2025年江苏省宿迁市宿豫区中考数学一模试卷

2025年江苏省宿迁市宿豫区中考数学一模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.与8和为0的数是（ ） A.8 B. C. D. 2.下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3.如图，，平分.若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4.若，，则的值是（ ） A.15 B. C.2 D. 5.如图，在相同的小正方形组成的网格图中，点在格点（网格线的交点）上，点、、在上，且都在格点上，则的正弦值是（ ） A. B. C. D. 6.《九章算术》是中国传统数学最重要的著作之一，书中记载：“今有人共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六，问人数几何？”意思是：“有若干人共同出钱买鸡，如果每人出九钱，那么多了十一钱；如果每人出六钱，那么少了十六钱.问：共有几个人？”设有个人共同买鸡，依题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7.已知关于的一元二次方程，其中，满足，关于该方程根的情况，下列判断正确的是（ ） A.无实数根 B.有两个相等的实数根 C.有两个不相等的实数根 D.无法确定 8.如图，点为反比例函数图象上的一点，连接，过点作，交反比例函数图象于点，若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分. 9.若二次根式有意义，则的取值范围是______. 10.电影《哪吒之魔童闹海》在2025年春节档热播，反映了中国在动画电影上的突出表现.百度显示，截至2月25日上午11时20分，《哪吒之魔童闹海》的票房已突破138亿元，数据138亿用科学记数法表示为 ______. 11.分式方程的解是______. 12.点、都在一次函数的图象上，则______填“＞”“＝”或“＜”） 13.如图，已知在中，，，将绕点顺时针旋转，使边与重合，得到，则______. 14.如图，是的内接三角形，是的直径，是的弦，且，垂足为.若，，，则的半径为______. 15.若关于的不等式的最小整数解是2，则的取值范围是______. 16.如图，已知菱形的对角线，，则______. 17.如图，二次函数的图象与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线.有下列结论：①；②；③；④.其中，正确的个数为______. 18.如图，在矩形中，，，点在边上运动，以为直径作圆与交于点，连接，则线段的最小值为______. 三、解答题：本题共10小题，共96分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 19.（本小题8分） 计算：. 20.（本小题8分） 求不等式组的整数解. 21.（本小题8分） 已知，求的值. 22.（本小题8分） 如图，在中，是中点，过点平行于的直线分别与、的外角的平分线交于点、.请你判断四边形的形状，并说明理由. 23.（本小题10分） 某校在周三下午开设了五个社团活动，分别是：（篮球）、（足球）、（打印）、（口才）、（书法）. （1）小明同学从中随机任选一个社团参加活动，选中（篮球）社团的概率是______； （2）由于（口才）和（书法）两个社团报名人数已满，小明和小刚想从剩余的三个社团中任选一个报名，则两人刚好报名同一社团的概率是多少？ 24.（本小题10分） 在直角坐标系中，已知，设函数与函数的图象交于点和点.已知点的横坐标是1，点的纵坐标是. （1）求，的值； （2）根据图象，直接写出当时自变量的取值范围； （3）若直线与轴、轴分别交于、两点，在轴上找一点，使得以、、为顶点的三角形与相似，请直接写出点坐标. 25.（本小题10分） 如图截面所示，太阳光透过墙壁上的窗户照射进房间，恰好落在斜放于地面的木板面处，小明测得此时阳光与地面的夹角为，木板与地面的夹角，，，请你求出窗户顶端到地面的距离（精确到）.（参考数据：，，，） 26.（本小题10分） 某商场购进一批成本为每件20元的商品，经调查发现，该商品每天的销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示. （1）求该商品每天的销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）若商场按单价不低于成本价，且不高于成本价的2倍销售，则销售单价定为多少，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大？最大利润是多少？ 27.（本小题12分） 在梯形中，，点在边上，且. 图1 图2 图3 （1）如图1所示，点在边上，且，连接，求证：； （2）已知. ①如图2所示，如果点在边上，且，连接、、，与交于.求的值； ②如图3所示，连接，如果外接圆的圆心恰好落在的平分线上，求的外接圆的半径长. 28.（本小题12分） 已知抛物线过点和点，且，直线：过定点，交线段于点，记的周长为，的周长为，且， （1）求抛物线的对称轴； （2）求的值； （3）若抛物线与轴交于点、，当为何值时的面积有最小值，求出的面积最小值及此时抛物线的解析式. 答案和解析 1.【答案】A 【解析】解：与8和为0的数是， 故选：B. 根据相反数的性质即可求得答案. 本题考查相反数，熟练掌握其定义是解题的关键. 2.【答案】D 【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、与不能合并，故此选项不符合题意； D、，故此选项符合题意； 故选：D. 根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方与积的乘方法则，合并同类项法则，同底数幂的除法法则分别计算判断即可. 本题考查了合并同类项，同底数幂的除法，同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方，熟练掌握各运算法则是解题的关键. 3.【答案】B 【解析】解：，， 平分，， ，， . 故选：B. 由平角定义求出，由角平分线定义得到，由平行线的性质推出，即可求出的度数. 本题考查平行线的性质，关键是由平行线的性质推出. 4.【答案】A 【解析】解：，， 故选：A. 先把原式提公因式分解因式，再整体代入进行计算即可. 本题考查的是提公因式分解因式，因式分解的应用，求解代数式的值，掌握“整体代入进行求值”是解本题的关键. 5.【答案】C 【解析】解：连接， ，是的直径， 在中，，， ， ， ，， 故选：C. 连接，根据90度的圆周角所对的弦是直径可得：是的直径，然后在中，利用勾股定理求出的长，从而利用锐角三角函数的定义求出的值，最后根据同弧所对的圆周角相等可得：，即可解答. 本题考查了解直角三角形，勾股定理，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 6.【答案】A 【解析】解：设有个人共同出钱买鸡，根据题意得： . 故选：A. 设有个人共同出钱买鸡，根据买鸡需要的总钱数不变，即可得出关于的一元一次方程，此题得解.本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键. 7.【答案】C 【解析】解：由题知， 因为一元二次方程为， 整理得，， 则. 又因为， 则， 所以方程有两个不相等的实数根. 故选：C. 利用一元二次方程根的判别式即可解决问题. 本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键. 8.【答案】B 【解析】解：过作轴于点，过作轴于点， 点是反比例函数上的一个动点， 可设，，， ，， ，且， ，， ，， ， 点反比例函数图象上， ， 故选：B. 过作轴于点，过作轴于点，可设，由条件证得，从而可表示出点坐标，则可求得关于的方程，可求得的值. 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用条件构造三角形相似，用点坐标表示出点坐标是解题的关键. 9.【答案】 【解析】解：二次根式有意义，， 解得：. 故答案为：. 直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而求出答案. 此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键. 10.【答案】 【解析】解：138亿. 故答案为：. 科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数.确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，是正数；当原数的绝对值时，是负数. 此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值. 11.【答案】 【解析】解：两边都乘以得：， 去括号，得：， 移项、合并同类项，得：， 检验：当时，， 原分式方程的解为：， 故答案为：. 观察可得这个分式方程的最简公分母为，去分母，转化为整式方程求解，结果要检验. 此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解.解分式方程一定注意要验根. 12.【答案】＞ 【解析】解：点、都在一次函数的图象上， ，， . 故答案为. 先分别进行出自变量为1和2的函数值，然后比较函数值的大小即可. 本题考查了一次函数图象上点的坐标特征：一次函数，（，且，为常数）的图象是一条直线.它与轴的交点坐标是；与轴的交点坐标是. 直线上任意一点的坐标都满足函数关系式. 13.【答案】 【解析】解：将绕点顺时针旋转，使边与重合，得到， ，，， ，， 故答案为：. 由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可得，即可求解. 本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键. 14.【答案】 【解析】解：是的直径，， ， ，，， ，， ，， ， ，，， ， ，， 的半径为. 故答案为：. 由圆周角定理得出，得出，由得出，由圆周角定理得出，证明，根据相似三角形的性质即可得到结论. 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆周角定理，证明三角形相似求出是解决问题的关键. 15.【答案】 【解析】解：解不等式，得：， 根据题意得：，解得：， 故答案为：. 先解出不等式的解，然后根据最小整数解为2，得出关于的不等式组，解之即可求得的取值范围. 本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键. 16.【答案】 【解析】解：过点作，垂足为， 四边形是菱形， ，，，， ， ， 菱形的面积， ， 解得：， 在中，， 故选：. 过点作，垂足为，先利用菱形的性质可得，，，，然后在中，利用勾股定理求出，再利用面积法求出的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答. 本题考查了菱形的性质，解直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键. 17.【答案】4 【解析】解：由图象可得，，，， 则，故①正确； ，，故②正确； 函数图象与轴的正半轴交点在点和之间，对称轴是直线， 函数图象与轴的另一个交点在点和点之间， 当时，，故③正确； 由函数图象可知，当时，， 即， ， ，故④正确. 正确的个数有4个， 故答案为：4. 根据题意和函数图象，可以判断各个小题中的结论是否成立，本题得以解决. 本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答. 18.【答案】 【解析】解：连接，取的中点，连接. 则， 为直径，，， 所以点在以为直径的圆上运动， 当、、三点在同一直线上时，线段有最小值. 此时， 即线段的最小值为：， 故答案为：. 连接，取的中点，连接.所以点在以为直径的圆上运动，当、、三点在同一直线上时，线段有最小值.此时. 本题线段的最小值问题，找出点的运动轨迹是解题的关键. 19.【答案】. 【解析】解：原式 . 利用有理数的乘方法则，特殊锐角三角函数值，立方根的定义，绝对值的性质计算即可. 本题考查实数的运算，特殊锐角三角函数值，熟练掌握相关运算法则是解题的关键. 20.【答案】不等式组的整数解为、、. 【解析】解：由得， 由得：， 则不等式组的解集为， 所以不等式组的整数解为、、. 分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集，继而可得答案. 本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键. 21.【答案】，. 【解析】解：原式 ， ，， 原式. 先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据得出，再代入原式进行计算即可. 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键. 22.【答案】四边形是矩形，理由见解析. 【解析】解：四边形是矩形，理由如下： ，，， 平分，平分， ，， ，， ，，， 点是的中点，， 四边形是平行四边形， ， ， 即， 平行四边形是矩形. 先证明，再证明四边形是平行四边形，进而证明，然后由矩形的判定即可得出结论. 本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定以及平行线的性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键. 23.【答案】；. 【解析】解：（1）小明同学从中随机任选一个社团参加活动，选中（篮球）社团的概率是，故答案为：； （2）画树状图得： 共有9种等可能的结果，小明和小刚恰好选择同一个社团的有3种情况， 两人恰好选择同一社团的概率为. （1）直接根据概率公式求解即可； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及小明和小刚选到同一社团的情况，再利用概率公式求解即可求得答案. 本题考查了用列表法或画树状图法求概率.列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比. 24.【答案】，； 或； 点或. 【解析】解：（1）当时，，即点， 则， 即，，则点， 将点的坐标代入一次函数表达式得：， 则， 即一次函数表达式为：，反比例函数表达式为：， 即，； （2）观察函数图象知，当时自变量的取值范围为：或； （3）直线与轴、轴分别交于、两点，则点、的坐标分别为：、， 则，则，， 而， 以、、为顶点的三角形与相似，则或，即或， 即或， 则或2， 即点或. （1）由待定系数法求出函数表达式，即可求解； （2）观察函数图象即可求解； （3）以、、为顶点的三角形与相似，则或，即或，即可求解. 本题为反比例函数综合题，涉及到三角形相似、解直角三角形等，分类求解是解题的关键. 25.【答案】. 【解析】解：如图，过点作交于点，过点作于点.则四边形是平行四边形. 由题意， ，， ， ， 在中，， . 答：窗户顶端到地面距离为. 如图，过点作交于点，过点作于点.则四边形是平行四边形.分别求出，可得结论. 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是正确寻找直角三角形解决问题. 26.【答案】； 当销售单价定为40元，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大，最大利润是1200元. 【解析】解：（1）设， 把，代入中得： ，解得：， ； （2）由题意得：， ， ， ， 当时，随的增大而增大， 当时，元， 当销售单价定为40元，才能使销售该商品每天获得的利润（元）最大，最大利润是1200元. （1）利用待定系数法求一次函数解析式进行计算，即可解答； （2）由题意得：，然后根据总利润单个利润总数量，进行计算即解答. 本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键. 27.【答案】见解析； ①； ②外接圆半径为. 【解析】（1）证明：延长和交于点， ，， ，，， ，， （2）解：①延长，交于点， ，， ，，，即， ， ，，为中点， ，，， ，， ，， ， 设，则，， ，解得， ，，， ， ，， ， ； ②记点为外接圆圆心，过点作于点，连接，，. 点为外接圆的圆心，， ， ，， ，，， ，， 平分，， ，， ，即， ， ，， ，， ， 即，， 外接圆半径为. （1）添加辅助线，转移比例线段，得到，从而证出； （2）①延长，交于点，证明，得出，证明，得到，设，则，，得到，，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论. ②利用三角形外接圆得性质得出，再根据平分得出，然后得出相似，求出半径的长度； 本题主要考查了圆的综合题，同时也考查了平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，三角形的外接圆等知识点，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键. 28.【答案】直线；1； 当时，，抛物线的表达式为. 【解析】解：（1）抛物线， 故对称轴为直线， （2）由题意可得，， 又因为，， 故， 从而可知点， 又直线过定点， 故直线，所以； （3）抛物线与轴交于点、， 令，即， 即， 设，，由韦达定理知，，， 故 ， 故. 此时，， 抛物线的表达式为. （1）根据对称轴方程代入求值即可得答案； （2）根据题意可推导出，从而可知点，再根据，可求出直线，从而可得的值； （3）令，即，设，，由韦达定理知，，，故，可知的最小值， 本题考查了二次函数的图象与性质，一次函数待定系数法，三角形的面积，韦达定理，抛物线的弦长公式，熟练掌握韦达定理的应用是解本题的关键. 学科网（北京）股份有限公司 $$