23.3轴对称变换同步练习2024-2025学年 北京版数学九年级下册

23.3轴对称变换 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列各选项中，两个三角形成轴对称的是（    ） A．   B．   C．   D．   2．如图是一台桌球面示意图，图中小正方形的边长均相等，黑球放在如图所示的位置，经白球撞击后沿箭头方向运动，经桌边反弹最后进入的球洞的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 3．如图，在平面直角坐标系中，对△ABC进行循环往复的轴对称变换，若原来点A的坐标是（m，n），经过2020次变换后所得的点A的坐标是（　　） A．（﹣m，n） B．（﹣m，﹣n） C．（m，﹣n） D．（m，n） 4．将一张长方形纸片沿EF折叠，折叠后的位置 如图所示，若∠EFB=65°，则∠AED′等于（       ） A．70° B．65° C．50° D．25° 5．如图所示，已知六边形是正六边形，G，H分别是和的中点，P是上的动点，连接，，则的最小值等于（    ） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段长度的两倍 D．线段的长度 6．如图，有一张直角三角形纸片ABC，边，，，将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合，则四边形ABDE的周长为　　 A．16 B．17 C．18 D．19 7．如图，正方形ABCD的边长是2，∠DAC的平分线交CD于点E，若点P，Q分别是AD和AE上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D．2 8．如图，在中，，，D为上一动点，，，则的最小值等于（　　） A．4 B． C． D． 9．如图，将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第一次操作，折痕到的距离为；还原纸片后，再将沿着过的中点的直线折叠，使点落在边上的处，称为第二次操作，折痕到的距离记为；按上述方法不断操作下去……经过第次操作后得到折痕，到的距离记为．若，则的值为（　　） A． B． C． D． 10．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．直角三角形 D．正五边形 11．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点，，规定把正方形ABCD“先沿y轴翻折，再向下平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2022次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（    ） A． B． C． D． 12．如图，，点是内的一定点，点分别在上移动，当的周长最小时，的值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，两个四边形关于某条直线对称，根据图中提供的条件则 ， ． 14．已知一张三角形纸片（如图甲），其中，．将纸片沿折叠，使点A与点B重合（如图乙）时，；再将纸片沿折叠，使得点C恰好与边上的G点重合，折痕为（如图丙），则的周长为 （用含a的式子表示）． 15．如图，点P为内部任意一点，点P与点关于对称，点P与点关于对称，，，则的面积为 ． 16．在中，，，，点是边上一点，连接，把沿折叠，使点落在点处，连接，当为直角三角形时，的长为 ． 17．设A、B两点关于直线MN轴对称,则 垂直平分 . 三、解答题 18．如图，和关于直线对称，已知，，．求的度数及、的长度．    19．已知：如图，在平面直角坐标系中，△ABC的位置如图所示． (1)作出关于y轴对称的，并写出点的坐标，（___________）； (2)的面积为___________； (3)在轴上画点，使最小． 20．如图所示，写出各顶点的坐标以及关于对称的的各顶点坐标，并画出关于对称的．    21．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A，B，C三点在格点上． (1)作出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1、B1、C1的坐标； (2)作出△ABC关于原点O对称的△A2B2C2，并写出点A2、B2、C2的坐标． 22．在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示． (1)请画出关于轴对称的； (2)直接写出关于轴对称的的，，三点的坐标：__________，__________，__________； (3)求的面积． 23．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)写出A、B、C三点的坐标； (2)若各顶点的横坐标都不变，纵坐标都乘以，在同一坐标系中描出对应的点、、，并依次连接这三个点得； (3)请问与有怎样的位置关系？ 24．已知，如图所示，甲、乙、丙三个人做传球游戏，游戏规则如下：甲将球传给乙，乙将球立刻传给丙，然后丙又立刻将球传给甲．若甲站在∠AOB内的P点，乙站在OA上，丙站在OB上，并且甲、乙、丙三人的传球速度相同．问乙和丙必须站在何处，才能使球从甲到乙、乙到丙、最后丙到甲这一轮所用的时间最少？ 《23.3轴对称变换》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A A D C B C A B C B 题号 11 12 答案 D D 1．A 【分析】根据轴对称图形的意义：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴；进行解答即可． 【详解】解：各选项中，两个三角形成轴对称的是选项A． 故选：A． 【点睛】此题考查了两个图形成轴对称的定义，确定两个图形成轴对称的关键是寻找对称轴，图形两部分对折后可完全重合． 2．A 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，理解题意，掌握碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角是解题的关键． 根据黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角，轴对称图形的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，黑球碰撞桌子边时的入角等于反弹后的出角， ∴最后进入的球洞的序号是①， 故选：A ． 3．D 【分析】观察图形可知每四次对称为一个循环组依次循环，用2020除以4，然后根据商的情况确定出变换后的点A所在的象限，然后解答即可． 【详解】解：点A第一次关于y轴对称后在第一象限， 点A第二次关于x轴对称后在第四象限， 点A第三次关于y轴对称后在第三象限， 点A第四次关于x轴对称后在第二象限， 即点A回到原始位置， 所以，每四次对称为一个循环组依次循环， ∵2020÷4＝505， ∴经过第2020次变换后所得的A点与第一次变换的位置相同，在第一象限，其坐标为（m，n）． 故选：D． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，点的坐标变换规律，读懂题目信息，观察出每四次对称为一个循环组依次循环是解题的关键，也是本题的难点． 4．C 【详解】解：∵AD∥BC， ∴∠EFB=∠FED=65°． 由折叠的性质知：∠DEF=∠FED′=65°， ∵∠AED′=180°-2∠FED=50°， ∴∠AED′=50°． 故选C． 5．B 【分析】本题考查轴对称最短距离问题，根据轴对称找到对称点连接对称点与另一点连线直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵正六边形关于直线对称， ∴点A关于的对称点是F，连接，交于点P，根据两点之间，线段最短可得此时的值最小， 又∵， ∴的最小值等于线段的长度， 故选：B． 6．C 【分析】根据勾股定理得到BC=8，由折叠的性质得到BD=CD= BC=4，DE⊥BC，根据三角形的中位线的性质得到DE= AB=3，AE= AC=5，于是得到结论． 【详解】∵AB=6,AC=10,∠ABC=90°， ∴BC=8， ∵将该直角三角形纸片沿DE折叠，使点C与点B重合， ∴BD=CD=BC=4，DE⊥BC， ∵∠ABC=90°， ∴DE∥AB， ∴DE=AB=3,AE=AC=5， ∴四边形ABDE的周长=AB+AE+DE+BD=6+5+3+4=18， 故答案为C. 【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题）、勾股定理、三角形中位线的性质，牢牢掌握折叠性质、勾股定理、三角形中位线性质是解答本题的关键点. 7．A 【分析】过D作AE的垂线交AE于F，交AC于D′，再过D′作AP′⊥AD，由角平分线的性质可得出D′是D关于AE的对称点，进而可知D′P′即为DQ+PQ的最小值． 【详解】作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′， ∵DD′⊥AE， ∴∠AFD=∠AFD′， ∵AF=AF，∠DAE=∠CAE， ∴△DAF≌△D′AF， ∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=2， ∴D′P′即为DQ+PQ的最小值， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠DAD′=45°， ∴AP′=P′D′， ∴在Rt△AP′D′中， P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=4， ∵AP′=P′D’， 2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=4， ∴P′D′=， 即DQ+PQ的最小值为，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及角平分线的性质和全等三角形的判定和性质和轴对称-最短路线问题，根据题意作出辅助线是解答此题的关键． 8．B 【分析】过E作交的延长线于点F，作点A关于的对称点，连接和．依据轴对称的性质即可得到，再根据平移的性质即可得出，．当点C，点E，点在同一直线上时，的最小值等于的长，利用勾股定理求得的长即可． 【详解】解：如图所示，过E作交的延长线于点F，作点A关于的对称点，连接和， ∴， ∴， 由题可得，是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴由平移的性质可得：，， 当点C，点E，点在同一直线上时，的最小值等于的长，如图所示． 此时，中，， ∴的最小值为， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了最短路径问题，平移的性质，勾股定理的应用，二次根式的化简，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 9．C 【分析】根据中点的性质及折叠的性质可得DA=DA'=DB，从而可得∠ADA'=2∠B，结合折叠的性质可得∠ADA'=2∠ADE，可得∠ADE=∠B，继而判断DE∥BC，得出DE是△ABC的中位线，证得AA⊥BC，得到AA=2，求出=2-1，同理，于是经过第n次操作后得到的折痕 【详解】∵是的中点，折痕到的距离为 ∴点到的距离， ∵是的中点，折痕到的距离记为， ∴点到的距离， 同理：， …… 故选C． 【点睛】此题考查翻折变换（折叠问题），解题关键在于找到规律 10．B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、平行四边形是中心对称图形，不一定是轴对称图形，故不符合题意； B、矩形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故符合题意； C、直角三角形既不一定是轴对称图形，也不是中心对称图形，故不符合题意； D、正五边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故不符合题意； 故选：B． 11．D 【分析】根据正方形ABCD的顶点A（1，-1），B（3，-1），可得AB＝BC＝2，C（3，-3），先求出前几次变换后正方形ABCD的中心的坐标，根据变化规律求解即可． 【详解】解：∵正方形ABCD的顶点A（1，-1），B（3，-1）， ∴AB＝BC＝2， ∴C（3，-3），正方形ABCD的中心的坐标为（2，-2） 一次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（-2，-3）， 二次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（2，-4）， 三次变换后，正方形ABCD的中心的坐标为（-2，﹣5）， …， 通过观察得：翻折次数为奇数时正方形ABCD的中心的横坐标为﹣2，翻折次数为偶数时正方形ABCD的中心的横坐标为2，变换一次，正方形ABCD的中心的纵坐标向下移一个单位， ∵2022是偶数， ∴正方形ABCD的中心的横坐标为2，其纵坐标为-2﹣2022×1＝﹣2024． ∴经过2021次变换后，正方形ABCD的顶点C的坐标为（2，﹣2024）． 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化﹣对称、规律型﹣点的坐标、坐标与图形变化﹣平移，解决本题的关键是掌握对称性质和平移的性质． 12．D 【分析】过P点作角的两边的对称点，在连接两个对称点，此时线段与角两边的交点，构成的三角形周长最小.再根据角的关系求解. 【详解】解： 过P点作OB的对称点，过P作OA的对称点,连接，交点为M,N，则此时PMN的周长最小，且△和△为等腰三角形. 此时∠=180°-α；设∠NPM=x°，则180°-x°=2（∠-x°） 所以 x°=180°-2α 【点睛】求出M,N在什么位子△PMN周长最小是解此题的关键. 13． 5 70°/度 【分析】本题考查了轴对称的性质．根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等可得出答案． 【详解】解：根据轴对称的性质可得：，，，， ，． 14． 【分析】根据折叠的性质得，，，可得，即可得到的周长． 【详解】解：∵AB=AC=10，， ∴， 由折叠得：，，，， ∴， ∴△BFG的周长为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了列代数式，翻折变换，等腰三角形的性质，灵活掌握折叠的性质是解本题的关键． 15．32 【分析】根据轴对称的性质，可得的长度等于OP的长，的度数等于的度数的两倍，再根据直角三角形的面积计算公式，可得答案． 【详解】解：∵点P与点关于对称，点P与点关于对称，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：32 【点睛】本题考查了轴对称的性质，利用轴对称的性质得出的长度，的度数是解题的关键． 16．或 【分析】把沿折叠，点B的落点E有两种情况，分情况求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是以为折痕翻折得到的， ，，． 当为直角三角形时， 如图，当时， ， 点E在线段上， 设，则， ， ， 即， 解得：， 即； 如图，当， ， ， ， ， ． 综上所述：当为直角三角形时，的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了折叠问题，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论思想及选择适当的直角三角形是解题的关键． 17． 直线MN, 线段AB 【分析】本题只要了解线段垂直平分线的性质即可填空. 【详解】解：由于A、B两点关于直线MN轴对称，即直线MN垂直平分线段AB．故答案为直线MN；线段AB. 【点睛】本题的知识点是了解线段垂直平分线的性质. 18．，、 【分析】根据轴对称的性质，对应边相等，对应角相等即可得出答案． 【详解】解：和关于直线对称， ，，， 又，，． ，，， 【点睛】本题考查轴对称的性质，两个图象关于某直线对称，对应边相等，对应角相等． 19．(1)作图见解析， (2)5 (3)见解析 【分析】（1）直接利用轴对称图形的性质得出对应点位置进而得出答案； （2）直接利用所在长方形面积减去周围三角形面积进而得出答案； （3）先确定关于轴的对称点，再连接交轴于则此时满足要求． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求， ， 故答案为：， （2）△ABC的面积为： ； 故答案为：5； （3）如图所示：点P即为所求． 【点睛】本题考查的是轴对称的作图，坐标与图形，掌握轴对称的性质是解本题的关键. 20．A（−3， 2），B（−4，−3），C（−1，−1）；A1（−3，−2），B1（−4，3），C1（−1，1），图见解析 【分析】分别利用关于x轴、y轴对称点的坐标性质得出各对应点的位置，进而得出答案． 【详解】解：△ABC各顶点的坐标为：A（−3， 2），B（−4，−3），C（−1，−1）， △ABC关于x轴对称的△A1B1C1的各顶点坐标： A1（−3，−2），B1（−4，3），C1（−1，1）， 如图所示：△A2B2C2，即为所求． 【点睛】此题主要考查了轴对称变换，得出对应点位置是解题关键． 21．（1）作图见解析，A1（2，-4），B1（1，-1），C1（3，-2）．（2）作图见解析，A2（-2，-4），B2（-1，-1），C2（-3，-2）． 【分析】（1）分别作出各点关于x轴的对称点，再顺次连接，再写出点A1、B1、C1的坐标即可； （2）△A2B2C2的坐标与△ABC的关系是，横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数；找到点画出即可． 【详解】（1）如图，△A1B1C1，即为所求，由图可知，A1（2，-4），B1（1，-1），C1（3，-2）． （2）如图所示，A2（-2，-4），B2（-1，-1），C2（-3，-2）． 【点睛】本题考查的是作图-轴对称和中心对称变换，熟知关于x轴、原点对称的点的坐标特点是解答此题的关键． 22．(1)见详解 (2)、、 (3) 【分析】（1）按照轴对称的特点作图即可； （2）先根据网格图得出，，三点的坐标，再结合关于轴对称的点的坐标，纵坐标相等，横坐标互为相反数即可作答； （3）利用割补法即可求解． 【详解】（1）解：即为所作； （2）解：根据（1）的图形可知：、、， ∵关于轴对称的点的坐标，纵坐标相等，横坐标互为相反数， ∴、、， 故答案为：、、； （3）解：利用割补法求解， 则有：， 即所求的面积为：． 【点睛】本题主要考查了画轴对称图形，确定关于轴对称点的坐标以及采用割补法求解三角形面积的知识，掌握轴对称的性质是解答本题的关键． 23．(1)、、 (2)见解析 (3)与关于x轴对称 【分析】(1)根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可； (2)根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可； (3)根据图形判断△A′B′C′与△ABC有怎样的位置关系即可． 【详解】（1）解：、、． （2）解：各顶点的横坐标都不变，纵坐标都乘以， 、、． 如下图： （3）解：观察图形可知：与关于x轴对称． 【点睛】本题考查了利用轴对称变换作图，熟练掌握网格结构，准确找出对应点的位置是解题的关键． 24．见解析 【详解】试题分析：分别作出点P关于OA、OB的对称点P1、P2，连接P1P2与OA、OB的交点即为乙、丙的位置. 试题解析：如图所示，(1)分别作点P关于OA，OB的对称点P1，P2， (2)连接P1P2，与OA，OB分别相交于点M，N， 因为乙站在OA上，丙站在OB上，所以乙必须站在OA上的M处，丙必须站在OB上的N处才能使传球所用时间最少． 学科网（北京）股份有限公司 $$