2025年九年级中考数学三轮冲刺练习图形的相似综合问题

2025年九年级中考数学三轮冲刺练习 图形的相似综合问题 1．如图，四边形中，，，、相交于点，，垂足为点，连接交于点，连接． (1)求证：； (2)求的值； (3)求证：． 2．如图，王老师为测得学校操场上小树的高，他站在教室里的点A处，从教室的窗口望出去，恰好能看见小树的整个树冠．经测量，窗口高，树干高，A，C两点在同一水平线上，点A与墙根点G的距离为，点C与墙根点G的距离为，且A，G，C三点在同一条直线上．请根据上面的信息，帮王老师计算出小树的高． 3．学生到工厂劳动实践，学习制作机械零件．如图，在上截取矩形零件，要求矩形的一边，分别在边上，在边上．已知，，求的长．参考数据：，，． 4．已知，为等腰直角三角形，，点为中点，点为上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，过点作，交延长线于点，交延长线于点． (1)如图1，当点与点重合时，求证：； (2)如图2，连接，， ①用等式表示线段与的数量关系，并证明； ②若，取中点，连接，补全图形，并直接写出在旋转过程中的最小值． 5．如图，在中，点在的延长线上，，为边上一动点，连接，将绕点旋转得到． (1)如图，当点落在边上时，若，求的长． (2)如图，当为的中点，点与点重合时，与交于点，求的值． (3)在（）的条件下，若的面积为，请直接写出的面积． 6．如图1，在中，，，，动点P和Q分别从点A和点C同时出发，点P沿着方向以每秒的速度运动，点Q沿着的路线以每秒的速度运动，点P运动的时间为，连接，在的右侧（下方）以为斜边构造等腰直角三角形． (1)的长为______； (2)如图2，当点D和点C重合时，求的长； (3)①在图3中尺规作图，作的平分线和边相交于点E；（保留作图痕迹，不写作图过程） ②当点D在射线上时，求t的值； (4)如图4，当点D恰好落在边上时，直接写出t的值和点在内部的时长． 7．如图，的三边长分别为，，， 的三边长分别为，，，，相似比为（为常数且，）． (1)若，用k表示a和c的数量关系． (2)在（1）的条件下，请写出符合条件的一对和，使得a，b，c和，，都是正整数． (3)若，，是否存在和相似使得k是正整数？请说明理由． 8．如图，为直角三角形，，点是上一点，连接． (1)如图1，若平分，，垂足为，若，，求的长； (2)如图2，若，为线段靠近的三等分点，，，延长线与延长线交于点，，猜想，，三者的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点是平面内一点，且，，过点作交于点，交于点，连接．若，，直接写出的最小值． 9．如图是凸透镜成像示意图，当蜡烛放在一倍焦距以内时通过凸透镜所成的像是，点O是凸透镜的中心，光线，点F是凸透镜的焦点，已知焦距的长为，蜡烛的长为，，，点D，B，O，F在同一条直线上．如图，当蜡烛通过该凸透镜成正立放大的虚像时，若． (1)填空：的值为______；（提示：寻找与相似的三角形） (2)求此时虚像的高度；（请书写求解过程） 10．如图，等边中，是边上一点，且，点关于直线的对称点为连接，，在线段上取一点，使得，直线与直线交于点． (1)①依题意补全图形； ②若，求的度数（用含的代数式表示）； (2)用等式表示线段与的数量关系，并证明． 11．如图，等腰直角中，，点是的中点，点是延长线上一点，点是上一点，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 12．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上．已知纸板的两条边，，测得边离地面的高度，求树的高度． 13．在矩形中，，点分别是边和边上的动点，，，连接， (1)如图1，当的面积为3时，求的值； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)当时，求的度数； (4)如图2，将沿直线翻折，当点的对称点恰好落在边上时，求的值. 14．已知中，，，，点E、F分别在边、边上（点E不与点A重合，点F不与点B重合），连接，将沿着直线翻折后，点C恰好落在边上的点D处．过点D作，交射线于点M．设，， (1)如图1，当点M与点C重合时，求证：； (2)如图2，当点M在线段的延长线上时，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围； (3)当点M是中点时，求x的值． 15．已知中，，，将绕点A顺时针旋转，得到，连接． (1)如图1，当时，连接，则______； (2)如图2，连接，求出的值； (3)在旋转过程中，当以B，C，A，E为顶点的四边形是平行四边形时，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2025年九年级中考数学三轮冲刺练习图形的相似综合问题》参考答案 1．(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）如图，过点作于点，证明四边形是矩形，得，进一步证明垂直平分，即可得证； （2）证明得，推出，证明，由相似三角形的性质可得结论； （3）证明得，设，则，得，进一步推出，得，推出，得，再推出，即可得证． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，即点是的中点， ∴垂直平分， ∴； （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）证明：由（2）知，，， ∴，， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查矩形的判定和性质，垂直平分线的性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，等边对等角，平行线的判定和性质等知识点．掌握相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理是解题的关键． 2． 【分析】本题考查了相似三角形的应用．根据相似三角形求得线段的长度即可求得树高． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， 解得， ∴小树的高为． 3． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、矩形的性质、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识点，灵活运用解直角三角形求得相关边的长度成为解题的关键． 由等腰三角形的性质可得，再根据矩形的性质可得，然后解直角三角形可得、，同理可得，最后证明并利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵矩形零件， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 同理：； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即，解得：． 4．(1)见解析 (2)①；②补全图形见解析，旋转过程中的最小值为 【分析】（1）证明得出，又，等量代换即可求解； （2）①证明，根据相似三角形的性质，即可求解； ②根据题意补全图形，进而根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，当重合时，最小，进而根据等腰直角三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵为等腰直角三角形，，点为中点， ∴， ， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：①如图所示，连接， ∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵点为中点， ∴ ∴是等腰三角形，则， ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴即 ②如图所示，取中点，连接， ∵，则 又， ∴当取得最小值时最小 ∴当与点重合时，在上，此时点与点重合， ∴ 又 ∴ ∴旋转过程中的最小值为． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，相似三角形的与判定，旋转的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5．(1)； (2)； (3)的面积为． 【分析】本题考查了旋转的性质，相似三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由旋转性质可知，则有，，所以，证明，根据相似三角形的性质得出，然后根据即可求解； （）过作，交于点，则有，由性质得，又为的中点，得出，同理证明，由，则，然后代入即可求解； （）根据相似三角形的性质和面积和差即可求解． 【详解】（1）解：∵绕点旋转得到， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，过作，交于点， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，即， 由（）知：即，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴； （3）解：∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由（）得：， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 6．(1) (2) (3)①见解析；② (4)， 【分析】（1）根据勾股定理计算即可求解； （2）当点D和点C重合时，根据，求得的值，进而求解的值， （3）①根据题意，作图即可，②当点D在射线上时，根据对称性，可知，进而求解的值， （4）当点D恰好落在边上时，过点Q作，判定，，当点D落在上时，进而求解的值； 【详解】（1）解：，，， ， 故答案为：； （2）解：当点D和点C重合时，如图1，，，， 则由题意可得， 所以， 解得：， ∴； （3）解：①如图2所示，线段即为所求． ②当点D在射线上时，根据对称性，可知， ∵，， ∴，解得：； （4）解：当点D恰好落在边上时，过点Q作，垂足为点E，如图3． ∴， ∴． ∴， 设，则，． ∵，， ， ， ∴， ∴． 由，得，， 解得， ， 将代入，得， 解得：． 如图4，当点D落在上时， ∵， ∴，，． ∵， ∴， 解得：． 所以点D在内部的时长为， 综上，t的值为，． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键； 7．(1) (2)取，同时取 (3)不存在，理由见解析 【分析】此题主要考查的是相似三角形的性质及三角形三边关系定理的应用，掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键． （1）已知两个三角形的相似比为，则对应边，将所给的条件等量代换即可得到所求的结论； （2）先选取的三边长，然后以的长作为的值，再根据相似比得到的另外两边的长，只要符合两个三角形的三边及相似比都是整数即可； （3）首先根据已知条件求出、与的关系，然后根据三角形三边关系定理来判断题目所给出的情况是否成立． 【详解】（1）解：且相似比为（为常数且，）， ，； 又， ； （2）解：取，，，同时取，，； 此时， ，且； （3）解：不存在这样的和，理由如下： ，， ∴， ∴． ， ， ， ， ， ， 只能取正整数， ， 不存在和相似使得k是正整数． 8．(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据题意证明出，得到，，然后利用勾股定理求出，设，，在中，理由勾股定理求出，进而求解即可； （2）如图，延长和交于点，证明出，得到，，设，然后得到，得到，进而求解即可； （3）如图所示，取中点，连接，，证明出，得到，证明出，得到，推出，然后代数求出，然后求出，勾股定理求出，然后利用求解即可． 【详解】（1）∵平分，，， ∴，． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴． 设， ∴． 在中，，， ∴． 解得． ∴． 在中，， ； （2）．理由如下： 如图，延长和交于点， ∵， ∴． ∵，， ∴． ∴，． ∴． 又∵为线段靠近的三等分点， ∴． ∴． 又∵，， ∴． 又∵， ∴． ∴． 又∵，设， ∴， ． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 又∵，， ∴； （3）如图所示，取中点，连接，， ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴，即； 同理可证 ∴，即． ∴． ∵，， ∴． ∵为中点，， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． ∵， ∴当、、共线时，取到最小值． 【点睛】此题考查了相似三角形的性质和判断，勾股定理，全等三角形的性质和判断，等腰三角选的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 9．(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例得到线段之间的关系． （1）先证四边形是矩形，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可证； （2）由可得，根据可证，根据相似三角形对应边成比例可得，根据的高度可求的高度； 【详解】（1）解： ，， ∴， ， 四边形是矩形， ， ，点D，B，O，F在同一条直线上， ∴， ， 故答案为：； （2）由（1）可知， ， ， ， ， ， ， 10．(1)①见解析；② (2)；证明见解析 【分析】（1）①根据题意作图即可； ②根据等边三角形性质得，则，再根据可得出的度数； （2）连接，，延长，交于点，根据对称性得，，，，进而得，，则，，，由此可证，，进而可依据“”判定和全等，则，由此得，则，据此可得线段与的数量关系． 【详解】（1）解：①如图所示， ②∵是等边三角形， ， ， ， ， ， ； （2）线段与的数量关系是：， 证明如下： 连接，，延长，交于点，如图所示： ∵点关于直线的对称点为， ∴，，，， ，， ∴，，， ，， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 又∵， ∴， ∴ ， ． 【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质等知识点，理解等边三角形的性质，轴对称的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 11．(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了等边对等角，相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得到，再证明，然后可判断； （2）利用得到，则可求出的长． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，即， 而， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 12． 【分析】本题考查了三角形相似的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键．先证明，求得，根据解答即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 答：树的高度为． 13．(1) (2)8 (3) (4) 【分析】（1）根据三角形的面积公式代入即可求得答案； （2）由（1）可得：，再根据，分别代入即可得到答案； （3）当时，分别求出，，的长，再分别利用勾股定理分别求出，，的长，再由勾股定理的逆定理即可得到答案； （4）过点作，易证得，从而可求得，在中，由勾股定理可得：，即可求得求值． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， （2）解：由（1）可得：， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ． （3）解：由题可得，当时， ∴，， ∵， ∴，， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， 在中，由勾股定理可得：， ∴， ∴． （4）解：过点作，交于， ∵， ，，由折叠的性质可得： ∴，，， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理可得：， ∴， 解得：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的面积，勾股定理及其逆定理，相似三角形的判定与性质，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 14．(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，解直角三角形，解题关键在于掌握三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理． （1）由题意得，利用同角的余角相等得，再证，得，即可证明； （2）同（1）可证，得，根据当点与点重合时，当与重合时，求出的值，得自变量的取值范围，在中， ，进而求得，由折叠可知，则，即可求解； （3）过点作，垂足为，由题意可得，同（1）可知，进而得，即，可求得，，在、中解直角三角形求得、即可． 【详解】（1）证明：由题意得， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴ ∴； （2）解：同（1）可证， ∴， ∵，， ∴， 当点与点重合时，，此时， 当与重合时，，此时， 在中，，，， ∵ ∴， 由折叠可知，则， ∴，（）； （3）过点作，垂足为， ∵点是中点， ∴，即， ∵， ∴， 同（1）可知， ∴， ，即， ，，， ，， 在中，，， ，， 在中，，， ∴， ． 15．(1) (2) (3)的长是或 【分析】（1）根据旋转的性质推出是等边三角形，进而即可得解； （2）根据旋转的性质推出，从而得到，即可求解； （3）当以为顶点的四边形是平行四边形时，满足，则考虑旋转至上方和下方两种情况，并结合（2）的结论计算求解即可． 【详解】（1）解：将绕点A顺时针旋转，， ， 是等边三角形， ， ， ， 故答案为：． （2）解：由旋转知，，， ， ， ， ； （3）解：如图，若， ， 四边形是平行四边形， ， 由（2）可知：， ， 解得：； 若，连结，如图， ， 四边形菱形， ， ， ， ， ， ， 由（2）可知：， ， ， 综上所述，当四点构成平行四边形 时，的长是或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理及应用等知识，灵活运用分类讨论思想是解决此题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$