2025年中考数学三轮冲刺练习（特殊）平行四边形的动点问题专题提升训练

2025年中考数学三轮冲刺练习 （特殊）平行四边形的动点问题专题提升训练 1．如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当______时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分(直接写出答案)． 2．如图，在矩形中，，，点、、分别从点、、三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向移动，点、的速度均为，点的速度为，当点追上点（即点与点重合）时，三个点随之停止移动．设移动开始后第秒时，的面积为 (1)当秒时，的值是多少？ (2)写出和之间的函数解析式，并指出自变量的取值范围； (3)若点在矩形的边上移动，当为何值时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似？请说明理由． 3．如图，在直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形OABC是平行四边形，点A的坐标为，点B的坐标为． (1)求点C的坐标和平行四边形的对称中心的点的坐标； (2)动点P从点O出发，沿方向以每秒1个单位的速度向终点A匀速运动，动点Q从点A出发，沿方向以每秒2个单位的速度向终点B匀速运动，一点到达终点时另一点停止运动．设点P运动的时间为t秒(t>0)，求当t为何值时，的面积是平行四边形的一半？ (3)当的面积是平行四边形面积的一半时，在平面直角坐标系中找到一点M，使以M、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点M的坐标． 4．如图1，在平行四边形中，，，，M是一动点，从点D出发，沿运动，以4个单位每秒的速度向终点C点运动；N是从点C出发的另一动点，沿运动，以2个单位每秒的速度向终点D点运动，点M和点N同时出发，运动时间为t秒（M，N两点中如有一个点到达终点时，所有运动即终止）． (1)若M、N出发t秒后，四边形为平行四边形，求t； (2)若的面积为8，请求出t的值； (3)如图2，点F是线段中点，E是直线上另一动点（位于N点右边），且线段在移动过程中始终保持长度为2不变，请探究并直接写出的最小值． 5．如图，在中，边上的高为8．点从点出发，沿以每秒5个单位长度的速度运动．点从点出发沿以每秒8个单位长度的速度运动．、两点同时出发，当其中一点到达终点时，、两点同时停止运动．设点运动的时间为（秒），连结． (1)直接写出点与点重合时的值． (2)当点沿运动时，求的长（用含的代数式表示）． (3)当时，求的值． (4)当时，直接写出的值． 6．如图，在中，，，，点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以秒的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设点，运动的时间是秒．过点作于点，连接，． (1)四边形能构成菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能； (2)当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由． 7．如图，已知等边三角形中，，动点P从点A出发，沿以的速度向终点C运动，过点P做于点D，以为边向右做矩形，且．设矩形与重叠部分的面积为，点P的运动时间为．    (1) (用含x的式子表示)； (2)当点F落在边上时，求x的值； (3)求S与x之间的函数解析式． 8．如图，矩形中，，，动点P以的速度从点A出发沿折线向终点C运动，动点Q以的速度从点D开始沿折线向终点B运动，如果点P、Q同时出发，设点P运动的时间t秒，的面积为S．    (1)当________秒时，点Q到达点A，当________时，点Q到达点B． (2)当t为何值时，为等腰直角三角形？ (3)求出的面积S（可用含有的代数式表示）． 9．如图1，矩形中，，，E为上一点，F为延长线上一点，且．点P从A点出发，沿方向以的速度向D运动，连结交于点H．设点P运动的时间为，的面积为，当时，的面积关于时间的函数图像如图2所示．    (1)的长是 ； (2)当，时，求t的值； (3)如图3，将沿线段进行翻折，与的延长线交于点M，连结，当t为何值时，四边形为菱形？ 10．如图，在梯形中，AD∥BC，，动点P从点A开始，沿边，以1厘米/秒的速度向点D运动；动点Q从点C开始，沿边，以3厘米/秒的速度向B点运动．已知P、Q两点分别从A、C同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．假设运动时间为t秒，问： (1)t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)在某个时刻，四边形可能是菱形吗？为什么？ (3)t为何值时，四边形是等腰梯形？ 11．如图，平行四边形中，，，，是的中点，是边上的动点，的延长线与的延长线交于点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)①______时，四边形是矩形； ②______时，四边形是菱形． 12．如图，在矩形ABCD中，，，动点P，Q分别从点A，C同时出发，都以每秒1个单位的速度运动，点P到达点D后停止，点Q到达点B后停止．设运动时间为t秒． (1)当时，t的值为______． (2)当时，求t的值． (3)在点P和点Q的运动过程中是否存在，你的判断是______（填“存在”或“不存在”）． 13．如图，的对角线AC、BD相交于点O，，，点P从点A出发，沿AD以每秒1个单位的速度向终点D运动．连接PO并延长交BC于点Q．设点P的运动时间为t秒． (1)求BQ的长，（用含t的代数式表示） (2)当四边形ABQP是平行四边形时，求t的值 (3)当点O在线段AP的垂直平分线上时，直接写出t的值． 14．如图，在四边形中，，，，，，动点P从点D出发，沿射线的方向以每秒2两个单位长的速度运动，动点Q从点C出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点B运动，点P，Q分别从点D，C同时出发，当点Q运动到点B时，点P随之停止运劲，设运动的时间为t（秒）． (1)当t为何值时，以B，Q，D，P为顶点的四边形为平行四边形？ (2)当t为何值时，以B，D，P为顶点的三角形为直角三角形？ (3)当t为何值时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形？ 15．已知，矩形ABCD中，AB＝4cm，BC＝8cm，AC的垂直平分线EF分别交AD、BC于点E、F，垂足为O． (1)如图1，连接AF、CE，求AF的长； (2)如图2，动点P、Q分别从A、C两点同时出发，沿△AFB和△CDE各边匀速运动一周．即点P自A→F→B→A停止，点Q自C→D→E→C停止．在运动过程中，已知点P的速度为每秒1cm，设运动时间为t秒． ①问在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形吗？若有可能，请求出运动时间t和点Q的速度，若不可能，请说明理由； ②若点Q的速度为每秒0.8cm，当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，求t的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年中考数学三轮冲刺练习（特殊）平行四边形的动点问题专题提升训练》参考答案 1．(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义； （1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 是的角平分线， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， 依题意，，， ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点在边上时， ， ， ， ； 当点在边的延长线上时，， ， ， 综上所述：或，存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形 （3）如图，连接交于， 线段将平行四边形分成面积相等的两部分， 必过的中点， ， ， ， 在和中， ， ， 依题意，，， ，， ， ， 时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分， 故答案为： 2．(1)24 (2) (3)为或，理由见解析 【分析】本题考查相似三角形综合应用，矩形的性质，函数关系式； （1）当秒时，，，，根据，，可得，，，，即可得； （2）分两种情况：①当在上，即时，；②当在上时，由解得，故此时，； （3）由，知以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或，当时，，得，当时，，得． 【详解】（1）解：当秒时，，，， 矩形中，，， ，，，， ， ， ， ， 的值是24； （2）解：①当在上，即时，如图： ，，， ，，， ； ②当在上时，由解得， 追上所用时间是， 此时， 如图： ，， ， ， 综上所述，； （3）解：如图： ， 以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似，只需或， 当时，， 解得， 当时，， 解得， 综上所述，当为或时，以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形相似． 3．(1)点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为； (2)当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半； (3)点M的坐标为或或 【分析】（1）根据平行四边形与直角坐标系中坐标的性质，可直接写出点的坐标；平行四边形的对称中心即是对角线的中点， （2），根据三角形的面积公式列出方程，继而求出此时的值即可， （3）根据（2）中得出的值，找出此时点和的位置，然后根据平行四边形的性质直接写出点的坐标即可， 本题考查了平行四边形的判定与性质，三角形的面积及一元二次方程的应用，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， 点A的坐标为，点B的坐标为． ∴点C的坐标为，平行四边形的对称中心的点的坐标为， （2）解：根据题意得：， ∴， 即：， ∵,，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ，解得：， 故答案为：当点P运动4秒时，的面积是平行四边形的一半， （3）解时，由（2）知，此时点与点重合，画出图形如下所示，    此时轴，轴，，，，， 根据平行四边形的性质，可知，， ∴，即，，即：，，即：， 故答案为：点M的坐标为或或． 4．(1)2 (2),或 (3) 【分析】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质； （1）根据平行四边形的性质可得，，，，得到M应在线段上，N应在线段上，再根据运动速度表示、，列方程求解即可； （2）根据点M在不同边上分类讨论，根据三角形面积公式计算即可； （3）将向左平移到，作关于对称的线段，.当三点共线时有最小值． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴动点M应在线段上，N应在线段上，. ∵在平行四边形中，，， ∴． 由题意得t秒后，，． ∴． ∴． （2）①当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ②当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ③当点M在上时，， ∵的面积为8，， ∴． ∴． ∴综上可知,或． （3）如图将向左平移到，作FN关于对称的线段，则,， ∴.， ∴当、、三点共线时有最小值． ∵，， ∴ ∴有最小值． 5．(1)5 (2) (3)2或 (4)4 【分析】（1）由题意可得，即可； （2）根据题意可得，从而得到，即可； （3）分两种情况，点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形；点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形，即可解决问题； （4）分两种情况，结合等腰梯形的性质、平行四边形的性质分别求出t的值即可． 【详解】（1）解：点Q与点C重合时， 由题意得：， 解得：， 即点Q与点C重合时，t的值为5； （2）解：当点Q沿运动时， 由题意得：， ∴， 即的长为； （3）解：①∵四边形是平行四边形， ∴， 分两种情况： 点Q沿运动时，如图，过点A作于点M，则四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得：； ②点Q沿运动时，如图， 过点C作于点N， 则四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， 同①得：， ∴，解得：， 综上所述，当时，t的值为2或； （4）解：分两种情况： 点Q沿运动时， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是等腰梯形， 如图3，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由（3）得：， ∴，解得：； 当点Q沿运动时， ∵， ∴， 当四边形是等腰梯形时，如图，过A作于点G，于点H，则四边形是矩形， ∴， ∴， 由（3）得：， ∴，解得：； 如图，当四边形是平行四边形时，则， ∴， 解得：； 综上所述，当时，t的值为4或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、等腰梯形的判定与性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握平行四边形的性质，进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型． 6．(1)当时，四边形能构成菱形，理由见解析 (2)当或时，为直角三角形．理由见解析 【分析】（1）由题意得，，再由含角的直角三角形的性质得，得到得四边形为菱形，得，进而求得的值； （2）分、两种情况，根据直角三角形的性质列出算式，计算即可． 【详解】（1）解：由题意可知，， ，， ． ，， ． ，， ∴． ，， ∴四边形为平行四边形， ∴要使平行四边形为菱形，则需， 即， 解得， ∴当时，四边形为菱形； （2）解：当时，如图①，   ，， ， 四边形为矩形． ，即， 解得，； 当时，如图②，   ， ， ∴． ，即， 解得，， 综上所述，当或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了直角三角形的判定、平行四边形的判定与性质、菱形的判定、含30°角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握直角三角形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键． 7．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意得，在中，根据，再由即可得结论； （2）当点F落在边上时，由题意得等边三角形，得，列出方程求解即可； （3）分三种情况：①当时，如图2，矩形与重叠部分是矩形，②当时，如图3，矩形与重叠部分是五边形，③当时，如图4，矩形与重叠部分是四边形，分别根据重叠部分的形状求面积即可． 【详解】（1）解：， ， 是等边三角形， ， 在中， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：由题知，， 当点F落在边上时，如图1，   是矩形， ， ， 等边三角形，则， ， 解得． ∴当点F落在边上时，； （3）解：①当时，如图2，   ， ； ②当点E与点B重合时， ， ， ，则， 解得：， 当时，如图3，，分别交于点N，M，   ， ，， ； ③当点P与点C重合时，则， 解得：， 当时，如图4，交于点N，   ， ． 综上所述，． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，多边形的面积，解直角三角形等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． 8．(1)3，9 (2) (3) 【分析】（1）根据题意求解即可； （2）由题意得，，则，由等腰直角三角形的性质得出，得出方程，解方程即可； （3）①当时，的面积矩形的面积的面积的面积的面积，即可得出答案；②当时，由题意得，，，得出的面积；③当时，由三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是矩形，，， ，， 动点以的速度从点开始沿折线向终点运动， 时，点到达点， 时，点到达点， 故答案为：3，9； （2）四边形是矩形， ，， 由题意得：，， ， 为等腰直角三角形， ， 即， 解得：， 即当为时，为等腰直角三角形； （3）分三种情况： ①当时，如图1所示：    由题意得：，， ，， 矩形的面积的面积的面积的面积； ②当时，如图2所示：    由题意得：，， ， ； ③当时，如图3所示：    由题意得：，， ，， ． 综上，． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形面积公式等知识，熟练掌握矩形的性质和等腰直角三角形的性质是解题的关键，注意分类讨论． 9．(1)0.5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意可知，，由图2可知，当时，，进而得出，即可求出； （2）当，．，由，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据菱形的性质以及轴对称的性质，即可证明，根据等腰三角形的性质，可得，设，则，根据勾股定理可得，，即可得出方程，求得的值即可得到点的运动时间． 【详解】（1）由题意可知，， 由图2可知，当时，， ， ， 故答案分别为：0.5； （2）当，．， ， ， ， ， （负值不合题意，舍去）， ； （3）如图3，四边形是菱形，   ，， ，， ， ， ， ， ， ， 令，则， 根据勾股定理可得，， 即， 解得，（负值已舍去） 的运动时间为（秒． 时，四边形为菱形． 【点睛】本题属于相似形综合题，主要考查了矩形的性质，菱形的性质，相似三角形的性质，等腰三角形的性质，一次函数的应用以及勾股定理的运用，解题的关键是掌握菱形的性质以及相似三角形的性质．解题时注意方程思想的运用． 10．(1)运动时间为6秒； (2)四边形不可能是菱形，理由见解析； (3)当时，四边形是等腰梯形 【分析】（1）当四边形是平行四边形时，必须有，列方程解答即可； （2）由若四边形是菱形，则四边形是平行四边形，根据（1）中的求解答案，分析看此时能否为菱形，因为，即可得四边形不可能是菱形； （3）过点D作，则利用等腰梯形的性质可建立关于t的方程，解出即可． 【详解】（1）解：∵运动时间为t秒， ∴，，，， ∵， ∴当时，四边形是平行四边形. 此时有，解得． ∴当时，四边形是平行四边形． （2）解：若四边形是菱形，则四边形是平行四边形， 根据（1）得：， ∴， 过点D作于E， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形不可能是菱形； （3）解：若四边形是等腰梯形，如图，则， 过点D作， 则， ∴，四边形为矩形， 则，， 由（2）知，， 当时，四边形是等腰梯形． 即， ∴． 当时，四边形是等腰梯形． 【点睛】此题考查了梯形的性质及等腰梯形的判定、菱形的判定与性质、矩形的判定与性质、解一元一次方程，属于动点型问题，关键是判断出满足条件的点P及点Q位置，然后利用方程思想求解t的值，难度较大． 11．(1)见解析 (2)①当时，平行四边形是矩形， ②当时，四边形是菱形 【分析】（1）证，推出，根据平行四边形的判定推出即可； （2）①求出，推出，再根据矩形的判定推出即可； ②证是等边三角形，推出，再根据菱形的判定推出即可． 【详解】（1）四边形是平行四边形， ∴， ， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形． （2）①当时，平行四边形是矩形，理由如下： 如图，过作于， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是矩形， 故答案为：5． ②当时，四边形是菱形，理由如下： 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ， 四边形是平行四边形， 平行四边形是菱形， 故答案为：2； 【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定，矩形的判定，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和菱形的判定是解题的关键． 12．(1) (2)，． (3)不存在 【分析】（1）根据列出方程求解； （2）方法一：作于点M，则四边形CDMQ是矩形，然后表示出，结合，利用勾股定理列方程求解； 方法二：作于点M，则四边形CDMQ是矩形，首先表示出，然后根据勾股定理表示出，最后根据列方程求解； 方法三：作于点M，则，首先根据题意证明出，得到．，然后在中利用勾股定理列方程求解即可； （3）作于点M，则四边形是矩形，根据题意分别表示出，然后根据勾股定理的逆定理求解即可． 【详解】（1）∵ ∴ ∴ 解得 （2）方法一：作于点M，则四边形是矩形， ∴，，． 在中，，， ∵， ∴， 解得，． 方法二：作于点M，则四边形CDMQ是矩形， ∴，，． 在中，， ， ∵， ∴． ∴，解得，． 方法三：作于点M，则． ∵四边形ABCD是矩形， ∴，． ∴，． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴．． ∴，． ∴． 在中，， ∵， ∴， 解得，． （3）作于点M，则四边形是矩形， ∴，，． 在中，，， 在中，， 又∵ ∵ ∴ ∴在点P和点Q的运动过程中不存在． 【点睛】此题考查了矩形的性质，勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，解题的关键是正确作出辅助线． 13．(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明，可得出，则BQ即可用t表示； （2）由题意知，根据，列出方程即可得解； （3）方法一：如图，先求出OA和OE的长，若O在线段AP的垂直平分线上，则，在中，根据勾股定理得：，列方程可得t的值． 方法二：如图，连接AQ，CP，证明四边形AQCP为平行四边形，由面积法求出AQ，由勾股定理求出BQ的长，则可得出CQ的长，则可求出答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， 当时，四边形ABQP是平行四边形， 即， ， ∴当t为秒时，四边形ABQP是平行四边形； （3）， 方法一：如图， 中， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵OE是AP的垂直平分线， ∴ 由勾股定理得：， ∴， ∴或（舍）， ∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上． 方法二：如图，连接AQ，CP， ∵， ∴四边形AQCP为平行四边形， ∵O在线段AP的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴四边形AQCP为矩形， ∴， 同方法一求出， ∴ ∴， ∴， ∴当秒时，点O在线段AP的垂直平分线上． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题． 14．(1) (2)或 (3)或 【分析】（1），当时四边形是平行四边形，得，计算即可求出t； （2）分二种情况进行讨论，①当为直角时，可证得四边形为矩形，得，即，计算即求出t；②当为直角时，，得，计算即可求出t； （3）分三种情况进行讨论，①若，在中，，由，将各数据代入，可将t求出；②若，在中，，将各数据代入，可将t求出；③若，由得，将各数据代入，可将t求出． 【详解】（1）解：如下图， ∵ ， ∴当时四边形是平行四边形， 由题意可知：，， 即 ， 解得：， 时，四边形BQDP是平行四边形； （2）解：如下图，作， 为锐角， ∴只能或者为直角， ，， ，t的范围为， ①当为直角时， ∵ ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴； ②当为直角时，， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴， 综上所述，或时，以B、D、P为顶点的三角形是直角三角形； （3）解：如下图： 由上图可知，，若以B、 P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况： ①若，在中，， 由得，解得； ②若，在中，， 由得，即 ， 此时，， 所以此方程无解， ∴， ③若，由得得（不符合题意，舍去）， 综上所述，当或时，以B，P，Q三点为顶点的三角形是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是注意分情况讨论． 15．(1)AF=5； (2)①当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是矩形时，运用的时间为8秒，此时Q的速度是0.5cm/s；②当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒． 【分析】（1）根据垂直平分线性质得：AE=EC，AF=FC，再证明△AOE≌△COF，得AE=FC，则四边形AFCE的四边相等，则四边形AFCE为菱形，再利用勾股定理列方程求AF的长； （2）①当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是矩形，先求点P的运动时间，即为点Q的运动时间，再求点Q运动的速度； ②分三种情况讨论：以点P分别在AF、BF、AB上分析讨论，发现只有点P在BF上时，点Q在DE上时A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是平行四边形，如图3，以AQ=PC为等量关系列方程解出． 【详解】（1）解：如图1， ∵EF是AC的垂直平分线， ∴AE=EC，AF=FC， ∵AO=OC，∠EAC=∠BCA，∠AOE=∠COF， ∴△AOE≌△COF， ∴AE=CF， ∴AE=CF=EC=AF， ∴四边形AFCE为菱形， 设AF=x，则FC=x，BF=8-x， 在Rt△ABF中，x2=42+（8-x）2， x=5， 则AF=5； （2）解：①在运动的过程中，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是矩形， 只有当P运动到B点，Q运动到D点时，以A、P、C、Q四点为顶点的四边形是矩形， P点运动的时间是：（5+3）÷1=8， Q的速度是：4÷8=0.5， 即当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是矩形时，运用的时间为8秒，此时Q的速度是0.5cm/s； ②分为三种情况：i）P在AF上，0≤t≤5， ∵点P的速度为每秒1cm，点Q的速度为每秒0.8cm， ∴Q只能在CD上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不可能是平行四边形； ii）当P在BF上时，5＜t≤8，Q在DE上，A、P、C、Q四点为顶点的四边形有可能是平行四边形； 如图3， ∵， ∴， t=； iii）当P在AB上时，8＜t≤12，Q在DE或CE上，此时以A、P、C、Q四点为顶点的四边形不是平行四边形， 综上所述：当A、P、C、Q四点为顶点的四边形是平行四边形时，t=秒． 【点睛】本题考查了动点问题的平行四边形、菱形的性质、行程问题等知识点；解题关键是深刻理解动点P和Q的行程问题，弄清两个动点的时间、速度和路程；理解动点的完整运动过程；采用了分类讨论的思想． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$