浙江省杭州市拱墅区文澜中学2023—2024学年下学期八年级期中数学试卷

2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学八年级（下）期中数学试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 2．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 3．（3分）矩形，菱形，正方形都具有的性质是　　 A．每一条对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了40名八年级学生的视力情况，得到的数据如下表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 3 4 12 10 11 则本次调查中视力的众数和中位数分别是　　 A．4.8和4.9 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.85 5．（3分）用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是　　 A． B． C． D． 6．（3分）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是　　 A． B． C． D． 7．（3分）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 8．（3分）如图，在中，，，，，，则的面积是　　 A． B． C． D． 9．（3分）如图正方形中，是上一点，若点是中点，作交延长线于，连结，取中点，连结，则与的关系为　　 A． B． C． D． 10．（3分）如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积　　 A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）一个多边形的每一个外角都等于，它是　 　边形． 12．（3分）甲、乙、丙三位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是3.3，2.8，4.2，则成绩最稳定的同学是 　　． 13．（3分）一元二次方程有实数根，则的取值范围是　　 14．（3分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则　　． 15．（3分）如图，在中，，点是中点，作于点，已知，，则的长为 　　． 16．（3分）如图在矩形中，．将矩形沿着过点的直线翻折，直线与射线交于点，点的对应点为点．若，，若是直角三角形时，则的长为 　　． 三、解答题（本题共8小题，17题6分，18题8分，19题6分，20题10分，21题10分，22题8分，23题12分，24题12分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算 （1）； （2）． 18．（8分）解方程． （1）； （2）． 19．（6分）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． （1）本次抽查的学生人数是 　　，并补全条形统计图； （2）本次捐款金额的众数为 　　元，中位数为 　　元； （3）若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？ 20．（10分）如图，点、是平行四边形对角线上两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 21．（10分）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕，亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”共间组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱，某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表： 吉祥物 宸宸 琮琮 进货价（元个） 59 66 销售价（元个） 79 88 （1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“琮琮”共50个，则购进“宸宸”　　个，购进“琮琮”　　个； （2）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元． 22．（8分）在的方格纸中，请按下列要求画出格点四边形（顶点均在格点上）． （1）请在格点图1中画一个平行四边形，使得其面积为4； （2）请在格点图2中画一个矩形，使得其面积为6． 23．（12分）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求和的长． 24．（12分）正方形，为射线上一点，过作，点在直线上方区域，且，连接， （1）如图1，当点在上时，求的度数； （2）如图2，在（1）在条件下，连结交于点，连结，若，，求的面积； （3）若，，连结交射线于点，则　　（直接写出结果） 2023-2024学年浙江省杭州市拱墅区文澜中学八年级（下）期中数学试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C A D D B A B B 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分） 1．（3分）下列新能源汽车标志图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【解答】解：选项中的图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 选项中的图形是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项选项中的图形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 选项中的图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟知二者的定义是解题的关键． 2．（3分）下列计算正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的加减法对、进行判断；根据二次根式的乘法法则对进行判断；根据二次根式的性质对进行判断． 【解答】解：、与不能合并，所以选项错误； 、原式，所以选项错误； 、原式，所以选项正确； 、原式，所以选项错误． 故选：． 【点评】本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 3．（3分）矩形，菱形，正方形都具有的性质是　　 A．每一条对角线平分一组对角 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角线互相垂直 【分析】矩形，菱形，正方形都是特殊的平行四边形，因而平行四边形具有的性质就是矩形，菱形，正方形都具有的性质． 【解答】解：矩形，菱形，正方形都具有的性质：对角线互相平分．故选：． 【点评】本题主要考查的是对矩形，矩形，菱形，正方形的性质的理解． 4．（3分）“科学用眼，保护视力”是青少年珍爱生命的具体表现．某校随机抽查了40名八年级学生的视力情况，得到的数据如下表： 视力 4.7以下 4.7 4.8 4.9 4.9以上 人数 3 4 12 10 11 则本次调查中视力的众数和中位数分别是　　 A．4.8和4.9 B．4.9和4.9 C．4.8和4.8 D．4.8和4.85 【分析】根据众数，中位数的概念及计算方法即可求解． 【解答】解：视力为4.8的出现人数为12，最多， 众数是4.8， 样本容量为40， 中位数是第20，21名同学的视力数据的一半， 中位数是， 众数是4.8，中位数是4.9， 故选：． 【点评】本题主要考查调查与统计中众数与中位数的概念及计算方法，掌握以上相关知识的概念及计算方法是解题的关键． 5．（3分）用配方法解一元二次方程，将其化成的形式，则变形正确的是　　 A． B． C． D． 【分析】方程移项后，利用完全平方公式配方得到结果，即可作出判断． 【解答】解：方程， 移项得：， 配方得：，即． 故选：． 【点评】此题考查了解一元二次方程配方法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 6．（3分）依据所标数据，下列一定为平行四边形的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的判定定理做出判断即可． 【解答】解：、，故选项不符合条件； 、只有一组对边平行不能确定是平行四边形，故选项不符合题意； 、不能判断出任何一组对边是平行的，故选项不符合题意； 、有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故选项符合题意； 故选：． 【点评】本题主要考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题的关键． 7．（3分）如图，，分别是平行四边形的边，上的点，与相交于点，与相交于点，若，，，则阴影部分的面积为　　 A． B． C． D． 【分析】根据平行四边形的面积与三角形的面积公式可得三角形的面积，连接、两点，由三角形的面积公式我们可以推出，，所以，，因此可以推出四边形的面积就是．再根据面积差可得答案． 【解答】解：连接、两点，过点作于点， ，， ， 四边形是平行四边形， ， △的边上的高与△的边上的高相等， ， ， 同理：， ， ，， ， 故阴影部分的面积为． 故选：． 【点评】本题主要考查平行四边形的性质，三角形的面积，解题的关键在于求出各三角形之间的面积关系． 8．（3分）如图，在中，，，，，，则的面积是　　 A． B． C． D． 【分析】在四边形中，由四边形的内角和为及已知条件求出，根据平行四边形的性质求出，利用直角三角形的性质求出，进而求出面积即可． 【解答】解：，， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积是． 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、多边形的内角和公式、解直角三角形的应用等知识点，明确相关性质及定理是解题的关键． 9．（3分）如图正方形中，是上一点，若点是中点，作交延长线于，连结，取中点，连结，则与的关系为　　 A． B． C． D． 【分析】取中点，由正方形，是中点，，中点，得，，，得，得，由中点，得，即可得． 【解答】解：取中点， 由正方形，是中点，，中点， 得，，， 得， 得， 由中点， 得，即． 故选：． 【点评】本题主要考查了正方形中线段的数量关系，解题关键是构造中位线． 10．（3分）如图，平行四边形的四个顶点分别在平行四边形的四条边上，，分别交、于点、，过点作，分别交、于点、，若要求平行四边形的面积，只需知道下列哪个四边形的面积　　 A．四边形 B．四边形 C．四边形 D．四边形 【分析】连接，，根据平行四边形的性质可得的面积的面积，再利用平行四边形的性质可得，从而可得，进而可得的面积的面积，然后再根据，可证四边形是平行四边形，从而可得的面积的面积，进而可得的面积的面积，即可解答． 【解答】解：连接，， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 四边形是平行四边形， ， ， ， 的面积的面积， ， 四边形是平行四边形， 的面积的面积， 的面积的面积， 若要求平行四边形的面积，只需知道四边形的面积， 故选：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（3分）一个多边形的每一个外角都等于，它是　十　边形． 【分析】多边形的外角和是固定的，依此可以求出多边形的边数． 【解答】解：一个多边形的每个外角都等于， 多边形的边数为． 则这个多边形是十边形． 故答案为：十． 【点评】本题主要考查了多边形的外角和定理：多边形的外角和是． 12．（3分）甲、乙、丙三位同学在五次数学测验中他们成绩的平均分相等，方差分别是3.3，2.8，4.2，则成绩最稳定的同学是 　乙　． 【分析】根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 【解答】解：，，， ， 成绩比较稳定的是乙； 故答案为：乙． 【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 13．（3分）一元二次方程有实数根，则的取值范围是　且　 【分析】由一元二次方程有实数根，则，即，且△，即△，然后解两个不等式得到的取值范围． 【解答】解：一元二次方程有实数根， 即，且△，即有△，解得， 的取值范围是且． 故答案为且． 【点评】本题考查了一元二次方程，，，为常数）的根的判别式△．当△，方程有两个不相等的实数根；当△，方程有两个相等的实数根；当△，方程没有实数根．同时考查了一元二次方程的定义． 14．（3分）勾股定理被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中，汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅如图1所示的“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”．图2由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的．记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，，若正方形的边长为6，则　108　． 【分析】设全等的直角三角形的两条直角边为、且，则，，，先证明，再证明即可得到答案． 【解答】解：设全等的直角三角形的两条直角边为、，且， 由题意可知：，，， 正方形的边长为6， ， ， 故答案为：108． 【点评】本题考查正方形的面积、勾股定理，乘法公式，能利用全等的直角三角形的两条直角边表示面积是解决本题的关键． 15．（3分）如图，在中，，点是中点，作于点，已知，，则的长为 　　． 【分析】连接，由平行四边形的性质得，，进而求出，再由勾股定理得，则，然后由三角形面积公式求出的长即可． 【解答】解：如图，连接， 四边形是平行四边形，， ，， ， ， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， 即， ， 故答案为：． 【点评】本题考查了平行四边形的性质、勾股定理以及三角形面积等知识，熟练掌握平行四边形的性质和勾股定理是解题的关键． 16．（3分）如图在矩形中，．将矩形沿着过点的直线翻折，直线与射线交于点，点的对应点为点．若，，若是直角三角形时，则的长为 　3或27　． 【分析】分两种情况讨论：①直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，②直线与射线交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，然后利用折叠的性质和勾股定理即可解决问题． 【解答】解：分两种情况： ①直线与边交于点，点落在矩形内部，是直角三角形时，如图， 四边形是矩形， ，，， 设， 由折叠可知：，，， ，， ，， 在中， 根据勾股定理，得， 即， ， ； ②直线与射线交于点，点落在矩形外部，是直角三角形时，如图， 由折叠可知：， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 综上所述：的长为3或27， 故答案为：3或27． 【点评】本题考查矩形的折叠问题，勾股定理，矩形的性质，利用分类讨论思想是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，17题6分，18题8分，19题6分，20题10分，21题10分，22题8分，23题12分，24题12分，共72分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（6分）计算 （1）； （2）． 【分析】（1）先算算术平方根，乘方运算，把二次根式化为最简二次根式，再合并即可； （2）先算乘法，去绝对值，再合并即可． 【解答】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 【点评】本题考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 18．（8分）解方程． （1）； （2）． 【分析】（1）利用解一元二次方程因式分解法进行计算，即可解答； （2）利用解一元二次方程公式法进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， ， 或， ，； （2）， △， ， ，． 【点评】本题考查了解一元二次方程因式分解法，公式法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 19．（6分）为弘扬向善、为善优秀品质，助力爱心公益事业，某校组织开展“人间自有真情在，爱心助力暖人心”慈善捐款活动，八年级全体同学参加了此次活动．随机抽查了部分同学捐款的情况，统计结果如图1和图2所示． （1）本次抽查的学生人数是 　50　，并补全条形统计图； （2）本次捐款金额的众数为 　　元，中位数为 　　元； （3）若该校八年级学生为600名，请你估算捐款总金额约有多少元？ 【分析】（1）从两个统计图中可知，样本中“捐款为5元”的学生有8人，占调查人数的，根据频率可求出答案； （2）根据众数、中位数的定义进行计算即可； （3）求出样本平均数，估计总体平均数，再进行计算即可． 【解答】解：（1）（人， “捐款为15元”的学生有（人，补全条形统计图如下： （2）学生捐款金额出现次数最多的是15元，共出现18次，因此捐款金额的众数是15元， 将这50名学生捐款金额从小到大排列处在中间位置的两个数都是15元，因此中位数是15元， 故答案为：15，15； （3）样本平均数为（元人）， 所以全校八年级学生为600名，捐款总金额为（元， 答：全校八年级学生为600名，捐款总金额为8040元． 【点评】本题考查扇形统计图，条形统计图，中位数、众数以及样本估计总体，理解两个统计图中数量之间的关系，掌握中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． 20．（10分）如图，点、是平行四边形对角线上两点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求平行四边形的面积． 【分析】（1）先证，再证出，从而得出，结合，即可判定四边形是平行四边形； （2）过点作，交的延长线于，根据含角的直角三角形的性质得出，进而利用平行四边形的面积解答即可． 【解答】（1）证明：平行四边形中，，， ， 又， ， 在和中， ， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，交的延长线于， 在中，，， ， ， 平行四边形的面积． 【点评】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，关键是利用证出解答． 21．（10分）第19届亚洲运动会于2023年9月23日晚在浙江省杭州市隆重开幕，亚运会吉祥物是一组承载深厚底蕴和充满时代活力的机器人，由“琮琮”、“莲莲”、“宸宸”共间组成“江南忆”组合，三个吉祥物造型形象生动，深受大家的喜爱，某网店购进一批亚运会吉祥物“宸宸”和“琮琮”，进货价和销售价如下表： 吉祥物 宸宸 琮琮 进货价（元个） 59 66 销售价（元个） 79 88 （1）该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“琮琮”共50个，则购进“宸宸”　20　个，购进“琮琮”　　个； （2）亚运会临近结束时，该网店打算把“宸宸”调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8个，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2个，将销售价定为每个多少元时，才能使“宸宸”平均每天销售利润为288元． 【分析】（1）设购进个“宸宸”， 个“琮琮”，利用总价单价数量，结合该网店第一次用3160元购进“宸宸”和“琮琮”共50个，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设销售价下降元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个，利用总利润每个的销售利润日销售量，可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【解答】解：（1）设购进个“宸宸”， 个“琮琮”， 根据题意得：， 解得：． 答：购进20个“宸宸”，30个“琮琮”； （2）设销售价下降元，则每个的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， （元． 答：销售价定为每个71元． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程． 22．（8分）在的方格纸中，请按下列要求画出格点四边形（顶点均在格点上）． （1）请在格点图1中画一个平行四边形，使得其面积为4； （2）请在格点图2中画一个矩形，使得其面积为6． 【分析】（1）作一个底为1，高为4的平行四边形即可； （2）作一个长、宽分别为，的矩形即可． 【解答】解：（1）如图，四边形即为所求； （2）如图2中，四边形即为所求． 【点评】本题考查作图应用与设计作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结合的射线解决问题． 23．（12分）如图，在中，，平分交于点，点在线段上，点在的延长线上，且，连接，，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，，求和的长． 【分析】（1）根据对角线互相平分且垂直即可证明四边形是菱形； （2）根据等腰三角形的性质和勾股定理可得，设，则，所以，，然后利用勾股定理即可解决问题． 【解答】（1）证明：，平分， ，， ， 四边形是菱形； （2）解：，，， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， ． 和的长分别为8和． 【点评】本题考查了菱形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握菱形的性质． 24．（12分）正方形，为射线上一点，过作，点在直线上方区域，且，连接， （1）如图1，当点在上时，求的度数； （2）如图2，在（1）在条件下，连结交于点，连结，若，，求的面积； （3）若，，连结交射线于点，则　　（直接写出结果） 【分析】（1）在延长线上截取，构造，则，，然后由为等腰直角三角形，即可求出的度数． （2）在延长线上截取，证明，，设正方形边长为，利用和，构造关于的方程，求出即可由求出． （3）通过作构造平行四边形，由（1）可得的长度，然后证明求出的长度，再由求出答案． 【解答】解：（1）如图，延长，使，连接，，． 在正方形中，，． 在和中，， ，， ，． 为等腰直角三角形． ． 故的度数为． （2）如图，在延长线上截取．由题意知，是等腰直角三角形，． 在和中，，， ． ，． 在和中，，， ， ． 在中，由勾股定理得，， 又， ， 设正方形边长为． 即，解得． ． （3）如图，作交于． 由（1）知，，，则． 根据题意，正方形边长为10，长度为6，． 四边形是平行四边形． ，． ，， ， ． 在和中，，，， ， ． ． 故答案为：． 【点评】本题是正方形的综合题，涉及等腰直角三角形和平行四边形的性质，正方形半角模型的应用，三角形全等的判定和性质．通过正方形半角模型构造三角形全等是解答本题难点． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$