2025年艺考生仿真演练综合测试（二）-《2025年高考艺术生数学40天速提100分攻略》

2025年艺考生仿真演练综合测试（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得. 故选：A. 2．（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】, 故选：B 3．的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 【答案】B 【解析】， 的二项展开示的通项为 ①， ②， 在①式中，令得11，故的常数项为， 在②式中，令得，则的常数项为， 故的展开式中的常数项为， 故选：B. 4．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】由，得，则共线， 因此，整理得，而为非零向量， 所以. 故选：B 5．记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．23 D．25 【答案】D 【解析】设公差为，则，， 解得，所以， 当时，，当时，， 所以当时，取得最大值，最大值为. 故选：D 6．我国文化体育事业蓬勃发展，正从体育大国向体育强国的目标持续迈进.中国代表队在历届夏季奥运会获得的金牌数依次为15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，则这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数为（    ） A．16 B．26 C．28 D．32 【答案】B 【解析】将这组数据按照从小到大的顺序排列为5，15，16，16，26，28，32，38，39，40，48. 因为， 所以这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数是第五个数26. 故选：B 7．函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 通过五点法作出周期函数的图象， 再通过两点法作出单调函数的图象， 因为，所以通过图象可判断它们有个交点， 故选：A. 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为右顶点，为上一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由为上一点，得， 又，∴, 设则 在中，， 在中，由余弦定理得 由得，, 即，化简得，所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机事件，满足，，，则（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 【答案】AD 【解析】对于A，由，得，即，事件与事件相互独立，A正确； 对于B，由选项A知，事件相互独立，则，B错误； 对于C，，C错误； 对于D，，D正确. 故选：AD 10．在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 【答案】ACD 【解析】 ， ，故 A 正确； ， ， ，故 B 错误； ，, ， 是平面的一个法向量，故 C 正确； 与平面 所成角的正弦值为： ，故 D 正确． 故选：ACD. 11．已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 【答案】ABC 【解析】因为与均为奇函数，所以， ，即， 令有：， 由， 所以，故A正确； 对求导有， 即的图象关于直线对称，故B正确； 由， 对求导有，即为偶函数， 即得， 所以的周期为2，所以，故C正确； 因为的周期为2，所以， 所以，故D错误. 故选：ABC 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的焦距为，则双曲线C的渐近线方程为 ． 【答案】 【解析】由题意可得：，且双曲线的焦点在x轴上，则， 故双曲线C的渐近线方程为，即. 故答案为：. 13．已知是第四象限角且，，则的值为 . 【答案】 【解析】因为是第四象限角且，所以，， 因为，所以， 则. 故答案为：. 14．在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分，这八个部分称为“卦限”，通过点的横坐标、纵坐标、竖坐标，可确定点的确切位置及所处卦限.“卦限”取自《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四像生八卦”，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴，进而到平面直角坐标系中的四个象限，最终到空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程，体现了中国古典哲学与现代数学的关系，也体现了数学名词翻译的“信达雅”.若点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，从中任取个点，则这个点在同一个卦限的概率为 . 【答案】 【解析】因为点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，则点共有个， 计算每个卦限包含的点数： x负、y负、z负：8个点 x负、y负、z正：4个点 x负、y正、z负：4个点 x负、y正、z正：2个点 x正、y负、z负：4个点 x正、y负、z正：2个点 x正、y正、z负：2个点 x正、y正、z正：1个点 同一卦限中选2个点的组合数之和为： 从这个点中任取两个点，共有个基本事件， 故所求概率为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 【解析】（1）， 故且， 解得， 故，， 令得，令得， 所以在处取得极值，满足要求； （2）时，， 令，， 则，故在上单调递减， 则， 所以，，证毕. 16．（15分） 如图，在正方体中，为中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【解析】（1）依题意连接，如下图所示： 由正方体性质可得，又平面，平面， 可得平面， 因为与平面交于点，即平面平面， 可得， 因此，又为中点， 可得为的中点； （2）以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如下图所示： 不妨设正方体的棱长为2， 可得，即； 设平面的一个法向量为， 则，令，可得， 即； 显然平面的一个法向量可以为， 因此平面与平面夹角的余弦值为； 可得平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分） 的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 【解析】（1）因为，由正弦定理得， 故， 在中，，，所以，，则， 可得，所以，所以. （2）由正弦定理可得（为外接圆的半径）， 所以，， 因为，则，， 所以， 因为为锐角三角形，则，解得， 则，，故. 18．（17分） 已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 【解析】（1）设点，由于动点到点的距离与直线的距离相等， 所以点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线. 设此抛物线的方程是，则，故曲线的方程是. （2）（i）因为直线的斜率不为0，故设的方程为， 联立可得：，， 则， . 故，故直线与直线关于轴对称，即点与点关于轴对称，所以线段垂直于轴. （ii）由（i）可知，不妨设，因为点在与之间，所以， ， 则， 令，则， 令，则，解得； 令，解得. 则在上单调递增，在上单调递减， ，所以的取值范围为. 19．（17分） 若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①为单调数列；②存在实数，对任意都有成立，则称数列具有性质. (1)若，，判断数列，是否具有性质，并说明理由； (2)已知离散型随机变量服从二项分布，，，记为奇数的概率为. （ⅰ）当时，求，； （ⅱ）求，并证明数列具有性质. 【解析】（1）由，得，即是递增数列，而随着的增大，无限增大， 不存在正数，对任意都有成立，数列不具有性质； 由，得，又，则，数列是递减数列， 对任意，，即存在实数，对任意都有成立， 所以具有性质. （2）（ⅰ）当时，， . （ⅱ）随机变量的所有可能取值为， 若为奇数的概率为为偶数的概率为， ， ， 两式相减得，当时，，数列单调递减， 因此数列单调递增，且，所以数列具有性质. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年艺考生仿真演练综合测试（二） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．（    ） A． B． C． D． 3．的展开式中的常数项为（） A．18 B．20 C．22 D．24 4．已知非零向量，满足，则（    ） A． B． C．2 D．4 5．记为等差数列的前项和，已知，，则的最大值为（    ） A．16 B．18 C．23 D．25 6．我国文化体育事业蓬勃发展，正从体育大国向体育强国的目标持续迈进.中国代表队在历届夏季奥运会获得的金牌数依次为15，5，16，16，28，32，48，39，26，38，40，则这11届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第40百分位数为（    ） A．16 B．26 C．28 D．32 7．函数与函数的图象交点个数为（   ） A． B． C． D． 8．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，为右顶点，为上一点，若，且，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知随机事件，满足，，，则（    ） A．事件与事件相互独立 B． C． D． 10．在三棱锥中，，则（    ） A． B．向量与夹角的余弦值为 C．向量是平面的一个法向量 D．与平面所成角的正弦值为 11．已知函数与的定义域均为，且与均为奇函数，，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于直线对称 C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知双曲线的焦距为，则双曲线C的渐近线方程为 ． 13．已知是第四象限角且，，则的值为 . 14．在空间直角坐标系中，平面、平面、平面把空间分成了八个部分，这八个部分称为“卦限”，通过点的横坐标、纵坐标、竖坐标，可确定点的确切位置及所处卦限.“卦限”取自《易经》中的“太极生两仪，两仪生四象，四像生八卦”，从直角坐标系中的原点，到数轴中的两个半轴，进而到平面直角坐标系中的四个象限，最终到空间直角坐标系中的八个卦限，是由简单到繁复的变化过程，体现了中国古典哲学与现代数学的关系，也体现了数学名词翻译的“信达雅”.若点的横坐标、纵坐标、竖坐标均取自集合，从中任取个点，则这个点在同一个卦限的概率为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知函数在处取得极值. (1)求，； (2)证明：时，. 16．（15分） 如图，在正方体中，为中点，与平面交于点. (1)求证：为的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 17．（15分） 的内角的对边分别为，已知. (1)求； (2)若为锐角三角形，，求的取值范围. 18．（17分） 已知平面上的动点到点的距离与到直线的距离相等，点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点的直线交于两点，过点的直线与的另一个交点为，点在与之间. （i）证明：线段垂直于轴； （ii）记的面积为的面积为，求的取值范围. 19．（17分） 若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①为单调数列；②存在实数，对任意都有成立，则称数列具有性质. (1)若，，判断数列，是否具有性质，并说明理由； (2)已知离散型随机变量服从二项分布，，，记为奇数的概率为. （ⅰ）当时，求，； （ⅱ）求，并证明数列具有性质. 2 / 15 学科网（北京）股份有限公司 $$