精品解析：江苏省海门中学2024-2025学年高一下学期3月质量调研测试数学试题

2024～2025学年第二学期3月质量调研测试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，若，则x＝（ ） A. B. 1 C. D. －1 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 3. 设向量，则（    ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 4. 设D为ABC所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知终边与单位圆的交点，且是第二象限角，则的值等于 A. B. C. 3 D. 6. 在中，若，则这个三角形是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 7. 为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动 个单位长度 B. 向左平行移动 个单位长度 C. 向右平行移动 个单位长度 D. 向左平行移动 个单位长度 8. 我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应的位置上. 9. 对于任意的非零平面向量，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 10. 已知、，，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ） A. B. C. 若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D. 的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知，，若与为共线向量，则实数k＝__________． 13. 已知，则__________. 14. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为_____. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 16. 在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题. 已知，且 . （1）求的值； （2）若，求. 说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分. 17. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 18. 已知是线段外一点，若. （1）设点是的重心，证明：； （2）设点是线段的三等分点，及的重心依次为. ①试用向量表示； ②依据①的推理，设点线段的等分点，分别是的重心.请你写出：及(用表示不必证明)； ③若，求． 19. 对于常数集合和变量，定义为相对集合的“n元余弦方差”. （1）若集合，求相对集合的二元余弦方差. （2）当集合时，求相对集合的三元的余弦方差. （3）在直角坐标系中，已知为相对集合的一元余弦方差，函数，且，请问在y＝φ(x)的图象上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年第二学期3月质量调研测试 高一数学 本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，若，则x＝（ ） A. B. 1 C. D. －1 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量减法和数量积的坐标运算可表示出，解方程即可. 【详解】，，，解得：. 故选：D. 2. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二倍角公式和同角三角函数关系式，将转化为用表示，再代入计算即可. 【详解】因为,所以, 又,所以, 故选：B. 3. 设向量，则（    ） A. “”是“”的必要条件 B. “”是“”的必要条件 C. “”是“”的充分条件 D. “”是“”的充分条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示以及充分条件、必要条件的定义逐项判断即可. 【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误； 对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误； 对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确； 对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误. 故选：C. 4. 设D为ABC所在平面内一点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量共线性质和平面向量加法的几何意义进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 故选：C 5. 已知终边与单位圆的交点，且是第二象限角，则的值等于 A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】 利用二倍角的正弦，余弦公式进行化简，再把求值. 【详解】因为终边与单位圆的交点，且是第二象限角， 所以，，则 故选：C 【点睛】本题考查了正弦函数的定义以及二倍角公式进行化简求值，属于较易题. 6. 在中，若，则这个三角形是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式及两角差的余弦公式计算可得； 【详解】解：因为 所以 所以 所以 因为，所以，即 所以三角形为等腰三角形； 故选：D 7. 为了得到 的图象，只要把 的图象上所有的点（ ） A. 向右平行移动 个单位长度 B. 向左平行移动 个单位长度 C. 向右平行移动 个单位长度 D. 向左平行移动 个单位长度 【答案】A 【解析】 【分析】利用诱导公式统一函数名，再根据函数的图象变换规律，得出结论． 【详解】， 由诱导公式可知： 又 则，即只需把图象向右平移个单位. 故选：A 8. 我国著名科幻作家刘慈欣的小说《三体Ⅱ·黑暗森林》中的“水滴”是三体文明使用强互作用力（SIM）材料所制成的宇宙探测器，因为其外形与水滴相似，所以被人类称之为“水滴”小王是《三体》的忠实读者，他利用几何作图软件画出了他心目中的“水滴”：由线段和优弧围成，与圆弧分别切于点B、C，直线与水平方向垂直（如图），已知“水滴”的水平宽度与竖直高度之比为9∶5，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆弧所在圆心为O，半径为r，连接，由题意得可得，且，根据三角函数定义，可得的值，根据二倍角公式，即可得答案. 【详解】设圆弧所在圆心为O，连接，可知， 设圆的半径为r，依题意，有，即， 所以 所以． 故选：A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，请把答案填涂在答题卡相应的位置上. 9. 对于任意的非零平面向量，，，下列结论正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据平面向量数量积的定义和运算性质逐一判断即可. 【详解】因为，所以选项A正确； ，显然不一定成立，所以选项B不正确； 因为，所以选项C正确； 因为向量与共线，向量与共线，所以不一定成立， 因此选项D不正确， 故选：AC 10. 已知、，，则下列不等关系一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用两角和的正弦公式结合作差法可判断A选项；求出的取值范围，根据可判断B选项；利用正弦函数的单调性推导出，利用辅助角公式结合正弦型函数值域可判断D选项. 【详解】因为、，则、、、， 对于A选项， ，故，A错； 对于B选项，因为、，，则， 所以，，B对； 对于C选项，、，，则， 且函数在上为增函数，所以，， 故， 因为，则，故， 故，C对； 对于D选项，， 因为，则，故， 故，即，D对. 故选：BCD. 11. 蜜蜂的巢房是令人惊叹的神奇天然建筑物，巢房是严格的六角柱状体，它的一端是平整的六角形开口，另一端是封闭的六角菱形的底（由三个相同的菱形组成）巢中被封盖的是自然成熟的蜂蜜，如图是一个蜂巢的正六边形开口ABCDEF，它的边长为1，点P是△DEF内部（包括边界）的动点，则（ ） A. B. C. 若P为EF的中点，则在上的投影向量为 D. 的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：根据正六边形的性质结合向量的线性运算求解；对于C：根据结合投影向量的定义分析判断；对于BD：建系，根据向量的坐标运算求解. 【详解】对于选项A：因为，故A正确； 对于选项C：由题意可知：， 若P为EF的中点，所以在上的投影向量为，故C错误； 对于选项BD：如图，建立平面直角坐标系， 则， 可得，所以，故B错误； 设，可知， 则，可得， 则， 可知当，即点与点重合时，的最大值为，故D正确； 故选：AD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请把答案填写在答题卡相应位置上． 12. 已知，，若与为共线向量，则实数k＝__________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知，分别表示出和的坐标形式，再根据两向量共线，列出等量关系即可完成求解. 【详解】因为，，所以，， 因为与为共线向量，所以，解得：. 故答案为：. 13. 已知，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用三角恒等变换化简得出的值，再利用二倍角的余弦公式可求得的值. 【详解】因为， 所以，. 故答案为：. 14. 如图，在中，点满足，过点的直线与所在的直线分别交于点，若，则的最小值为_____. 【答案】3 【解析】 【分析】先由题意得，进而由共线定理得，接着结合基本不等式即可求解. 【详解】因为，， 所以， 因为三点共线，所以， 所以， 当且仅当即时等号成立. 所以的最小值为3. 故答案为：3. 【点睛】思路点睛：根据已知条件关系和所求问题的特征，结合向量的环境优先考虑共线定理中的三点共线系数和为1，故先由题意得，从而由共线定理得，接着结合基本不等式可求解. 四、解答题：本大题共5小题，共77分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知与的夹角是 （1）计算； （2）求和的夹角的余弦值． 【答案】（1），； （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量数量积的定义和运算律求解即得； （2）利用向量数量积的运算律和两向量的夹角公式计算即得. 【小问1详解】 因为与的夹角是 所以， 【小问2详解】 因为， 设和的夹角为， 则. 16. 在①，②，③中任选一个条件，补充在下面问题中，并解决问题. 已知，且 . （1）求的值； （2）若，求. 说明：若选择多个条件解答，则按第一个选择给分. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对三个条件逐一研究，求出，再得用两角差的正弦公式将展开后代入计算即可； （2）利用角的变换，，再通过展开后求值，得到，结合角的范围即可求出的大小. 【小问1详解】 ， 若选①，由 得： 若选②，则， 则 若选③，则, 又得 综上：， . 【小问2详解】 ， 又由（1）知， ， . 17. 已知向量，，. （1）若，求的值； （2）记，若对于任意，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由，得到，求得，即可得到的值； （2）根据题意，化简得到，由，得到，结合对于任意， 恒成立，即，即可求解. 【小问1详解】 解：由向量，， 因为，可得，整理得， 即，又因为，则. 【小问2详解】 解：由 ， 因为，则，所以， 因为对于任意，而恒成立， 则，所以实数的最小值为. 18. 已知是线段外一点，若. （1）设点是的重心，证明：； （2）设点是线段的三等分点，及的重心依次为. ①试用向量表示； ②依据①的推理，设点线段的等分点，分别是的重心.请你写出：及(用表示不必证明)； ③若，求． 【答案】（1） 连，并延长交于，由是的重心，则为的中点． 则． 由是的重心，则， 即：，即：. （2）①；②，；③ 【解析】 【分析】（1）根据中线以及重心的性质即可求解， （2）由（1）的结论，即可根据向量的线性运算法则求解①，根据中线的性质即可两式相加求解②，③根据数量积的运算律，联立方程即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①如图：点是线段的三等分点． 由（1）可得：， ， ． ②取的中点为，则 ， 故． ， 故. ③ 又 由上面得：， ． 19. 对于常数集合和变量，定义为相对集合的“n元余弦方差”. （1）若集合，求相对集合的二元余弦方差. （2）当集合时，求相对集合的三元的余弦方差. （3）在直角坐标系中，已知为相对集合的一元余弦方差，函数，且，请问在y＝φ(x)的图象上，是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据余弦方差的计算公式，结合特殊角的三角函数值，直接计算，即可求解；. （2）由余弦方差的计算公式，得到，结合余弦的倍角公式和三角恒等变换的公式，进行化简求值，即可得到答案； （3）由余弦方差的计算公式，求得，得到，得到，设，根据，化简得，结合余弦函数的值域和二次函数的性质，得到当且仅当时，方程成立，进而求得点 的坐标，得到答案. 【小问1详解】 因为集合， 由余弦方差的计算公式，可得. 【小问2详解】 因为集合时， 由余弦方差的计算公式，可得 . 【小问3详解】 当时，可得一元余弦方差为， 则， 可得， 又点在的图象上，故设点， 可得， 由，可得， 即，所以， 可得， 因，，可得， 而，故要成立，当且仅当时，，此时，， 即当点时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $