重难点06 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型及其综合题综合训练（3大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

重难点06 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型及其综合题综合训练 二次函数与线段、面积、角度问题 考查方式：1.线段问题：常求单线段最值、两条线段之和最值、线段之差绝对值最值等。如通过二次函数上点的坐标表示线段长度，利用“垂线段最短”“两点之间线段最短”等原理求解。 2.面积问题：一般会结合图形的分割、拼接，将所求面积转化为易求图形的面积组合，通过二次函数解析式表示相关线段长度，进而得出面积关于函数自变量的表达式，再求最值。 3.角度问题：可能让求角度大小、证明角度相等或探究角度存在性问题，常利用相似三角形、全等三角形、三角函数等知识，结合二次函数的性质来解决。 题型与分值预测：在广东数学中考中，二次函数与线段、面积、角度问题大概率会出现在解答题压轴位置，分值可能在10分 - 12分左右。也可能在填空题中出现与线段或角度相关的小问，占3分左右。2025年或许会延续近年趋势，注重对二次函数性质的运用，结合图形变换等知识点，考查学生综合运用知识的能力。 考向一：二次函数与线段问题 一、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 二、抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 1．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 2．（2025·广东中山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为．   (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)当时，求矩形的周长． (3)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． 3．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 考向二：二次函数与面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 三、抛物线中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是，在抛物线上． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)在直线l下方的抛物线上有一点P，当的面积取得最大值时，求此时P点的坐标． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D (1)求二次函数的解析式； (2)P为直线上方抛物线上一点，求面积最大值及P点坐标； (3)P为第四象限抛物线上一点，且，求出点P的坐标； 3．（2025·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于A、两点，其中，，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过点A、，连接． (1)求抛物线和直线的解析式： (2)若抛物线上存在一点，使的面积是面积的2倍，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转，与抛物线交于点，请直接写出点的坐标． 考向三：二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 1．（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若， 求点D的坐标； (3)点M在抛物线上，若中有一个内角为，请直接写出点M 的坐标． 2．（2024·广东东莞·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 3．（2024·广东清远·模拟预测）综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； (3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一、解答题 1．（2024·广东中山·一模）如图，抛物线顶点坐标为，交y轴于点，交x轴于A，B两点，连接，． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线在轴下方上一点，若与面积相等，请求出点的坐标． 2．（2024·广东东莞·一模）如图，抛物线经过点，交x轴于另一点A（点A在点B点的左侧），点P是该抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线下方且时，请求出点P的横坐标． 3．（2024·广东云浮·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且． (1)求二次函数及直线的解析式． (2)P是拋物线上一点，且在x轴上方，若，求点P的坐标． 4．（2024·广东广州·二模）已知抛物线与x轴交于两点，且A在B的左边，与y轴交于点C． (1)求c的值； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)抛物线的对称轴与x轴交于D点，点Q为x轴下方的抛物线上任意一点，直线与抛物线的对称轴分别交于E，F两点，求的取值范围． 5．（2024·广东东莞·二模）已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第四象限内抛物线上的点，连接，如图1，若的面积为1，求P点坐标； (3)设点M为抛物线上的一点，若时，求M点坐标． 6．（2024·广东广州·一模）已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求点A的坐标； (2)若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标； (3)在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离． 7．（2024·广东广州·二模）已知抛物线， (1)当时，求抛物线与x轴交点的坐标； (2)抛物线的顶点为A． ①若当时，都有y随x的增大而减小．求此时顶点A的纵坐标的取值范围； ②抛物线与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，直线与x轴交于点D，抛物线在①的条件下，求的面积与的面积满足的数量关系． 8．（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，B两点，与y轴交于，直线l与y轴交于点D． (1)求抛物线的函数表达式： (2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，若，求直线l的解析式： (3)若在x轴上存在一点P，使，且，直接写出k的值． 9．（2024·广东汕头·一模）已知抛物线（为常数，）．设该抛物线与轴分别交于两点，点A在点的左侧，与轴交于点．    (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，当时，点是直线上方抛物线上的一个动点，交于点，记，，求出S的最大值及S最大值时点的坐标． 10．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于，， 三点． (1)求证：； (2)过原点作直线：，交抛物线于，两点． ①点是第四象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．当时，求的最大值； ②求面积的最小值． 11．（2023·广东阳江·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．    (1)填空：_________，_________，_________； (2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值． 12．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点06 二次函数与线段、面积、角度问题常见的三种模型及其综合题综合训练 二次函数与线段、面积、角度问题 考查方式：1.线段问题：常求单线段最值、两条线段之和最值、线段之差绝对值最值等。如通过二次函数上点的坐标表示线段长度，利用“垂线段最短”“两点之间线段最短”等原理求解。 2.面积问题：一般会结合图形的分割、拼接，将所求面积转化为易求图形的面积组合，通过二次函数解析式表示相关线段长度，进而得出面积关于函数自变量的表达式，再求最值。 3.角度问题：可能让求角度大小、证明角度相等或探究角度存在性问题，常利用相似三角形、全等三角形、三角函数等知识，结合二次函数的性质来解决。 题型与分值预测：在广东数学中考中，二次函数与线段、面积、角度问题大概率会出现在解答题压轴位置，分值可能在10分 - 12分左右。也可能在填空题中出现与线段或角度相关的小问，占3分左右。2025年或许会延续近年趋势，注重对二次函数性质的运用，结合图形变换等知识点，考查学生综合运用知识的能力。 考向一：二次函数与线段问题 一、抛物线与动线段交点问题 1.动线段在x轴上(点C在点D左侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 动线段CD在点A左侧或在点B右侧 点D(或点C)在AB之间 点C在点A左侧且点D在点B右侧 2.动线段在直线上(点 C在点 D上方) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点D在点A上方或点C在点B下方 点D(或点C)在AB之间 点C在点A上方且点D在 点B下方 3.动线段一端点在直线上(点C在直线上,且在点D右侧) 交点情况 无交点 有一个交点 有两个交点 图示 满足条件 点C在点A下方或点C在点M上方 点C在点A或CD经过点M处或点C在点A上方且在点B下方 点C在点B处或点C在点B上方且在点M下方 二、抛物线中的线段最值问题 1．平行于坐标轴的线段的最值问题：常通过线段两端点的坐标差表示线段长的函数关系式，运用二次函数性质求解．求最值时应注意： ①当线段平行于y轴时，用上端点的纵坐标减去下端点的纵坐标； ②当线段平行于x轴时，用右端点的横坐标减去左端点的横坐标．在确定最值时，函数自变量的取值范围应确定正确． 2. 两条线段和的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”， 解决这类问题的方法是：作其中一个定点关于已知直线的对称点，连接对称点与另一个定点，它们与已知直线的交点即为所求的点. 其变形问题有三角形周长最小或四边形周长最小等. 【常见模型一】（两点在河的异侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，连接AB，与直线L交于点M,在M处渡河距离最短，最短距离为线段AB的长。 【常见模型二】（两点在河的同侧）：在直线L上找一点M，使PA+PB的值最小. 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’，连接AB’,与直线L的交点即为所求的渡河点，最短距离为线段AB’的长。 3. 两条线段差的最值问题：解决这类问题最基本的定理就是“三角形任何两边之差小于第三边”， 解决这类问题的方法是：求解时,先根据原理确定线段差取最值时的图形,再根据已知条件求解。 【常见模型一】（两点在同侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值 方法：如右图，延长射线AB，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB 【常见模型二】（两点在异侧）：在直线L上求一点P,求|PA-PB|的最大值。 方法：如右图，作点B关于直线L的对称点B’， 延长射线AB’，与直线L交于点P，|PA-PB|最大值为AB’ 1．（2025·广东·模拟预测）如图在平面直角坐标系中，直线l与x轴交于点，与y轴交于点，抛物线经过点A，B，且对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是直线l下方抛物线上的一动点，过点P作轴，垂足为C，交直线l于点D，求的最大值及此时P的坐标； (3)在（2）的条件下，过点P作，垂足为M．求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2，此时的P点坐标是 (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决相关问题． （1）运用待定系数法解答即可； （2）求出直线l的解析式，设点P的坐标为，则，得，运用二次函数的性质可得结论； （3）证明，即可求解． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线， ． 把A，B两点坐标代入解析式，得 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：设直线l的解析式为， 把A，B两点的坐标代入解析式，得， 解得：， 直线l的解析式为； 轴， 设点P的坐标为，则， ． ∴当时，有最大值是2， 当时，， ， 的最大值是2，此时的P点坐标是． （3）解：，， ． ∵在中，， ． 轴，， ． 在中，，． ， ． 在中，，， ， ．此时最大， ， 的最大值是． 2．（2025·广东中山·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点．P是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m，过点P作x轴的垂线，交直线于点C，在该垂线的点P上方取一点D，使，以为边作矩形，设点E的横坐标为．   (1)求抛物线所对应的函数表达式． (2)当时，求矩形的周长． (3)当矩形被x轴分成面积相等的两部分时，求m的值． 【答案】(1) (2)15 (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点，代入解析式解方程组即可． （2）当时，确定，得到， 继而确定，确定直线的解析式为：，从而确定，根据题意，得到，，求矩形的周长即可． （3）根据题意，得，，结合， 得到或，结合矩形的面积被x轴平分，得到D和C关于x轴对称，利用中点坐标公式，得到纵坐标为0，建立方程解答啊即可． 【详解】（1）解：∵抛物线（b、c为常数）与x轴正半轴交于点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴． （2）解：当时，则， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入直线的解析式得：， 解得， ∴直线的解析式为：， 当时，，点E的横坐标为． ∴， ∴，， ∴矩形的周长为． （3）解：当时，根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形被x轴分成面积相等的两部分， ∴点D和点C关于x轴对称， 设与x轴的交点为G，则， ∴， 整理，得， 解得， ∴（舍去）； 当时，根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵矩形被x轴分成面积相等的两部分， ∴点D和点C关于x轴对称， 设与x轴的交点为G，则， ∴， 整理，得， 解得， ∴（舍去）； 故m的值为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求解析式，中点坐标公式的应用，一元二次方程的解法，矩形的性质，绝对值的应用，熟练掌握待定系数法，解方程，中点坐标公式是解题的关键． 3．（24-25九年级上·广东珠海·期末）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A、B两点，抛物线经过点A、B． (1)求抛物线的解析式； (2)点P是第一象限内抛物线上的一个动点，求点P到直线的最大距离； (3)如图2，将抛物线在直线上方的部分沿翻折得到“心形图”（包含A、B两点），若直线与该图形有交点，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）证明，得到，即可求解； （3）根据“心形图”关于直线对称可知：当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点，由图可知，当时，直线与“心形图”有交点，即可求解． 【详解】（1）解：一次函数与轴分别交于点、两点， 当时，，则 当时，可得，解得，则， 将，代入抛物线，可得： ， 解得， 抛物线的解析式为：； （2）解：设，， 过点作于点，过点作轴交于点， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，最大为， 点到直线的最大值为； （3）解：当直线与抛物线只有一个交点时， 令， 则， ， ， 当时，直线与“心形图”右上方只有一个交点，此时， 直线解析式的值与直线解析式的值相同，为， 直线与直线平行， 根据“心形图”关于直线对称可知， 上方直线与下方直线关于直线对称且平行于直线， 上方直线到直线的距离与下方直线到直线的距离相等， 根据平行线分线段成比例可得， 故当时，直线与“心形图”左下方只有一个交点， 由图可知，当时，直线与“心形图”有交点． 考向二：二次函数与面积问题 一、面积问题的解题步骤 第一步：根据二次函数的表达式求出抛物线上特殊点的坐标，如与坐标轴的交点坐标，顶点坐标等 第二步：根据点坐标表示出线段长 第三步：根据线段长求出图形的面积，常涉及边与坐标轴不平行的三角形和不规则四边形(可分割成三角形与特殊四边形)，利用“水平宽x铅垂高”和补全图形法求解。 二、平面直角坐标系中面积数量关系的转化方法: 1.两三角形同底:可构造平行线进行面积转化,如图①,作直线I//AB 交抛物线于点P,则 2.两三角形同高:可将面积比转化为线段比,如图②,直线!与抛物线交于点 P,与 AB 交于点Q,则 3.图形面积平分:若图形为三角形,构造三角形任意一条中线,该中线平分这个三角形的面积 如图③,直线!经过点A和 BC 的中点 P,则 三、抛物线中的面积最值问题 1）当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下： 一般步骤为：①设出要求的点的坐标； ②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差； ③列出关系式求解； ④检验是否每个坐标都符合题意． 2）用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半. 3）利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示： 一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等； ②通过已知点的坐标，求出直线解析式； ③求出题意中要求点的坐标； ④检验是否每个坐标都符合题意． 1．（2025·广东茂名·模拟预测）如图，一条抛物线和直线l交于点O、B，其中O是平面直角坐标系的原点，B点坐标是，在抛物线上． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)求的面积； (3)在直线l下方的抛物线上有一点P，当的面积取得最大值时，求此时P点的坐标． 【答案】(1) (2)18 (3)P点坐标是 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、面积问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数的综合应用，涉及到：待定系数法、一次函数表达式的确定、轴对称、最值问题，综合性强，难度大． （1）把，，代入，用待定系数法即可求解； （2）求直线l的表达式是：；过点A作轴交直线l于点D，求的面积和即可； （3）过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样，设，则，则，求 即可，进而可求坐标． 【详解】（1）解：设抛物线对应的函数表示式为， 依题，它经过，，， 则： ， 解得：， ∴抛物线对应的函数表示式为； （2）解：因为直线l经过原点，设直线l的表达式：， 把代入， 得：， ， ∴直线l的表达式是：； 过点A作轴交直线l于点D， 则：D点的横坐标和A点的横坐标一样，都是3， ∴在中，令，则， ， ，的高均为3， ∴； （3）解：过点P作轴交直线l于点M，则：M点的横坐标和P点的横坐标一样， 设，则，则： ； ∴当时，取得最大值， 此时，， P点坐标是． 2．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，，顶点为D (1)求二次函数的解析式； (2)P为直线上方抛物线上一点，求面积最大值及P点坐标； (3)P为第四象限抛物线上一点，且，求出点P的坐标； 【答案】(1) (2)最大值为， (3) 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先求得，设二次函数解析式为，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为：，设，则，求出，最后根据二次函数的性质即可得到答案； （3）过点C作，取一点E使，过点C作轴，作，先证明，可得，从而求出，由P为以为直径的圆与抛物线的交点的中点F，可得，设可求得，再求解即可． 【详解】（1）， ， 设二次函数解析式为， 将代入得： ， 故二次函数解析式为； （2）如图，连接，过点P作， 设直线的解析式为：， 将，代入直线的解析式得： ， 解得， 直线的解析式为：， 设，则， ， ， 由此可得，当，最大为， 当时，， ； （3）如图，过点C作，取一点E使，过点C作轴，作， ， ， ， ， ， ， ， ， P为以为直径的圆与抛物线的交点的中点F， ， ， 设 解得：， 将代入得：， 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数的解析式、二次函数的图象与性质、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质、圆周角定理，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键． 3．（2025·广东湛江·二模）如图，抛物线与轴交于A、两点，其中，，与轴交于点，抛物线的对称轴交轴于点，直线经过点A、，连接． (1)求抛物线和直线的解析式： (2)若抛物线上存在一点，使的面积是面积的2倍，求点的坐标； (3)将直线绕点旋转，与抛物线交于点，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、相似三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查了求函数解析式、二次函数与面积的综合、二次函数与相似三角形的综合等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． （1）将点A、B坐标代入抛物线解析式求得b、c得值即可确定抛物线的解析式，然后确定点C的坐标，最后运用待定系数法求出直线的解析式即可； （2）利用抛物线的对称性得出，进而可得，此时点P与点B重合；过点作交抛物线于点P，将直线的解析式与抛物线的解析式联立即可得出点P的坐标； （3）根据已知条件易得，，；如图：当顺时针旋转时，，易证可得、，过F作轴于G，则，即点F的纵坐标为，进而确定点，然后运用待定系数法求的直线的解析式，并与抛物线的解析式联立即可解答；如图：当顺时针旋转时，，易得，再构造全等三角形求得，然后运用待定系数法求的直线的解析式并与抛物线的解析式联立即可解答； 【详解】（1）解：把点A、点B的坐标代入得： ，解得：， ∴抛物线的解析式为， ∴当时，，即点C的坐标为． 设直线的解析式为， 则，解得：， 所以直线的解析式为． （2）解：如图1，连接， ∵点D是抛物线的对称轴与x轴的交点， ∴， ∴， ∵， ∴， 此时，点P与点B重合，即； 过点作交抛物线于点P， 设直线的解析式为， 将点代入可得：，即， ∴直线的解析式为， 由题意可得：，解得：或 ∴， ∴即点P的坐标为或； （3）解：∵抛物线的解析式为， ∴对称轴为直线，即点D的坐标为， ∴ ∵，，， ∴， ∴，，， 如图：当顺时针旋转时，， ∴， ∵， ∴， ∴，即，解得：， ∴， 过F作轴于G，则，即点F的纵坐标为， ∴，解得：， ∴， 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴设直线的解析式为， 联立， 解得：或 所以点E的坐标为或； 如图：当顺时针旋转时，， ∴， ∵， ∴， ∴, 在x轴截取，过M作轴交直线与K， ∵， ∴,， ∴， ∴, ∴,, ∴， ∴, 设直线的解析式为， 则有，解得：， ∴设直线的解析式为， 解：， 解得：或， ∴点E的坐标为：或． 综上，点E的坐标为或或或． 考向三：二次函数与角度问题 1.角度的顶点位置及其一条夹边位置已确定,且角度为特殊角(30°、45°、60°、90°) 第一步：将已知角放在直角三角形中或者构造含特殊角的直角三角形 第二步：利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题 第三步：结合锐角三角函数值列方程求解 2.角度的顶点位置不确定,对边位置及长度已确定,且角度为特殊角(30°45°60°90°)需通过定弦定角构造辅助圆,辅助圆与抛物线的交点即为所求点. 1．（2024·广东汕头·二模）如图，抛物线与x轴交于、B两点，与y轴交于点C，对称轴为． (1)求抛物线的解析式； (2)点D在抛物线的对称轴上，若， 求点D的坐标； (3)点M在抛物线上，若中有一个内角为，请直接写出点M 的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3)点的坐标为或或或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、圆周角定理 【分析】（1）根据抛物线对称轴得，再利用待定系数法求解即可； （2）依题意得，求得直线的解析式为，根据，可知，则直线的为，将代入可得直线的解析式为，再根据点在抛物线的对称轴上即可求解； （3）以为斜边，在上方作等腰，则，设，过点作轴，，可证，得，，进而求得，分三种情况：①当时，点为直线与抛物线的交点，②当时，点为直线与抛物线的交点，③当时，点为与抛物线的交点，分别讨论求解即可． 【详解】（1）解：抛物线与x轴交于、B两点，对称轴为． ∴， 将，代入得：，解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）当时，，即， 设直线的解析式为，代入，得：，解得：， ∴直线的解析式为， 令中边上的高为，中边上的高为， ∵，即， 则， ∴， ∴直线的解析式为， 将代入，可得，解得， ∴直线的解析式为， ∵点在抛物线的对称轴上， ∴当时，， ∴点的坐标为； （3）以为斜边，在上方作等腰，则，设， 过点作轴，，则， 而， ∴， ∴， ∴，， ∵，即：， ∴，则，即， ①当时，点为直线与抛物线的交点， 同（2）可得直线的解析式为：， 联立得直线与抛物线得，解得：或（舍去）， 即：点的坐标为； ②当时，点为直线与抛物线的交点， 同上，可得点的坐标为； ③当时， ∵， ∴点以点为圆心，为半径的圆上， 即点为与抛物线的交点， 设， ∴， 即：， 整理得：， ， ， ， ， ， 解得：（舍去）或或或（舍去）， 当时，点的坐标为，当时，点的坐标为， 即：点的坐标为或； 综上：点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的性质，三角形全等的性质与判定，圆周角定理，一次函数与二次函数交点问题等，根据题意作出辅助线是解题的关键． 2．（2024·广东东莞·三模）如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式； (2)如图1，点P是直线上方抛物线上的动点，过点P作轴交直线于点E，作轴交直线于点F，求E，F两点间距离的最大值； (3)如图2，连接，在抛物线上存在点Q，使，请直接写出符合题意的点Q坐标． 【答案】(1) (2) (3)点Q的坐标为或 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、已知正切值求边长 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）由已知易得是等腰直角三角形，则；求出直线的表达式为，设点，则点，进而可表示出，求出的最大值即可得E，F两点间距离的最大值； （3）分两种情况：点Q在下方时，设交y轴于点H，由题意得，从而其正切值相等，即，从而求得点H的坐标，用待定系数法求出直线的表达式，与抛物线表达式联立即可求得点Q的坐标；点Q在上方时，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接，易得四边形是矩形，则，；接着用证明，则有，进而得，最后求得点N的坐标；则可求得直线的表达式，联立抛物线表达式即可求得点Q的坐标；综合即可得结果． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：由抛物线的表达式知，点， ， ， ， ， 为等腰直角三角形，则， ∵轴，轴， ，， 是等腰直角三角形， ， 由点A、C的坐标得：直线的表达式为：， 设点，则点， ， ， 故有最大值，当时，的最大值为：， 则的最大值为：； （3）解：当点Q在下方时，如图，设交y轴于点H， ， ， ， ∴，即， ， 故； 设直线的表达式为，把点A坐标代入得：， 得， 故直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 当点Q在上方时，如图，过点A作轴，使，连接，在线段上截取，连接， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴四边形是矩形， 则，； ， ， ， ， ， ， ； ， ； 设直线解析式为，则有， 解得：， ∴直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或， 则点； 综上，点Q的坐标为或． 【点睛】本题是二次函数与几何的综合；考查了待定系数法求一次函数与二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正切函数，解一元二次方程等知识，综合性强，注意分类讨论与数形结合思想的应用． 3．（2024·广东清远·模拟预测）综合探究 如图，在中，，经过点C的直线交x轴正半轴于点，一抛物线经过点A、B、C，顶点为D，对称轴交x轴于点E． (1)求抛物线及直线的函数表达式； (2)若点G是在第一象限内抛物线上的一动点，求使面积达到最大时点G的坐标，并求出此时面积的最大值； (3)若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)最大值为4，点G坐标为 (3)存在，点P的坐标为或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可； （2）过点G作轴，交直线于点F，，设点G坐标为，点F坐标为，用e表示出的面积为，得出当时，面积取得最大值，最大值为4，求出点的坐标即可； （3）分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为N、M，，证，利用对应边成比例可以解题． 【详解】（1）解：设抛物线的表达式为， ∵，， ∴点A的坐标为，点C的坐标为， 又∵点B的坐标为， ∴将点A、B、C的坐标代入抛物线表达式得： ，解得， ∴抛物线的表达式为． 将点B、C的坐标代入直线得： ，解得， ∴直线BC的表达式为． （2）解：如图，过点G作轴，交直线于点F， 设点G坐标为，点F坐标为， 则， 故， ∴当时，面积取得最大值，最大值为4，此时点G坐标为． （3）解：存在． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴点E的坐标为． 设点P的坐标为、点Q的坐标为， 则，，，， ①当点Q在点P的左侧时，如图，分别过点P、Q作x轴的垂线，垂足分别为N、M， ∴， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，解得（舍去负值）， 当时，， ∴点P的坐标为． ②当点Q在点P的右侧时，如图，分别过点P、Q作抛物线对称轴的垂线，垂足分别为N、M， 则，，，， 同理可得：∽，∴， ∴，解得（舍去负值）， ∴当时，， ∴点P的坐标为， 综上所述，点P的坐标为或 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、直角三角形存在性问题，相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程． 一、解答题 1．（2024·广东中山·一模）如图，抛物线顶点坐标为，交y轴于点，交x轴于A，B两点，连接，． (1)求此抛物线的解析式； (2)点为抛物线在轴下方上一点，若与面积相等，请求出点的坐标． 【答案】(1)； (2)满足条件的点的坐标为，． 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式，解本题的关键在于明确题意，利用二次函数性质和数形结合思想解答问题． （1）设抛物线的解析式为，把代入求解即可； （2）先求得抛物线与x轴两个交点的坐标，利用三角形面积公式求得的面积，再利用，计算即可求解． 【详解】（1）解：∵抛物线顶点坐标为， ∴可设抛物线的解析式为， 把代入得， ∴； （2）解：令， 则， 解得，， ∴，， ∴， ∴， 解得， ∵点M在x轴下方， ∴， ∴， 解得，， ∴满足条件的点M的坐标为，． 2．（2024·广东东莞·一模）如图，抛物线经过点，交x轴于另一点A（点A在点B点的左侧），点P是该抛物线上的动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P在直线下方且时，请求出点P的横坐标． 【答案】(1) (2)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题主要考查了求二次函数的关系式，二次函数与面积问题． （1）直接将点B，C的坐标代入关系式得出方程组，再求出解即可； （2）先求出点A，C的坐标，进而求出直线的关系式，再求出，可知，作轴，交于点K，设P，K的坐标，并表示出，然后根据面积相等列出方程，并求出解． 【详解】（1）抛物线经过点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）令，则， 则， ∴， ∴， ∴， 设直线表达式为，把A、C，代入得： ， 解得， ∴， 作轴，交于点K，如图， 设，则， ∴， ∴ ∵， ∴， 解得 即点P的横坐标为或． 3．（2024·广东云浮·一模）如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴交于点C，且． (1)求二次函数及直线的解析式． (2)P是拋物线上一点，且在x轴上方，若，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为． 【知识点】求一次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）先求解点，，再利用待定系数法求解函数解析式即可； （2）先求解，如图，过点作．记与轴的交点为，，同理可得：的解析式为．再进一步求解交点坐标即可． 【详解】（1）解： ， 点，， ，解得； 二次函数的解析式为． 设直线的解析式为．将点，代入， 得解得 直线AC的解析式为． （2）∵， ∴， 解得：，， ∴， 如图，过点作． ， ， ． 记与轴的交点为， ∴， ∴， 同理可得：的解析式为． 联立得， 解得（舍去）或； 点的坐标为． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解函数解析式，二次函数与角度的综合应用，函数交点的求法，理解题意，选择合适的方法解题是关键． 4．（2024·广东广州·二模）已知抛物线与x轴交于两点，且A在B的左边，与y轴交于点C． (1)求c的值； (2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标； (3)抛物线的对称轴与x轴交于D点，点Q为x轴下方的抛物线上任意一点，直线与抛物线的对称轴分别交于E，F两点，求的取值范围． 【答案】(1) (2)点的坐标为或 (3) 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、角度问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将点代入中，即可求解； （2）根据（1）可得抛物线解析式为，求出，分为①当在轴上方抛物线上时，如图1，证明，即可求出点的坐标为． 在求出的解析式，联立即可得出点的坐标；②如图2，当在轴下方抛物线上时，根据对称性得出的解所式为，联立即可求出点的坐标； （3）设，求出直线的解析式，求得，求出直线的解析式，求得．即可求出，，即可得出，从而解得的取值范围． 【详解】（1）∵点在上， ， ； （2）根据（1）可得抛物线解析式为，如图1， 令，则， 解得， 则， 当在轴上方抛物线上时，如图1，设交轴于点， 在和中 ， ， ∴的坐标为． 设直线的解析式为， 代入，得，解得， 故的解析式为． 令， 得或． ∴点的坐标为； 如图2，当在轴下方抛物线上时，的解所式为， 令， 得或． ∴点的坐标为， 综上，点的坐标为或． （3）设， 设直线的解析式为， 代入坐标得，， 解得． 所以直线的解析式为， 当时，， ， 设直线的解析式为， 代入坐标得，， 解得． 直线的解析式为， 当时，， ∴，． ， ∴， ∴， ， 故． 【点睛】该题是二次函数综合题，主要考查了二次函数解析式求解，一次函数解析式求解，全等三角形的性质和判定，二次函数的图象和性质，函数交点求解，二次函数最值求解等知识点，解题的关键是数形结合以及分类讨论． 5．（2024·广东东莞·二模）已知抛物线经过点和点，与轴交于另一点． (1)求抛物线的解析式； (2)点P为第四象限内抛物线上的点，连接，如图1，若的面积为1，求P点坐标； (3)设点M为抛物线上的一点，若时，求M点坐标． 【答案】(1) (2) (3)M的坐标为或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、待定系数法求二次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）用待定系数法即可求解； （2）过点P作轴交直线于点Q，先求出，再求出直线的解析式，设点，则点，求得，进而求解； （3）取点，连接，在上取一点，使得，连接，并延长交抛物线于点，求出直线的解析式为，设，由的长可求出，设直线的解析式为，求出直线的解析式，联立，解方程组可得出答案． 【详解】（1）将点、的坐标代入抛物线表达式得， ， 解得， 故抛物线的表达式为； （2）如图所示，过点P作轴交直线于点Q， ， 又∵， ∴， 设直线为， ，解得， ∴， 设点，则点， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）如图，取点，连接，在上取一点，使得，连接，并延长交抛物线于点， ，点关于轴对称， ，， ，， ， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 设， ， 解得或（舍去）， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为， 联立， 得， 解得或（舍去）， 点的坐标为，， 由对称性可知点的坐标为，时，直线与抛物线的另一个交点也满足题意， 同理可求出此时点的坐标为，， 综上所述，点的坐标为，或，． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题． 6．（2024·广东广州·一模）已知二次函数图象与x轴交于点A和点，与y轴交于点． (1)求点A的坐标； (2)若点D是直线上方的抛物线上的一点，过点D作轴交射线于点E，过点D作于点F，求的最大值及此时点D坐标； (3)在（2）的条件下，若点P，Q为x轴下方的抛物线上的两个动点，并且这两个点满足，试求点D到直线的最大距离． 【答案】(1) (2)最大值为4，此时点D的坐标为； (3) 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、一次函数与几何综合、角度问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先利用待定系数法求出抛物线解析式，进而求出点A的坐标即可； （2）先求出直线解析式为，同理可得直线解析式为，设，则，，可得，；再证明是等腰直角三角形，得到，则，据此可得答案； （3）设，设直线解析式为，可利用待定系数法求出，，同理可得直线解析式为，；如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R，可求出，证明，可推出，进而得到；设直线解析式为，联立得，则，据此可得，即直线经过定点；设点D到直线得距离为h，由垂线段最短可得，则当时，h最大，最大值为． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 在中，当，解得或， ∴； （2）解：设直线解析式为，直线交直线于H， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 设，则，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴时，有最大值，最大值为4， ∴此时点D的坐标为； （3）解：设， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 同理可得直线解析式为， 如图所示，设直线，分别与y轴交于T、R， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， 联立得， ∴， ∴， ∴， ∴直线经过定点； 设点D到直线得距离为h， 由垂线段最短可得， ∴当时，h最大，最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合，相似三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，解（2）的关键在于证明是等腰直角三角形得到，解（3）的关键是推出直线经过定点． 7．（2024·广东广州·二模）已知抛物线， (1)当时，求抛物线与x轴交点的坐标； (2)抛物线的顶点为A． ①若当时，都有y随x的增大而减小．求此时顶点A的纵坐标的取值范围； ②抛物线与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点C，直线与x轴交于点D，抛物线在①的条件下，求的面积与的面积满足的数量关系． 【答案】(1) (2)①② 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、求抛物线与x轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． （1）把代入函数解析式，进行求解即可； （2）①根据时，都有y随x的增大而减小，得到，进而得到，求出顶点纵坐标，求出最值即可； ②分别求出三点的坐标，利用面积公式进行求解即可． 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 解得：， ∴抛物线与x轴交点的坐标为； （2）∵， ∴， ①当时，都有y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∵ ∴； ②∵， ∴对称轴为直线，当时，， ∴，， ∵， ∴设直线的解析式为：，把，代入，得： ，解得：， ∴， ∴当时，，解得：， ∴， ∵， ∴点在点的左侧， ∴， ， ∴，即：． 8．（2024·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于，B两点，与y轴交于，直线l与y轴交于点D． (1)求抛物线的函数表达式： (2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F，若，求直线l的解析式： (3)若在x轴上存在一点P，使，且，直接写出k的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、求一次函数解析式、角度问题(二次函数综合)、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）将点，代入，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据抛物线解析式求出对称轴，过点A作对称轴于点M，过点B作对称轴于点N，易得，从而求出点M的坐标，进而求出点B的坐标，再利用待定系数法求出直线l的解析式； （3）过点A作轴于点G，过点B作轴于点H，易证，设点，表示出点B 的坐标，代入抛物线解析式，从而求出点B坐标的两种情况，分情况将点B和点A的坐标代入，从而得解． 【详解】（1）解：将点，代入得：， 解得：， 抛物线的函数表达式为． （2）解：抛物线的对称轴：， 如图，过点A作对称轴于点M，过点B作对称轴于点N， 则， ， ， ， ， ， ， ， ， 的横坐标为：，即点， 把点和代入得， 解得：， 直线l的解析式：． （3）解：如图，过点A作轴于点G，过点B作轴于点H， 则， ， ， ， ， ， ， ，， 设点， 则，，， ， ， 解得：，， 或， ①当，时，得， 解得：， ②当，时，得， 解得：， 综上所述：k的值为或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，解题关键是灵活运用相关知识数形结合解决问题． 9．（2024·广东汕头·一模）已知抛物线（为常数，）．设该抛物线与轴分别交于两点，点A在点的左侧，与轴交于点．    (1)求该抛物线的对称轴和顶点坐标（用含的代数式表示）； (2)如图1，当时，若点是直线上方抛物线上的一个动点，求点到直线距离的最大值； (3)如图2，当时，点是直线上方抛物线上的一个动点，交于点，记，，求出S的最大值及S最大值时点的坐标． 【答案】(1)顶点为，对称轴为直线 (2) (3)当有最大值 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、其他问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）将化为顶点式，然后求出顶点坐标和对称轴即可； （2）过点作轴，交于点，过点作于点．设，求出，根据勾股定理得出，求出直线的解析式为，得出，求出的面积最大，最大值为，此时的值最大，求出最大值即可； （3）根据，得出，过点作轴交于点，过点作轴交于点，证明，得出，设，则，得出，根据二次函数最值求出结果即可． 【详解】（1）解：， 顶点为，对称轴为直线； （2）解：当时，， 图1中，过点作轴，交于点，过点作于点．    设， 把代入得：， 把代入得：， 解得：，， ， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得：， ， ， ， ， 时，的面积最大，最大值为，此时的值最大， 的最大值； （3）解：当时，， 令，则或， ， ， ， 过点作轴交于点，过点作轴交于点，如图所示：   ， ， ， 设，则， ， ， ， 当时，S有最大值，此时， 当有最大值． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合应用，求二次函数最值，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，数形结合． 10．（2023·广东佛山·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与两坐标轴分别相交于，， 三点． (1)求证：； (2)过原点作直线：，交抛物线于，两点． ①点是第四象限内该抛物线上的动点，过点作轴的垂线交于点，交轴于点．当时，求的最大值； ②求面积的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)①；②4 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、面积问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合) 【分析】（1）先求出，，三点坐标，得出，，在以为直径的圆上，即可得解； （2）①当时，．设为，则，，表示出，再由二次函数的性质即可得出答案；②由，可得，由一元二次方程根与系数的关系得出，．求出． 结合，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时，， 则，即． 当时，由，得， 则，，即． ∴，，在以为直径的圆上， ∴． （2）解：①当时，． 设为，则，， ∴，， ∴． ∵，， ∴当时，的最大值为． ②由，可得， ∴，． ∴， ∴． ∴． ∴当时，取最小值4， ∴的最小值是4． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题、二次函数综合—线段问题、二次函数综合—面积问题、二次函数与一元二次方程，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 11．（2023·广东阳江·二模）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点C，直线经过点B，点P在抛物线上，设点P的横坐标为m．    (1)填空：_________，_________，_________； (2)如图1，连接，，，若是以为斜边的直角三角形，求点P的坐标； (3)如图2，若点P在直线上方的抛物线上，过点P作，垂足为Q，求的最大值． 【答案】(1)，，3； (2) (3) 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）分别把代入抛物线解析式和一次函数的解析式，即可求解； （2）作轴于点，根据题意可得，从而得到，，再根据，可求出m，即可求解； （3）作轴交于点，过点作轴于点，则，再根据，可得，，然后根据，可得，从而得到，在根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵在抛物线上， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴，（舍）， ∴． ∵在直线上， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为． 故答案为：，，3； （2）如图，作轴于点，    对于，令x=0，则y=-6， ∴点，即， ∵， ∴， ∵点P的横坐标为m． ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴（舍），， ∴， ∴点． （3）如图，作轴交于点，过点作轴于点，    ∵， ∴点， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵轴， ∴轴， ∴， ∴，即 ∴， ∴， ∴， ∴当时，的最大值是． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，相似三角形的判定和性质，利用数形结合思想解答是解题的关键，是中考的压轴题． 12．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，抛物线与轴交于，，与轴交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)设点是第一象限内的抛物线上的一个动点． ①当为抛物线的顶点时，求证：直角三角形； ②求出的最大面积及此时点的坐标； ③过点作轴，垂足为，与交于点．当的值最大时，求点的坐标． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)①是直角三角形；②；③ 【知识点】线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、特殊三角形问题(二次函数综合)、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）把A、B两点坐标代入求解即可； （2）①作轴于点H，易证和是等腰直角三角形，即可求出； ②先求出直线的解析式，过点P作轴于点D，交于点E，设点，则，故，，然后根据二次函数的性质求解即可； ③过点P作轴于点N，交于点E，设点，则，故，判断是等腰直角三角形得出，即可求出，然后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：将点，代入解析式得： ，解得：， ∵抛物线的解析式为； （2）解：①配方得， ∴点P的坐标为， 令，则， ∴ 作轴于点H，则， ∴ 又∵在中，， ∴， ∴ ∴是直角三角形； ②设直线的解析式为，将点B、C代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， 设点（），过点P作轴于点D，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∴， 当时，的最大面积为， ， ∴ ③设点，过点P作轴于点N，交于点E，如图所示： ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最大值，此时． 【点睛】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段问题，掌握二次函数的性质是解题的关键． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$