精品解析：新疆伊宁市第三中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试题

伊宁市第三中学2024-2025学年第二学期 高二年级 第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 出卷人：董红兰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一质点做直线运动，其运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对求导，然后将代入导数式，可得该质点在时的瞬时速度. 【详解】，所以当时，． 故选：D． 2. 学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（ ） A. 4种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理进行求解. 【详解】3个年级段均有4种选择，故不同的选择方法有种. 故选：C 3. 二项式的展开式中，第2项的系数为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二项式定理求解. 【详解】根据二项式定理： ，第二项即 ， ， 第二项的系数为：； 故选：B. 4. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定函数图像，判断导数的正负时的取值范围，再利用单调性逐项判断即可. 【详解】由导函数图像可知，当或时，， 当，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 故选项A，B错误； 在处取得极大值，且，故C错误，D正确； 故选：D. 5. 若,则=（ ） A. B. C. 1 D. 32 【答案】D 【解析】 【分析】 取，即可得到. 【详解】 取， . 故选：. 【点睛】本题考查二项式定理及通项公式的运用，“赋值法"普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，是基础题. 6. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得在上恒成立，利用给定单调性建立不等式并分离参数，构造函数并求出最小值，即可得出实数a的取值范围. 【详解】函数的定义域为，求导得. 由在定义域内单调递减，得在上恒成立， 即在上恒成立，而 因此当时，取得最小值，则， 因此实数a的取值范围是. 故选：D 7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 在第10行中第5个数最大 B. 第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C. D. 第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 【答案】D 【解析】 【分析】根据杨辉三角每一行的数字与组合数的对应关系，结合组合数的运算性质，依次判断选项. 【详解】对于A，因“杨辉三角”的第10行中第5个数是，又，故A错误； 对于B，因“杨辉三角”的第2023行中第1011个数和第1012个数分别为和， 因，故，故B错误； 对于C，因， ……… 则，故C错误； 对于D，因，而，故D正确. 故选：D 8. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，然后利用函数单调性比较大小即可得， 【详解】因为正实数，满足 所以， 因为，所以， 即， 设，则， 又在单调递增， 所以，C，D中不等关系无法确定， 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第5项 【答案】A 【解析】 【分析】利用赋值法判断A、B、C，根据二项式系数的性质判断D. 【详解】因为， 对于A：令，可得，故A正确； 对于B：令，可得①，故B错误； 对于C：令，可得②， 联立①②可得，故C错误； 对于D：由题意可知展开式共有项，则第项的二项式系数最大，故D错误． 故选：A． 10. 近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（ ） A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法. B. 若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法. C. 若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法. D. 若该医院又计划向这四个区捐赠10箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放1箱，则共有84种不同的安排方法. 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，直接用全排列公式求解即可；对于B，先选一个区无人去，然后将四名医生分成3组，再全排，最后用分步乘法计数原理求解即可；对于C，使用间接法求解即可得解；对于D，使用隔板法求解可得结果. 【详解】对于A，若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法.故A正确； 对于B，若恰有一个区无人去，则共有种不同的安排方法.故B正确； 对于C，若甲不去区,乙不去区，且每区均有人去，可考虑4人的全排列，去掉甲去区，乙去区，再加上甲去区同时乙去区， 即共有种不同的安排方法.故C不正确； 对于D，若该医院又计划向这四个区捐赠10箱防护服(每箱防护服均相同)，且每区至少发放1箱， 即使用3块隔板将10箱隔成4份，且隔板不相邻、不在两端，则共有种不同的安排方法.故D正确. 故选：ABD. 11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ） A. 一定有两个极值点 B. 函数在R上单调递增 C. 过点可以作曲线的2条切线 D. 当时， 【答案】BCD 【解析】 【分析】对求导，得出，没有极值点，可判断A，B；由导数的几何意义求过点的切线方程条数可判断C；求出三次函数的对称中心，由于函数的对称中心为，可得，由倒序相加法求出所给的式子的值，可判断D. 【详解】由题意知，，恒成立， 所以在R上单调递增，没有极值点，A错误，B正确； 设切点为，则， 切线方程为， 代入点得， 即，解得或， 所以切线方程为或，C正确； 易知，令，则． 当时，，，所以点是的对称中心， 所以有，即． 令， 又， 所以， 所以，D正确． 故选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，项的系数为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项特征即可求解. 【详解】由于的展开式通项为， 故的展开式中，含的项为 ， 故的系数为， 故答案为： 13. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有_____种. 【答案】18 【解析】 【分析】先根据甲是否被选上分成两类，在每一类中，再依次确定备选的同学以及担任的岗位即可. 【详解】由题意，可分为两类情况：第一类是甲同学未被选上，有种方法； 第二类是甲被选上且不担任主持人，有种方法， 由分类加法计数原理，不同的安排方法种数为. 故答案为：18. 14. 已知函数，若关于x的方程仅有2个实数解，则实数a的取值范围为____________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导函数与单调性的关系讨论函数的单调性，作出函数图象，再根据数形结合思想求解即可. 【详解】由题意得，函数的定义域为． 对函数求导得， 令，可得；令，可得或， 所以在和上单调递减，在上单调递增． 故当时，有极小值为． 作出函数的图象如下， 令，则方程化成， 解得或， 则有1个实数解， 所以或且，解得或且， ∴实数a的取值范围为 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值． 【答案】（1）9；（2）最大值为76，最小值为－5. 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用在处取得极值，，求解即可． （2）求出．判断导函数的符号，判断函数的单调性，然后求解极值，求解端点值，推出最值即可． 【详解】解：（1）因为， 所以． 因为在x＝1处取得极值， 所以，即，解得 经检验，符合题意． （2）由（1）得． 所以． 令，得或； 令，得． 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为． 所以的极大值为，极小值为 又， ， 所以 所以的最大值为76，最小值为 16. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有4名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： （1）2名女教师相邻的坐法有多少种？ （2）2名女教师互不相邻的坐法有多少种？ （3）学校从观看《我本是高山》的4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，那么有多少种选派方法？ 【答案】（1）240 （2）480 （3）16 【解析】 【分析】（1）利用捆绑法可得答案； （2）利用插空法可得答案； （3）分有1名女教师和2名男教师、2名女教师和1名男教师两种情况利用组合知识可得答案. 【小问1详解】 2名女教师看作一个元素，与4名男教师排在一起，共有种方法； 【小问2详解】 先安排4名男教师，有种安排方法，再利用插空法安排2名女教师，有种方法， 所以2名女教师互不相邻的坐法有种； 【小问3详解】 选派的3名教师中有1名女教师和2名男教师的选法有种， 选派的3名教师中有2名女教师和1名男教师的选法有种， 所以选派的3名教师中至少要有1名女教师的选法有种方法. 17. 已知． （1）若展开式的二项式系数和为，求的值； （2）当时，二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则求的值. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据二项式系数和为可得结果. （2）根据二项展开式通项公式求出的系数与常数项，由条件可得结果. 【小问1详解】 由题意得，，解得. 【小问2详解】 当时二项式为，二项展开式的通项为， 令，得，∴， 令，得，∴， ∵，∴，解得或或（舍去）， ∴或. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 令，则， 令，则， 因为，所以， 所以当时，恒成立，所以在上单调递减， 即在上单调递减，所以， 所以在上单调递减， 所以，即. 【解析】 【分析】（1）利用导数与函数单调性的关系，分类讨论即可得解； （2）构造函数，利用二次导数，结合函数的最值情况，证得，从而得证. 【小问1详解】 因为的定义域为， 所以， 当时，恒成立，所以在上单调递增； 当时，令，得， 当时，单调递减， 当时，单调递增， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 略 【点睛】结论点睛：恒成立问题： （1）恒成立；恒成立． （2）恒成立；恒成立． （3）恒成立；恒成立； （4），，． 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求正弦曲线曲率的平方的最大值. （3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 【答案】（1） （2）1 （3） 因为，， 则. ①当时，因为， 所以在上单调递减.所以. 所以在上无零点. ②当时，因为单调递增，且，， 所以存在，使. 当时，；当时，. 所以在上单调递减，在上单调递增，且. 所以.设，， ，, 所以在上单调递减，在上单调递增. 所以. 所以，所以. 所以在上存在一个零点. 所以在有2个零点. 综上所述，在上的零点个数为2 【解析】 【分析】（1）根据所给曲率的定义求解即可； （2）由新定义求出，换元后，利用导数求最值即可； （3）对分区间讨论，在上无零点，在上利用导数判断函数单调性极值，由零点存在性定理分析即可得解. 【小问1详解】 因为，所以，， 所以， . 【小问2详解】 由，，则， ， 令，则，故， 设，则， 在时，递减， 所以，最大值为1. 【小问3详解】 略 【点睛】关键点点睛：对于新定义问题，理解所给定义，运用所给定义解题是解题关键，对于函数零点问题，一般要先求出函数的单调性，极值，再结合零点存在性定理判断. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 伊宁市第三中学2024-2025学年第二学期 高二年级 第一次月考 数学试卷 考试时间：120分钟 分值：150分 出卷人：董红兰 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 一质点做直线运动，其运动的位移（单位：m）与时间（单位：s）的关系为，则时的瞬时速度为（ ） A. B. C. D. 2. 学校组织研学活动，现有寿宁下党乡、福安柏柱洋、屏南潦头村、福鼎赤溪村4条路线供3个年级段选择，每个年段必项且只能选择一条路线，则不同的选择方法有（ ） A. 4种 B. 24种 C. 64种 D. 81种 3. 二项式的展开式中，第2项的系数为（ ） A. 4 B. C. 6 D. 4. 已知函数 的导函数 的图象如图所示，那么对于函数 ，下列说法正确的是（ ） A. 在 上单调递增 B. 在 上单调递减 C. 在 处取得最大值 D. 在 处取得极大值 5. 若,则=（ ） A. B. C. 1 D. 32 6. 已知函数f(x)，满足在定义域内单调递减，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. “杨辉三角”是中国古代数学文化的瑰宝之一，它揭示了二项式展开式中的组合数在三角形数表中的一种几何排列规律，如图示，则下列关于“杨辉三角”的结论正确的是（ ） A. 在第10行中第5个数最大 B. 第2023行中第1011个数和第1012个数相等 C. D. 第6行的第7个数､第7行的第7个数及第8行的第7个数之和等于第9行的第8个数 8. 若正实数，满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 展开式中二项式系数最大的项为第5项 10. 近期，某市疫情爆发，全国各地纷纷派出医护人员驰援该市.某医院派出甲、乙、丙、丁四名医生奔赴该市的四个区参加防疫工作，下列选项正确的是（ ） A. 若四个区都有人去，则共有24种不同的安排方法. B. 若恰有一个区无人去，则共有144种不同的安排方法. C. 若甲不去区，乙不去区，且每区均有人去，则共有18种不同的安排方法. D. 若该医院又计划向这四个区捐赠10箱防护服（每箱防护服均相同），且每区至少发放1箱，则共有84种不同的安排方法. 11. 对于三次函数，给出定义：设是函数的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为函数的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．若函数，则（ ） A. 一定有两个极值点 B. 函数在R上单调递增 C. 过点可以作曲线的2条切线 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中，项的系数为_____. 13. 某班准备从甲、乙、丙、丁4位同学中挑选3人，分别担任2025年元旦晚会的主持人、记分员和秩序员，每个职务最多一人担任且每个职务必须有一人担任，已知甲同学不能担任主持人，则不同的安排方法有_____种. 14. 已知函数，若关于x的方程仅有2个实数解，则实数a的取值范围为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数在x＝1处取得极值． （1）求a的值； （2）求f（x）在区间[－4，4]上的最大值和最小值． 16. 根据张桂梅校长真实事迹拍摄的电影《我本是高山》于2023年11月24日上映，某数学组有4名男教师和2名女教师相约一起去观看该影片，他们的座位在同一排且连在一起.求： （1）2名女教师相邻的坐法有多少种？ （2）2名女教师互不相邻的坐法有多少种？ （3）学校从观看《我本是高山》的4名男教师和2名女教师中选派3名教师参加市教育局组织的观影分享会，若要求选派的3名教师中至少要有1名女教师，那么有多少种选派方法？ 17. 已知． （1）若展开式的二项式系数和为，求的值； （2）当时，二项式的展开式中的系数为，常数项为，若，则求的值. 18. 已知函数. （1）讨论函数的单调性； （2）当时，证明：当时，. 19. 用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”.现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇，衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若是的导函数，是的导函数，则曲线在点处的曲率. （1）求曲线在处的曲率的平方； （2）求正弦曲线曲率的平方的最大值. （3）正弦曲线，若，判断在区间上零点的个数，并写出证明过程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $