重难点03 辅助圆中的五种常考模型及其综合题综合训练（5大题型+高分技法+限时提升练）-2025年中考数学【热点•重点•难点】专练（广东专用）

重难点03 辅助圆中的五种常考模型及其综合题综合训练 在广东数学中考中，圆的考查方式多样。在知识点方面，垂径定理每年常考1题，常结合勾股定理、相似三角形考查；圆周角定理每年考1-2题，常与三角形内角、直径性质结合；切线性质也是每年1-2题，常与相似、三角函数结合；直线与圆的位置关系每年1题，多以选择或填空题形式出现。同时，圆还常与三角形、四边形等结合出综合题型，涉及相似模型、等积式证明等。 从题型来看，圆的内容以选择题、填空题和解答题的形式出现，其中解答题居多且分值较大。在分值方面，广东中考每年涉及圆的考查约15分左右。 对于2025年中考，据网传信息，第15题必考圆的计算，且难度会比2024年更难。整体上，圆的考查题型和分值预计变化不大，仍会以中等难度的选择、填空题以及中等偏难的综合性解答题进行考查。 考向一：定点定长构造辅助圆 利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型 类型 一点作圆 三点定圆 旋转作圆 折叠作圆 图示 特点 平面内,点0为定点,点A为动点，且 OA的长度固定 0A=0B=0C △ABC绕点A旋转得到△AB'C' 将ΔBEF沿EF折叠,点E是定点,点B的对应点为点 G 作法 结论 点A在以点0为圆心，0A长为半径的圆上运动 点A,B,C均在上 点B,C的运动轨迹分别是以点A为圆心,以AB,AC的长为半径的圆 点G的运动轨迹是以点 E为圆心,BE 长为半径 的一段圆弧 1．（2025·广东茂名·一模）阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则． (1)如图2，在四边形中，，，则 ； (2)如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； (3)①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ； ②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 考向二：定弦定角构造辅助圆 定弦定角构造辅助圆的几种常见类型 类型 定角为直角 定角为锐角 定角为钝角 图示 特点 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=90° 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=a(a为锐角) 在△ABC中,已知AB的长,点C 为动点,且保持∠ACB=a(a为钝角) 动点运动轨迹 结论 点C在以点0为圆心，AB 长为直径的圆上运动 点C在以点0为圆心,圆心角为 2a 的优弧 AB 上运 动(点0,C在AB 同侧) 点C在以点0为圆心,圆心角为(360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点 0,C在 AB 异侧) 1．（2024·江西吉安·二模）如图，在矩形中，为的中点，点在下方矩形的边上．当为直角三角形，且为直角顶点时，的长为 ． 2．（2021·广东佛山·二模）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．    3．（2024·广东深圳·三模）如图，在正方形，点E，F在射线上，，则最大值是 ．    考向三：对角互补造辅助圆（四点共圆） 模型 描述 如图①和②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，连接OC，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB； 如图③，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°(或∠B ＋∠D＝180°) 模型 呈现 模型 结论 (1)A，B，C，D四点共圆； (2)在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此模型是证明角相等的重要途径之一 1．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）综合探究 （一）新知学习： 人教版数学九年级上教材第119页《探究四点共圆的条件》发现，圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边新内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）． （二）问题解决： 已知的半径为2，是的直径，P是上任意一点，过点P分别作的垂线，垂足分别为N，M． (1)若直径（如图1），在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，的长是否为定值，若是，请并求出其定值；若不是，请说明理由． (2)若直径与相交成角，当点P（不与B、C重合）从B点运动到C的过程中（如图2），证明的长为定值． (3)试问当直径与相交成多少度角时，的长取最大值，并写出其最大值． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有两种类型． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点) 为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，(请你在图1上画圆)则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角， 从而可容易得到 ． ② 类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， 请你完成后面的过程． (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ① 请你写出与的关系，并说明理由； ② 点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 考向四：定角定高构造辅助圆 定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路 图示 在△ABC中，∠ACB为定角，CD是AB边上的高，且CD为定值 作法 作△ABC的外接圆 结论 当构成等腰三角形(AC=BC)时,①AB的长最小:②ΔABC的周长最小;③△ABC 的面积最小 1.（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 考向五：点圆最值构造辅助圆 模型 描述 已知平面内一定点D和☉O，E是☉O上一动点，设点O与点D之间的距离为d，☉O的半径为r， 当D，O，E三点共线时，线段DE有最大(小)值 模型 呈现 点D在☉O内 点D在☉O上 点D在☉O外 ①                  ② ③                ④ ⑤                      ⑥ 模型 结论 如图①，DE的最大值为d＋r；如图②，DE的最小值为r－d 如图③，DE的最大值为2r；如图④，DE的最小值为0 如图⑤，DE的最大值为d＋r；如图⑥，DE的最小值为d－r 1．（2024·广东梅州·一模）如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连．若，则的最小值为 ． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点P是上一动点，，线段E的最小值为    3．（24-25九年级下·广东茂名·开学考试）如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为 ． 4．（2023·广东广州·三模）如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H．    （1）当时， ． （2）当E在上运动时，的最小值为 ． 一、单选题 1．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，C，D为上的两个点，交于点E，已知，，则（   ） A． B． C． D． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 二、填空题 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 ． 4．（2025·广东佛山·一模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 三、解答题 5．（2025·广东·模拟预测）如图，为的弦，D，C为的三等分点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，以等腰三角形的一腰为直径作，分别交另一腰和底于点M，N，连接并延长交的切线于点P，连接． (1)求证：． (2)延长交于点D，求证：． 7．（2025·广东·模拟预测）如图，已知菱形，以为直径的与对角线交于点，与边交于点，连接，，为上一点，连接． (1)求证：点，，三点共线； (2)若点为的中点，求证：是的切线； (3)若的半径长为，，求的长． 8．（2025·广东湛江·二模）如图所示的平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，以为圆心的交轴于，两点，交轴于、两点．直线与交于、两点，其中交点在弧上．过点作，垂足为点，连接与． (1)求证：； (2)连接，请求证：； (3)若点的坐标为，点的坐标为，的中点为，则线段长度的最大值为_____． 9．（2025·广东·模拟预测）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，，过点作射线，垂足为，点在上． (1)【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为______度； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，若在直角中，，，点在线段上，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 10．（2025·广东深圳·一模）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）； ②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________； (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形． (3)如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点03 辅助圆中的五种常考模型及其综合题综合训练 在广东数学中考中，圆的考查方式多样。在知识点方面，垂径定理每年常考1题，常结合勾股定理、相似三角形考查；圆周角定理每年考1-2题，常与三角形内角、直径性质结合；切线性质也是每年1-2题，常与相似、三角函数结合；直线与圆的位置关系每年1题，多以选择或填空题形式出现。同时，圆还常与三角形、四边形等结合出综合题型，涉及相似模型、等积式证明等。 从题型来看，圆的内容以选择题、填空题和解答题的形式出现，其中解答题居多且分值较大。在分值方面，广东中考每年涉及圆的考查约15分左右。 对于2025年中考，据网传信息，第15题必考圆的计算，且难度会比2024年更难。整体上，圆的考查题型和分值预计变化不大，仍会以中等难度的选择、填空题以及中等偏难的综合性解答题进行考查。 考向一：定点定长构造辅助圆 利用定点定长构造辅助圆的几种常见类型 类型 一点作圆 三点定圆 旋转作圆 折叠作圆 图示 特点 平面内,点0为定点,点A为动点，且 OA的长度固定 0A=0B=0C △ABC绕点A旋转得到△AB'C' 将ΔBEF沿EF折叠,点E是定点,点B的对应点为点 G 作法 结论 点A在以点0为圆心，0A长为半径的圆上运动 点A,B,C均在上 点B,C的运动轨迹分别是以点A为圆心,以AB,AC的长为半径的圆 点G的运动轨迹是以点 E为圆心,BE 长为半径 的一段圆弧 1．（2025·广东茂名·一模）阅读理解： （1）【学习心得】学习完“圆”这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以使问题变得容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要是两种类型． ①类型一，“定点定长”： 如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数． 解：由题意，若以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆（可在图1中画出辅助圆），则点、必在上，是所对的圆心角，而是所对的圆周角，从而可容易得到________． ②类型二，“定角定弦”： 如图2，中，，，，是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 请将以下解题过程补充完整． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴_______，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． 请完成后面的解题过程． （2）【方法应用】如图3，在矩形中，已知，，点是边上一动点（点P不与B，C重合），连接，作点关于直线的对称点，则线段的最小值为________（直接写结果）． （3）【能力拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边，上移动，且满足．连接和，交于点P．点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点的运动路径长． 【答案】（1）①28；②见解析；（2）4；（3） 【知识点】圆周角定理、求某点的弧形运动路径长度、根据正方形的性质求线段长、根据成轴对称图形的特征进行求解 【分析】（1）①根据圆周角定理：在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半即可得； ②先求出，从而可得点在以（定弦）为直径的上，然后连接交于点，此时最小，根据圆的性质可得，利用勾股定理求出的长，根据线段长的最小值等于即可得； （2）连接，先利用矩形的性质、勾股定理可得，再根据轴对称的性质可得，从而可得点在以点为圆心，为半径的圆上运动，则当点在线段上时，的值最小，最小值为，由此即可得； （3）先证出，根据全等三角形的性质可得，从而可得，则点的运动路径是在以为直径的圆的上，再利用等腰三角形的性质和直角三角形的性质可得，，最后利用弧长公式计算即可得． 【详解】解：（1）①∵，， ∴如图1，以点（定点）为圆心，（定长）为半径作辅助圆，则点、必在上， ∵是所对的圆心角，而是所对的圆周角，且， ∴， 故答案为：28． ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴，（定角） ∴点在以（定弦）为直径的上， 如图2，连接交于点，此时最小． ∵的直径， ∴， 在中，， ∴线段长的最小值为． （2）如图3，连接， ∵在矩形中，，， ∴， ∵点与点关于直线的对称， ∴， ∴点在以点为圆心，为半径的圆上运动， ∴当点在线段上时，的值最小，最小值为， 故答案为：4． （3）如图4，连接，交于点， ∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在点的运动过程中，始终有， 又∵点从点开始运动到点时，点也随之运动， ∴点的运动路径是在以为直径的圆的上， 如图4，取的中点，连接， ∴，， ∴点的运动路径长为． 【点睛】本题考查了圆周角定理、弧长公式、正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理、等腰三角形的性质等知识，较难的是题（3），正确找出点的运动路径是解题关键． 2．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段练习）【学习心得】 小雯同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加轴助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易． 例如：如图1，在中，，，D是外一点，且，求的度数．若以点A为圆心，长为半径作辅助圆，则C、D两点必在上，是的圆心角，是的圆周角．则． (1)如图2，在四边形中，，，则 ； (2)如图3，已知线段和直线l，用直尺和圆规在l上作出所有的点P，使得（不写作法保留作图痕迹）； (3)①如图4①，已知矩形，，，M为边上的点，若满足的点M恰好有两个，则m的取值范围为 ； ②如图4②，在中，，是边上的高，且，，求的长． 【答案】(1)25 (2)图见解析 (3)①② 【分析】（1）取的中点，连接、．由直角三角形的性质证明点、、、共圆，由圆的性质得出，则可得出答案； （2）作出等边三角形，再以O为圆心，为半径画圆，由圆周角定理可得圆与直线的交点即为点P； （3）①在上截取，连接，以为直径，由图形可知，由勾股定理求出和的长，则可得出答案； ②作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、．由圆周角定理及勾股定理可得出答案． 【详解】（1）解：如图，取的中点，连接、． ， ，， ， 点、、、共圆， ， ， ． 故答案为：25； （2）作图如下： 由图知，；同理． （3）①．理由如下： 在上截取，连接，以为直径作，交于，交于，连接，过圆心作于且交圆于，过作的切线交于交于，如图所示： ， ， 的半径为，即， ∵， ， ， ， ， ，即， 故答案为：； ②如图，作的外接圆，过圆心作于点，作于点，连接、、，则四边形是矩形， ∴． ， ． 在中，， ． ，为圆心， ， ． 在中，，， ． 在中，，， ， ． 【点睛】本题是圆的综合题，考查了等边三角形的性质、圆周角定理、尺规作图、勾股定理、等腰直角三角形的性质、矩形的判定与性质，垂径定理等知识，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 考向二：定弦定角构造辅助圆 定弦定角构造辅助圆的几种常见类型 类型 定角为直角 定角为锐角 定角为钝角 图示 特点 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=90° 在△ABC中,已知AB的长,点C为动点,且保持∠ACB=a(a为锐角) 在△ABC中,已知AB的长,点C 为动点,且保持∠ACB=a(a为钝角) 动点运动轨迹 结论 点C在以点0为圆心，AB 长为直径的圆上运动 点C在以点0为圆心,圆心角为 2a 的优弧 AB 上运 动(点0,C在AB 同侧) 点C在以点0为圆心,圆心角为(360°-2a)的劣弧 AB 上运动(点 0,C在 AB 异侧) 1．（2024·江西吉安·二模）如图，在矩形中，为的中点，点在下方矩形的边上．当为直角三角形，且为直角顶点时，的长为 ． 【答案】或 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查的是相似三角形的判定与性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．若是直角三角形，有三种情况：①当点在上时，②当点在上时，分别求解即可． 【详解】如图， 当点在上时，为的中点， ． 当点在上时， 四边形是矩形， ， ， ， ， ． 设，则， 由，得， 解得． 或． 综上，的长为或． 2．（2021·广东佛山·二模）在直角中，，，，点是内一点，满足，则的最小值为 ．    【答案】2 【知识点】90度的圆周角所对的弦是直径、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查点与圆位置关系、圆周角定理、最短问题等知识，解题的关键是确定点P位置，学会求圆外一点到圆的最小、最大距离．首先证明点P在以为直径的上，连接与交于点P，此时最小，利用勾股定理求出即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点P在以为直径的上，连接交于点D，此时最小， ∴， 在中，∵，，， ∴， ∴． 故答案为：2．    3．（2024·广东深圳·三模）如图，在正方形，点E，F在射线上，，则最大值是 ．    【答案】 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，正方形的性质．过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，利用相似三角形的性质求得，求最大值，即求的最大值，点在上，当的延长线经过点时，有最大值，据此计算即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，过点作交的延长线为点，作于点，作的垂直平分线，在上取点，作使，      ∵， ∴， 在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为定值， ∴求最大值，即求的最大值， ∵，， ∴， ∴点在上， 当的延长线经过点时，有最大值， ∵，， ∴四边形为矩形，， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 考向三：对角互补造辅助圆（四点共圆） 模型 描述 如图①和②，Rt△ABC和Rt△ABD共斜边，取AB的中点O，连接OC，OD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得OC＝OD＝OA＝OB； 如图③，在四边形ABCD中，∠A＋∠C＝180°(或∠B ＋∠D＝180°) 模型 呈现 模型 结论 (1)A，B，C，D四点共圆； (2)在判断四点共圆后，可以根据圆周角定理等得到角度相等，完成角度之间等量关系的转换，此模型是证明角相等的重要途径之一 1．（23-24九年级上·广东惠州·阶段练习）综合探究 （一）新知学习： 人教版数学九年级上教材第119页《探究四点共圆的条件》发现，圆内接四边形的判断定理：如果四边形对角互补，那么这个四边新内接于圆（即如果四边形EFGH的对角互补，那么四边形的四个顶点E、F、G、H都在同个圆上）． （二）问题解决： 已知的半径为2，是的直径，P是上任意一点，过点P分别作的垂线，垂足分别为N，M． (1)若直径（如图1），在点P（不与B、C重合）从B运动到C的过程中，的长是否为定值，若是，请并求出其定值；若不是，请说明理由． (2)若直径与相交成角，当点P（不与B、C重合）从B点运动到C的过程中（如图2），证明的长为定值． (3)试问当直径与相交成多少度角时，的长取最大值，并写出其最大值． 【答案】(1)的长为定值，该定值为2； (2)见解析 (3)当直径与相交成角时，取得最大值2． 【知识点】圆周角定理、圆与三角形的综合(圆的综合问题)、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）如图1，易证四边形是矩形，则有，问题得以解决； （2）设四边形的外接圆为，连接并延长，交于点，连接，如图3，根据圆周角定理可得，，在中运用三角函数可得：，从而可得，由此即可解决问题； （3）由（2）中已得结论可知，当时，最大，问题得以解决． 【详解】（1）如图1， ，即， ， 四边形是矩形， ， 的长为定值，该定值为2； （2）设四边形的外接圆为，连接并延长， 交于点，连接，如图3，    则有，， 在中，， ， ， 是定值． （3）由（2）得． 当直径与相交成角时，，取得最大值2． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、在同圆中弧与圆心角的关系、矩形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、角平分线的性质等知识，推出是解决本题的关键． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）阅读理解：(1)【学习心得】小赵同学在学习完圆这一章内容后，感觉到一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”．这类题目主要有两种类型． ① 类型一，“定点+定长”：如图1，在中，，D是外一点，且，求的度数． 解：若以点A(定点) 为圆心， (定长) 为半径作辅助圆，(请你在图1上画圆)则点C、D必在上，是的圆心角， 而是圆周角， 从而可容易得到 ． ② 类型二，“定角+定弦”：如图2，中，，P是内部的一个动点，且满足，求线段长的最小值． 解：∵， ∴，∵，∴，∴ (定角)，∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， 请你完成后面的过程． (2)【问题解决】如图3，在矩形中，已知，点P是边上一动点(点P不与B，C重合)，连接，作点B关于直线的对称点M，则线段的最小值为 ． (3)【问题拓展】如图4，在正方形中，，动点E，F分别在边上移动，且满足．连接和，交于点P． ① 请你写出与的关系，并说明理由； ② 点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长． 【答案】（1）①；②；（2）2；（3）①；② 【分析】（1）①点B、C、D都在上，根据，得；②； （2）连接，求出，由轴对称知，根据，得到的值最小为2； （3）①根据正方形性质，结合．证明，得到，推出，即得；②根据，知在点E运动时，点P从点D开始运动到正方形对角线交点O，得点P是在以为直径的上运动，路径长为的周长，为． 【详解】（1）①∵，， ∴点B、C、D都在上， ∵， ∴， 故答案为：； ②∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 点P在以 (定弦)为直径的上， ∴当点，，三点共线时，的长最小 ， ∴， ∴长的最小值为； （2）连接， ∵矩形中，，， ∴， 由轴对称知， ∵， ∴当点M在上时，的值最小， 最小值为：； 故答案为：2； （3）①．理由： ∵正方形中，，且． ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∴点P在以为直径的上运动， 当点E从点D开始运动到点C时， 点P也随之从点D开始运动到正方形对角线交点O， ∴由对称性知，点P运动的路径长为的圆周长， ∴． 故点P的运动路径长为：． 【点睛】本题主要考查了圆和三角形、四边形综合．熟练掌握圆周角定理及其推论，矩形、正方形性质，全等三角形判定和性质，勾股定理解直角三角形，轴对称性质，三角形外角性质，三角形三边关系，圆周长（或弧长）公式，是解决问题的关键． 考向四：定角定高构造辅助圆 定角定高构造辅助圆的图形特征及解题思路 图示 在△ABC中，∠ACB为定角，CD是AB边上的高，且CD为定值 作法 作△ABC的外接圆 结论 当构成等腰三角形(AC=BC)时,①AB的长最小:②ΔABC的周长最小;③△ABC 的面积最小 1.（2024九年级上·江苏·专题练习）辅助圆之定角定高求解探究 (1)如图①，已知线段，以为斜边，在图中画出一个直角三角形； (2)如图②，在中，，为边上的高，若，试判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由； (3)如图③，某园林单位要设计把四边形花园划分为几个区域种植不同花草，在四边形中，，，，点、分别为、上的点，若保持，那么四边形的面积是否存在最大值，若存在，请求出面积的最大值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)存在， (3)存在，144 【分析】（1）构造辅助圆，利用直径所对圆周角是直角解决问题即可． （2）如图2中，作的外接圆，连接，，，作于．设．求出的最小值即可解决问题． （3）如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆．由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大． 【详解】（1）解：如图①中，即为所求． （2）存在，理由如下， 如图②中，作的外接圆，连接，，，作于．设． ，，， ，， ，， ， ， ， 的最小值为， ， 的最小值为． （3）存在，理由如下， 如图③中，连接，延长交的延长线于，将顺时针旋转得到，作的外接圆． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知，当的外接圆的圆心在线段上时，的面积最小，此时四边形的面积最大， 设，则， ， ， ， 四边形的面积的最大值． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了三角形的外接圆，解直角三角形，最值问题等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 考向五：点圆最值构造辅助圆 模型 描述 已知平面内一定点D和☉O，E是☉O上一动点，设点O与点D之间的距离为d，☉O的半径为r， 当D，O，E三点共线时，线段DE有最大(小)值 模型 呈现 点D在☉O内 点D在☉O上 点D在☉O外 ①                  ② ③                ④ ⑤                      ⑥ 模型 结论 如图①，DE的最大值为d＋r；如图②，DE的最小值为r－d 如图③，DE的最大值为2r；如图④，DE的最小值为0 如图⑤，DE的最大值为d＋r；如图⑥，DE的最小值为d－r 1．（2024·广东梅州·一模）如图，已知以为直径的，A为弧中点，P为弧上任意一点，交于D，连．若，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、圆周角定理、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查圆周角定理，弧，弦，角之间的关系，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．解题的关键是确定动点的运动轨迹．以为斜边作等腰直角三角形，连接、，先由圆周角定理，得 ，为等腰直角三角形，得到，进而得到点D在点为圆心，为半径的上运动，根据圆外一点到圆上一点的最值的确定方法进行求解即可． 【详解】解：如图，以为斜边作等腰直角三角形，连接、， ∵以为直径的，A为弧中点， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 则， 解得 ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点D在点为圆心，为半径的上运动， 在等腰直角中，同理得， 在中，， ∴， ∵ ∴当C、D、三点共线时，CD取的最小值，最小值为． 故答案为：． 2．（2023·广东深圳·模拟预测）如图，在中，，点P是上一动点，，线段E的最小值为    【答案】 【知识点】圆周角定理、四点共圆、含30度角的直角三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据可以确定A，D，P，E四点共圆，根据三角形内角和定理确定，进而确定当时，线段取得最小值，根据三角形内角和定理和圆周角定理的推论确定，根据相似三角形的判定定理和性质可，设，根据等角对等边和勾股定理表示出和，根据所对的直角边是斜边的一半，圆周角定理和勾股定理表示出，最后代入比例式中计算即可． 【详解】解：当时，线段的值最小， 如图，    ∵于D，于E， ∴， ∴， ∴A、D、P、E四点共圆，且直径为， ∴是定值，所以直径最小时，所对的弦最小， 在中， ∴是等腰直角三角形，， ∴也是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， 如图，取的中点O，连接，则， ∵， ∴， 过D作于M，则， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 则线段的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查确定圆的条件，圆周角定理及其推论，勾股定理，相似三角形的判定定理和性质，含的直角三角形，正确确定何时取得最小值是解题关键． 3．（24-25九年级下·广东茂名·开学考试）如图，在矩形中，、分别在、上运动（不与端点重合），、，交于点，且满足．连接，若，，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长 【分析】根据矩形的性质得到，证明，推出，可得最短时点的位置，设为中点，连接，与圆交于，再利用即可得出结果． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，又， ∴， ∴即 ∴， ∴ ∴ ∴， ∴，又， ∴， ∴， ∴点在以为直径的圆周上，设为中点，连接，与圆交于， 即此时最短， ∴， ∴， ∴此时， 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质以及圆的性质，确定出最小时点的位置是解题关键，也是本题的难点． 4．（2023·广东广州·三模）如图，矩形中，，，点E、F分别是线段上的动点，且，过D作的垂线，垂足为H．    （1）当时， ． （2）当E在上运动时，的最小值为 ． 【答案】 1 【知识点】求一点到圆上点距离的最值、已知余弦求边长、用ASA（AAS）证明三角形全等（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】（1）过点F作于M，由条件可得四边形是矩形，由题意可得，从而问题解决； （2）连接交于点O，可证明，易得，由知，，即点H在以中点M为圆心，1为半径的圆上运动，当点E与点A重合时，的值最小，由三角函数知识即可求得此时最小值． 【详解】解：（1）过点E作于M，如图， 则； ∵四边形为矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：45； （2）连接交于点O，如图， 由矩形性质知：，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵，设中点为M， ∴， 即点H在以点M为圆心，1为半径的圆上运动， 由于点E在边上运动， ∴当点E与点A重合时，即与重合时，的值最小， ∵，， ∴， 即的最小值为1． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角函数，确定出点H的运动路径是解题的关键与难点． 一、单选题 1．（2025·广东揭阳·一模）如图，为的直径，C，D为上的两个点，交于点E，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】三角形内角和定理的应用、圆周角定理 【分析】本题考查了圆周角定理．连接，根据圆周角定理求得，，再求得，利用等边对等角结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．（2025·广东广州·模拟预测）如图，矩形中，，，以A为圆心，2为半径作．若动点E在上，动点P在上，则的最小值是（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】A 【知识点】点与圆上一点的最值问题 【分析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等；作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于，由轴对称的性质得，此时取得最小值，，由勾股定理即可求解；能由对称的性质及圆外一点到圆上一点距离最小值的典型解法找出取得最小值的条件是解题的关键． 【详解】解：如图，作关于的对称点，以为圆心，2为半径作，连接交于，交于， ， 此时取得最小值， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， 取得最小值为， 故选：A． 二、填空题 3．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，圆内接四边形两组对边的延长线分别相交于点E，F，且，那么的度数为 ． 【答案】/45度 【知识点】已知圆内接四边形求角度、三角形的外角的定义及性质 【分析】本题考查三角形外角的定义和性质，圆内接四边形的性质，根据三角形外角的性质求出，再根据圆内接四边形对角互补得出，即可求解． 【详解】解：， ， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ， 故答案为：． 4．（2025·广东佛山·一模）如图，正方形的边长是，是边的中点．将该正方形沿折叠，点落在点处．分别与相切，切点分别为，则的半径为 ． 【答案】 【知识点】一般三角形周长、面积与内切圆半径的关系、相似三角形的判定与性质综合、全等三角形综合问题、正方形折叠问题 【分析】连接，，，延长交于点，连接，由折叠的性质可知，，，证明，然后证明，则，从而求出，则，连接，，，然后通过，得，求出的值即可． 【详解】解：连接，，，延长交于点，连接，如图， 由题意得：， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵分别与相切，切点分别为， ∴的半径，，，， 连接，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 即的半径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了三角形内切圆，正方形与折叠问题，全等三角形的性质与判定，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用及正确作出辅助线是解题的关键． 三、解答题 5．（2025·广东·模拟预测）如图，为的弦，D，C为的三等分点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】圆周角定理、相似三角形的判定与性质综合、两直线平行同位角相等、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了圆周角定理，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行线的性质得出，由圆周角定理得出，即可得出结论； （2）由圆周角定理得出，得出，由（1）得，证出，得出对应边成比例，求出CE的长即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵D，C为的三等分点， ∴， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 6．（2025·广东深圳·模拟预测）如图，以等腰三角形的一腰为直径作，分别交另一腰和底于点M，N，连接并延长交的切线于点P，连接． (1)求证：． (2)延长交于点D，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【知识点】切线的性质和判定的综合应用、相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的证明、圆周角定理 【分析】（1）连接，先由圆周角定理得，结合得，因为半径相等，所以，利用三角形的中位线定理即可解决问题； （2）连接，先得，因为，结合角的等量代换得，证明，即，结合是的切线，则，证明是的切线，然后结合证明，通过角的等量代换得，因为，证明，即可作答． 【详解】（1）证明：连接． ∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 是的中位线， ∴， 即； （2）证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线， ∵，， ∴， ∴， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，综合性较强，难度较大，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 7．（2025·广东·模拟预测）如图，已知菱形，以为直径的与对角线交于点，与边交于点，连接，，为上一点，连接． (1)求证：点，，三点共线； (2)若点为的中点，求证：是的切线； (3)若的半径长为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)2 【知识点】利用菱形的性质证明、圆周角定理、用勾股定理解三角形、证明某直线是圆的切线 【分析】（1）通过圆周角定理的推论得，结合菱形的性质得即可求解； （2）连接、，利用菱形的性质得，；利用圆周角定理可得；为的中点，通过等腰三角形的性质——三线合一得，结合，推出即可得证结论； （3）连接、，由（2）得，推出，，设，利用勾股定理，在和中，，得，解方程即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为的直径。 ，即． 四边形是菱形， ，即． 点，，三点共线． （2）证明：如图，连接、． 由（1）得点，，三点共线， 四边形是菱形， ，， 又，， ． ， ． 又为的中点， ． ， ． 又， ． ， ． 又为的半径， 为的切线． （3）解：如图，连接，． 由（2）得， ， ． 的半径长为， ． 四边形是菱形， ． 为的直径， ， ． 设，则， 在中，， 在中，， ，解得． 的长为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、菱形的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质、切线的判定以及勾股定理，熟练掌握以上基础知识，作出合适的辅助线是解题关键． 8．（2025·广东湛江·二模）如图所示的平面直角坐标系中，为轴正半轴上一点，以为圆心的交轴于，两点，交轴于、两点．直线与交于、两点，其中交点在弧上．过点作，垂足为点，连接与． (1)求证：； (2)连接，请求证：； (3)若点的坐标为，点的坐标为，的中点为，则线段长度的最大值为_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】利用垂径定理求值、已知圆内接四边形求角度、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）连接，，利用垂径定理得出，利用线段垂直平分线的性质可得出，利用等边对等角得出，再利用圆内接四边形的性质得出，进而即可得解； （2）连接，过点A作交于点F，先利用全等证出和，然后进行线段和差的计算，即可得解； （3）连接，，以为直径作，连接，，，先利用圆的性质和勾股定理求出和，然后再利用圆的性质和三角形的三边关系证出线段长度的最大值，进而即可得解． 【详解】（1）如图，连接，， ∵M为圆心，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形为圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）如图，连接，过点A作交于点F， 由（1）知，， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 由（1）知，， 又∵，， ∴， ∴， ∴； （3）如图，连接，，以为直径作，连接，，， ∵M点的坐标为，B点的坐标为， ∴的半径为， ∴， 如图，过G点作， ∴， ∴， ∴， ∵的中点为N，M为圆心， ∴， ∴N点始终在上， ∴， ∵， ∴线段长度的最大值， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了垂径定理，圆周角定理及勾股定理，全等三角形的判定和性质，圆内接四边形的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形的三边关系等知识点，熟练掌握其性质，合理作出辅助线是解决此题的关键． 9．（2025·广东·模拟预测）如图①，小红在学习了三角形相关知识后，对等腰直角三角形进行了探究，在等腰直角三角形中，，，过点作射线，垂足为，点在上． (1)【动手操作】 如图②，若点在线段上，画出射线，并将射线绕点逆时针旋转与交于点，根据题意在图中画出图形，图中的度数为______度； (2)【问题探究】 根据（1）所画图形，探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】 如图③，若在直角中，，，点在线段上，将射线绕点逆时针旋转与交于点，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】同弧或等弧所对的圆周角相等、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解 【分析】（1）根据题意画出图形，由，得，再根据可得结论； （2）连接，推出四边形内接于直径为的圆，根据同弧所对的圆周角相等得，推出，即可得出结论； （3）当点在线段上时，连接，过点作交于点，证明得，推出四边形内接于直径为的圆，得，推出，得，，，再根据含角的直角三角形的性质得，可得结论． 【详解】（1）解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴图中的度数为度， 故答案为：； （2）． 理由：如图，连接， ∵将射线绕点逆时针旋转与交于点， ∴， ∵， ∴， ∴四边形内接于直径为的圆， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）当点在线段上时，连接，过点作交于点，如图所示， ∵将射线绕点逆时针旋转与交于点， ∴， ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形内接于直径为的圆， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题属于几何变换综合应用，考查了等腰直角三角形，旋转变换，同弧所对的圆周角相等，相似三角形的判定和性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理等知识．解题的关键是作辅助线构造相似三角形解决问题． 10．（2025·广东深圳·一模）在平面内，先将一个多边形以点为位似中心放大或缩小，使所得多边形与原多边形对应线段的比为，并且原多边形上的任一点，它的对应点在线段或其延长线上；接着将所得多边形以点为旋转中心，逆时针旋转一个角度，记为，如果是顺时针旋转一个角度，则记为，这种经过位似和旋转的图形变换叫做旋转相似变换，其中点叫做旋转相似中心，叫做相似比，叫做旋转角． (1)填空： ①如图1，将以点为旋转相似中心，放大为原来的2倍，再逆时针旋转，得到，这个旋转相似变换记为（___________，___________）； ②如图2，是边长为的等边三角形，将它作旋转相似变换，得到，则线段的长为___________； (2)如图3，经过得到，又将经过得到，连接，，求证：四边形是平行四边形． (3)如图4，在中，，，，若经过（2）中的变换得到的四边形恰好是正方形时，则的长为___________． 【答案】(1)①；②2 (2)见解析 (3) 【知识点】等边三角形的判定和性质、相似三角形的判定与性质综合、半圆（直径）所对的圆周角是直角、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①根据新定义的意义直接写出答案为即可； ②根据旋转相似变换，得到，根据得是边长为的等边三角形，得到，，于是，得到，解答即可； （2）根据经过得到，得到，得到，；根据经过得到，得到，得到从而得到；由得即结合得到得到，继而得到得到，同理可证证明即可． （3）将经过得到，又将经过得到，得到的四边形恰好是正方形时，计算即可． 【详解】（1）①解：根据新定义的意义，得答案为， 故答案为：； ②解：根据旋转相似变换，得到， 根据得是边长为的等边三角形，得到，， 于是， 故， 故答案为：2，逆60°． （2）证明：∵经过得到， ∴， ∴，； ∵经过得到， ∴， ∴ ∴； ∵， ∴即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可证。 故四边形是平行四边形． （3）解：以为边在其上方作等边三角形，再作其外接圆，作的直径，再在的上方分别作，延长交于点F，连接，则， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴将经过得到， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴将经过得到， 此时 ∴四边形是正方形． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，新定义问题，圆周角定理，三角函数的应用，三角形相似的判定和性质，平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握性质是解题的关键． 15 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $$