重难点07 二次函数与特殊三角形、相似三角形存在性三种常考模型及其综合题综合训练（3大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

重难点07 二次函数与特殊三角形、相似三角形存在性三种常考模型及其综合题综合训练 二次函数与特殊三角形、相似三角形存在性问题考查方式： 1.特殊三角形存在性：常给定二次函数解析式，在此基础上，让考生探究是否存在点使得构成的三角形为等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形等。如给定抛物线和一些点的坐标，问在抛物线上或对称轴上是否存在点，使所构成的三角形满足特定条件。需要利用等腰三角形两腰相等、直角三角形勾股定理等性质，通过设点坐标，用代数方法表示出三角形边长，再列方程求解。 2.相似三角形存在性：一般先给出二次函数图象及相关点、线，要求考生找出与已知三角形相似的三角形。通常要先找出相等的角，再根据对应边成比例列方程求解。比如根据函数图象上点的坐标求出线段长度和角的度数，从而确定相似三角形的对应关系。 题型与分值预测：在广东数学中考中，这类问题通常以解答题的形式出现，多为压轴题或倒数第二题。分值一般在8 - 12分左右。因为此类问题综合性强，能考查学生对二次函数、三角形等知识的综合运用能力，以及分类讨论、数形结合等数学思想，所以在中考中具有较高的区分度，是拉开学生分数差距的重要题型。 考向一：等腰三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法 已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形 （1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点即为所求; （2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点、即为所求 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标: (2)几何法 作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系 1．（2023·广东汕头·二模）如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得． (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式． (2)求点E的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2024·广东梅州·一模）如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 3．（2022·广东汕头·一模）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．    (1)求抛物线及直线的表达式； (2)过点P作，垂足为点N．求线段的最大值； (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 考向二：直角三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形 (1) 如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点即为所求; (2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求. 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法 分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²; ②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可; (2)几何法 过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型 1．（2023·广东东莞·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． (4)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为． ①连接交于点，求的最大值； ②点在轴上，是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 考向三：相似三角形的存在性问题 相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式 1．（2025·广东清远·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物与x轴交于两点和点，与y轴交于点C，连接．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当以点B，D，E为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． 2．（2024·广东河源·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值． 一、解答题 1．（2024·广东东莞·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求的面积； (2)点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标． 2．（2023·广东东莞·三模）如图，已知过坐标原点的抛物线经过两点，且是方程两根（），抛物线顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标． (3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（2023·广东肇庆·三模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)作射线，将射线绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线上是否存在一点H，使的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标． 5．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，． (1)求的长． (2)求a的值． (3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长． 6．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 7．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B． (1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式． (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L． ①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若与交于点D， 求 m的值． (3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2023·广东湛江·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点07 二次函数与特殊三角形、相似三角形存在性三种常考模型及其综合题综合训练 二次函数与特殊三角形、相似三角形存在性问题考查方式： 1.特殊三角形存在性：常给定二次函数解析式，在此基础上，让考生探究是否存在点使得构成的三角形为等腰三角形、直角三角形或等腰直角三角形等。如给定抛物线和一些点的坐标，问在抛物线上或对称轴上是否存在点，使所构成的三角形满足特定条件。需要利用等腰三角形两腰相等、直角三角形勾股定理等性质，通过设点坐标，用代数方法表示出三角形边长，再列方程求解。 2.相似三角形存在性：一般先给出二次函数图象及相关点、线，要求考生找出与已知三角形相似的三角形。通常要先找出相等的角，再根据对应边成比例列方程求解。比如根据函数图象上点的坐标求出线段长度和角的度数，从而确定相似三角形的对应关系。 题型与分值预测：在广东数学中考中，这类问题通常以解答题的形式出现，多为压轴题或倒数第二题。分值一般在8 - 12分左右。因为此类问题综合性强，能考查学生对二次函数、三角形等知识的综合运用能力，以及分类讨论、数形结合等数学思想，所以在中考中具有较高的区分度，是拉开学生分数差距的重要题型。 考向一：等腰三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定等腰三角形顶点位置的常见方法 已知点A,B和直线l,在l上找点P,使APAB为等腰三角形 （1）如图①,若AB 为腰,分别以点 A,B为圆心,以 AB 长为半径画圆,与直线l的交点即为所求; （2）如图②,若 AB 为底,作线段 A8 的垂直平分线与直线l的交点、即为所求 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法(三角形三边长度可直接表示)分别表示出点A,B,P的坐标,再表示出线段 AB,BP,AP长度,由①AB=AP;②AB=BP;③BP=AP,分别列方程解出坐标: (2)几何法 作等腰三角形底边的高(即底边的垂直平分线),用勾股定理或相似建立等量关系 1．（2023·广东汕头·二模）如图，点A、B在x轴正半轴上，点C、D在y轴正半轴上，且，过A、B、C三点的抛物线上有一点E，使得． (1)求过A、B、C三点的抛物线的解析式． (2)求点E的坐标． (3)在抛物线的对称轴上是否存在点P，使为等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或或或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查运用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与几何综合等知识以及等腰三角形的性质： （1）设抛物线的解析式为，把点，，代入函数解析式，求出的值即可； （2）过点作轴于点，设，证明，得，代入相关数据得，求出的值，再进行判断即可； （3）由得对称轴为直线，设，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，， ∵A、B、C三点在抛物线上， ∴， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：过点作轴于点，如图， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 又 ∴， ∴， 设， ∴， ∵ ∴， 解得，或， 经检验，是原方程的解，是增根， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：由知，抛物线的对称轴为直线， 设点， ∵，， ∴，，， ∵是等腰三角形， ∴分三种情况讨论：①当时，即， ∴， 解得，， ∴点的坐标为； ②当时，即， ∴， 解得，或 ∴点的坐标为或； ③当时，即， ∴， 解得，或， ∴点的坐标为或（舍去）； 综上，点的坐标为或或或． 2．（2024·广东梅州·一模）如图所示，已知二次函数的图像经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)直线交二次函数的图像于点，交直线于点，是否存在实数，使为等腰三角形，若存在，请求出这样的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当或或4时，为等腰三角形 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查二次函数的综合，熟练掌握二次函数的性质及两点距离公式是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解函数解析式； （2）根据二次函数的图象与性质及等腰三角形的性质、两点距离公式可进行求解． 【详解】（1）解：将代入， 得， 解得：， 所以． （2）解：设直线，因为， ∴，解得：， 所以直线， ∴， ∴， 根据题意设有，，，过点作，垂足为点， ∴轴， ∴， ∴； ∴ ∴；； ∴；； 若为等腰三角形，分以下三种情况： ①当时，有，解得：或5或0，而又，因此． ②当时，有，即，解得：或0，而又，因此． ③当时，有，解得：或0，而又，因此． 综上所述，当或或4时，为等腰三角形． 3．（2022·广东汕头·一模）如图，抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，点A的坐标为，点C坐标为，对称轴为．点M为线段上的一个动点（不与两端点重合），过点M作轴，交抛物线于点P，交于点Q．    (1)求抛物线及直线的表达式； (2)过点P作，垂足为点N．求线段的最大值； (3)试探究点M在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)抛物线解析式为，直线BC的解析式为； (2)最大值为 (3)存在，或或 【知识点】解直角三角形的相关计算、特殊三角形问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先利用对称性求出点B的坐标，运用待定系数法即可求得答案； （2）设，则，，由，可得，再由平行线性质可得，根据三角函数定义可得，利用二次函数最值即可得出答案； （3）设，利用勾股定理或两点间距离公式可得：，，，根据等腰三角形性质分三种情况：或或，分别建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）∵抛物线对称轴为，点B与关于直线x＝1对称， ∴， 设，把代入得：， 解得：， ∴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 故抛物线解析式为，直线的解析式为； （2）设，则， ∴， ∵，， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴当时，的最大值为； （3）存在，设， ∵，， ∴，，， ∵以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形， ∴或或， 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，， 解得：（舍去）或， ∴； 当时，， 解得：， ∴； 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，三角函数，等腰直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理，两点间距离公式等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏． 考向二：直角三角形的存在性问题 顶点确定法 1.确定直角三角形顶点位置的常见方法已知点A.B和直线l,在l上找点P,使△PAB为直角三角形 (1) 如图①,分别过线段端点A,B作 AB 的垂线,与直线l的交点即为所求; (2)如图②,以 AB 为直径画圆,与直线l的交点 即为所求. 2.求点坐标的常用方法 (1)代数法 分别表示出点 A,B,P的坐标,再表示出 AB²,BP²,AP²,分情况讨论:①∠PAB=90°,即AB²+AP²=BP²; ②∠ABP=90°,即AB²+BP²=AP²;③∠APB=90°,即AP²+BP²=AB²分别列方程求解即可; (2)几何法 过直角顶点作平行于坐标轴的辅助线构造“一线三垂直”模型,利用相似或全等三角形解题“一线三垂直”模型 1．（2023·广东东莞·一模）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D． (1)求此函数的关系式； (2)在下方的抛物线上有一点N，过点N作直线轴，交与点M，当点N坐标为多少时，线段的长度最大？最大是多少？ (3)在对称轴上有一点K，在抛物线上有一点L，若使A，B，K，L为顶点形成平行四边形，求出K，L点的坐标． (4)在y轴上是否存在一点E，使为直角三角形，若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)当N的坐标为，MN有最大值 (3)或或 (4)存在，点E的坐标为或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由求得,再分别代入抛物线解析式，得到以b，c为未知数的二元一次方程组，求出b，c的值即可； （2）求出直线的解析式，再设出M、N的坐标，把表示成二次函数，配方即可； （3）根据平行四边形的性质，以为边，以为对角线，分类讨论即可； （4）设出E的坐标，分别表示出的平分，再分每一条都可能为斜边，分类讨论即可． 【详解】（1）∵抛物线经过点A，点C，且, ∴, ∴将其分别代入抛物线解析式，得， 解得． 故此抛物线的函数表达式为：； （2）设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 设N的坐标为，则， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，为， 把代入抛物线得，N的坐标为， 当N的坐标为，MN有最大值； （3）①当以为对角线时，根据平行四边形对角线互相平分， ∴必过， ∴L必在抛物线上的顶点D处， ∵， ∴ ②当以为边时，， ∵K在对称轴上， ∴L的横坐标为3或， 代入抛物线得或，此时K都为， 综上，或或； （4）存在， 由，得抛物线顶点坐标为 ∵， ∴， 设，则，， ①为斜边，由得：， 解得：， ②为斜边，由得：， 解得：， ③为斜边，由得：， 解得：或， ∴点E的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象与性质，平行四边形的判定与性质以及勾股定理等知识，会运用待定系数法列方程组，两点间距离公式求的长，由平行四边形的性质判定边相等，运用勾股定理列方程． 2．（2024·广东汕头·模拟预测）如图，抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． (1)求该抛物线的解析式； (2)点是直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为． ①连接交于点，求的最大值； ②点在轴上，是否存在点，使得是等腰直角三角形，若存在，求出点的横坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)①1；②存在，或或． 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的最值、特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的定义，全等三角形的性质与判定； （1）依题意，设所求抛物线的解析式为把点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）①先求得直线的解析式为，过点作轴交于点则，设点的坐标为则点的坐标为．根据相似三角形的性质得出，进而根据二次函数的性质即可求解； ②分三种情况讨论：当，时，过点作轴于点当，时，过点作轴于点轴于点则当，时，过点作轴于点则，根据全等三角形的性质得出线段相等，进而列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线与轴交于、两点， ∴设所求抛物线的解析式为． 把点代入，得， 解得． ∴所求抛物线的解析式为． 即． （2）①设经过、两点的直线的解析式为， 解得： ∴． 如图，过点作轴交于点 则， ∴． 设点的坐标为则点的坐标为． ∴． ∴． ∵，且 当时的最大值为． ②分三种情况讨论： （Ⅰ）如图，当，时，过点作轴于点 在中， ∴． ． 点的横坐标为． （Ⅱ）如图，当，时， 过点作轴于点轴于点同理可得 ∴． ∴． 解得，(舍去)． ∴点的横坐标为． （Ⅲ）如图，当，时，过点作轴于点 同理可得． ． ． ． 解得舍去． 点的横坐标为． 综上所述是等腰直角三角形时点的横坐标为：或或． 考向三：相似三角形的存在性问题 相似三角形问题的解题步骤 第一步：找关键点 根据抛物线的表达式求出抛物线上关键点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：找等角 找到两个三角形中相等的定角，通常定角为直角、对顶角、公共角同位角、内错角，或通过互余(互补)进行转化等方法得到的等角 第三步：求点坐标 根据相似三角形对应边成比例列关系式 1．（2025·广东清远·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物与x轴交于两点和点，与y轴交于点C，连接．点D是抛物线对称轴上一点，对称轴与x轴交于点E，与直线交于点F． (1)求抛物线的解析式； (2)连接，当以点B，D，E为顶点的三角形与相似时，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)或或或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查二次函数综合．主要考查待定系数法求函数解析式，相似三角形等知识点．能正确理清题意，分类讨论是解题关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）根据题意可知两个三角形有一组相等的直角，所以只需要根据两边成比例且夹角相等的三角形相似即可得出D点的坐标． 【详解】（1）解：∵点，在抛物线上， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵对称轴与x轴交于点E，与交于点F， ∴， ∴点E的坐标为， ∵抛物线与y轴交于点C， ∴当时，， ∴点C的坐标为， 根据题意可知：， 若， 则，即，解得， ∴或， 若， 则，即，解得：， ∴或， 综上所述：点D的坐标为或或或． 2．（2024·广东河源·一模）如图，已知抛物线与轴交于点，且经过点，过点作轴的平行线，交轴于点，交抛物线于点，点是抛物线在第一象限内的一动点，过点作轴，垂足为． (1)求该抛物线的解析式； (2)判断的形状，并说明理由； (3)点N是x轴上的一点，当与相似时，求n的值． 【答案】(1) (2)等腰三角形，见解析 (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据题意列方程组，即可得到结论； （2）点是抛物线在第一象限内的一动点，于是得到，求得，根据勾股定理得到，，根据等腰三角形的判定定理得到是等腰三角形； （3）根据是等腰三角形，当与相似时，得到是等腰三角形，求得或，当时，过作轴于，根据相似三角形的性质得到，延长交于，求得，解方程得到；当时，如图，同理；于是得到结论． 【详解】（1）抛物线与轴交于点，且经过点， ， ， 该抛物线的解析式为； （2）是等腰三角形， 理由：点是抛物线在第一象限内的一动点， ， ， 过点作轴的平行线，交轴于点，， ，， ， 是等腰三角形； （3）过点作轴的平行线，交抛物线于点， ， 是等腰三角形，当与相似时， 是等腰三角形， 或， 当时， 过作轴于， ， ， ∴ ， ， ， 延长交于， ， ，， ， ， 或（不合题意舍去）， ； 当时，如图， 同理； 综上所述，当与相似时，的值为． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的性质，等腰三角形的判定，勾股定理，正确地求出函数解析式是解题的关键． 一、解答题 1．（2024·广东东莞·一模）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接，． (1)求的面积； (2)点为轴上一点，是否存在点，使得与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点为抛物线上一点（点与点不重合），且使得中有一个角是，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)6 (2)存在，点的坐标为或，理由见详解 (3)点坐标为，或． 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）分别确定点的坐标，进而可得的长度，然后根据三角形面积公式求解即可； （2）若与相似，则进行分类讨论，当或当，由相似三角形的性质可得对应边成比例，再代入数值进行计算，即可求解； （3）分三种情况讨论：根据题意，点与点不重合，当时；当时，设交轴于点，过点作于点，证明为等腰直角三角形，结合点坐标可得，设，则，，进而解得，即可确定点坐标，利用待定系数法解得直线的解析式，联立直线的解析式与抛物线解析式，求解即可确定点坐标；当时，同理可解． 【详解】（1）解：对于抛物线， 当时，可有，即， 当时，可有， 解得，， 即，， ∴，， ∴； （2）解：存在，点的坐标为，或 理由如下： ∵，，， ∴，，， 如下图，当时，    则有，即， ∴， ∴， ∴； 当时，如图：    则有，即， ∴， ∴ 则， 综上：或 （3）解：根据题意，点与点不重合；且，如图    结合二次函数的对称性，且 ∴ ∴ 则 ∵ ∴对称轴 则 则 ∴的坐标为 当时，如下图，    设交轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线解析式， 可得， 解得（舍去）或， ∴点； 当时，如下图，    设交轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将点，代入， 可得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立直线的解析式与抛物线解析式， 可得， 解得（舍去）或， ∴点． 综上所述，点坐标为，或． 【点睛】本题是二次函数综合应用，主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、解直角三角形、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的性质等知识，综合性强，难度较大，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． 2．（2023·广东东莞·三模）如图，已知过坐标原点的抛物线经过两点，且是方程两根（），抛物线顶点为C． (1)求抛物线的解析式； (2)若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点E的坐标； (3)P是抛物线上的动点，过点P作轴，垂足为M，是否存在点P使得以点P、M、O为顶点的三角形与相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，P的坐标是,,， 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）通过解方程求出的值，就可以求出点A、B的坐标，再根据待定系数法就可以求出抛物线的解析式． （2）①当为边时，根据E在上，能求出D的横坐标，根据平行四边形性质求出D的坐标即可；②为对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分，求出D和C重合，进一步求出E的坐标； （3）设，根据勾股定理的逆定理推论出，根据相似三角形的性质，得出比例式，代入求出即可． 【详解】（1）∵是方程的两根（）， 解得原方程的两根分别是：， ∴， 设抛物线的解析式为， 则， 解得：， ∴抛物线的解析式是． （2）∵， ∴对称轴为：， ①当为边时， ∵以A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形， ∴， ∵E在对称轴上， ∴D的横坐标是1或， ∴D的坐标是或，此时E的坐标是； ②当是对角线时，则和互相平分，由E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标是， 由对称性知，符合条件的点D只有一个，即是顶点，此时， 综合上述，符合条件的点E共有两个，分别是或． （3）假设存在，设， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形，，， ∵以P、M、O为顶点的三角形和相似， 又∵， ∴，或， ∴或， 解得：或或或， ∴存在P点，P的坐标是,,，． 【点睛】本题综合考查了二次函数的综合，用待定系数法求二次函数的解析式，相似三角形的性质和判定，勾股定理的逆定理，平行四边形的判定等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求．注意：不要漏解以及分类讨论思想的运用． 3．（2024·广东东莞·一模）如题，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，连接，． (1)求抛物线的解析式． (2)点为抛物线的对称轴上一动点，当周长最小时，求点的坐标． (3)点是的中点，射线交抛物线于点，是抛物线上一动点，过点作轴的平行线，交射线与点，是否存在点使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点的坐标为或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、利用相似三角形的性质求解、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小，得出直线的解析式为，当时，，得出即可求解； （3）分两种情况：，，根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：把点，分别代入， 得解得 ∴抛物线的解析式为． （2）∵， ∴对称轴为直线 点关于对称轴的对称点为点，连接交对称轴于点，连接，此时最小， 当时，， ∴点． 设直线的解析式为，代入得 ∴ ∴直线的解析式为 当时，， ∴点． （3）存在． ∵，是的中点， ． 又， ∴直线的解析式为，． 联立得． 解得，（舍）． 当时，． ∴． 设，则． ∴． 分以下两种情况： ①如图2，若，则，． ∴轴． ∴． ∴． 解得或（舍）． ∴． ②如图3，若，则，． 过点作于点，则， 即． 解得或（舍）． ∴． 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数的综合运用，待定系数法求二次函数解析式，线段周长问题以及相似三角形的性质，解题的关键是求出二次函数解析式． 4．（2023·广东肇庆·三模）如图，抛物线与x轴交于点和，与y轴交于点C． (1)求抛物线的表达式； (2)作射线，将射线绕点A顺时针旋转交抛物线于另一点D，在射线上是否存在一点H，使的周长最小，若存在，求出点H的坐标；若不存在，请说明理由； (3)在（2）的条件下，点Q为抛物线的动点，过Q点作x轴的垂线交射线与P点，点Q从A点出发，P点随之运动，当是以为腰的等腰三角形时，直接写出Q点的坐标． 【答案】(1) (2)存在， (3)点的坐标为或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、根据旋转的性质求解、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）由抛物线与x轴两交点坐标，可得抛物线交点式为，去括号即得到抛物线的表达式； （2）由于点H在射线上运动，点C、B在射线的同侧，求的周长最小即求最小，作点C关于直线的对称点即有，只要点、H、B在同一直线上时，最小．求点C坐标，即求直线解析式，由射线是由射线旋转得到可求得直线解析式．由点A为中点求得点坐标，即求得直线解析式，把直线与直线解析式联立成方程组，求得的解即为点H坐标． （3）设，由直线：可得，则，，分两种情况：①当时，②当时，根据等腰三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于点和， ∴交点式为， ∴抛物线的表示式为； （2）解：在射线上存在一点H，使的周长最小， 如图，延长到，使，连接，与交点即为满足条件的点H， ∵时，， ∴， ∴， ∴，直线解析式为， ∵射线绕点A顺时针旋转得射线， ∴， ∴， ∴直线解析式为， ∵， ∴，垂直平分， ∴， ∴当、H、B在同一直线上时， 最小， 设直线解析式为， ∴，解得：， ∴直线：， ∵，解得：， ∴点H坐标为； （3）解：设，则， ∴，， ①当时，， ∴或， 解得（舍去）或（舍去）， ∴Q点的坐标为或； ②当时，如图， ∵轴， ∴， ∴， ∴（舍去）, ∴Q点的坐标为． 综上所述，当是以为腰的等腰三角形时，Q点的坐标为或或． 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，轴对称求最短路径，等腰三角形的性质，解二元一次方程组．其中第（3）题要分类讨论，避免漏解． 5．（2024·广东·模拟预测）综合探究 如图（1）所示，在平面直角坐标系中，已知菱形的顶点A在y轴正半轴上，顶点B，C，D在二次函数（a为常数，且）的图象上，且轴，与y轴交于点E，． (1)求的长． (2)求a的值． (3)如图（2）所示，F是射线上的一动点，点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，当是直角三角形时，求的长． 【答案】(1)1 (2)1 (3)或 【知识点】相似三角形问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合)、解直角三角形的相关计算、y=ax²的图象和性质 【分析】（1）由菱形可得，根据二次函数对称性可得，再根据求解即可； （2）设则代入计算即可； （3）过点C作 于点N，设直线交射线与点M，连接，根据菱形的性质及解三角形得出，再由旋转的性质分三种情况讨论：①当以为直角顶点时，②当以A为直角顶点时，③当以为直角顶点时，分别利用旋转的性质，相似三角形的判定和性质及解一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵轴， ∴， ∵二次函数对称轴为轴， B，C，D在二次函数的图象上， ， ； （2）解：由（1）可得，，， 设则 代入得， 解得， ∴； （3）解：如图2，过点C作 于点N，设直线交射线与点M，连接， 在菱形中，， ， ， ， ， ∴在中，，， ∵点C，D同时绕点F按逆时针方向旋转得点，则绕点F逆时针旋转得到， ， ∵， ， ， 由是直角三角形，可知需分三种情况讨论： ①当以为直角顶点时，如图， ∵， ∴点落在的延长线上，且与点M重合， ∵， ∴， ∴点 F与点N重合， ∴， ∴； ②当以为直角顶点时，如图 ， ， ∴点落在的延长线上，且与点M重合， ，， ， 在中，， ， ； ③当以A为直角顶点时，如图， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 化简得 ， ， 无解， 不存在此种情况，不符合题意， 综上所述，当是直角三角形时，的长为或． 【点睛】本题考查二次函数的性质，旋转的性质，菱形的性质，全等三角形的判定与性质，解直角三角形，三角形相似的判定与性质，解一元二次方程，解直角三角形等知识，利用分类讨论和数形结合是解题的关键． 6．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)①是直角三角形；②；③ 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合)、特殊三角形问题(二次函数综合) 【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入解析式得： ，解得：， ∵抛物线的解析式为； （2）解：①配方得， ∴点P的坐标为， 令，则， ∴ 作轴于点H，则， ∴ 又∵在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形； ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， ， ∴ ③设点，过点P作轴于点N，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 7．（2024·广东·模拟预测）综合运用 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线 与x轴交于点 A．C(点 A 在点 C的右侧)．与y轴交于点 B．直线经过点A，B． (1)求A，B，C 三点的坐标及直线的表达式． (2)P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作轴交直线于点 Q，设点 P 的横坐标为．的长为 L． ①求L与m的函数关系式，并写出m的取值范围； ②若与交于点D， 求 m的值． (3)设抛物线的顶点为M，问在y轴上是否存在一点 N，使得为直角三角形？若存在，直接写出点 N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)①② (3)存在，或或或 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合、求抛物线与x轴的交点坐标、求一次函数解析式 【分析】（1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可； （2）①求出点坐标，根据两点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可； ②证明，得到，进行求解即可； （3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，当时，，解得：， ∴， ∵直线经过点A，B ∴，解得：， ∴； （2）①∵点 P 的横坐标为， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵P是第二象限内抛物线上的一个动点， ∴； ∴； ②∵轴，与交于点D， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴（舍去）或， ∴； （3）存在，设点， ∵， ∴， ∵， ∴； ①当点为直角顶点时：，解得：， ∴； ②当点为直角顶点时，，解得：， ∴； ③当点为直角顶点时：，解得：或， ∴或； 综上：或或或． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 8．（2023·广东湛江·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点． (1)如图①，连接，在轴上存在一点，使得是以为底的等腰三角形，求点的坐标； (2)如图②，在抛物线上是否存在点，使是以为底的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图③，连接，在直线上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)如图④，若抛物线的顶点为，连接，在轴上是否存在一点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (5)如图⑤，在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)存在点，使是以为底的等腰三角形，，或， (3)存在点，使是以为腰的等腰三角形，满足条件的点，或，或， (4)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或， (5)存在点，使是等腰三角形，点坐标为，或，或，或，或， 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、等腰三角形的定义、用勾股定理解三角形、公式法解一元二次方程 【分析】（1）设，，由，则，求出即可求，； （2）点在线段的垂直平分线上，再由是等腰直角三角形可得垂直的直线为，联立方程组即可求点坐标； （3）设，，由和，建立方程求出的值，即可求出答案； （4）求出顶点，，设，，分三种情况讨论：①当时，可得，；②当时，可得．，或，；③当时，可得，； （5）设，，分三种情况讨论∶①当时，可得，；②当时，可得，或，；③当时，可得，或，． 【详解】（1）解：令，则， ∴，， 令，则， ∴，， 令，则， 解得或， ∴，， 设，， ∴， ∴， 解得， ∴，； （2）解：存在点，使是以为底的等腰三角形，理由如下： ∵，，，， ∴的中点为，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴过的中点与垂直的直线为， 联立方程组， 解得或， ∴，或，； （3）解：存在点，使是以为腰的等腰三角形，理由如下： 设，， 当时， ∴， 解得舍去或， ∴，； 当时，， ∴， ∴，或，， 即满足条件的点，或，或，； （4）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵， ∴顶点，， 设，， ①当时，， 解得或舍， ∴，； ②当时，， 解得或， ∴，或，； ③当时，， 解得， ∴，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，； （5）解：存在点，使是等腰三角形，理由如下： ∵抛物线的对称轴为直线， 设，， ①当时，， 解得， ∴，； ②当时，， 解得， ∴，或，； ③当时，， 解得或， ∴，或，； 综上所述：点坐标为，或，或，或，或，． 【点睛】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$