函数与导数：单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练-2025届高三数学二轮复习

函数与导数：单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练 函数与导数：单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练 考点一 函数的单调性 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得，则， 设函数，则对都有成立， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得，则. 故选：B. 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】不妨设，， 故， 令，则，所以在R上单调递增， 因为，所以， ， 所以，解得. 故选：C 3．（24-25高一上·湖北·期末）若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】当时，此时，令，则是一次函数，所以在上单调递增. 且当时，，满足的定义域要求，所以在上单调递增，故符合题意. 当时，二次函数的图象开口向上，对称轴为. 所以在上单调递增. 要使有意义，则在上恒成立. 当时，，因为，所以，满足，所以符合题意. 当时，二次函数的图象开口向下，对称轴为. 那么在上单调递增，在上单调递减，所以不可能在上单调递增，故不符合题意. 综合以上三种情况，实数的取值范围是. 故选:C. 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于函数，由可得或 所以，函数的定义域为， 因为内层函数在区间上为减函数，在上为增函数， 外层函数在上为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为. 故选：A. 5．（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，，函数单调递增， 当时，， 由复合型对数函数的单调性“同增异减”可知，函数单调递增， 作出函数大致图象如图： 所以函数是定义在R上的增函数， 因此,不等式等价于， 解得， 故答案为：. 6．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【详解】， 所以的图象可由向左平移个单位，再向上或向下平移个单位得到， 又是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负， 所以，解得， 故答案为：. 7．（24-25高一上·上海宝山·期末）若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由任取，且，都有，得函数在上单调递增， 而函数，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选： 8．（24-25高一上·辽宁大连·期末）不等式的解集为 . 【答案】 【详解】原不等式等价于， 令，则， 所以， 因为，和在上单调递减， 所以函数在上单调递增， 所以， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 9．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知函数，若实数，满足，则的最大值为 . 【答案】 【详解】令，所以， 又定义域为，所以为奇函数，又，都在上单调递增， 所以在上单调递增， 又，所以， 所以，所以，即， 所以， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：. 10．（24-25高三上·上海·开学考试）已知在R上为严格增函数，则实数a的取值范围是 【答案】 【详解】当时，， 开口向上，对称轴为，对称轴右侧递增， 当时，， 开口向下，对称轴为，对称轴左侧递增， 所以在R上为严格增函数时，实数. 故答案为：. 11．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 【答案】(或) 【详解】函数的定义域为， 令在定义域上为增函数，则在上单调递增， 由复合函数单调性的同增异减原则可得，当1，即时，函数单调递增， 即函数单调递增区间为． 故答案为：(或) 12．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知定义在的函数满足，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】构造函数，则， 又，，可得， 因此在上单调递增， 原不等式可化为，即， 可得，因此， 解得. 故答案为：. 考点二 函数的单调性 1．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，定义域为， ，为奇函数， 又，所以在上单调递增， 所以即， 即的取值范围是. 故选：C 2．（2025·安徽蚌埠·二模）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】若函数为奇函数，则，即， 整理得，即，解得， 当时，函数的定义域为；当时，函数的定义域为，都符合题意， 所以“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件. 故选：A 3．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，可得的定义域为， 且，所以为奇函数，图象关于原点对称，排除B项； ，排除C项； 当时，，排除A项. 故选：D. 4．（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以为奇函数， 又，故在上单调递增， 由，得，所以， 若，，即，只需， 令，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，故. 故选：D. 5．（2025·陕西西安·二模）函数的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R，， 函数是奇函数，其图象关于原点对称，排除C； ， 当时，， 且， 而，即，故， 所以在的单调递增区间上，AD不满足，B满足. 故选：B 6．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，故， 又因为当时，，故，所以． 故选：A. 7．（2025·河北·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于选项A，易知的定义域为，关于原点对称， 又函数，所以是奇函数，但在上单调递减，故选项A不正确； 对于选项B，函数的定义域为，关于原点对称，又， 所以奇函数，当时，， 在上单调递增，在上单调递减，故选项B不正确， 对于选项C，，因为，所以的定义域为， 又，所以是奇函数， 又在上单调递增，在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，故选项C正确， 对于选项D，函数的定义域为，且， 所以是偶函数，故选项D不正确， 故选：C. 8．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】令，则， 由题意知当时，，故在上单调递增， 因为函数是定义域为的奇函数， 所以， 所以， 所以是定义域为的偶函数， 所以在上单调递减， 又因为，所以， 所以， 所以当时，，则； 当时，，则； 当时，，则； 当时，，则. 则不等式的解集为. 故选：D. 9．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 ． 【答案】 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，且当时，， 则，故. 故答案为：. 10．（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ． 【答案】3 【详解】因为函数为奇函数，所以， 设，则，所以， 所以，则， 所以. 故答案为：3 11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 【答案】. 【详解】解析：因为是奇函数，当时，， 所以当时，. 故答案为：. 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】的定义域为， ∵，∴函数是上的增函数， ∵，∴函数是奇函数， ∴由得， ∴， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 13．（2025·青海海南·一模）已知定义在上的偶函数满足，则 . 【答案】 【详解】∵函数为偶函数，∴. ∵时，， ∴当时，，， ∴当时，，， ∵对数函数在上为增函数， ∴，即， ∴. 故答案为：. 14．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 . 【答案】 【详解】 ， 则，， 若，则，定义域是， 定义域不关于原点对称，不符合题意，所以， 所以，要使的定义域关于原点对称， 则需，则， 此时的定义域是. 则由解得， 此时 ，，符合题意. 所以 故答案为： 考点三 函数的奇偶性与对称性 1．（2025·陕西西安·二模）已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】因为函数是定义在R上的奇函数，所以， 又因为，所以函数的图象关于直线对称， 且，所以函数是以4为周期的周期函数. 因为当时，，所以函数在上单调递增. 函数的草图如下： 根据图象可知，若，则，， 解得，. 所以实数的取值范围是：，. 故选：D 2．（24-25高三下·重庆渝北·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【详解】由，得函数的图象关于点对称， 由，得，则函数的图象关于直线对称， 且有，则，于是是以4为周期的周期函数， 又当时，，即函数在上单调递增， 又，根据对称性可知，函数在上单调递增， 则在上单调递增，在上单调递减，所以， 由，得， 则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标， 而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图所示. 观察图象可知，函数的图象与直线在上有6个交点， 由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点， 因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为， 所以方程所有根之和为13． 故选：D. 3．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，若函数 是奇函数， ． 记 的导函数为 ，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得； 因为是奇函数，所以， 由，得，则； 由，得，所以，. 由，得，由，得， 由，得，所以. 因此，. 故选：B. 4．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由题故．又，，故． 结合周期性可知， 故． 故选：C 5．（2025·宁夏银川·一模）定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（    ） A．14 B． C．12 D． 【答案】B 【详解】由， 则关于中心对称，关于直线轴对称，且， 将替换为，则，则，即的周期为4. 画出以及的函数图象，如图所示，    两个函数图象均关于对称，则所有的根之和为. 故选：B 6．（2025·江苏淮安·二模）定义在上的函数满足，且当时，．则方程所有的根之和为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】B 【详解】已知，所以函数是奇函数. 又因为，则，用代替可得：，所以.所以函数的周期是. 方程可化为，所以方程的根就是函数与图象交点的横坐标. 当时，，对求导得， 其判别式，且二次项系数，所以，则在上单调递增.，. 因为是奇函数，所以在上也单调递增，. 又因为的周期是，可画出的大致图象. 直线恒过点. 通过分析函数图象可知，函数与的图象有个交点， 设这个交点的横坐标分别为. 由于函数的图象关于点对称，直线也过点，所以，，. 则. 故选：B. 7．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为定义域为的奇函数满足，则， 即，所以，， 所以，函数是周期为的周期函数， 则，，，则， 当时，， 因为，故. 故选：D. 8．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知定义域为的函数满足当时，，且对任意都有，则当时，关于的方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】由任意都有，可知当时，的周期为1， 画出及的图像， 则，对应的直线在中间，包含 ， 由图象可知：与，恒有4个交点， 故选：B. 9．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即. 故选：D. 10．（2025·山东·模拟预测）若方程的非整数根是函数的一个零点，则图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由有，得或（舍去）， 所以， 即，所以， 所以，所以函数图象的对称中心为， ， 故选：B. 11．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】根据函数解析式可知函数的定义域为， 且满足，故得为偶函数， 当时，可得， 当且仅当，即时，等号成立， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在单调递增， 且在时，取得最小值：； 由对称性可得，又； 再由偶函数性质可知其图象如下图所示： 因函数的图象与有两个交点，由图象可知或； 因此的最小值为3. 故答案为：3. 12．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则 . 【答案】 【详解】依题意，为奇函数，所以的图象关于对称， 为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以， （*）， 所以，则， 则，， 所以是以为一个周期的周期函数， 又由（*）可得则， 所以. 故答案为：. 13．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 【答案】10 【详解】根据题意, 则有，所以， 故的对称中心为，可得； 又正数满足，即可得； 所以 ； 当且仅当时，即时，等号成立 此时的最小值是10. 故答案为：10. 14．（24-25高一下·上海·开学考试）定义在上的函数在上是严格增函数，且函数为偶函数，则不等式的解集为 ． 【答案】 【详解】因为为偶函数，所以，所以函数的图象关于直线对称. 令，可得. 又函数在上是严格增函数，根据对称性，可知：函数在上是严格减函数. 所以. 故答案为： 15．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）曲线关于直线对称的曲线为，若与的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】 设点为上任一点，则其关于直线的对称点为，且在函数上，所以， 指对数转化可得，所以， 又因为与函数只有一个公共点， 所以方程有且只有一个解， 当时，显然不成立； 所以当时，则有，记， 则， 由当时，有，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 当时，有，所以在上单调递减， 当时，；当时，；当时，；当时，，且，则作出的图象如图所示， 由数形结合易知：要满足直线与函数图象有一个交点， 则a的取值范围为． 故答案为：． 16．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）奇函数满足，则 【答案】 【详解】解：由可得的图象关于直线对称， 所以． 故答案为：． 17．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 【答案】5 【详解】函数的图象是中心对称图形，对称中心为. 定义在上的偶函数满足， 则函数有对称轴为轴，对称中心；又当时，， 在同一坐标系在内作出与的图象， 当，， 令， 则，且， 所以存在，使得当时，，单调递增， 所以当时，，即， 结合图象可得，与的图象有5个交点， 又均是与的图象的对称中心， 则两函数所有交点的横坐标之和为5. 故答案为：5 18．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 【答案】 【详解】因为函数的图象关于点对称， 所以函数的图象关于点对称， 所以函数为奇函数，故， 所以， 所以， 所以，， 所以. 故答案为：. 考点四 抽象函数的概念与性质 1．（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【详解】令，可得，所以， 令，可得， 因为不恒为0，所以，所以是奇函数， 因为， 所以. 故选：B. 2．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 【答案】D 【详解】对A，令，则， 由，则，即，所以，故A错误； 对B，令，则，因为， 所以，解得，故B错误； 对于C，令，则， 又，所以，则， 当时，，不满足奇函数的定义， 所以不是奇函数，故C错误； 对D，由C选项知，，即， 所以，，故D正确. 故选：D 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 【答案】C 【详解】令，则， 则，故A错误； 令，则， 则，故B错误； 令， 则， 所以为偶函数，故C正确； 由，，可知不是增函数，D错误. 故选：C 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（    ） A． B．-1 C． D．0 【答案】D 【详解】对任意实数x，y，都有，， 取，得，即，解得， 取，得，即，解得， 任意，则，因此， 取，得，则，， 所以. 故选：D 5．（2025·山东菏泽·一模·多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 【答案】ABD 【详解】对于B：令，由题设可知，故是奇函数.故B正确； 对于A：又的定义域为R，所以，故A正确. 对于C：不妨取，则满足，且，故C错误. 对于D：令，则；令，则， 故，故D正确. 故选:ABD 6．（24-25高一上·福建南平·期末·多选）对任意的，，函数满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．4为函数的一个周期 D． 【答案】ACD 【详解】由 ，令 ，则 ，又 ，所以 ，故 A 正确； 因为 时 ，则不成立，所以 不是奇函数，故 B 错误； 令可得 ，所以 ， 令 ，则 ， 令 ，则 ， 所以 的周期为 4，故 C 正确； 由 ，得 ， 所以 ，故 D 正确. 故选： ACD. 7．（24-25高三上·山西·期末·多选）已知定义域为的函数满足，且，，则（   ） A． B．为偶函数 C． D． 【答案】BCD 【详解】令，，则，所以， 令，，则，所以， 令，，则，所以，故A错误； 令，则， 所以，则， 令，则，所以，所以， 所以为偶函数，故B正确； 令，则， 所以，则， 所以，故C正确； 由，得，所以4为的一个周期， 由，得，， 所以， 所以，D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高三下·福建福州·开学考试·多选）定义在上的函数满足：①当时，，且；②；③，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D．为周期函数 【答案】ABC 【详解】由及， 两式相加可得：， 令，，可得：， 因为，所以，即可得，A正确， 再令，可得：，又， 即，由于，所以为偶函数，B正确， 再通过， 令，得：， 又为偶函数，所以，① 通过， 令得：，② ①,②两式相减可得：， 又不恒为0，所以，即为奇函数，C正确， 因为为奇函数，且，有， 则有，，且仅有， 所以不可能存在常数满足，即不是周期函数，D错误. 故选：ABC． 9．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)是奇函数，证明见解析 【详解】（1）设，则， 因为，所以，故，而， 故，所以是单调递增函数． （2）是奇函数． 证明如下：由， 所以， 由，令， 则，再令，解得， 所以， 所以 ， 故是奇函数． 10．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数u，v，都有成立，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)证明：在上单调递增； (3)判断命题“对任意正有理数”的真假，并说明理由. 【答案】(1)奇函数 (2)证明见解析 (3)真命题，理由见解析 【详解】（1）因为对任意实数u，v，都有， 所以，所以， 在中，令得，， 所以，所以是奇函数， 因为当时，，所以，所以不是偶函数 （2）证明：任意取，且，则，所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）命题“对任意正有理数”是真命题.理由如下： 因为是一个正有理数，所以， 所以原命题等价于成立. ， 所以，所以， 所以， 所以对任意正有理数成立， 所以原命题是一个真命题. 11．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，奇函数 (2)增函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）因对任意的都有. 当时,令 ,则，因，则 ； 再令 ,则，即，因，则. 令 ,则,故是奇函数. （2） 在上是增函数.以下提供证明: 当 时, 则，由，可得， 又 ，且时, ，故 时, . 又因是定义在上的奇函数,所以. 任取 ,则 ,从而 在 上单调递增, 又因是上的奇函数,则 在 上单调递增,且， 故在上是增函数; （3）在中，令 ，可得 ，因，则， 由可得， 即 因在上是增函数，即得对任意的 成立， 设， 则解得或 即实数的取值范围为. 12．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 【答案】(1)， (2)奇函数 (3)是上的减函数，证明见解析 【详解】（1）令，则，即， ， ； （2）令，则，即，可得为奇函数； （3）是上的减函数. 证明：令，则， 则， 由时，， 可得，即有，即，即， 则是上的减函数. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$函数与导数：单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练 函数与导数：单调性、奇偶性、周期性、对称性专项训练 考点一 函数的单调性 1．（24-25高一上·江苏盐城·期末）已知，对都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数满足：，当.时，恒成立，且，若，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·湖北·期末）若函数 在单增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一上·江苏苏州·期末）函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围为 ． 6．（24-25高一上·上海长宁·期末）已知函数是上的严格减函数，且在上的函数值不恒为负，则实数的取值范围为 ． 7．（24-25高一上·上海宝山·期末）若函数（且），任取，且，都有，则实数a的取值范围是 ． 8．（24-25高一上·辽宁大连·期末）不等式的解集为 . 9．（24-25高一上·河南商丘·期末）已知函数，若实数，满足，则的最大值为 . 10．（24-25高三上·上海·开学考试）已知在R上为严格增函数，则实数a的取值范围是 11．（24-25高三下·四川雅安·开学考试）函数的单调递增区间是 ． 12．（24-25高二下·江苏南京·开学考试）已知定义在的函数满足，则不等式的解集为 ． 考点二 函数的单调性 1．（2025·湖南邵阳·二模）已知函数，则满足的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽蚌埠·二模）“”是“函数为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 3．（2025·辽宁·模拟预测）函数的部分图象大致为（    ） A．B．C． D． 4．（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．（2025·陕西西安·二模）函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 6．（24-25高三下·山西·阶段练习）已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025·河北·三模）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（    ） A． B． C． D． 8．（2025·贵州毕节·二模）已知函数是定义域为的奇函数，是的导函数，，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 9．（24-25高三下·北京顺义·阶段练习）已知是定义域为的奇函数，且当时，，则 ． 10．（2025·广东·一模）若函数是奇函数，则 ． 11．（2025·云南昆明·模拟预测）已知函数是定义在上的奇函数，且当且仅当时，，则当时，的解析式为 . 12．（2025·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知函数，则不等式的解集为 ． 13．（2025·青海海南·一模）已知定义在上的偶函数满足，则 . 14．（24-25高三下·上海·阶段练习）已知函数为奇函数，则 . 考点三 函数的奇偶性与对称性 1．（2025·陕西西安·二模）已知是定义在R上的奇函数且满足，当时，．若，则实数a的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．（24-25高三下·重庆渝北·阶段练习）已知定义在上的函数满足，当时，，则方程所有根之和为（） A．10 B．11 C．12 D．13 3．（24-25高三下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知函数 的定义域为 ，若函数 是奇函数， ． 记 的导函数为 ，则 （    ） A． B． C． D． 4．（2025·山西·一模）已知是定义在R上的奇函数，且的一个周期为4，若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025·宁夏银川·一模）定义在上的函数满足，且当时，，则方程所有的根之和为（    ） A．14 B． C．12 D． 6．（2025·江苏淮安·二模）定义在上的函数满足，且当时，．则方程所有的根之和为（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 7．（2025·贵州毕节·一模）已知定义域为的奇函数满足，且时，，则的值为（    ） A． B． C． D． 8．（24-25高三上·湖南益阳·期末）已知定义域为的函数满足当时，，且对任意都有，则当时，关于的方程的实根个数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 9．（24-25高三下·湖北·阶段练习）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 10．（2025·山东·模拟预测）若方程的非整数根是函数的一个零点，则图象的对称中心为（    ） A． B． C． D． 11．（2025·云南昆明·一模）已知函数的图象与有两个交点，则的最小值为 . 12．（24-25高一下·山西太原·开学考试）已知函数的定义域为，若为奇函数，为偶函数，则 . 13．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的对称中心是，若正数满足，则的最小值是 ． 14．（24-25高一下·上海·开学考试）定义在上的函数在上是严格增函数，且函数为偶函数，则不等式的解集为 ． 15．（24-25高三下·江西赣州·阶段练习）曲线关于直线对称的曲线为，若与的图象有且只有一个公共点，则a的取值范围为 ． 16．（24-25高三上·广东潮州·阶段练习）奇函数满足，则 17．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）已知定义在上的偶函数满足，当时，，函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为 . 18．（24-25高三下·山东·开学考试）已知函数的图象关于点对称，则 ． 考点四 抽象函数的概念与性质 1．（2025·辽宁·一模）对任意，都有，且不恒为0，函数，则（    ） A．0 B．2 C．4 D．6 2．（24-25高一上·浙江温州·期末）已知定义域为的函数满足：，，且，则（    ） A． B． C．是奇函数 D．， 3．（24-25高一上·云南昆明·期末）已知函数的定义域为，且，若，则（   ） A． B． C．为偶函数 D．为增函数 4．（24-25高一上·陕西榆林·期末）已知函数的定义域为R，且对任意实数x，y，都有.若，则（    ） A． B．-1 C． D．0 5．（2025·山东菏泽·一模·多选）已知函数的定义域为，且，若，则（    ） A． B．是奇函数 C．是增函数 D． 6．（24-25高一上·福建南平·期末·多选）对任意的，，函数满足，且，，则（    ） A． B．是奇函数 C．4为函数的一个周期 D． 7．（24-25高三上·山西·期末·多选）已知定义域为的函数满足，且，，则（   ） A． B．为偶函数 C． D． 8．（24-25高三下·福建福州·开学考试·多选）定义在上的函数满足：①当时，，且；②；③，则（    ） A． B．为偶函数 C．为奇函数 D．为周期函数 9．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知定义域为R的函数满足，，当时，． (1)用定义法证明：在定义域内单调递增； (2)记函数，判断的奇偶性，并证明你的结论． 10．（24-25高一上·河南·阶段练习）已知函数的定义域为，对任意实数u，v，都有成立，且当时，. (1)判断的奇偶性； (2)证明：在上单调递增； (3)判断命题“对任意正有理数”的真假，并说明理由. 11．（24-25高一上·重庆·期中）已知函数的定义域为，对任意的都有，且 时, , 时, . (1)求的值并判断函数的奇偶性； (2)讨论的单调性并证明； (3)若对任意的成立，求实数的取值范围. 12．（24-25高一上·福建厦门·期中）已知函数的定义域为，且满足对于任意， 都有， 且当时， ，且． (1)求与的值； (2)判断的奇偶性； (3)判断的单调性，并证明. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$