平面向量：线性运算与平面向量的基本定理、数量积、坐标运算、向量新定义专项训练-2025届高三数学二轮复习

平面向量：线性运算与平面向量的基本定理、数量积、坐标运算、向量新定义专项训练 平面向量：线性运算与平面向量的基本定理、数量积、坐标运算、 向量新定义专项训练 考点一 线性运算与平面向量的基本定理 1．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设相交于点，为的重心， 可得为中点，， ， 所以， 所以. 故选：A. 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】连接，因为点是线段上靠近点的三等分点，则， 即，所以，， 又因为，，则， 因为、、三点共线，设，则， 所以，，且、不共线， 所以，，，故，因此，. 故选：C. 3．（24-25高一下·天津宝坻·阶段练习）下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】能作为平面内的基底，须使两向量与不平行， 若，则， 故只需判断选项中的两向量的坐标是否满足即得. 对于A选项，因，∴与不平行，故A项正确； 对于B选项，，∴与不平行，故B项正确； 对于C选项，，∴与不平行，故C项正确； 对于D选项，，∴，故D项错误. 故选：D. 4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）在中，为边上的中线，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵为边上的中线，∴， ∵E为的中点，∴， ∴， 故选：D. 5．（24-25高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）在中，，且三点共线，若，则的最小值是 ． 【答案】8 【详解】因为，， 所以， 又因为三点共线， 所以， 所以， 当且仅当时等号成立，此时. 故答案为：8. 6．（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 . 【答案】 【详解】如图所示： 因为在梯形中，，若为边上靠近的三等分点， 所以, ， 所以. 又因为， 则. 故答案为： 考点二 平面向量的数量积 1．（2023·福建泉州·三模）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】C 【详解】在平面直角坐标系xOy中，不妨设，，， 则，，， 所以， 当且仅当时等号成立， 因此，的最小值为2. 故选：C. 2．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 【答案】C 【详解】因为，不妨设，， 则， 所以 ， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故有最大值. 故选：C. 3．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知平面向量满足，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 【答案】A 【详解】由，得，则， 由，得，因此， 所以. 故选：A 4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为向量与的夹角为，，， 则，解得. 故选：C. 5．（2025·安徽池州·二模）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由， 所以. 故选：A. 6．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知非零向量，，满足：，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，可得，两边平方得，即， ∵，∴， ∴， ∴向量与的夹角为. 故选：C 7．（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，所以，两边平方可得， 又，所以， 所以. 故选：D 8．（24-25高三下·湖南永州·阶段练习）在中，，，D是AC中点，，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴, 当且仅当时，等号成立， ∵，∴. 所以的最大值为. 故选：A. 9．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习·多选）是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 【答案】BCD 【详解】如图： 对于A，．故A不正确； 对于B， 所以，故B正确； 对于C，，故C正确； 对于D，在上的投影向量是．故D正确． 故选：BCD. 10．（2025·江西·一模·多选）已知，，均为单位向量，且，则（   ） A． B． C．当实数变化时，的最小值是 D．若，则 【答案】ACD 【详解】由.得.解得（舍去）或. 因为、均为单位向量.则，故正确. ，故错误. ，当且仅当时取等号，故正确. 由.则，所以，整理得，即.故正确. 故选：ACD. 11．（24-25高一下·天津宝坻·阶段练习）已知向量的夹角为，，，则 ． 【答案】 【详解】因为向量的夹角为，，， 则， 可得， 所以. 故答案为：. 12．（24-25高一下·天津·阶段练习）若，是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则 . 【答案】/0.25 【详解】因为与垂直， 所以， 即， 即， 因为，所以，解得， 故答案为：. 13．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，，是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是 ． 【答案】 【详解】由于， 因为是单位向量，所以，则，. 已知，代入上式可得：，则. 根据向量模的性质，可得： 因为是单位向量，所以，可得： 当且仅当与同向时，等号成立，所以的最大值为. 故答案为：. 14．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）设、为单位向量，且，则 ． 【答案】 【详解】因为、为单位向量，则，所以，， 因此，. 故答案为：. 15．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值． 【答案】(1)6 (2) (3) 【详解】（1）因为， 所以         . （2）设，则， 所以，解得. （3）记， ， 设， 则，， ，， 所以当，即时，取得最小值，为. 16．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． (1)用，表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）如图，连接， 因为为线段的中点，， 所以，因为，所以， 由向量的加法法则得， 故，即成立. （2）由于，可得，又有， 所以； ，故. （3）由向量的减法法则得， 由于，可得，又有， 得到，故， 则， 由上问得，故. 17．（24-25高一下·天津宝坻·阶段练习）已知向量，，，，若． (1)求的值； (2)求与的夹角θ； (3)求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因为，， 则， 即，所以. （2）由（1）可知，则， 因为，所以. （3）因为 所以. 18．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图，，E是线段的中点，过点E的直线交线段于M，交线段于N，，，其中，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求m，n的值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)，. 【详解】（1）因为，所以， 则. 因为E是线段的中点，所以. （2）证明：因为M，E，N三点共线，所以. 因为，，所以. 由（1）可知，则， 所以，所以. （3）因为，，所以. 由（1）可知，所以. 因为，，，且，所以. 由（2）可知，联立，解得，. 考点三 平面向量的坐标运算 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得：，故， 又，， 故. 故选：D. 2．（24-25高三下·甘肃陇南·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．3 B．5 C．4 D．6 【答案】B 【详解】因为，，则， 所以. 故选：B. 3．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，， 所以在上的投影向量为， 故选：A． 4．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】B 【详解】因为向量，，且与的夹角为， 故. 故选：B. 5．（2025·辽宁鞍山·二模）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D．2 【答案】A 【详解】由，，得，由，得， 所以. 故选：A 6．（2025·北京门头沟·一模）已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 【答案】C 【详解】由题意得 . 故选：C. 7．（2025·河南·二模）已知向量，，，若，则正实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】B 【详解】因为，，， 所以，又，所以，解得或， 所以正实数的值为. 故选：B 8．（2025·福建·模拟预测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】，， 所以， ， 所以. 故选：D 9．（24-25高三上·四川南充·阶段练习·多选）已知向量，，，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【详解】对于A，，，， ，故A正确； 对于B，且， ，化简得，故B错误； 对于C，，，即，故C正确； 对于D，，， ，，， 在上的投影向量的坐标为 ，故D正确. 故选：ACD. 10．（2025·辽宁·模拟预测·多选）已知向量，则下列选项正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量的夹角为 D．若共线，则 【答案】AB 【详解】对于A，若，则，则，解得，故A项正确； 对于B，若，则，解得，故B项正确； 对于C，若，则，解得，则， 所以向量夹角的余弦值为，故C项错误； 对于D，若共线，则，解得或，故D项错误. 故选：AB. 11．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，且，则 ． 【答案】 【详解】由，得， 因为，所以， 则. 故答案为：. 12．（2025·安徽六安·模拟预测）已知向量，，则 ． 【答案】 【详解】因为向量，，则， 因此，. 故答案为：. 13．（2025·山东·模拟预测）已知向量，，若，则的值为 ． 【答案】 【详解】由. 故答案为：. 14．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，． (1)求与平行的单位向量的坐标； (2)设，，若存在，使得成立，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）由题意可得，所以与平行的单位向量为或， 即或. （2）因为，，所以， ， ，， .问题转化为关于t的二次方程在内有解. 令， ①当，即时，在内为增函数， ， 方程在内无解. ②当，即时，由，解得或. ③当，即时，在内为减函数，由得.解得. 综上，实数k的取值范围为. 15．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知平面向量，，，且，． (1)若//，且，求的坐标； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 【答案】(1)或； (2). 【详解】（1）设，，，，即； 又，，解得或 或． （2）由题可知，，， 与的夹角是锐角，，解得， 又与不共线，，即， 实数的取值范围是． 16．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知平面上的两个向量（），． (1)求证：向量与垂直； (2)当向量与的模相等时，求的大小． 【答案】(1)证明见解析 (2)． 【详解】（1）证明： 因为， 所以与垂直． （2）由， 两边平方，得， 整理，得， 而，所以， 即． 即， ∴，即，． 又，∴． 考点四 向量新定义 1．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）对任意非零向量，定义 (1)若向量，求的值 (2)若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值 【答案】(1) (2) 【详解】（1）向量， 则； （2） ，解得， 所以. 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. (1)已知向量，求； (2)（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 【答案】(1) (2)(i)证明见解析，（ii) 【详解】（1）由，， 可得： （2）（i）因为 ， 且，，则， 所以. （ii）因为D为中点， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点为的中点，则， 可得， 即 则， ， ， 可得， 所以. 3．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 【答案】(1)或； (2)① 证明见解析；②证明见解析； (3). 【详解】（1）设所求向量为，则， ， ， 联立解得或， 所以与垂直的单位向量的坐标为或. （2）①， ， . ②由①知，， 当时，， 所以. （3）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立仿射坐标系， 设，则，， 由，得， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为. 4．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. (1)已知向量满足，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值； (3)已知向量，求的最小值. 【答案】(1)2 (2)7 (3)16 【详解】（1）由已知，得， 设的夹角为，由，可得，即， 又，所以， 所以； （2）设，则，， 设的夹角为，则， ， 所以， 又， 所以. （3）由（2）得， 故， ， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最小值是16. 5．（24-25高一下·云南普洱·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. (1)已知，求； (2)若向量，求证：； (3)记，且满足，求的最大值. 【答案】(1)0； (2)证明见解析； (3). 【详解】（1）由，得. （2）由向量，向量，得， 因此，同理， 所以. （3）依题意，，， 则当为锐角时，，当为钝角时，， 当为锐角时， 当时，取到最大值； 当为钝角时， ， 当，即时，取得最大值， 所以的最大值. 6．（24-25高一下·山西·阶段练习）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）因， 则，故. （2）依题意，， 由可得， 因，则，故，解得 因，则， 又，代入解得①， 由正弦定理，，可得， 代入①，可得②， 又由余弦定理，， 可得③， 于是， 解得. （3）依题意，， 由可得， 即， 当或时，； 当时，， 作出函数在上的图象. 因方程在上有且仅有四个不相等的实数根 等价于函数与函数的图象在上有四个交点. 由图知，当且仅当时，两者有四个交点. 故实数m的取值范围为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$平面向量：线性运算与平面向量的基本定理、数量积、坐标运算、向量新定义专项训练 平面向量：线性运算与平面向量的基本定理、数量积、坐标运算、 向量新定义专项训练 考点一 线性运算与平面向量的基本定理 1．（24-25高一下·北京·阶段练习）在中，为的重心，满足，则（    ） A． B． C． D． 2．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，点是线段上靠近点的三等分点，过点的直线分别交直线、于点、.设，，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·天津宝坻·阶段练习）下列向量组中，不能作为平面内所有向量的基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·湖北·阶段练习）在中，为边上的中线，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一下·宁夏石嘴山·阶段练习）在中，，且三点共线，若，则的最小值是 ． 6．（2025·湖北武汉·一模）已知在梯形中，，若为边上靠近的三等分点，且，则 . 考点二 平面向量的数量积 1．（2023·福建泉州·三模）已知平面向量，，满足，，，，则的最小值为（    ） A．1 B． C．2 D．4 2．（2025·江西·模拟预测）若平面向量、、满足，则有（   ） A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值 3．（24-25高三下·安徽·阶段练习）已知平面向量满足，且，则（   ） A．2 B． C． D．1 4．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）已知向量与的夹角为，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2025·安徽池州·二模）已知向量满足，则（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·山东聊城·阶段练习）已知非零向量，，满足：，，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 7．（2025·山东泰安·一模）已知向量，且，则（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三下·湖南永州·阶段练习）在中，，，D是AC中点，，若，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 9．（24-25高一下·江苏扬州·阶段练习·多选）是边长为3的等边三角形，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D．在上的投影向量是 10．（2025·江西·一模·多选）已知，，均为单位向量，且，则（   ） A． B． C．当实数变化时，的最小值是 D．若，则 11．（24-25高一下·天津宝坻·阶段练习）已知向量的夹角为，，，则 ． 12．（24-25高一下·天津·阶段练习）若，是夹角为60°的两个单位向量，与垂直，则 . 13．（24-25高一下·江苏常州·阶段练习）已知，，是同一平面内的三个单位向量，且，则的最大值是 ． 14．（24-25高一下·天津武清·阶段练习）设、为单位向量，且，则 ． 15．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图，已知是边长为2的正三角形．如图，、是边的两个四等分点． (1)求的值； (2)若为线段上一点，且，求实数的值； (3)若为线段上的动点，求的最小值． 16．（24-25高一下·北京·阶段练习）如图，在梯形中，，，，为线段的中点，记，． (1)用，表示向量； (2)求的值； (3)求与夹角的余弦值． 17．（24-25高一下·天津宝坻·阶段练习）已知向量，，，，若． (1)求的值； (2)求与的夹角θ； (3)求的值． 18．（24-25高一下·河北保定·阶段练习）如图，，E是线段的中点，过点E的直线交线段于M，交线段于N，，，其中，. (1)用向量，表示. (2)证明：. (3)若，，，且，求m，n的值. 考点三 平面向量的坐标运算 1．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知向量，，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三下·甘肃陇南·阶段练习）已知，，则的值为（    ） A．3 B．5 C．4 D．6 3．（24-25高一下·河北·阶段练习）已知向量满足，则在上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知向量，满足，，且与的夹角为，则（    ） A． B．0 C．1 D． 5．（2025·辽宁鞍山·二模）已知向量，，，若，则（   ） A． B． C． D．2 6．（2025·北京门头沟·一模）已知向量，满足，，且，的夹角为，则（   ） A． B． C．5 D．10 7．（2025·河南·二模）已知向量，，，若，则正实数的值为（   ） A．1 B． C．2 D．3 8．（2025·福建·模拟预测）已知向量，则（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三上·四川南充·阶段练习·多选）已知向量，，，则（   ） A． B．当时， C．当时， D．在上的投影向量的坐标为 10．（2025·辽宁·模拟预测·多选）已知向量，则下列选项正确的有（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则向量的夹角为 D．若共线，则 11．（24-25高三下·重庆·阶段练习）已知，且，则 ． 12．（2025·安徽六安·模拟预测）已知向量，，则 ． 13．（2025·山东·模拟预测）已知向量，，若，则的值为 ． 14．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知向量，． (1)求与平行的单位向量的坐标； (2)设，，若存在，使得成立，求的取值范围． 15．（24-25高一下·河南·阶段练习）已知平面向量，，，且，． (1)若//，且，求的坐标； (2)若向量与的夹角是锐角，求实数的取值范围． 16．（24-25高一下·北京·阶段练习）已知平面上的两个向量（），． (1)求证：向量与垂直； (2)当向量与的模相等时，求的大小． 考点四 向量新定义 1．（24-25高一下·贵州黔南·阶段练习）对任意非零向量，定义 (1)若向量，求的值 (2)若单位向量满足，求向量与的夹角的余弦值 2．（24-25高一下·河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. (1)已知向量，求； (2)（i）设向量的夹角为，证明：； （ii）在中，为的中点，且，若，求. 3．（24-25高一下·山东青岛·阶段练习）假设，为平面中不共线的单位向量，，则对任意向量，存在唯一一组，使得，这样我们就得到了从平面向量到全体二元有序数组集合的一一对应关系，这样就产生了仿射坐标系，有序数组叫做向量的斜坐标． (1)若的斜坐标为，，求与垂直的单位向量的斜坐标． (2)在夹角为θ的仿射坐标系中，设，，求证： ① ② (3)在三角形ABD中，DF为边AB的中线，过B点作DF的垂线，交DF于C，交AD于E，此时，求的最小值． 4．（24-25高一下·河北承德·阶段练习）设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题. (1)已知向量满足，求的值； (2)在平面直角坐标系中，已知点，求的值； (3)已知向量，求的最小值. 5．（24-25高一下·云南普洱·阶段练习）在平面直角坐标系中，为坐标原点，对任意两个向量.作：，，当不共线时，记以为邻边的平行四边形的面积为；当共线时，规定. (1)已知，求； (2)若向量，求证：； (3)记，且满足，求的最大值. 6．（24-25高一下·山西·阶段练习）定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． (1)若向量为函数的伴随向量，求； (2)若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； (3)若函数为向量的伴随函数，关于x的方程在上有且仅有四个不相等的实数根，求实数m的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$