜0；②2a+c＜0；③抛物线上的两点M（﹣2，y1），，当y1≤y2时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是　①②④　 ．（填写序号） 【答案】①②④． 【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）经过点（﹣1，0），（m，0），且满足1＜m＜2，2＜c＜3． ∴抛物线开口向下，对称轴x， ∴对称轴在y轴右侧，a、b异号， ∴abc＜0，故①正确； ②∵x＝2时，y＜0，x＝﹣1时，y＝0， ∴， ∴6a+3c＜0， 即3a+c＜0，故②正确； ③∵抛物线上的两点M（﹣2，y1），， ∴点M（﹣2，y1）在对称轴的左侧，点M（﹣2，y1）关于对称轴的对称点为（1+m，y1）， ∵y1≤y2， ∴， ∴m，故③错误； ④∵y＝cxc（x）， ∴直线y＝cx交x轴于（，0），交y轴于（0，c）， ∵点（，0）在点（﹣1，0）的左侧，点（0，c）在点（0，c）的上方， ∴直线y＝cx与抛物线无交点， ∴关于x的方程无实数根．故④正确． 故答案为：①②④． 31．（2024秋•武汉期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与x轴两个交点坐标分别为（﹣3，0），（1，0），下列说法：①抛物线的对称轴为x＝﹣1；②ac＜0；③若a＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上，且|x1+1|＞|x2+1|，则y1﹣y2＜0；④当﹣2≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最小值为﹣3，则a的值为或．其中一定正确的结论有　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与x轴两个交点坐标分别为（﹣3，0），（1，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x1，故①正确； ∴抛物线y＝ax2+bx+c的图象过第一、二、三、四象限， ∴ac＜0，故②正确； 若a＞0，则抛物线开口向上， ∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴到直线x＝﹣1的距离大的点的纵坐标的值大， ∵点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上，且|x1+1|＞|x2+1|， ∴y1＞y2， ∴y1﹣y2＞0，故③错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与x轴两个交点坐标分别为（﹣3，0），（1，0）， ∴y＝a（x+3）（x﹣1）， ∵当﹣2≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最小值为﹣3， ∴当a＜0时，x＝2时，函数的最小值为﹣3，即a×（2+3）×（2﹣1）＝﹣3，解得a， 当a＞0时，x＝﹣1时，函数的最小值为﹣3，即a×（﹣1+3×）（﹣1﹣1）＝﹣3，解得a， ∴a的值为或．故④正确． 故答案为：①②④． 32．（2024秋•洪山区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的正半轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，下列结论：①4a+b＝0；②4a＞c；③若ax2+bx+c＞x+c，则0＜x＜﹣c；④若点E（x1，y1）、点F（x2，y2）在该二次函数图象上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，则y1＞y2．其中正确的结论是 　①③④　 ．（填写正确结论的序号） 【答案】①③④． 【解答】解：∵对称轴为直线x＝2， ∴2， ∴b＝﹣4a＞0， ∴4a+b＝0，故①正确； ∵x＝2时，y＞0， ∴4a+2b+c＞0， ∵b＝﹣4a， ∴﹣4a+c＞0， ∴c＞4a，故②错误； ∵OA＝OC，C（0，c）， ∴OA＝OC＝﹣c， ∴A（﹣c，0）， ∵直线y＝x+c与x轴的交点为（﹣c，0）， ∴直线y＝x+c过A，C两点， 观察图象，若ax2+bx+c＞x+c，则0＜x＜﹣c，故③正确； 由题意可知点E（x1，y1）到对称轴的距离小于点F（x2，y2）到对称轴的距离， ∵抛物线开口向下， ∴y1＞y2．故④正确； 故答案为：①③④． 33．（2024秋•汉阳区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，且3＜m＜4，下列四个结论：①c＞0；②；③若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，则4ac﹣b2≥12a；④若抛物线过点（1，4），则．其中正确的结论序号有 　①②④　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且3＜m＜4， ∴，即，故②正确； ∴对称轴在y轴右侧， ∵a＜0， ∴c＞0， 故①正确； ∵若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）与直线y＝3有交点， ∴3， ∴4ac﹣b2≤12a，故③错误； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），过A（﹣1，0），点（1，4）， ∴ 解得， ∵抛物线y＝ax2+2x+2﹣a， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点， ∴y＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am， ∴﹣am＝2﹣a， ∴m， ∵3＜m＜4， ∴3＜14， ∵a＜0， ∴．故④正确． 故答案为：①②④． 34．（2023秋•洪山区期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，以下四个结论：①abc＞0；②8a+c＜0；③对于任意实数m，有am2+bm≥﹣4a﹣c；④对于实数，若（n，y1），（n+1，y2）为抛物线上两点，则y1＜y2； 其中正确的是 　①③④　 （填写序号）． 【答案】①③④． 【解答】解：由图象可知，a＞0，c＜0， ∵对称轴为直线x＝1， ∴1， ∴b＝﹣2a＜0， ∴abc＞0． 故①正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0）， ∴9a+3b+c＝0， ∵b＝﹣2a， ∴3a+c＝0， ∵a＞0， ∴8a+c＝3a+c+5a＞0， 故②错误； 由②知，c＝﹣3a， ∵a＞0，对称轴为直线x＝1， ∴当x＝1时，函数有最小值，最小值为a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a， ∴对于任意实数m，有am2+bm+c≥﹣4a， 即am2+bm≥﹣4a﹣c， 故③正确； 当n时，n+1 ∵对称轴为直线x＝1， ∴n+1﹣1，1﹣n， ∴y1＜y2． 故④正确； 故答案为：①③④． 35．（2024秋•江岸区期中）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a为常数），下列四个结论：①若a＞1，则该二次函数图象与x轴有两个交点；②该二次函数图象经过定点；③该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上；④若a＞0，该二次函数图象与直线y＝x交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则|x1﹣x2|＜2a．其中正确的结论序号是 　①③　 ． 【答案】①③． 【解答】解：Δ＝（﹣2a）2﹣4a＝4a2﹣4a＝4a（a﹣1）， ∵a＞1， ∴4a（a﹣1）＞0， ∴抛物线与x轴有两个交点， 故①正确，符合题意； ∵y＝x2﹣2ax+a， ∴2ax﹣a＝x2﹣y， a（2x﹣1）＝x2﹣y， ∵a为任何数，0乘任何数都得0， ∴， 解得：， ∴该二次函数图象经过定点（，）， 故②错误，不符合题意； ∵y＝x2﹣2ax+a＝（x2﹣2ax+a2）+a﹣a2＝（x﹣a）2+a﹣a2， ∴抛物线的顶点为（a，a﹣a2）， 当a＝0时，a﹣a2＝0， ∴该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上， 故③正确，符合题意； ， ∴x2﹣2ax+a＝x， x2﹣（2a+1）x+a＝0， 设方程的两根为x1，x2， ∴x1+x2＝2a+1，x1x2＝a， ∴（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝（2a+1）2﹣4a＝4a2+1， ∵（2a）2＝4a2，2a＞0， ∴|x1﹣x2|＞2a， 故④错误，不符合题意， 故答案为：①③． 36．（2024春•洪山区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）经过A（4，0）、B（﹣2，0）、C（1，n）三点，且n＞0，下列四个结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x增大而减少；③一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个实数根；④不等式的解集是﹣2＜x＜1．其中正确的结论是　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c经过A（4，0）、B（﹣2，0）、C（1，n）三点， ∴a＜0，c＞0，抛物线的对称轴为直线x1， ∴， ∴b＝﹣2a＞0， ∴abc＜0． 故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0， ∴当x＞1时，y随x增大而减少， 故结论②正确； ∵a＜0，b＞0，c＞0， ∴b2＞0，﹣4ac＞0， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0， ∴一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根， 故结论③不正确； ∵y， ∴直线y经过点（﹣2，0）， 令x＝1，得y＝n， ∴直线y经过点（1，n）， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与直线y的交点分别为（﹣2，0）和（1，n）， 由图可知，不等式的解集是﹣2＜x＜1， 故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 37．（2024•武汉模拟）已知关于x的函数y＝x2﹣|2x﹣2|﹣3，有下列结论： ①当x＜﹣1时，y随x增大而减小； ②函数的图象是轴对称图形； ③点M（x1，m），N（x2，m）是函数的图象上不同的两点，则x1+x2＜2； ④函数的最小值为﹣6． 其中正确的结论是 　①③④　 ．（填写序号） 【答案】①③④． 【解答】解：∵， ∴其图象如下： ∴当x＜﹣1时，y随x增大而减小；故①符合题意； 函数的图象不是轴对称图形；故②不符合题意； 点M（x1，m），N（x2，m）是函数的图象上不同的两点，当x1＜x2＜1时， 而抛物线y＝x2+2x﹣5的对称轴为直线x＝﹣1， ∴x1+x2＝﹣2， 当x1＜﹣1＜1＜x2时， ∴x2﹣2x﹣1＝m即x2﹣2x﹣1﹣m＝0， 解得：， 当x2+2x﹣5＝m即x2+2x﹣5﹣m＝0， 解得：， ∴， ∴x1+x2＜2；故③符合题意； 当x＝﹣1时，函数最小值为y＝（﹣1）2+2×（﹣1）﹣5＝1﹣2﹣5＝﹣6， ∴函数的最小值为﹣6，故④符合题意； 故答案为：①③④ 38．（2024秋•江汉区校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向上，经过A（﹣2，﹣2），B（t，﹣2）两点，且0＜t＜2．①ab＞0；②若a（x+3）2+b（x+3）+c＞﹣2，则x＜﹣5；③若a，则c＜﹣2；④若点C（﹣5，y1），D（3，y2）在抛物线上，则﹣2＜y2＜y1．以上结论正确的是 　①③④　 ．（填序号） 【答案】①③④． 【解答】解：由抛物线开口向上，可知：a＞0，又抛物线经过A（﹣2，﹣2），B（t，﹣2）两点，所以根据二次函数的对称性可知对称轴为直线，且0＜t＜2，则， ∵， ∴， ∴b＞0， ∴ab＞0，故①正确； 由题意可知当y＝﹣2时，则有方程的两个根分别为﹣2，t，所以当a（x+3）2+b（x+3）+c＝﹣2时，则有x+3＝﹣2或x+3＝t，即方程的根为x1＝﹣5，x2＝t﹣3，因为该抛物线开口向上，所以当x＜﹣5或x＞t﹣3，故②错误； 若，则有，又经过A（﹣2，﹣2），且对称轴为直线为：， ∴，， ∴， ∵0＜t＜2， ∴，即，故③正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向上， ∴抛物线上的点满足离对称轴越近，其对应的函数值也就越小， ∵若点C（﹣5，y1），D（3，y2）在抛物线上，且， ∴点C到对称轴的距离为，点D到对称轴的距离为，点A到对称轴的距离为， ∴﹣2＜y2＜y1，故④正确； 故答案为①③④． 39．（2024秋•洪山区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论： ①b＞0； ②若，则3a+2c＜0； ③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且y1＞y2，则x1+x2＞1； ④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根． 其中正确的选项有 　①④　 .（填序号） 【答案】①④． 【解答】解：∵A（﹣1，0），B（m，0）两点在抛物线上，且1＜m＜2， ∴抛物线对称轴为直线：x， ∵1＜m＜2， ∴，即， ∵抛物线开口向下，a＜0， ∴b＞0，故①正确； 若，则， ∴， ∴，故②不正确； ∵抛物线y＝ax2+bx+c＝a（x+1）（x﹣m）＝ax2+a（1﹣m）x﹣am，点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，且y1＞y2， ∴，， 把两个等式相减，整理得：y1﹣y2＝a（x1﹣x2）（x1+x2+1﹣m） ∵a＜0，x1＜x2，y1＞y2，1＜m＜2， ∴x1+x2＞m﹣1，x1+x2≥1，故③错误； 将方程ax2+bx+c＝1写成a（x﹣m）（x+1）﹣1＝0整理得：， ∴Δ＝（m+1）2， ∵1＜m＜2，a≤﹣1， ∴4＜（m+1）2＜9，， ∴，故④正确． 综上所述，①④正确． 故答案为：①④． 40．（2024秋•东西湖区月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），且满足条件a＞b＞c，a+b+c＝0，给出以下结论：①ac＜0；②存在满足条件的a，b，c，使得二次函数在时取得最小值；③4a﹣2|b|+c＞0；④对任意满足am2+bm+c＜0的实数m，都有a（m+3）2+b（m+3）+c＞0．其中正确的有 　①③④　 （写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③④． 【解答】解：∵a＞b＞c，a+b+c＝0，a≠0， ∴a、b、c中有正、负， ∵c为最小，a为最大， ∴c＜0，a＞0， ∴ac＜0，故选项①正确，符合题意； ∵a+b+c＝0， ∴图象一定经过（1，0）， 对于二次函数，当x时，有最小值， 即， ∴a＝b， ∵a＞b＞c，故选项②错误，不符合题意； 当b＞0时，x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c， 4a﹣2b+c＝4a﹣2b﹣a﹣b＝3a﹣3b＞0， ∴4a﹣2|b|+c＞0正确； 当b＜0时，4a﹣2|b|+c＝4a+2b+c， 即x＝2时，y＝4a+2b+c＞0， ∴4a﹣2|b|+c＞0，故③正确； 如图所示，设抛物线与x轴的交点为A（1，0），B（x1，0）， 分两种情况： i）当a＞0，b＞0，c＜0时，抛物线对称轴在y轴的左侧，如图1， ∵a+b+c＝0， ∴a+b＝﹣c， 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝a﹣b﹣a﹣b＝﹣2b＜0， 当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＝4a﹣2b﹣a﹣b＝3a﹣3b＝3（a﹣b）， ∵a＞b， ∴a﹣b＞0， ∴y＞0， ∵A（1，0）， ∴AB＜3， ∴当满足am2+bm+c＜0时，即当x＝m时，y＜0， 此时﹣2＜m＜1， ∴m+3＞1， 则当x＝m+3时，y＞0， ∴a（m+3）2+b（m+3）+c＞0， ii）当a＞0，b＜0，c＜0，抛物线对称轴在y轴的右侧，如图2， ∴a＝﹣b﹣c， 当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＝﹣b﹣c﹣b+c＝﹣2b＞0， ∴AB＜2， ∴当am2+bm+c＜0时，即当x＝m时，y＜0， 此时﹣1＜m＜1， ∴m+3＞2， 则当x＝m+3时，y＞0， ∴a（m+3）2+b（m+3）+c＞0， ∴④正确； 故答案为：①③④． 41．（2024秋•硚口区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，n），B（5，n）两点，其中n为大于0的常数．下列四个结论： ①4a+b＝0； ②b2﹣4ac＞0； ③若P（，y1），Q（π，y2）两点在抛物线上，则y1＞y2； ④当m为任意实数时，b≤am2+bm． 其中正确的结论是 　①③④　 （填写序号）． 【答案】①③④． 【解答】解：根据题意得出抛物线的图象大致如下： ∵（﹣1+5）＝2， ∴2， ∴4a+b＝0，故①是正确的； 由图象得：抛物线与x轴不一定有交点，故②是错误的； ∵2﹣0.5＞π﹣2， ∴y1＞y2，故③是正确的； 当x＝2时，函数有最小值4a+2b+c＝b+c， ∴当m为任意实数时，b+c≤am2+bm+c， ∴b≤am2+bm， 故④是正确的； 故答案为：①③④． 42．（2024秋•武汉期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 4 y 0 5 9 5 ﹣16 下列结论： ①对称轴为直线x＝﹣1； ②方程ax2﹣bx+c﹣9＝0有两个不相等的实数根； ③若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2； ④满足ax2+（b﹣1）x+c＜4的x的取值范围是x＜﹣4或x＞1． 其中正确结论的序号为 　①③④　 ． 【答案】①③④． 【解答】解：根据表格数据，可知抛物线开口向下，对称轴为直线x＝﹣1，且在x＝﹣1处取得最大值9，故结论①正确： 方程 ax2﹣bx+c﹣9＝0 等价于 ax2+bx+c＝9，由于抛物线在 x＝﹣1 处取得最大值9，该方程有两个相等的实数根．故结论②正确； 由于抛物线关于直线 x＝﹣1 对称，因此对于任意点（m，y1），其关于对称轴 的对称点为 （﹣m﹣2，y2），所以y1＝y2．故结论③正确； 抛物线在x＜﹣4或x＞1 时，y值小于4，因此满足ax2+（b﹣1）x+c＜4的x的取值范围为x＜﹣4或x＞1．故结论④正确． 故答案为：①③④． 43．（2024秋•青山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（m，0），点B（3，0），与y轴交于点C．则下列四个结论： ①abc＞0； ②3a+c＞0； ③当﹣2＜x＜2时，a（x+1）2+b（x+1）+c＞0； ④点D（t，p），E（t+1，q）在抛物线上，当时，总有p＞q，则． 其中一定正确的是 　②③④　 ．（填写正确序号）． 【答案】②③④． 【解答】解：①由抛物线的开口向下知a＜0， ∵对称轴位于y轴的右侧， ∴ab＜0， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴c＞0， ∴abc＜0， 故错误； ②由题意对称轴为直线x1，得2a＜﹣b， ∵当x＝﹣1时，y＞0， ∵a﹣b+c＞0， ∴3a﹣3b+3c＞0． 又∵9a+3b+c＝0， ∴3a﹣3b+3c+（9a+3b+c）＞0，即12a+4c＞0， 化简得3a+c＞0． 故正确． ③∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（m，0），点B（3，0）， ∴二次函数y＝a（x+1）2+b（x+1）+c（a＞0）的图象与x轴交于点（m﹣1，0），（2，0）， ∵﹣2＜m＜﹣1， ∴﹣3＜m﹣1＜﹣2， ∴当﹣2＜x＜2时，a（x+1）2+b（x+1）+c＞0， 故正确． ④∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（m，0），点B（3，0）， ∴am2+bm+c＝0，9a+3b+c＝0， ∴a（m2﹣9）+b（m﹣3）＝0， ∵m≠3， ∴a（m+3）+b＝0， ∴b＝﹣a（m+3）， ∵点D（t，p），E（t+1，q）在抛物线上，总有p＞q， ∴p﹣q＝at2+bt+c﹣[a（t+1）2+b（t+1）+c]＞0， ∴﹣2at﹣a﹣b＞0， ∴﹣2at﹣a+a（m+3）＞0， ∴a（m+3）＞2at+a， ∵a＜0， ∴m+3＜2t+1， ∴t， ∵， ∴， 故正确． 故答案为：②③④． 44．（2024秋•汉南区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①b+2c＞0；②a+b＞am2+bm（m为任意实数）；③a（k2+1）2+b（k2+1）＞a（k2+2）2+b（k2+2）；④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 　①③　 ． 【答案】①③． 【解答】解：①由图象知a＜0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴对称轴为直线x＝1， ∴b＝﹣2a＞0， ∵抛物线交y轴的正半轴， ∴c＞0， ∴b+2c＞0，故①正确； ②把x＝1代入y＝ax2+bx+c， 得y＝a+b+c， 此时函数有最大值，且为y＝a+b+c， 把x＝m代入y＝ax2+bx+c， ∴y＝am2+bm+c， 则a+b+c≥am2+bm+c（m为任意实数）； ∴a+b≥am2+bm（m为任意实数）， 故②是错误的； ③当x＞1时，y随x的增大而减小， ∵1＜k2+1＜k2+2， 把x＝k2+1，x＝k2+2分别代入y＝ax2+bx+c， 得， 则y1＞y2， 即a（k+1）2+b（k+1）+c＞a（k+2）2+b（k+2）+c， ∴a（k2+1）2+b（k2+1）＞a（k2+2）2+b（k2+2），故③正确； ④∵， ∴Δ＝（b）2﹣4a（c﹣m）＝b2﹣4ac+2am， ∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）， ∴Δ＝b2﹣4ac＞0，b＝﹣2a， ∴， 令， ∵， ∴开口向上，顶点坐标为（﹣4a，﹣4a2）， ∵﹣4a2＜0， ∴对于任意实数m，不一定都大于0， ∴一元二次方程不一定有两个不相等的实数根， 故④是错误的， 故答案为：①③． 45．（2024秋•江汉区期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0，且4a﹣2b+c＝0，则下列四个结论：①c＞0；②b﹣3a＞0；③若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根x1，x2（且x1＜x2），则x2＜m；④若0＜m＜2，抛物线过点（0，1），且s＝a+b+c，则．其中正确的结论是 　①②④　 （填序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：∵4a﹣2b+c＝0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（﹣2，0）， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）交y轴的正半轴， ∴c＞0， 故①正确； 由题意可知x＝﹣1时，y＞0， ∴a﹣b+c＞0， ∵4a﹣2b+c＝0， ∴c＝2b﹣4a， ∴a﹣b+2b﹣4a＞0， 即b﹣3a＞0， 故②正确； ∵若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根x1，x2（且x1＜x2），若b＞0，则x2＜m； 若b＜0，则x2＞m， 若b＝0，则x2＝m． 故③不正确； ∵抛物线过点（0，1）， ∴c＝1． ∵4a﹣2b+c＝0， ∴ab， ∴s＝a+b+cb+1b． ∵已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0，（﹣2，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x， ∵0＜m＜2， ∴0， ∴抛物线的对称轴在y轴的左侧， ∴a，b同号， ∵a＜0， ∴b＜0， ∴b， ∴． ∴④的结论正确． 故正确的有：①②④． 故答案为：①②④． 46．（2024秋•江岸区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）开口向上，过A（﹣2，0），B（m，0）两点（其中0＜m＜1）．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③若，则当时，y随x的增大而增大；④关于x的不等式amx2+bmx＞﹣cx的解集为x＞m或x＜0．其中正确的是 　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：由题意可得：a＞0， ∵抛物线过A（﹣2，0），B（m，0）两点， ∴对称轴为直线， ∵0＜m＜1， ∴， ∴对称轴在y轴左侧， ∴， ∴b＞0， ∵抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）开口向上， ∴抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）与y轴的交点在y轴负半轴， ∴c＜0， ∴abc＜0，故①正确； ∵抛物线过B（m，0），且0＜m＜1， ∴当x＝1时，y＝a+b+c＞0，故②正确； ∵当x＝2时，y＝4a+2b+c＝0， ∴c＝﹣4a﹣2b， ∵， ∴， ∴﹣4a﹣2b＜﹣a， ∴， ∴， ∴， ∵抛物线开口向上， ∴在对称轴右侧，y随x增大而增大，但是不能得到对称轴在直线左边或者与直线重合，故③错误； ∵amx2+bmx＞﹣cx， ∴， ∴， ∴， 令，则二次函数和直线都经过点（0，c）和B（m，0）， ∴不等式得解集为x＜0或x＞m，故④正确； ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 47．（2024秋•武汉期中）如图，函数G图象是由y＝x2+2x+2（x≤0）的图象C1和它关于（0，2）成中心对称的图象C2组成．下列说法：①函数G图象关于y轴对称；②当﹣1≤x≤1时，函数G随x的增大而增大；③直线y＝k与G图象有三个交点，则1＜k＜3．且k≠2；④已知不重合的两点A（a，ya），B（b，yb）在函数G的图象上，且a＜0＜b，a+b＝0，若当a≤x≤b时，函数G的最大值和最小值为均为定值．则a的取值范围为．其中正确的命题有 　②④　 （填序号）． 【答案】②④． 【解答】解：图象C1：y＝x2+2x+2＝（x+1）2+1，（x≤0），其顶点坐标为（﹣1，1）， 图象C1和图象C2组成中心对称图形，对称中心为点（0，2）， ∴图象C2的开口与图象C1方向相反，大小相同，其顶点坐标为（1，3）， ∴图象，（x＞0）， 对于函数G，当x＝1时，y＝3，当x＝﹣1时，y＝1， ∴函数G图象不关于y轴对称，故①不正确； 结合图形，当﹣1≤x≤1时，函数G随x的增大而增大，故②正确； 直线y＝k与G图象有三个交点，则1＜k＜3，故③不正确； ∵a＜0＜b，a+b＝0， ∴A（a，ya）B（b，yb）关于（0，2）对称， 当（x+1）2+1＝﹣1时，x1，当（x﹣1）2+3＝1时，x1， ∵当a≤x≤b时，函数G的最大值和最小值为均为定值，结合图形可知，当﹣1＜a＜0，0＜b＜1时，函数c的最大值和最小值不为定值，不符合题意； 当a1，时，函数G的最大值和最小值不为定值，不符合题意； ∴，此时1≤y≤3，函数G的最大值和最小值均为定值，故④正确； 故答案为：②④． 48．（2024秋•硚口区期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点（﹣2，0），且c＜0． 下列四个结论： ①4a﹣2b+c＝0； ②当x＜﹣2时，y＞0； ③若点（1，1），（2，t）均在抛物线上，则； ④不等式t（at+b）≥a+b对任意的实数t都成立，则． 其中正确的结论是 　①③④　 （填写序号）． 【答案】①③④． 【解答】解：∵抛物线经过（﹣2，0）， ∴4a﹣2b+c＝0， 故①正确，符合题意； 当a＞0时，如图1，此时当x＜﹣2时，y＞0， 当a＜0时，如图2，此时两个交点均在y轴左侧，都有可能是（﹣2，0）， 但是不论哪个交点是（﹣2，0），均不满足当x＜﹣2时，y＞0， 故②错误，不符合题意； 根据题意可得， ， 消去a和b整理可得c， ∵c＜0， ∴0， 解得t， 故③正确，符合题意； ∵t（at+b）≥a+b， ∴at2+bt≥a+b， ∴at2+bt+c≥a+b+c， ∴当x＝1时函数有最小值，即抛物线开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴a＞0，x1， ∴b＝﹣2a， 由可得，， ∴， 故④正确，符合题意； 故答案为：①③④； 49．（2024秋•汉阳区期中）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … m n 0 ﹣3 h … 其中，h＜﹣3，现有以下表述： ①当x＞0时，y随x的增大而减小； ②图象不经过第二象限； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有一个小于3的正数根； ④当m+n＜﹣13时． 其中正确的结论序号是 　②③④　 ． 【答案】②③④． 【解答】解：①∵x＝0，y＝0，x＝3，y＝﹣3， ∴y＝ax2+（﹣1﹣3a）x， 无论a为何值，函数恒过定点（3，﹣3）， ∵n，h＜﹣3， ∴25a﹣5﹣15a＜﹣3，4a+2+6a， ∴0＜a或a＜0， ∴对称轴为直线x0， ∴当x0时，y随x的增大而减小，故此项不正确； ②∵﹣4＜﹣2时，，且经过（0，0）， 由①得：图象不经过第二象限；故此项正确； ③当x＝3时，y＝﹣3＜0，当x＝0时，y＝0， 由②得：关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有一个小于3的正数根，故此项正确； ④∵当x＝3时，y＝﹣3，当x＝0时，y＝0， ∴c＝0，9a+3b＝﹣3， ∴b＝﹣3a﹣1， ∵当x＝﹣4时，y＝m，当x＝﹣2时，y＝n， ∴16a﹣4b＝m，4a﹣2b＝n， ∴m+n＝20a﹣6b， ∴20a﹣6（﹣3a﹣1）＜﹣13，解得：，故此项正确； 故答案为：②③④． 50．（2024秋•洪山区期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点（m﹣6，n）与点（4﹣m，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+c＜0；④当x＝﹣t2﹣2（t为常数）时，y＜c．其中正确结论的序号是 　①②　 ． 【答案】①②． 【解答】解：∵点（m﹣5，n）与点（3﹣m，n）也在该抛物线上， ∴该抛物线的对称轴为：x1， ∵A（﹣3，0）， ∴B（1，0）， 故①选项符合题意； ∵图象开口向下，与x轴交于A，B两点， ∴抛物线y＝ax2+bx+c与y＝﹣2有两个交点， ∴方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根， 故②选项符合题意； 将A，B点坐标代入抛物线解析式，得， 得， ∴ a+ca﹣3aa， ∵a＜0， ∴a＞0，即③a+c＞0；故③选项不符合题意； ∵x＝﹣t2﹣2≤﹣2，抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴当x＝﹣2时和x＝0时函数值相等， 当x＝0时，y＝c， ∴当x＝﹣2时，y＝c， ∴当x＝﹣t2﹣2时，y≥c， 故④选项不符合题意； 故答案为：①②． 51．（2024秋•武昌区期中）已知点（m，n）在抛物线y＝ax2+2ax+c上，下列结论：①若a＝c，则抛物线与x轴只有一个公共点；②若抛物线与x轴的公共点（x1，0）（x2，0）满足，则c＝﹣2a；③当﹣5≤m≤0时，n的取值范围是﹣1≤n≤3，则a的值是±；④若点（m，p）在直线y＝﹣ax+c﹣2a上，当﹣2＜m＜﹣1时，p＞n，则抛物线开口向上．其中正确结论是 　①②④　 .（填序号） 【答案】①②④． 【解答】解：①若a＝c，则抛物线为y＝ax2+2ax+a， ∵y＝ax2+2ax+a＝a（x+1）2， ∴抛物线的顶点为（﹣1，0）， ∴抛物线与x轴只有一个公共点，故①正确； ②若抛物线与x轴的公共点（x1，0）（x2，0）， ∴x1，x2是方程ax2+2ax+c＝0的两个根， ∴x1+x2＝﹣2，x1x2， ∵， ∴1，即， ∴c＝﹣2a，故②正确； ③抛物线y＝ax2+2ax+c的对称轴为直线x1， ∵当﹣5≤m≤0时，n的取值范围是﹣1≤n≤3， ∴当a＞0时，x＝﹣1时，y＝﹣1，x＝﹣5时，y＝3，即，解得a； 当a＜0时，x＝﹣1时，y＝3，x＝﹣5时，y＝﹣1，即，解得a， ∴a的值是±，故③错误； ④∵点（m，p）在直线y＝﹣ax+c﹣2a上， ∴p＝﹣am+c﹣2a， ∵点（m，n）在抛物线y＝ax2+2ax+c上， ∴n＝am2+2am+c， ∵p＞n， ∴p﹣n＞0，即﹣am+c﹣2a﹣（am2+2am+c）＞0， 整理得：﹣a（m+1）（m+2）＞0， ∵﹣2＜m＜﹣1， ∴m+1＜0，m+2＞0， ∴﹣a＜0，即a＞0， ∴抛物线开口向上，故④正确． 故答案为：①②④． 52．（2024秋•武汉期中）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的一部分，其对称轴是直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），1＜c＜2，有下列结论：①abc＜0：②；③若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜2；④若，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1．其中正确的结论有　①②④　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：由所给函数图象可知， a＜0，b＞0，c＞0， 所以abc＜0． 故①正确． 因为抛物线的对称轴为直线x＝1， 所以， 则a． 又因为抛物线与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0）， 所以a﹣b+c＝0， 即c， 所以b． 因为1＜c＜2， 所以， 即． 故②正确． 因为m（am+b）＜4a+2b， 所以am2+bm+c＜4a+2b+c． 所以am2+bm+c＜c． 又因为当x＝0或2时，y＝c，且抛物线的开口向下， 所以当m＜0或m＞2时，am2+bm+c＜c， 即若m（am+b）＜4a+2b，则m＜0或m＞2． 故③错误． 因为， 所以2a（x1+x2）（x1﹣x2）﹣b（x1﹣x2）＝0， 则（x1﹣x2）[2a（x1+x2）﹣b]＝0． 因为x1≠x2， 所以2a（x1+x2）﹣b＝0， 则． 因为， 所以， 即x1+x2＝﹣1． 故④正确． 故答案为：①②④． 53．（2024秋•江岸区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①2a+b＝0；②9a+3b≤﹣c；③若点A（﹣3，y1）、点，点C（4，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．其中一定正确的结论有　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：①由题意可知：对称轴x＝1， ∴， ∴2a+b＝0，故①正确； ②图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1， ∴图象也过点（3，0），即当x＝3时，y＝0， ∴y＝9a+3b+c＝0，即9a+3b＝﹣c，故②正确； ③（4，y3）关于直线x＝1的对称点为（﹣2，y3）， 由图可知：x＜1时，y随着x的增大而增大， 由于， ∴y1＜y3＜y2，故③错误； ④设y＝a（x+1）（x﹣3），y＝﹣3， 由于图象可知：直线y＝﹣3与抛物线y＝a（x+1）（x﹣3）有两个交点， ∴方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣3的两根为x1和x2， ∴x1＜﹣1＜3＜x2，故④正确； 综上，正确的只有①④， 故答案为：①②④． 54．（2024秋•江夏区校级月考）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过B（﹣1，0）；②2a+c＞0；③点M1（t+2，y1），M2（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则；④若m，n（m＜n）是方程ax2﹣2ax+c＝p的两个根，其中p＞0，则﹣3＜m＜n＜1．其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0）， ∴9a﹣6a+c＝0， ∴3a+c＝0， 当x＝﹣1时，a+2a+c＝0， ∴3a+c＝0， ∴该抛物线一定经过B（﹣1，0），故①正确． ②∵3a+c＝0， ∴c＝﹣3a， ∵c＞0， ∴﹣3a＞0， ∴a＜0， ∵3a+c＝0， ∴2a+c＝﹣a， ∴2a+c＞0．故②正确． ③∵抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵a＜0，y1＞y2， ∴， 解得：，故③错误． ④∵m，n（m＜n）是方程ax2﹣2ax+c＝p的两个根， ∴m，n是抛物线与直线y2＝p交点的横坐标， ∵p＞0， ∴如图： 由图得：﹣3＜m＜n＜1．故此项正确． 故答案为：①②④． 55．（2024秋•武昌区校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间．则下列结论： ①a+b+c＜0； ②3a+c＜0； ③一元二次方程3ax2+（3b﹣c）x＝0的两根为x1、x2，则|x1﹣x2|＜3； ④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+（m+1）b＜0恒成立． 则上述说法正确的是 　①②③　 ．（填序号） 【答案】①②③． 【解答】解：①由题意得，抛物线与x轴的另一个交点在点（0，0）和（1，0）之间， 由图象可知，当x＝1时，y＜0， ∴a+b+c＜0，故说法①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线x＝﹣1， ∴， ∴b＝2a， 由①知：a+b+c＜0， ∴a+2a+c＜0即3a+c＜0，故说法②正确； ③由题意得：抛物线y＝ax2+bx+c与直线的交点的横坐标为x1、x2， ∵经过点（﹣3，0），（0，c），抛物线y＝ax2+bx+c经过点（0，c）且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间， ∴﹣3＜x1＜0，x2＝0或x1＝0，﹣3＜x2＜0， ∴|x1﹣x2|＜3，故说法③正确； ④∵a＜0， ∴当x＝﹣1时，函数y＝ax2+bx+c有最大值， ∴对于任意实数m，am2+bm+c≤a﹣b+c， ∴a（m2﹣1）+（m+1）b≤0，故说法④错误； ∴上述说法正确的是①②③． 故答案为：①②③． 56．（2024秋•硚口区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）与x轴交于（﹣1，0），（m，0）两点，其中1＜m＜2，下列四个结论： ①abc＞0； ②a+b+c＜0； ③ax2+bx+c＞cx+c的解集是﹣1＜x＜0； ④A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线上，若，x1＞x2，总有y1＞y2，则．其中正确的结论是 　①②④　 （填写序号）． 【答案】①②④． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）与x轴交于（﹣1，0），（m，0）两点， ∴对称轴为直线， ∵其中1＜m＜2， ∴0＜m﹣1＜1， ∴， ∴， ∵a＞0， ∴b＜0， 将（﹣1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0， ∴c＝b﹣a＜0， ∴abc＞0， ∴①正确； ∵1＜m＜2，而抛物线开口向上，与x轴有两个交点， ∴将（1，0）代入y＝ax2+bx+c得：a+b+c＜0， ∴②正确； 对于二次函数y＝ax2+bx+c与x轴一个交点为（﹣1，0），与y轴交于（0，c）， 而设直线y＝cx+c，则与x轴一个交点为（﹣1，0），与y轴交于（0，c）， 画出大致图象可得： ∴当ax2+bx+c＞cx+c时， 解集为：x＜﹣1或x＞0， ∴③错误； 对于④：当A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴左侧时，x1＞x2，由y随着x的增大而减小判断得y2＞y1，与条件矛盾，故舍； 当A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴右侧时，条件恒满足； 当A（x1，y1），B（x2，y2）在对称轴异侧，只能点A在右侧，点B在左侧，则由题意得点A在点B上方，点A到对称轴的距离大于点B到对称轴的距离， ∴， ∴x1+x2＞m﹣1， 即当x1+x2＞m﹣1时，y1＞y2， 而由题意得：时，y1＞y2， ∴， ∴， ∴， ∴④正确， ∴正确的有①②④， 故答案为：①②④． 57．（2024秋•江岸区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 y ⋯ t m ﹣2 ﹣2 n 且当时，y＞0．下列结论：①a+b＝0；②x＝3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的一个根；③点（x1，y1）和（x2，y2）都在抛物线上，且x1+x2＞1，则当x1＜x2时，y1＞y2；④3（m+n）＞20．其中正确的结论（序号）有 　①②④　 ． 【答案】①②④． 【解答】解：从表格知，图象经过点（0，﹣2），（1，﹣2）， ∴对称轴为直线， ∴， ∴b＝﹣a，即a+b＝0， ∴①正确，符合题意； 从表格知，经过点（﹣2，t），而对称轴为直线， ∴也经过点（3，t）， ∴x＝3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的一个根， ∴②正确，符合题意； 由表格知，抛物线经过点（0，﹣2），代入y＝ax2+bx+c得， c＝﹣2， ∴解析式为y＝ax2﹣ax﹣2， ∵时，y＞0， ∴， ∴， ∴y1﹣y2ax1﹣2ax2+2 ＝a（x1﹣x2）[（x1+x2﹣1）]， ∵a＞0，x1+x2＞1，则当x1＜x2时， 得到y1﹣y2＜0， ∴③错误，不符合题意； 由上知解析式为y＝ax2﹣ax﹣2，当x＝﹣1时，y＝2a﹣2＝m， 当x＝2时，y＝2a﹣2＝n， ∴两式相加得到m+n＝4a﹣4， ∴3（m+n）＝12a﹣12， 而， ∴， ∴④正确，符合题意； 故答案为：①②④． 58．（2023•蔡甸区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1，x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若抛物线与y轴的交点在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间，则a的取值范围是．其中正确结论的是 　②③④　 ． 【答案】②③④． 【解答】解：∵抛物线的开口向上，则a＞0，对称轴在y轴的左侧，则b＞0，交y轴的负半轴，则c＜0， ∴abc＜0，①错误； ∵抛物线与x轴的交点在正、负两个半轴上，且对称轴为直线x＝﹣2， ∴x＝﹣4时，y＜0， ∴16a﹣4b+c＜0，故②正确； ∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a）， ∴2，， ∴b＝4a，c＝﹣5a， 抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a， 抛物线y＝ax2+4ax﹣5a交x轴于（﹣5，0），（1，0）， ∴若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1两个根x1和x2且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1．③正确； ∵抛物线的解析式为y＝ax2+4ax﹣5a，抛物线与y轴的交点在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间， ∴﹣3＜﹣5a＜﹣2， ∴，故④正确． 故答案为：②③④． 59．（2021秋•武昌区月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①0；②2b﹣4ac＝1；③a；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的结论是 　②③　 （填写序号）． 【答案】②③． 【解答】解：∵抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交于负半轴， ∴a＞0，b＜0，c＜0， ∴0， ∴①错误． ∵当x＝0时，y＝c， ∴C（0，c）， ∵OB＝2OC， ∴B（﹣2c，0）． ∴0＝4ac2﹣2bc+c＝0 ∴c（4ac﹣2b+1）＝0， ∵c＜0， ∴4ac﹣2b+1＝0， ∴2b﹣4ac＝1． ∴②正确． ∵抛物线过点A（﹣2，0），B（﹣2c，0）． 抛物线可以表示为：y＝a（x+2）（x+2c） ＝ax2+2a（c+2）x+4ac． ∴4ac＝c． ∴4a＝1， ∴a， ∴③正确． 如图： ∵a，2b﹣4ac＝1， ∴c＝2b﹣1， 故原抛物线的解析式为：yx2+bx+（2b﹣1）．， 其顶点坐标为：（﹣2b，﹣b2+2b﹣1）， ∵点C（0，2b﹣1），OB＝2OC， ∴A（﹣2，0），B（2﹣4b，0），对称轴为：直线x＝﹣2b， 设直线AN与BM交于点P，由抛物线的对称性知点P在抛物线的对称轴上， 要使AN⊥BM，∠APB＝90°， ∴△APB是等腰直角三角形， 设抛物线对称轴与x轴交于点Q，则PQAB[2﹣4b﹣（﹣2）]＝2﹣2b， ∴P（﹣2b，2b﹣2）， 且2b﹣2＞﹣b2+2b﹣1， ∴b2＞1， ∴b＞1或b＜﹣1 ∵b＜0， ∴b＜﹣1， ∴④错误． 故答案为：②③． 60．（2024•武汉模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），且4a﹣2b+c＝0．下列结论：①若a＝b，则抛物线经过点（1，0）； ②若抛物线的对称轴为直线x＝−，则方程cx2+2bx+4a＝0一定有实数根x＝2；③若4ac−b2＜2b−c＜0，则方程ax2+bx+c−1＝0有两个不相等的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若b＞a＞0，则当x1＜x2＜−2时，y1＞y2．其中结论正确的是 　①②③　 ．（填序号） 【答案】①②③． 【解答】解：∵a＝b， ∴对称轴为直线x， ∵4a﹣2b+c＝0， ∴当x＝﹣2 时，y＝0， ∴抛物线经过点 （﹣2，0）， ∴抛物线经过点（1，0），故①正确； ∵， ∴b＝a， ∵4a﹣2b+c＝0， ∴c＝﹣2a， ∴原方程为﹣2ax2+2ax+4a＝0． ∵a≠0， ∴x2﹣x﹣2＝0． ∴方程一定有实数根x＝2，故②正确； ∵4a﹣2b+c＝0， ∴2b﹣c＝4a＜0． ∴a＜0，1，即抛物线开口向下，且顶点纵坐标大于1． ∴抛物线 y＝ax2+bx+c 与直线y＝1有两个交点，即方程 ax2+bx+c＝1 有两个不相等的实数根，故③正确； ∵b＞a＞0， ∴1． 设抛物线与x轴的另一交点为（m，0），则m+（﹣2）1， ∴m＜1． 若﹣2≤m＜1，当x＜﹣2时，y随x的增大而减小， ∴当x1＜x2＜﹣2 时，y1＞y2； 若m＜﹣2，则由图象知 y1 与 y2 的大小关系无法确定，故④错误． 故正确的有：①②③． 故答案为：①②③． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/2 8:48:53；用户：陈老师；邮箱：orFmNt0ALlhXWmlRPd3BByUm_TL4@weixin.jyeoo.com；学号：4788380 学科网（北京）股份有限公司 $$ 二次函数图象与系数的关系（武汉专用） 1．（2025•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，1）两点，且0＜m＜1．下列四个结论： ①b＞0； ②若0＜x＜1，则a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＞1； ③若a＝﹣1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝2无实数解； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若x1+x2，x1＞x2，总有y1＜y2，则0＜m． 其中正确的是 　 　 （填写序号）． 2．（2024•武汉模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴的正半轴交于点C，它的对称轴为直线x＝﹣1，有下列结论： ①bc＜0； ②4a﹣b﹣2c＜0； ③当x≤﹣2时，y≥c； ④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2． 其中，正确的是　 　 ．（填写序号）． 3．（2024•武汉模拟）已知二次函数y＝a（x+1）（x﹣m）（a≠0，1＜m＜2），当x＜﹣1时，y随x的增大而增大，下列结论：①当x＞2时，y随x的增大而减小；②若图象经过点（0，1），则﹣1＜a＜0；③若（﹣2024，y1），（2024，y2）是函数图象上的两点，则y1＜y2；④若图象上两点（，y1），（n，y2）对一切正数n，总有y1＞y2，则1＜m．其中结论正确的是 　 　 ．（填序号） 4．（2024•武汉模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0）．下列说法中：①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝1，x2＝﹣3；②b2＞4ac；③对于a的每一个确定的值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＜0）的根为整数，则p的值只有两个；④若点C（﹣2，y1），在该二次函数的图象上，则y1＞y2．正确结论的序号是 　 　 ． 5．（2024•青山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）经过点（﹣1，0），（m，0）和，且﹣4＜m＜﹣2．下列结论： ①bc＞0； ②（2a﹣c）（4a﹣c）＜0； ③当n＝1时，若点（﹣3.5，t）在抛物线上，则t≥1； ④若关于x的方程ax2+bx+c＝x+1有两个相等的实数根，则． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写序号） 6．（2024•蔡甸区校级模拟）如图，已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点B在（0，﹣2）和（0，﹣1）之间（不包括这两点），对称轴为直线x＝1．下列结论：①bc＞0；②4ac﹣b2＜﹣4a；③；④关于x的方程ax2+bx+c+2＝0一定有两个不相等的实数根．其中正确的结论是 　 　 .（填写序号） 7．（2024•江汉区校级模拟）已知：二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0），过A（﹣1，0），B（m，0）（m＞0），下列结论：①c＝am；②m＝1；③关于x的一元二次方程a（x﹣2）2+bx+c﹣2b＝0为两根为x1＝1，x2＝m+2；④am2+（2a+b）m+a+b+c＜0．其中正确的结论是 　 　 ．（只填序号） 8．（2024•江汉区校级模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝﹣1，下列结论中：①abc＞0；②3a+c＞0；③（）24；④当图象经过点（，2）时，方程ax2+bx+c﹣2＝0的两根为x1、x2（x1＜x2），则x1+2x2，其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 9．（2024•洪山区模拟）对于函数y＝|ax2+x|+c（a，c为常数且a≠0）有下列结论： ①当c＝2时，该函数图象经过定点（0，2）； ②若a＝1，则函数关于直线x对称；③当x＞0时，y随x的增大而增大；④当a＜0时，若图象与直线y＝m有2个以上的交点，则c＜mc． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写序号） 10．（2024•武昌区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴的两交点的横坐标为m，n，满足﹣1＜m＜0＜n．下列结论： ①a﹣b+c＞0； ②若a＞0，当时，y随x的增大而减小； ③若a（x﹣m）（x﹣n）﹣1＝0有一个根是大于m的负数，则b2﹣4ac＜﹣4a； ④． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写序号） 11．（2024•江汉区三模）已知抛物线y＝a（x﹣2）2+k（a，k为常数）的x与y的部分对应值如表所示： x ﹣2 1 4 5 t y m n p q m 下列四个结论： ①t＝6； ②若ak＞0，则该抛物线与x轴没有交点； ③若n＞p，则m＞q； ④若n•p＝0，则m•q＞0， 其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 12．（2024•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣1，与x轴有两个交点，与y轴的正半轴相交，有下列结论：①abc＞0；②c﹣a＞0；③当x＝﹣n2﹣2时，y≥c；④若x1，x2（x1＜x2）是方程ax2+bx+c＝0的两根，则方程a（x﹣x1）（x﹣x2）﹣1＝0的两根m，n（m＜n）满足m＜x1且n＞x2；其中，正确结论是 　 　 ． 13．（2024•洪山区模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过点（2，0）和（m，0），且﹣3＜m＜2，下列结论：①abc＞0；②9a+c＜﹣3b；③；④若方程a（x﹣m）（x﹣2）﹣4＝0有两个不相等的实数根，则4ac﹣b2＞16a．其中正确的是 　 　 .（填写序号） 14．（2024•江夏区模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线x＝﹣2，且过点（1，0）．现有以下结论： ①abc＜0； ②对于任意实数m，都有2b+bm≤4a﹣am2； ③关于x的不等式ax2+（b+c）x＞0的解集为0＜x＜1； ④若点A（x1，y1）、B（x2，y2）是图象上任意两点，且|x1+2|＜|x2+2|，则y1＜y2； 其中正确的结论是 　 　 ． 15．（2025春•江夏区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且c＞0）图象开口向上，过点A（﹣2，﹣2），B（n，﹣2）两点，且﹣4＜n＜﹣3．下列四个结论： ①abc＞0； ③b2﹣4ac＜0； ③若点（﹣3，t）在该抛物线上，则t＜﹣2； ④若关于x的方程ax2+（b﹣1）x+c＝0有两个相等实数根，则． 其中正确的是 　 　 ． 16．（2024秋•江夏区校级期末）抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①abc＞0；②4a﹣2b+c＜0；③抛物线上两点A（x1，y1）与B（x2，y2），若有x1＜x2且x1+x2＜﹣2，则y1＜y2；④直线y＝2x+2与抛物线y＝ax2+bx+c两个交点的横坐标分别为x3与x4，则x3+x4+x3•x4＝﹣5．其中结论正确的是 　 　 ． 17．（2025•武汉模拟）实数a和b，若a≥b，我们定义Max（a，b）＝a，比如Max（1，3）＝3．已知关于x的函数y＝Max（﹣x2+4x，kx），下列结论：①函数图象经过原点；②若k＜0，则方程y＝4有三个不等实根；③若k＝1，则x≥1时，y有最小值3；④若x≥0时，y的值随x的值增大而增大，则k≥2．其中正确的结论是　 　 （填写序号）． 18．（2024秋•汉阳区校级期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过点（2，0），且2＜c＜3．下列个结论中正确的是 　 　 （填写序号）． ①方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根； ②若对任意的实数m，都有bm﹣b≥am2﹣a，则； ③若抛物线经过点（﹣1，0），在抛物线上有且仅有两个点到x轴的距离等于n（n＞0），则； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，且都在y轴右侧，若4a+c＞0，则（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0． 19．（2023秋•武昌区校级月考）已知抛物线y＝a（x+1）2+n（a＜0，n为常数）的一般形式为：y＝ax2+bx+c（a＜0，a，b，c为常数）．该抛物线与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间．则下列结论： ①a+b+c＜0； ②2a﹣b＝0； ③一元二次方程ax2+bx+c＝0的两根x1，x2，则x1+x2＝2x； ④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+（m﹣1）b≤0恒成立． 其中正确的说法有 　 　 （填序号）． 20．（2024秋•武汉期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）经过A（x1，0），B（x2，0）两点，且2＜x1＜3＜x2＜4．下列四个结论： ①c＞0；②a+b+c＞0；③若a＝1，则关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝﹣1有实数解；④若b+6a＝0，点M（m，y1），N（n，y2）在抛物线上，﹣1＜n＜4，若对于任意的m都有n使得y1＝y2，则m的取值范围为﹣1＜m＜7．其中正确的是 　 　 （填序号）． 21．（2024•武汉模拟）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过（﹣1，1），（m，0）两点，且2＜m＜3，下列结论： ①c＞1； ②当x时，y随x的增大而减小； ③关于x的不等式ax2+bx＜（c﹣1）x的解集为x＞0或x＜﹣1； ④2a+c． 其中正确的结论是 　 　 .（填写序号） 22．（2024秋•江夏区校级期中）抛物线y＝﹣x2+nx+m交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，顶点为点D，将其向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是 　 　 ； ①a+b＝2； ②对于任意实数t，总有﹣t2+nt＜﹣1+n； ③抛物线上有两点P（x1，y1）和Q（x2，y2），若x1＜1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＞y2； ④点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G，F分别在x轴和y轴上，当m＝2时，四边形EDFG周长的最小值为6． 23．（2024秋•武昌区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＜0）经过A（﹣2，0），B（m，0），且2＜m＜3，顶点为D点，下列结论： ①abc＜0； ②9a+6b+c＜0； ③不等式的解集为﹣2＜x＜0； ④连接DA，DB，若45°≤∠DAB≤60°，则． 其中正确的结论是　 　 ． 24．（2022秋•汉阳区期中）现有y是关于x的二次函数y＝2mx2+（1﹣m）x﹣1﹣m，则下列描述正确的是 　 　 ． ①当m＝﹣1时，函数图象的顶点坐标为（，）； ②当m＞0时，函数图象在x轴上截得的线段的长度大于； ③当m≠0时，函数图象总过定点； ④若函数图象上任取不同的两点P1（x1，y1）、P2（x2，y2），则当m＜0时，函数在x时一定能使0成立． 25．（2023春•江岸区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），其图象经过点A（﹣1，0）．下列四个结论： ①抛物线与x轴一定有两个不同的交点； ②若b＝﹣4a，则抛物线经过点（5，0）； ③若抛物线与x轴交于点B（不与A重合），交y轴于点C且OB＝OC，则a＝1； ④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线L，若当x1＞x2＞1时，总有y1＜y2，则3a+c≤0．其中正确的是 　 　 （填写序号）． 26．（2023秋•汉阳区期中）设二次函数y＝a（x﹣m）（x﹣m﹣k）（a＞0，m，k是实数），现有以下四个结论： ①抛物线与x轴交点坐标分别为（m，0）、（m+k，0）； ②当k＝2时，函数y的最小值为﹣a； ③当k＝2时，直线y＝nx﹣n•（m+1）（n为不为0的任意实数）与抛物线总有两个不同的交点； ④当k＝2时，只有在﹣2＜m＜0时才能保证抛物线与y轴交点在负半轴． 其中正确的有 　 　 ． 27．（2022•新洲区校级模拟）关于二次函数y＝ax2﹣4ax﹣5（a≠0）的四个结论：①对任意实数m，都有x1＝2+m与x2＝2﹣m对应的函数值相等；②无论a取何值，抛物线必过两个定点；③若抛物线与x轴交于不同两点A，B，且AB≤6，则a；④若3≤x≤4，对应y的整数值有4个，则a≤﹣1或1≤a．其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 28．（2021秋•江岸区校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的对称轴是直线x＝1，图象与x轴交于点（﹣1，0），下列四个结论： ①方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣1，x2＝3： ②3a+c＝0； ③对于任意实数t，总有at2+bt＞a+b； ④不等式ax2+（b﹣k）x+c﹣k≥0（k为常数）的解集为x≤﹣1或x≥3． 其中正确的结论是 　 　 .（填写序号） 29．（2024秋•江汉区期末）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过（﹣1，﹣1），（1，0），（m，0）三点，与y轴的交点在正半轴．下列结论：①﹣1＜m＜0；②；③抛物线与直线y＝kx+k﹣1的一个交点的横坐标为t，若t＞2，则k＞0；④当a≤﹣1时，则方程2ax2+2bx+2c﹣1＝0必有两个不相等的实数根．其中正确的是 　 　 （填写序号）． 30．（2024秋•武汉期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c为常数）经过点（﹣1，0），（m，0），且满足1＜m＜2，2＜c＜3．下列四个结论：①abc＜0；②2a+c＜0；③抛物线上的两点M（﹣2，y1），，当y1≤y2时，则；④关于x的方程无实数根．其中一定正确的是　 　 ．（填写序号） 31．（2024秋•武汉期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）与x轴两个交点坐标分别为（﹣3，0），（1，0），下列说法：①抛物线的对称轴为x＝﹣1；②ac＜0；③若a＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上，且|x1+1|＞|x2+1|，则y1﹣y2＜0；④当﹣2≤x≤2时，y＝ax2+bx+c的最小值为﹣3，则a的值为或．其中一定正确的结论有　 　 （填写序号）． 32．（2024秋•洪山区期末）如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a＜0）的图象与x轴的正半轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．对称轴为直线x＝2，且OA＝OC，下列结论：①4a+b＝0；②4a＞c；③若ax2+bx+c＞x+c，则0＜x＜﹣c；④若点E（x1，y1）、点F（x2，y2）在该二次函数图象上，当x1+x2＞4且x1＜x2时，则y1＞y2．其中正确的结论是 　 　 ．（填写正确结论的序号） 33．（2024秋•汉阳区期末）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a＜0）过（﹣1，0）和（m，0）两点，且3＜m＜4，下列四个结论：①c＞0；②；③若关于x的方程a（x+1）（x﹣m）＝3有实数根，则4ac﹣b2≥12a；④若抛物线过点（1，4），则．其中正确的结论序号有 　 　 ． 34．（2023秋•洪山区期中）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1，以下四个结论：①abc＞0；②8a+c＜0；③对于任意实数m，有am2+bm≥﹣4a﹣c；④对于实数，若（n，y1），（n+1，y2）为抛物线上两点，则y1＜y2； 其中正确的是 　 　 （填写序号）． 35．（2024秋•江岸区期中）已知二次函数y＝x2﹣2ax+a（a为常数），下列四个结论：①若a＞1，则该二次函数图象与x轴有两个交点；②该二次函数图象经过定点；③该二次函数图象的顶点始终不在y轴的正半轴上；④若a＞0，该二次函数图象与直线y＝x交于点A（x1，y1），B（x2，y2），则|x1﹣x2|＜2a．其中正确的结论序号是 　 　 ． 36．（2024春•洪山区校级期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数且a≠0）经过A（4，0）、B（﹣2，0）、C（1，n）三点，且n＞0，下列四个结论：①abc＜0；②当x＞1时，y随x增大而减少；③一元二次方程ax2+bx+c＝0有一个实数根；④不等式的解集是﹣2＜x＜1．其中正确的结论是　 　 （填写序号）． 37．（2024•武汉模拟）已知关于x的函数y＝x2﹣|2x﹣2|﹣3，有下列结论： ①当x＜﹣1时，y随x增大而减小； ②函数的图象是轴对称图形； ③点M（x1，m），N（x2，m）是函数的图象上不同的两点，则x1+x2＜2； ④函数的最小值为﹣6． 其中正确的结论是 　 　 ．（填写序号） 38．（2024秋•江汉区校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向上，经过A（﹣2，﹣2），B（t，﹣2）两点，且0＜t＜2．①ab＞0；②若a（x+3）2+b（x+3）+c＞﹣2，则x＜﹣5；③若a，则c＜﹣2；④若点C（﹣5，y1），D（3，y2）在抛物线上，则﹣2＜y2＜y1．以上结论正确的是 　 　 ．（填序号） 39．（2024秋•洪山区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数）开口向下，过A（﹣1，0），B（m，0）两点，且1＜m＜2．下列四个结论： ①b＞0； ②若，则3a+2c＜0； ③若点M（x1，y1），N（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且y1＞y2，则x1+x2＞1； ④当a≤﹣1时，关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1必有两个不相等的实数根． 其中正确的选项有 　 　 .（填序号） 40．（2024秋•东西湖区月考）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0），且满足条件a＞b＞c，a+b+c＝0，给出以下结论：①ac＜0；②存在满足条件的a，b，c，使得二次函数在时取得最小值；③4a﹣2|b|+c＞0；④对任意满足am2+bm+c＜0的实数m，都有a（m+3）2+b（m+3）+c＞0．其中正确的有 　 　 （写出所有正确结论的序号）． 41．（2024秋•硚口区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）经过A（﹣1，n），B（5，n）两点，其中n为大于0的常数．下列四个结论： ①4a+b＝0； ②b2﹣4ac＞0； ③若P（，y1），Q（π，y2）两点在抛物线上，则y1＞y2； ④当m为任意实数时，b≤am2+bm． 其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 42．（2024秋•武汉期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c的y与x的部分对应值如表： x ﹣4 ﹣3 ﹣1 1 4 y 0 5 9 5 ﹣16 下列结论： ①对称轴为直线x＝﹣1； ②方程ax2﹣bx+c﹣9＝0有两个不相等的实数根； ③若点（m，y1），（﹣m﹣2，y2）均在二次函数图象上，则y1＝y2； ④满足ax2+（b﹣1）x+c＜4的x的取值范围是x＜﹣4或x＞1． 其中正确结论的序号为 　 　 ． 43．（2024秋•青山区期中）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（m，0），点B（3，0），与y轴交于点C．则下列四个结论： ①abc＞0； ②3a+c＞0； ③当﹣2＜x＜2时，a（x+1）2+b（x+1）+c＞0； ④点D（t，p），E（t+1，q）在抛物线上，当时，总有p＞q，则． 其中一定正确的是 　 　 ．（填写正确序号）． 44．（2024秋•汉南区校级月考）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），B（3，0），交y轴的正半轴于点C，对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，则下列结论：①b+2c＞0；②a+b＞am2+bm（m为任意实数）；③a（k2+1）2+b（k2+1）＞a（k2+2）2+b（k2+2）；④一元二次方程有两个不相等的实数根．其中正确的结论有 　 　 ． 45．（2024秋•江汉区期中）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过点（m，0），m＞0，且4a﹣2b+c＝0，则下列四个结论：①c＞0；②b﹣3a＞0；③若方程ax2+bx+c＝b有两个不相等的实数根x1，x2（且x1＜x2），则x2＜m；④若0＜m＜2，抛物线过点（0，1），且s＝a+b+c，则．其中正确的结论是 　 　 （填序号）． 46．（2024秋•江岸区校级月考）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c是常数）开口向上，过A（﹣2，0），B（m，0）两点（其中0＜m＜1）．下列四个结论：①abc＜0；②a+b+c＞0；③若，则当时，y随x的增大而增大；④关于x的不等式amx2+bmx＞﹣cx的解集为x＞m或x＜0．其中正确的是 　 　 （填写序号）． 47．（2024秋•武汉期中）如图，函数G图象是由y＝x2+2x+2（x≤0）的图象C1和它关于（0，2）成中心对称的图象C2组成．下列说法：①函数G图象关于y轴对称；②当﹣1≤x≤1时，函数G随x的增大而增大；③直线y＝k与G图象有三个交点，则1＜k＜3．且k≠2；④已知不重合的两点A（a，ya），B（b，yb）在函数G的图象上，且a＜0＜b，a+b＝0，若当a≤x≤b时，函数G的最大值和最小值为均为定值．则a的取值范围为．其中正确的命题有 　 　 （填序号）． 48．（2024秋•硚口区期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数）经过点（﹣2，0），且c＜0． 下列四个结论： ①4a﹣2b+c＝0； ②当x＜﹣2时，y＞0； ③若点（1，1），（2，t）均在抛物线上，则； ④不等式t（at+b）≥a+b对任意的实数t都成立，则． 其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 49．（2024秋•汉阳区期中）已知一个二次函数y＝ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如表： x … ﹣4 ﹣2 0 3 5 … y … m n 0 ﹣3 h … 其中，h＜﹣3，现有以下表述： ①当x＞0时，y随x的增大而减小； ②图象不经过第二象限； ③关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）一定有一个小于3的正数根； ④当m+n＜﹣13时． 其中正确的结论序号是 　 　 ． 50．（2024秋•洪山区期中）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于A（﹣3，0），B两点，与y轴交于点C，点（m﹣6，n）与点（4﹣m，n）也在该抛物线上．下列结论：①点B的坐标为（1，0）；②方程ax2+bx+c+2＝0有两个不相等的实数根；③a+c＜0；④当x＝﹣t2﹣2（t为常数）时，y＜c．其中正确结论的序号是 　 　 ． 51．（2024秋•武昌区期中）已知点（m，n）在抛物线y＝ax2+2ax+c上，下列结论：①若a＝c，则抛物线与x轴只有一个公共点；②若抛物线与x轴的公共点（x1，0）（x2，0）满足，则c＝﹣2a；③当﹣5≤m≤0时，n的取值范围是﹣1≤n≤3，则a的值是±；④若点（m，p）在直线y＝﹣ax+c﹣2a上，当﹣2＜m＜﹣1时，p＞n，则抛物线开口向上．其中正确结论是 　 　 .（填序号） 52．（2024秋•武汉期中）如图是抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，且a≠0）的一部分，其对称轴是直线x＝1，且与x轴的一个交点坐标是（﹣1，0），1＜c＜2，有下列结论：①abc＜0：②；③若m（am+b）＜4a+2b，则0＜m＜2；④若，且x1≠x2，则x1+x2＝﹣1．其中正确的结论有　 　 ． 53．（2024秋•江岸区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝1．下列结论：①2a+b＝0；②9a+3b≤﹣c；③若点A（﹣3，y1）、点，点C（4，y3）在该函数图象上，则y1＜y2＜y3；④若方程a（x+1）（x﹣3）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则x1＜﹣1，x2＞3．其中一定正确的结论有　 　 （填写序号）． 54．（2024秋•江夏区校级月考）已知抛物线y＝ax2﹣2ax+c（a，c是常数且a≠0，c＞0）经过点A（3，0）．下列四个结论：①该抛物线一定经过B（﹣1，0）；②2a+c＞0；③点M1（t+2，y1），M2（t+3，y2）在抛物线上，且y1＞y2，则；④若m，n（m＜n）是方程ax2﹣2ax+c＝p的两个根，其中p＞0，则﹣3＜m＜n＜1．其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 55．（2024秋•武昌区校级月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0，a、b、c为常数）的部分图象如图所示，对称轴是直线x＝﹣1，且与x轴的一个交点在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间．则下列结论： ①a+b+c＜0； ②3a+c＜0； ③一元二次方程3ax2+（3b﹣c）x＝0的两根为x1、x2，则|x1﹣x2|＜3； ④对于任意实数m，不等式a（m2﹣1）+（m+1）b＜0恒成立． 则上述说法正确的是 　 　 ．（填序号） 56．（2024秋•硚口区月考）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）与x轴交于（﹣1，0），（m，0）两点，其中1＜m＜2，下列四个结论： ①abc＞0； ②a+b+c＜0； ③ax2+bx+c＞cx+c的解集是﹣1＜x＜0； ④A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线上，若，x1＞x2，总有y1＞y2，则．其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 57．（2024秋•江岸区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x ⋯ ﹣2 ﹣1 0 1 2 y ⋯ t m ﹣2 ﹣2 n 且当时，y＞0．下列结论：①a+b＝0；②x＝3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的一个根；③点（x1，y1）和（x2，y2）都在抛物线上，且x1+x2＞1，则当x1＜x2时，y1＞y2；④3（m+n）＞20．其中正确的结论（序号）有 　 　 ． 58．（2023•蔡甸区模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②16a﹣4b+c＜0；③若方程ax2+bx+c＝﹣1有两个根x1，x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；④若抛物线与y轴的交点在（0，﹣2）与（0，﹣3）之间，则a的取值范围是．其中正确结论的是 　 　 ． 59．（2021秋•武昌区月考）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴在y轴右侧，抛物线与x轴交于点A（﹣2，0）和点B，与y轴的负半轴交于点C，且OB＝2OC，则下列结论：①0；②2b﹣4ac＝1；③a；④当﹣1＜b＜0时，在x轴下方的抛物线上一定存在关于对称轴对称的两点M，N（点M在点N左边），使得AN⊥BM．其中正确的结论是 　 　 （填写序号）． 60．（2024•武汉模拟）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数），且4a﹣2b+c＝0．下列结论：①若a＝b，则抛物线经过点（1，0）； ②若抛物线的对称轴为直线x＝−，则方程cx2+2bx+4a＝0一定有实数根x＝2；③若4ac−b2＜2b−c＜0，则方程ax2+bx+c−1＝0有两个不相等的实数根；④点A（x1，y1），B（x2，y2）在抛物线上，若b＞a＞0，则当x1＜x2＜−2时，y1＞y2．其中结论正确的是 　 　 ．（填序号） 4 ( 第 1 页 共 16 页 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$