6.4 探索三角形相似的条件（三大题型提分练）-【上好课】2024-2025学年九年级数学下册同步精品课堂（苏科版）

6.4　探索三角形相似的条件（三大题型提分练） 题型一 由平行判断成比例线段 1．如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．三角形中位线定理 C．平行线分线段成比例 D．相似三角形的对应边成比例 2．如图，直线，直线分别交，，于点A，，，直线分别交，，于点，，，与相交于点，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（    ） A． B． C． D． 4．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 6．如图所示，若，则．依据是 ． 7．已知，如图，在中，，求证：      (1)；(2)． 8．如图，在梯形ABCD中，，求证：． 9．如图，中，，．求证：． 10．如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 题型二 运用平行线分线段成比例求线段的长（或比值） 1．如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 3．如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 4．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A． B．1 C． D．2 5．如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（     ） A． B． C． D． 6．如图，四边形中，ABDC，，，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 7．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 8．如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是 ． 9．如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．      10．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是 ．    11．如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．    (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 12．如图，，若，，求的长．    13．如图，在中，点在边上，，请用尺规作图法，在边上找一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 14．如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 15．如图，与相交于点，点在上，且，若，，求的长．    16．阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 题型三 相似三角形的判定 1．下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 2．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（　　） A． B． C． D． 3．已知的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与一定相似的是（   ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，． 4．如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（    ） A． B． C． D． 5．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 6．如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 8．如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 9．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    10．在中，，，在中，，，要使相似，需添加的一个条件是 ．（写出一种情况即可） 11．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，请从图中找出并写出三组不同的相似三角形： ．    12．如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上）    13．如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 14．如图，已知，则图中相似三角形是 ．    15．如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    16．如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 17．如图，，且，，求证：．    18．如图，小正方形的边长均为1， (1)则下列选项中，网格中的三角形与相似的是（    ） A． B． C．   D． (2)在网格内画一个（E、F均在格点上）使得与相似比为2：1 19．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 20．如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 21．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 1．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（　　） A．2 B． C． D． 2．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 3．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 5．如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 7．数学课上，老师提出下面的问题：如图，在中，，请用直尺和圆规在上确定点D，使与相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（    ） A． B． C． D． 8．已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 9．已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 10．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 11．如图所示，，交于点O，且，，，当 时，． 12．如图，在和中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件是 ．(添加一个即可) 13．如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 14．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    15．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 16．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 17．如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 18．如图，在中，，，则 ． 19．如图，是的边上一点，下列结论正确的个数是 个． ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 20．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 21．如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 22．如图，是上的一个动点．当时，求证：． 23．如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 24．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 25．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 26．已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 27．综合与探究 (1)【问题呈现】 如图1，当，时，求证：． (2)【拓展延伸】 如图2，当，时，求的值． (3)【深入探究】如图3，在中，直线分别与的延长线交于点D，E，F，，，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 28．已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 6.4　探索三角形相似的条件（三大题型提分练） 题型一 由平行判断成比例线段 1．如图，小东展示了“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程，点为直线上一点，过点的一条直线分别交两条平行线于点，，则有，这一步的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．三角形中位线定理 C．平行线分线段成比例 D．相似三角形的对应边成比例 【答案】C 【解析】解：由题意可知：， ∴． 故选：C． 2．如图，直线，直线分别交，，于点A，，，直线分别交，，于点，，，与相交于点，则下列式子不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵直线， ∴，故A正确，不符合题意； ，故B正确，不符合题意； ，故C正确，不符合题意； ，， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 3．如图，梯形中，，点、分别在腰、上，且，下列比例成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵，， ∴， ∴， 故选：D． 4．已知：在中，点D为上一点，过点D作的平行线交于点E，过点E作的平行线交于点F，连接，交于点K，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】A、∵，∴；选项正确，不符合题意； B、∵，∴；选项正确，不符合题意； C、∵，∴；选项错误，符合题意； D、∵，∴； ∵，∴； ∴；选项正确，不符合题意； 故选：C． 5．如图，在中，D、E分别为边上的点，，点F为边上一点，连接交于点G，则下列结论中一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：A、∵， ∴，选项错误，不符合题意； B、∵， ∴，选项错误，不符合题意； C、∵， ∴，选项正确，符合题意； D、∵， ∴，选项错误，不符合题意； 故选：C． 6．如图所示，若，则．依据是 ． 【解析】∵ ∴． ∴依据是平行线分线段成比例定理． 故答案为：平行线分线段成比例定理． 7．已知，如图，在中，，求证：      (1)；(2)． 【解析】（1）证明：∵ ∴ ∴； （2）证明：∵ ∴， ∴． 8．如图，在梯形ABCD中，，求证：． 【解析】证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图，中，，．求证：． 【解析】证明：， ， ， ， ， ． 10．如图，是的中线，为上任意一点，连接并延长，交于点，连接并延长，交于点，连接．求证：． 【解析】证明：如图，过点作，交于点． ∵是的中线， ∴， ∵中，， ∴， ∴． ∵中，， ∴， 即， ∴． 题型二 运用平行线分线段成比例求线段的长（或比值） 1．如图，直线，直线分别与直线相交于点和点，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，在中，点D在边上，过点D作，交于点E．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵中，， ∴， ∵ ∴， 故选：A． 3．如图，，直线m，n与这三条平行线分别交于点A，B，C和D，E，F，若，，，则的长为（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【解析】解：∵， ∴ ∴, 解得， 故选：B． 4．如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段的长是（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】C 【解析】解：过点作五条平行横线的垂线，交第三、四条直线，分别于、， 根据题意得， ∵， ∴， 又∵， ∴． 故选：C． 5．如图，在中，D，E，F分别是边，，上的点，，，且，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 6．如图，四边形中，ABDC，，，点，分别是边和对角线的中点，且与对角线交于点，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】点，分别是边和对角线的中点， 是的中位线， ，， ， ， ， ， ， 点为的中点， 为的中位线， ， ， 故选：B． 7．如图，点A、B、C和点D、E、F分别位于同一条直线上，如果，且，，那么 . 【解析】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：6． 8．如图，在中，于E，且交的延长线于F，当，，时，的长是 ． 【解析】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2． 9．如图，在中，，，以为圆心，的长为半径画弧交于点，连接，分别以为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，过点作交于点．则的长为 ．      【解析】解：由题意可知，射线是的角平分线， 由等腰三角形“三线合一”得是边中点， ， 由平行线分线段成比例定理得到，即是边中点， 是梯形的中位线， ， 在中，，，则， 故答案为：． 10．如图，正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G，若AE=3ED，DF=CF，则的值是 ．    【解析】如图，作FN∥AD，交AB于N，交BE于M，    ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD， ∵FN∥AD， ∴四边形ANFD是平行四边形， ∵∠D=90°， ∴四边形ANFD是矩形， ∵AE=3DE，设DE=a，则AE=3a，AD=AB=CD=FN=4a，AN=DF=2a， ∵AN=BN，MN∥AE， ∴BM=ME， ∴MN=a， ∴FM=a， ∵AE∥FM， ∴， 故答案为：． 11．如图，直线，且直线分别截直线于点，截直线于点．    (1)若，，，求的长； (2)若，，求的长． 【解析】（1）∵， ∴． ∵，，， ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 12．如图，，若，，求的长．    【解析】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图，在中，点在边上，，请用尺规作图法，在边上找一点，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【解析】解：如图，点E即为所求． ∵， ∴． 由作图知：， ∴， ∴， ∴． 14．如图，点，在的边，上，连接，点为外一点，连接，，点在上，连接，，，，，，求的值． 【解析】解：，， ，， ，，， ， ， ． 15．如图，与相交于点，点在上，且，若，，求的长．    【解析】解：∵中，， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴． 16．阅读材料： 角平分线分线段成比例定理：如图1，在中，平分，则． 下面是这个定理的部分证明过程： 证明：如图2，过点C作，交的延长线于点E．…… 解决问题： (1)请按照上面的证明思路，写出该证明的剩余过程； (2)如图3，在中，是角平分线，，，，求的长． 【解析】（1）证明：∵， ∴，，． ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵是角平分线， ∴． ∵，，， ∴，解得，经检验符合题意． 故的长为． 题型三 相似三角形的判定 1．下列两个三角形一定相似的是（   ） A．两个直角三角形 B．有一个内角为的两个直角三角形 C．两个等腰三角形 D．有一个内角是的两个等腰三角形 【答案】B 【解析】解：A、两个直角三角形不一定相似，不符合题意； B、根据两角相等的两个三角形相似，可以得到有一个内角为的两个直角三角形一定相似，符合题意； C、两个等腰三角形不一定相似，不符合题意； D、有一个内角是的两个等腰三角形不一定相似，比如一个的角是顶角，一个的角为底角，不符合题意； 故选：B． 2．根据下列各组条件，不能判断和相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：∵，，， ∴，，则，故选项A不符合要求； ∵，，，， ∴，，则，故选项B不符合要求； ∵，，；，，， ∴，不能判断和相似，故选项C符合要求； ∵，，；，，， ∴，，则，故选项D不符合要求； 故选：C． 3．已知的三边长为1、2、，在下列给定条件的中，与一定相似的是（   ） A．，，； B．，，； C．，，； D．，，． 【答案】D 【解析】解：∵的三边长为1、2、，且， ∴是一个直角三角形， 由选项可知：，所以只需满足即可； 故选：D． 4．如图，在和中，，要使与相似，还需要添加一个条件，这个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵， ∴添加．则 故选：B． 5．如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和往琛的做法．下列说法不正确的是（    ）    天冀的做法：添加条件． 证明：∵，． ∴（两组角对应相等的两个三角形相似） 往琛的做法：添加条件． 证明：∵,． ∴（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似） A．天翼的做法证明过程没有问题 B．往琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．往琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【解析】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题，往琛的做法添加的条件有问题，应为，证明过程中用到两组对应边成比例夹角相等，故B选项符合题意， 故选：B． 6．如图，四边形是平行四边形，是的延长线上一点，分别与交于点，，下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； B、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； C、四边形是平行四边形， ， ，不符合题意； D、无法证明，符合题意； 故选：D． 7．如图，在三角形纸片中，，，，沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：在三角形纸片中，，，． A．因为，则，又由，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与相似，故此选项符合题意； B．因为 ，，，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； C．因为 ，，即：，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； D、因为 ，， ，故沿虚线剪下的涂色部分的三角形与△ABC不相似，故此选项不合题意； 故选：A． 8．如图，，，，则图中相似三角形有（   ） A．5对 B．6对 C．对 D．对 【答案】C 【解析】解：图中有个三角形，分别是：、、、和； ∵，，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴； ∴； ∵，， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴； 综上所述：， 即：，，，， ，，，，，，故图中相似三角形有对； 故选：C． 9．如图，若，请再添加一个条件，使得，你添加的条件是 ．（写出一个即可）    【解析】解：添加条件，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：（答案不唯一）． 10．在中，，，在中，，，要使相似，需添加的一个条件是 ．（写出一种情况即可） 【解析】解：∵在中，，， 在中，，， ∴，， 添加． ∴． 或添加，则， 故答案为：或（答案不唯一）． 11．如图，在平行四边形中，是上的一点，直线与的延长线相交于点，，且与相交于点，请从图中找出并写出三组不同的相似三角形： ．    【解析】解：∵， ∴； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 12．如图，在正方形网格中：①；②；③；这3个斜三角形中，能与相似的是 ．（点、、、、均在格点上）    【解析】解：∵的三边之比是， 的三边之比是 的三边之比是， 的三边之比是． ∴与相似， 故答案为：． 13．如图，点D，E分别在的，边上，增加下列条件中的一个：①，②，③，④，⑤，使与一定相似的有 ． 【解析】解：∵，， ∴，故①符合题意； ∵，， ∴，故②符合题意； ∵，， ∴，故④符合题意； 由，或，不能满足两边成比例且夹角相等，不能证明与相似，故③⑤不符合题意； 故答案为：． 14．如图，已知，则图中相似三角形是 ．    【解析】解：∵，， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 15．如图，在中，直角边上有一动点（不与点重合）．过点作直线截，使截得的三角形与相似，则满足这样条件的直线共有 条．    【解析】解：如图： ①过点D作AB的垂线段PD，则△APD∽△ACB； ②过点D作BC的平行线PE，交AB于E，则△ADE∽△ACB ③过点D作AB的平行线PF，交BC于F，则△DCF∽△ACB； ④作∠DGC＝∠A，则△GCD∽△ACB． 故答案为：4． 16．如图，在中，为边上一点，，，，求证：． 【解析】证明：∵，，， ∴，， ∴． ∵， ∴． 17．如图，，且，，求证：．    【解析】证明：，且，， ， ，且， ， ， ， 又∵， ． 18．如图，小正方形的边长均为1， (1)则下列选项中，网格中的三角形与相似的是（    ） A． B． C．   D． (2)在网格内画一个（E、F均在格点上）使得与相似比为2：1 【解析】（1）解：图中中，，又，，，因此．很明显，选项B，C，D中，三角形没有的内角，故选项不符合题意；选项A中，钝角等于，夹角的两边之比为，故A网格中的三角形与相似，选项A符合题意． 故选：A． （2）如图，或为求， 19．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【解析】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 20．如图所示，，，：，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发沿向点以的速度移动，如果、分别从、同时出发，过多少秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似？ 【解析】解：，，：，即：：， 设，， 则， 即， 解得：， ，， ， 设过秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似， 则，，， 是公共角， ①当，即时，∽， 解得：， ②当，即时，∽， 解得：， 过或秒时，以、、为顶点的三角形恰与相似． 21．如图，在与中，点、分别在边、上，且，若___________，则．请从①；②；③这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明． 【解析】解：若选①， 证明：∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 选择②，不能证明． 若选③， 证明：∵， ∴，∴， 又∵， ∴． 1．如果点是的重心，是边的中点，那么的值为（　　） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】解：∵点是的重心，是边的中点， ∴， 故选：A． 2．小明按照以下步骤画线段AB的三等分点： 画法 图形 1．以A为端点画一条射线； 2．用圆规在射线上依次截取3条等长线段AC、CD、DE，连接BE； 3．过点C、D分别画BE的平行线，交线段AB于点M、N，M、N就是线段AB的三等分点．    这一画图过程体现的数学依据是（    ） A．两直线平行，同位角相等 B．两条平行线之间的距离处处相等 C．垂直于同一条直线的两条直线平行 D．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例 【答案】D 【解析】解：由步骤２可得：C、D为线段AE的三等分点 步骤３中过点C、D分别画BE的平行线，由两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例得： M、N就是线段AB的三等分点 故选：D． 3．如图，直线，分别交直线m、n于点A、C、E、B、D、F，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵， ，，， 选项A、B、C错误，不符合题意；D正确，符合题意； 故选：D． 4．下列各条件中，能判断的是（   ） A．， B．， C．， D．，，， 【答案】C 【解析】解：A、∵，，只有一角一边， ∴不能判断两个三角形相似，故A不符合题意； B、∵，，不是与的夹角， ∴不能判断两个三角形相似，故B不符合题意； C、由，可得， 再由，得， ∵两组对应边成比例且其夹角相等的两个三角形相似， ∴可判断，故C符合题意； D、由，， 得， 由，， 得， ∵只有， ∴不能得，故D不符合题意． 故选：C． 5．如图，在梯形中，，与交于点，找出图中相似的三角形（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【解析】解：、只有这一个条件，不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、由条件不能判定与相似，原选项不符合题意； 、∵， ∴，， ∴，原选项符合题意； 故选：． 6．如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形（阴影部分）与相似的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：由题意，，， ， 选项B中的三角形是 有一个角为，且该角度的邻边之比为，符合题意． 故选：B． 7．数学课上，老师提出下面的问题：如图，在中，，请用直尺和圆规在上确定点D，使与相似．下面是四个学生的不同作法，根据作图痕迹可以判断，作法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】若使与相似， 则， 即是的垂线， 故选：C． 8．已知的三边长分别为，，，的一边长为，当的另两边长是下列哪一组时，这两个三角形相似（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】解：、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 、∵， ∴能判定两个三角形相似，符合题意； 、∵， ∴不能判定两个三角形相似，不符合题意； 故选：． 9．已知命题： ①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 下列对这两个命题的判断，正确的是（   ） A．①和②都是真命题 B．①和②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 【答案】C 【解析】解：①两边及第三边上的中线对应成比例的两个三角形相似； 如图所示，在中，是边上的中线，， 如图所示，延长至点，使得，连接， ∴， ∴， ∴， 同理，延长至点，使得，连接， ，，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴，故①是真命题； ②两边及第三边上的高对应成比例的两个三角形相似． 如图所示，在中，，是边上的高， ∴，但与不相似，故②是假命题； 综上所述，①是真命题，②是假命题， 故选：C． 10．如图，在中，，，，是上一点，，点从出发沿方向，以的速度运动至点处，线段将分成两部分，可以使其中一部分与相似的点的个数为（　　） A．0个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【解析】解：①当时，，， ②当时，，， ③当时，，， ④当时，，， 综上：一共有4个， 故选：D． 11．如图所示，，交于点O，且，，，当 时，． 【解析】解：∵，，，,， ∴，即，， 解得 故答案为：． 12．如图，在和中，，点E在边上，添加一个条件后，能判定与相似，这个条件是 ．(添加一个即可) 【解析】解：在和中， ， 故只需要增加一组角对应相等即可， 可添加， 此时， 故答案为：（答案不唯一）． 13．如图，在四边形中，对角线平分，，，则要使，只要 ． 【解析】解：∵平分， ∴， 当时，， 即：， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：4． 14．在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．有一张矩形纸片如图所示，点在边上，现将矩形折叠，折痕为，点对应的点记为点，若点恰好落在边上，则图中与一定相似的三角形是 ．    【解析】解：四边形是矩形， ， ， 由折叠的性质可得：， ， ， ， ， 故答案为：． 15．一个三角形的三边长分别为1，，2，另一个三角形的两边长分别为和2，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为 ． 【解析】解：设另一个三角形的第三边长为x， 当2为最长边时，， 解得， 当为最长边时，， 解得，， 当和对应时，，，，即此种情况不存在， 综上可知，要让这两个三角形相似，则另一个三角形的第三边长为或， 故答案为：或． 16．如图，∥，∥，与交于点G，则图中相似三角形共有 对． 【解析】图中三角形有：，，， ∵， ∴ 共有3个组合分别为：∴，， 故答案为：3． 17．如图，在中，点D、E分别在边上，，，那么 ． 【解析】解：设上的高为， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 18．如图，在中，，，则 ． 【解析】解：如图，过点D作交于点G． ∵，， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 19．如图，是的边上一点，下列结论正确的个数是 个． ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 【解析】解：∵，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； 若，仅结合， 无法证明，故结论④错误． 综上所述，结论正确的个数是2． 故答案为：2． 20．如图，已知于点，于点，，，，为直线上一点，若以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形相似，则这样的点有 个． 【解析】解：∵， ∴，设， ①当点P在线段上运动时， 当时，， ∴ ， ∴，； 当时，， ∴， 解得：； ②当点P在B的左侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：； ③当点P在点C的右侧运动时， 当时，， ∴ ， ∴，（舍去）； 当时，， ∴， 解得：（舍去）； 综上可知，符合题意的x的值有6个，即这样的点有6个． 故答案为：6． 21．如图，D是的边上的一点，，，，求证：． 【解析】证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为公共角， ∴． 22．如图，是上的一个动点．当时，求证：． 【解析】证明：， ， ， 又， ， ， ． 23．如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【解析】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 24．如图，已知，，吗？请说明理由．若不相似，请添加一个条件，使这两个三角形一定相似． 【解析】解：不定相似，因为和不是成比例的两边的夹角。 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两角对应相等，两三角形相似”得到； 若添加，则可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似” 得到。 故可添加：，或或（答案不唯一）． 25．如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【解析】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 26．已知：如图，点，在线段上，是等边三角形，且，，．求证：． 【解析】证明：是等边三角形， ，． ． 又，， ， ． 27．综合与探究 (1)【问题呈现】 如图1，当，时，求证：． (2)【拓展延伸】 如图2，当，时，求的值． (3)【深入探究】如图3，在中，直线分别与的延长线交于点D，E，F，，，直接写出的值（用含m，n的式子表示）． 【解析】（1）解：证明：如图1，过点C作交于点H． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图2，过点C作交于点H． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：的值为． 如图3，过点C作交于点H． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 28．已知，是半径为的的内接三角形，点是的内心，射线分别交、于点． (1)如图，连接，求证：； (2)如图，； 若，求的长； 若，求的值； (3)如图，，射线分别交于点，点在直线上方的圆弧上运动，无论点如何移动，线段中有一个为定值，请判断是哪一个线段，并求出此定值． 【解析】（1）∵点是的内心， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）由题意知，，直径， ∴由勾股定理得， 连接，，过点作于点， ∵点是的内心， ∴， ∴， 在中， ， ； 连接，过点作于点，过点作于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵点是的内心， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）连接，，，， ∵点是的内心， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴ ∴， 连接，， 同理可得，，， 但，随着点的运动而变化， ∴线段为定值，且． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$