七年级数学期中试卷03（考试范围：整式的乘除、相交线与平行线、概率初步）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（北师大版2024）

2024-2025学年度北师大七年级数学期中试卷03 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：整式的乘除、相交线与平行线、概率初步； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）计算：（   ） A． B． C． D． 2．（本题3分）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，点在上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（本题3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 5．（本题3分）一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（本题3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（本题3分）抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下列判断正确的是（    ） A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次 B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次 C．连续掷次时，正面朝上一定会出现次 D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5 8．（本题3分）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 9．（本题3分）如图，和相交于点O，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 10．（本题3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（    ） A．4 B．5 C．10 D．5 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）计算： ． 12．（本题3分）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0.960 请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个． 13．（本题3分）在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有区别，摇匀后从中摸出一球再放回，不断重复，共摸球次，其中次摸到白球，则估计白球有 个． 14．（本题3分）计算： ． 15．（本题3分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1） 16．（本题3分）计算的结果是 ． 17．（本题3分）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 ． 18．（本题3分）如图，，BC平分，设为，点E是射线BC上的一个动点，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）计算：． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 21．（本题8分）先化简，再求值： ，其中，． 22．（本题8分）如图，，点E在线段上，点F在延长线上，，求证：． 23．（本题8分）某校开展以“奋斗百年路•启航新征程”为主题的活动来庆祝建党百年．活动分为两个阶段：第一阶段是宣讲红色故事，有以党建党史、文化传承、人物传记为素材的3个宣讲项目（分别用A、B、C表示）；第二阶段是主题文艺创作，有文学创作、美术创作、舞蹈创作、音乐创作4个项目（分别用D、E、F、G表示）．要求参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．若小明参加该活动，请用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有可能的结果，并求小明恰好抽中项目C和E的概率． 24．（本题8分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． (1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件； A．不可能     B．必然     C．随机 (2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 25．（本题10分）2024年4月 25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理． 数据分成五组， A组： ； B组： ； C组： ； D组： ； E组： ． 已知C组的数据为： 70， 71， 72， 72， 72， 74， 75， 76， 76， 77， 77， 79． 根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度； (3)现从E组里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加航天知识竞答决赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 26．（本题12分）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度北师大七年级数学期中试卷03 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 考试范围：整式的乘除、相交线与平行线、概率初步； 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）计算：（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了积的乘方与幂的乘方的混合运算．由积的乘方法则与幂的乘方法则即可完成计算． 【详解】解：， 故选：A． 2．（本题3分）下列计算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用同底数幂的乘法法则，单项式乘单项式的运算法则，合并同类项，积的乘方的运算法则分别对各项进行运算即可． 【详解】A.，故A不符合题意； B.，故B不符合题意； C.，故C符合题意； D.，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了同底数幂的乘法，单项式乘单项式，合并同类项，积的乘方；解题的关键是熟练掌握以上几个运算法则． 3．（本题3分）如图，点在上，，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，根据可得，再根据可得，解题的关键是掌握：两直线平行，内错角相等． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 即的度数为． 故选：C． 4．（本题3分）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算，熟练掌握同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方及整式的加减运算可直接进行排除选项． 【详解】解：A、，错误，故不符合题意； B、，正确，故符合题意； C、，错误，故不符合题意； D、，错误，故不符合题意； 故选：B． 5．（本题3分）一束平行光线经过水面后折射的光线也是平行的．如图，若杯底与水面平行，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质可知，，即可求得答案． 【详解】解：如图， 光线是平行的， 又杯底与水面平行 故选：C． 6．（本题3分）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查整式的运算，根据合并同类项法则、积的乘方与幂的乘方、单项式的乘除法逐一计算可得． 【详解】解：A、，此选项正确，符合题意； B、，此选项错误，不符合题意； C、，此选项错误，不符合题意； D、，此选项错误，不符合题意． 故选：A． 7．（本题3分）抛掷一枚质地均匀的硬币时，正面向上的概率是0.5．则下列判断正确的是（    ） A．连续掷2次时，正面朝上一定会出现1次 B．连续掷100次时，正面朝上一定会出现50次 C．连续掷次时，正面朝上一定会出现次 D．当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5 【答案】D 【分析】根据概率的意义即可得出答案． 【详解】解：A. 连续掷2次时，正面朝上有可能出现，还有可能不出现，故选项A判断不正确； B. 连续掷100次时，正面朝上不一定会出现50次，故选项B判断不正确； C. 连续掷次时，正面朝上不一定会出现次，故选项C判断不正确； D. 当抛掷次数越大时，正面朝上的频率越稳定于0.5，正确，故选项D符合题意， 故选：D 【点睛】本题考查的是模拟实验和概率的意义，熟知概率的定义是解答此题的关键． 8．（本题3分）下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法与除法，熟练掌握各运算法则是解题关键．根据负整数指数幂与零指数幂、同底数幂的乘法与除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项不成立，不符合题意； B、，则此项不成立，不符合题意； C、，没有意义，则此项不成立，不符合题意； D、，则此项成立，符合题意； 故选：D． 9．（本题3分）如图，和相交于点O，则下列结论正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的外角性质、对顶角相等即可得． 【详解】解：A、无法判断，则此项错误，不符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、由对顶角相等得：，则此项正确，符合题意； D、因为，所以，则此项错误，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握三角形的外角性质和对顶角相等是解题关键． 10．（本题3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=20，点P是AC边上的一个动点，将线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ，连接CQ．则在点P运动过程中，线段CQ的最小值为（    ） A．4 B．5 C．10 D．5 【答案】D 【分析】将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM．根据线段BP的旋转方式确定点Q在线段上运动，再根据垂线段最短确定当Q与点M重合时，CQ取得最小值为CM．根据∠C=90°，∠A=30°，AB=20求出BC的长度，再根据旋转的性质求出和的长度，根据线段的和差关系确定点C是线段的中点，进而确定CM是的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出CM的长度． 【详解】解：如下图所示，将Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到，再设线段的中点为M，并连接CM． ∵点P是AC边上的一个动点，线段BP绕点B顺时针旋转60°得到线段BQ， ∴点Q在线段上运动． ∴当，即点Q与点M重合时，线段CQ取得最小值为CM． ∵∠C=90°，∠A=30°，AB=20， ∴BC=10． ∵Rt△ABC绕点B顺时针旋转60°得到， ∴=BC=10，． ∴． ∴． ∴点C是线段中点． ∵点M是线段的中点， ∴CM是的中位线． ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查旋转的性质，直角三角形30°所对的直角边是斜边的一半，垂线段最短，三角形中位线定理，综合应用这些知识点是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）计算： ． 【答案】7 【分析】先计算算术平方根、负整数指数幂，再计算有理数的加法运算即可得． 【详解】原式， ， 故答案为：7． 【点睛】本题考查了算术平方根、负整数指数幂，熟练掌握各运算法则是解题关键． 12．（本题3分）“头盔是生命之盔”，质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如下表： 抽查的头盔数 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0.960 请估计该工厂生产10000个头盔，合格的头盔数有 个． 【答案】 【分析】用总数量乘以合格的头盔数稳定的频率即可． 【详解】解：估计该工厂生产个头盔，合格的头盔数有（个）． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，正确理解频率估计概率是解决本题的关键． 13．（本题3分）在一个不透明的盒子里，装有个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有区别，摇匀后从中摸出一球再放回，不断重复，共摸球次，其中次摸到白球，则估计白球有 个． 【答案】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，设未知数列出方程求解，关键是根据白球的频率得到相应的等量关系． 【详解】解：∵共试验次，其中次摸到白球， ∴白球所占的比例为， 设白球有个，则 ， 解得：， 故答案为：． 14．（本题3分）计算： ． 【答案】6． 【分析】分别计算绝对值和0次幂，再计算和即可． 【详解】解：原式＝5+1 ＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了实数运算，解题的关键是熟练掌握绝对值及零次幂的性质． 15．（本题3分）2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种幼树移植过程中的一组统计数据： 幼树移植数（棵） 100 1000 5000 8000 10000 15000 20000 幼树移植成活数（棵） 87 893 4485 7224 8983 13443 18044 幼树移植成活的频率 0.870 0.893 0.897 0.903 0.898 0.896 0.902 估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 ．（结果精确到0.1） 【答案】0.9 【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】∵幼树移植数20000时，幼树移植成活的频率是0.902， ∴估计该种幼树在此条件下移植成活的概率为0.902，精确到0.1，即为0.9， 故答案为：0.9． 【点睛】本题考查了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率，大量反复试验下频率稳定值即概率． 16．（本题3分）计算的结果是 ． 【答案】 【分析】首先计算零指数幂、负整数指数幂、开方，然后合并同类项，求出算式的值是多少即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用． 17．（本题3分）一个密码锁的密码由四个数字组成，每个数字都是这十个数字中的一个，只有当四个数字与所设定的密码相同时，才能将锁打开，粗心的小张忘记了后两个数字，他一次就能打开该锁的概率是 ． 【答案】/0.01 【分析】根据题意可知：后两个数字共有100种情况，据此即可求得一次就能打开该锁的概率． 【详解】解：因为密码由四个数字组成，千位和百位上的数字已经确定，假设十位上的数字是0，则个位上的数字即有可能是中的一个，要试10次，同样，假设个位上的数字是1，则百位上的数字即有可能是中的一个，也要试10次，依此类推，要打开该锁需要试100次，而其中只有一次可以打开，所以，一次就能打开该锁的概率是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 18．（本题3分）如图，，BC平分，设为，点E是射线BC上的一个动点，若，则的度数为 ．（用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】根据题意可分两种情况，①若点运动到上方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，，列出等量关系求解即可得出结论；②若点运动到下方，根据平行线的性质由可计算出的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出的度数，再由，列出等量关系求解即可得出结论． 【详解】解：如图，若点E运动到l1上方， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 解得； 如图，若点E运动到l1下方， ， ， 平分， ， ， 又， ， ， 解得． 综上的度数为或． 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质和角平分线的性质，两直线平行，同位角相等．两直线平行，同旁内角互补．两直线平行，内错角相等，合理应用平行线的性质是解决本题的关键． 三、解答题（共66分） 19．（本题6分）计算：． 【答案】 【分析】直接利用零指数幂的性质以及绝对值的性质、立方根的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式 ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，正确化简各数是解题关键． 20．（本题6分）先化简，再求值：，其中． 【答案】，14 【分析】本题考查整式的混合运算—化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据完全平方公式、平方差公式和单项式乘多项式将题目中的式子展开，然后合并同类项，再将x的值代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 21．（本题8分）先化简，再求值： ，其中，． 【答案】 【分析】先将原式利用多项式乘以多项式，以及平方差公式化简，去括号合并同类项得到最简结果，再把x与y的值代入计算即可求出结果． 此题考查了整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 22．（本题8分）如图，，点E在线段上，点F在延长线上，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】由全等三角形的性质证明结合，证明从而可得结论. 【详解】解： ， ， 【点睛】本题考查的是全等三角形的性质，平行线的判定，证明是解本题的关键. 23．（本题8分）某校开展以“奋斗百年路•启航新征程”为主题的活动来庆祝建党百年．活动分为两个阶段：第一阶段是宣讲红色故事，有以党建党史、文化传承、人物传记为素材的3个宣讲项目（分别用A、B、C表示）；第二阶段是主题文艺创作，有文学创作、美术创作、舞蹈创作、音乐创作4个项目（分别用D、E、F、G表示）．要求参加人员在每个阶段各随机抽取一个项目完成．若小明参加该活动，请用画树状图或列表的方法列出小明参加项目的所有可能的结果，并求小明恰好抽中项目C和E的概率． 【答案】所有结果见解析，概率为 【分析】用列表法列举出所有等可能出现的情况，从中找出符合条件的情况数，进而求出概率． 【详解】解：列表如下： D E F G A AD AE AF AG B BD BE BF BG C CD CE CF CG 由表可以看出，共有12种等可能结果，其中小明恰好抽中项目C和E的结果只有1种， ∴小明恰好抽中项目C和E的概率为． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求概率以及概率公式，正确列出表格是解题的关键． 24．（本题8分）某医院计划选派护士支援某地的防疫工作，甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，其中甲是共青团员，其余3人均是共产党员．医院决定用随机抽取的方式确定人选． (1)“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是__________事件； A．不可能     B．必然     C．随机 (2)若需从这4名护士中随机抽取2人，请用画树状图法或列表法求出被抽到的两名护士都是共产党员的概率． 【答案】(1)C (2) 【分析】（1）根据随机事件的定义即可解决问题； （2）从甲、乙、丙、丁名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示，从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，然后利用树状图即可解决问题． 【详解】（1）解：“随机抽取1人，甲恰好被抽中”是随机事件； 故答案为：C； （2）从甲、乙、丙、丁4名护士积极报名参加，设甲是共青团员用T表示，其余3人均是共产党员用G表示．从这4名护士中随机抽取2人，所有可能出现的结果共有12种，如图所示： 它们出现的可能性相同，所有的结果中，被抽到的两名护士都是共产党员的（记为事件A)的结果有6 种，则， 则被抽到的两名护士都是共产党员的概率为． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，随机事件．解决本题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． 25．（本题10分）2024年4月 25日20时59分，神舟十八号载人飞船成功发射，中国载人航天与空间站建设迎来全新的发展阶段．为了弘扬航天精神，某中学开展了航天知识竞答活动，学校随机抽取了八年级的部分同学的成绩进行整理． 数据分成五组， A组： ； B组： ； C组： ； D组： ； E组： ． 已知C组的数据为： 70， 71， 72， 72， 72， 74， 75， 76， 76， 77， 77， 79． 根据以上数据，我们绘制了频数分布直方图和扇形统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)本次随机抽查 名同学，并补全频数分布直方图； (2)扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角为 度； (3)现从E组里表现优秀的甲、乙、丙、丁四名同学中随机选取两名参加航天知识竞答决赛，请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲和乙两名同学的概率． 【答案】(1)50，图见解析 (2)36 (3) 【分析】（1）由D组的人数和所占百分比可求出总人数，利用总人数乘上B组的百分比求出B组的人数，即可补全统计图； （2）乘以C组人数所占的比例即可求解； （3）根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好同时选中甲、乙两位同学的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】（1）本次随机抽查的学生人数：（人）， B组人数为（人）， 补全图形如下： 故答案为：50； （2）形统计图中，A 组所在扇形的圆心角度数为 故答案为∶ 36； （3）树状图如下： ∵共有12种等可能的结果，其中恰好选中甲、乙两名同学的结果有2种， ∴恰好选中甲、乙两名同学的概率为P(选中甲、乙同学) 【点睛】本题考查了频数分布直方图，扇形统计图，用样本估计总体，列表法或画树状图法求概率，根据题意找出所需数据是解题的关键． 26．（本题12分）【问题提出】小颖同学在学习中自主探究以下问题，请你解答她提出的问题： （1）如图1所示，已知，点E为，之间一点，连接，，得到．请猜想与，之间的数量关系，并证明； （2）如图2所示，已知，点E为，之间一点，和的平分线相交于点F，若，求的度数； 【类比迁移】小颖结合角平分线的知识将问题进行深入探究，如图3所示，已知：，点E的位置移到上方，点F在延长线上，且平分与的平分线相交于点G，请直接写出与之间的数量关系 ； 【变式挑战】小颖在本次探究的最后将条件去掉，提出了以下问题： 已知与不平行，如图4，点M在上，点N在上，连接，且同时平分和，请直接写出，，之间的数量关系 ． 【答案】（1），证明见解析 （2） 类比迁移： 变式挑战： 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）过E点作，进而利用两直线平行，内错角相等解答即可； （2）如图2，作，，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 类比迁移：如图3，过E作，过G作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论； 变式挑战：延长，，交于点P，过M作射线，过E作，过P作，过N作，根据角平分线的定义和平行线的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】问题提出： （1）猜想：， 证明：过E点作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）如图2，作，， ∵， ∴， ∴，，，， ∴， ∵， ∴， ∵和的平分线相交于F， ∴，， ∴， ∴； 类比迁移： ．理由如下： 如图3，过E作，过G作， ∵， ∴， ∴，，， ∵平分与的平分线相交于点G， ∴，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：； 变式挑战： ，理由如下： 如图4，延长，，交于点P， 过M作射线，过E作，过P作，过N作， ∴，，， ∴， 同理得， ∴， ∵同时平分和， ∴，， ∴， 即． 故答案为：． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$