18.2.3 正方形 训练 2024—2025学年人教版数学八年级下册

人教版8年级下数学第十八章特殊的平行四边形正方形 一．选择题（共10小题） 1．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　） A．75° B．60° C．55° D．45° 2．如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是（　　） A． B． C． D． 3．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（　　） A． B． C．（﹣1，4） D．（﹣1，5） 4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接CE，DF，G，H分别是EC，DF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B．1 C．2 D． 5．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 6．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　） A． B． C． D． 7．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　） A．5 B．7 C．7 D． 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③S△AGE＝18；④∠GAE＝45°，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④ 9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 10．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（　　） A．（0，21008） B．（21008，21008） C．（21009，0） D．（21009，﹣21009） 二．填空题（共6小题） 11．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 　 　 ． 12．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N，若正方形ABCD的边长为3，则重叠部分四边形EMCN的面积为　 　 ． 13．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若，则EF的长的最小值为 　 　 ． 14．如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为 　 　 ． 15．如图，正方形ABCD的面积为1cm2，△AEF为等腰直角三角形，∠E＝90°，AE和BC交于点G，AF和CD交于点H，则△CGH的周长　 　 ． 16．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是　 　 ． 三．解答题（共7小题） 17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形． 18．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积． 19．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE、CF． （1）求证：△ABF≌△CBE； （2）判断△CEF的形状，并说明理由． 20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝25cm，BC＝30cm，点P从A点出发，以2cm/s，的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t， （1）当t＝　 　 s时，四边形PQCD是平行四边形； （2）当t＝　 　 s时，四边形ABQP是矩形； （3）在（2）的条件下，当AB＝　 　 cm时，四边形ABQP是正方形． 21．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H，与DA相交于点M． （1）求证：△AGD≌△AEB； （2）判断EB与GD之间的关系，并说明理由； （3）若AB＝2，AG，求EB的长． 22．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两个点，DE＝CF． （1）如图1，AF与BE的关系是　 　 ； （2）如图2，当点E是AD的中点时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请进行证明；若不成立，说明理由； （3）如图2，当点E是AD的中点时，求证：CG＝CB． 23．（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系； （2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数； （3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系． 人教版8年级下数学第十八章特殊的平行四边形正方形 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A D D D A D D B B 一．选择题（共10小题） 1．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　） A．75° B．60° C．55° D．45° 【分析】由正方形的性质和等边三角形的性质得出∠BAE＝150°，AB＝AE，由等腰三角形的性质和内角和得出∠ABE＝∠AEB＝15°，再运用三角形的外角性质即可得出结果． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°， ∵△ADE是等边三角形， ∴∠DAE＝60°，AD＝AE， ∴∠BAE＝90°+60°＝150°，AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB（180°﹣150°）＝15°， ∴∠BFC＝∠BAF+∠ABE＝45°+15°＝60°； 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质；熟练掌握正方形和等边三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 2．如图，将五个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，其中点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点、如果有n个这样大小的正方形这样摆放，则阴影面积的总和是（　　） A． B． C． D． 【分析】求面积问题，因为点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点，所以两个正方形之间的阴影面积为正方形总面积的，由此便可求解． 【解答】解：∵点A、B、C、D分别是正方形对角线的交点 ∴两个正方形之间的阴影面积为正方形总面积的， 即1×1， 当有三个正方形时，其面积为， 当有四个时，其面积为， 所以当n个正方形时，其面积为． 故选：A． 【点评】此题主要考查了正方形的性质，熟练掌握正方形的性质是解题关键． 3．如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为（2，3），则点F的坐标为（　　） A． B． C．（﹣1，4） D．（﹣1，5） 【分析】结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标． 【解答】解：如图，过点E作x轴的垂线EH，垂足为H．过点G作x轴的垂线GM，垂足为M，连接GE、FO交于点O′， ∴∠GMO＝∠EHO＝90° ∵四边形OEFG是正方形， ∴OG＝EO，∠GOE＝90° ∴∠GOM+∠EOH＝90°， ∵∠GOM+∠OGM＝90°， ∴∠OGM＝∠EOH， 在△OGM与△EOH中， ， ∴△OGM≌△EOH（AAS）， ∴GM＝OH＝2，OM＝EH＝3， ∴G（﹣3，2）， ∵在正方形OEFG中，对角线OF，GE相交于点O'， ∴， ∵点F与点O关于点O′对称， ∴点F的坐标为（﹣1，5）， 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、中点坐标公式等，正确添加辅助线以及熟练掌握和运用相关内容是解题的关键． 4．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E，F分别是边AB，BC的中点，连接CE，DF，G，H分别是EC，DF的中点，连接GH，则GH的长为（　　） A． B．1 C．2 D． 【分析】连接CH并延长交AD于P，连接PE，根据正方形的性质得到∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4，根据全等三角形的性质得到PD＝CF＝2，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论． 【解答】解：连接CH并延长交AD于P，连接PE， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝90°，AD∥BC，AB＝AD＝BC＝4， ∵E，F分别是边AB，BC的中点， ∴AE＝CF4＝2， ∵AD∥BC， ∴∠DPH＝∠FCH， 在△PDH和△CFH中， ， ∴△PDH≌△CFH（AAS）， ∴PD＝CF＝2， ∴AP＝AD﹣PD＝2， ∴PE， ∵点G，H分别是EC，FD的中点， ∴GHEP． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质． 5．如图，在正方形ABCD中，AB＝3，点E，F分别在边AB，CD上，∠EFD＝60°，若将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上，则BE的长度为（　　） A．1 B． C． D．2 【分析】由正方形的性质得出∠EFD＝∠BEF＝60°，由折叠的性质得出∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E，设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x，由直角三角形的性质可得：2（3﹣x）＝x，解方程求出x即可得出答案． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB∥CD，∠A＝90°， ∴∠EFD＝∠BEF＝60°， ∵将四边形EBCF沿EF折叠，点B'恰好落在AD边上， ∴∠BEF＝∠FEB'＝60°，BE＝B'E， ∴∠AEB'＝180°﹣∠BEF﹣∠FEB'＝60°， ∴∠AB′E＝30°， ∴B'E＝2AE， 设BE＝x，则B'E＝x，AE＝3﹣x， ∴2（3﹣x）＝x， 解得x＝2． 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质等知识点，能综合性运用性质进行推理是解此题的关键． 6．如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF．若△DEF与△DEC关于直线DE对称，则△BEF的周长是（　　） A． B． C． D． 【分析】要求△BEF的周长，就需要知道三边长，经过观察我们会发现只有BF能求出，BE和EF的长可以是变化的，但是EF＝EC，所以BE+EF＝BE+EC＝BC＝2，进而就可以求出周长． 【解答】解：∵正方形ABCD的边长是2， ∴BD2， ∵△DEF与△DEC关于直线DE对称， ∴DC＝DF＝2，EC＝EF， ∴BF＝22， △BEF的周长＝BF+BE+EF＝BF+BE+EC＝BF+BC＝22+2＝2． 故选：A． 【点评】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 7．如图，平面内三点A、B、C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是（　　） A．5 B．7 C．7 D． 【分析】如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM．由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°，推出△ADM是等腰直角三角形，推出ADAM，推出当AM的值最大时，AD的值最大，利用三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题； 【解答】解：如图将△BDA绕点D顺时针旋转90°得到△CDM． 由旋转不变性可知：AB＝CM＝4，DA＝DM．∠ADM＝90°， ∴△ADM是等腰直角三角形， ∴ADAM， ∴当AM的值最大时，AD的值最大， ∵AM≤AC+CM， ∴AM≤7， ∴AM的最大值为7， ∴AD的最大值为， 故选：D． 【点评】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 8．如图，在正方形ABCD中，AB＝6，点E在边CD上，且CD＝3DE，将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交BC于点G，连接AG，CF，下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG＝CG；③S△AGE＝18；④∠GAE＝45°，其中正确的是（　　） A．①②③ B．②③④ C．③④① D．①②④ 【分析】由“HL”可证Rt△ABG≌Rt△AFG，可判断①，由全等三角形的性质可得BG＝FG，∠BAG＝∠FAG，由勾股定理可求BG＝3＝CG，可判断②，由三角形面积公式可求S△AGEGE×AF＝15，可判断③，由折叠的性质和全等三角形的性质可得∠GAE＝45°，可求解． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD＝AD，∠ADC＝∠DCB＝∠ABC＝90°， ∵AB＝6＝CD，CD＝3DE， ∴DE＝2，EC＝4， ∵将△ADE沿AE对折至△AFE， ∴AD＝AF，DE＝EF，∠DAE＝∠FAE， ∴AB＝AF， 在Rt△ABG和Rt△AFG中， ， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），故①正确； ∴BG＝FG，∠BAG＝∠FAG， ∵EG2＝EC2+CG2， ∴（2+BG）2＝16+（6﹣BG）2， ∴BG＝3， ∴CG＝BC﹣BG＝3＝BG，故②正确； ∵EG＝BG+EF＝5， ∴S△AGEGE×AF5×6＝15，故③错误； ∵∠BAG＝∠FAG，∠DAE＝∠FAE， ∴∠GAE＝∠FAG+∠FAE（∠BAF+∠DAF）∠BAD＝45°，故④正确； 故选：D． 【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 9．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2＝（　　） A．16 B．17 C．18 D．19 【分析】由图可得，S2的边长为3，由ACBC，BC＝CECD，可得AC＝2CD，CD＝2，EC＝2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答． 【解答】解：如图， ∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形， ∴AB＝BC，DE＝DC，∠ABC＝∠D＝90°， ∴sin∠CAB＝sin45°，即ACBC，同理可得：BC＝CECD， ∴ACBC＝2CD，又AD＝AC+CD＝6， ∴CD＝2， ∴EC2＝22+22，即EC＝2； ∴S1的面积为EC2＝228； ∵∠MAO＝∠MOA＝45°， ∴AM＝MO， ∵MO＝MN， ∴AM＝MN， ∴M为AN的中点， ∴S2的边长为3， ∴S2的面积为3×3＝9， ∴S1+S2＝8+9＝17． 故选：B． 【点评】本题考查了正方形的性质和等腰直角三角形的性质的性质，考查了学生的读图能力和计算能力，题目比较典型，难度适中． 10．如图，点O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的两个顶点，以OA1对角线为边作正方形OA1A2B1，再以正方形的对角线OA2作正方形OA1A2B1，…，依此规律，则点A2017的坐标是（　　） A．（0，21008） B．（21008，21008） C．（21009，0） D．（21009，﹣21009） 【分析】根据正方形的性质可找出部分点An的坐标，根据坐标的变化即可找出A8n+1（24n，24n）（n为自然数），再根据2017＝252×8+1，即可找出点A2017的坐标． 【解答】解：观察，发现：A（0，1）、A1（1，1），A2（2，0），A3（2，﹣2），A4（0，﹣4），A5（﹣4，﹣4），A6（﹣8，0），A7（﹣8，8），A8（0，16），A9（16，16）…， ∴A8n+1（24n，24n）（n为自然数）． ∵2017＝252×8+1， ∴A2017（2252×4，2252×4），即点A2017的坐标是（21008，21008）． 故选：B． 【点评】本题考查了规律型中点的坐标以及正方形的性质，根据点An坐标的变化找出变化规律“A8n+1（24n，24n）（n为自然数）”是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 11．如图，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．要使四边形EFGH是正方形，BD、AC应满足的条件是 　BD＝AC且BD⊥AC　 ． 【分析】依据条件先判定四边形EFGH为菱形，再根据∠FEH＝90°，即可得到菱形EFGH是正方形． 【解答】解：满足的条件应为：AC＝BD且AC⊥BD． 理由：∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点， ∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线， ∴HG∥AC且HGAC； 同理EF∥AC且EFAC，同理可得EHBD， 则HG∥EF且HG＝EF， ∴四边形EFGH为平行四边形， 又∵AC＝BD， ∴EF＝EH， ∴四边形EFGH为菱形， ∵AC⊥BD，EF∥AC， ∴EF⊥BD， ∵EH∥BD， ∴EF⊥EH， ∴∠FEH＝90°， ∴菱形EFGH是正方形． 故答案为：AC＝BD且AC⊥BD． 【点评】此题考查了中点四边形的性质、三角形中位线定理以及正方形的判定．解题时注意：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 12．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，Rt△FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N，若正方形ABCD的边长为3，则重叠部分四边形EMCN的面积为　4　 ． 【分析】过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q，△EPM≌△EQN，利用四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积求解． 【解答】解：过E作EP⊥BC于点P，EQ⊥CD于点Q， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°， 又∵∠EPM＝∠EQN＝90°， ∴∠PEQ＝90°， ∴∠PEM+∠MEQ＝90°， ∵三角形FEG是直角三角形， ∴∠NEF＝∠NEQ+∠MEQ＝90°， ∴∠PEM＝∠NEQ， ∵AC是∠BCD的角平分线，∠EPC＝∠EQC＝90°， ∴EP＝EQ，四边形PCQE是正方形， 在△EPM和△EQN中， ， ∴△EPM≌△EQN（ASA） ∴S△EQN＝S△EPM， ∴四边形EMCN的面积等于正方形PCQE的面积， ∵正方形ABCD的边长为3， ∴AC＝3， ∵EC＝2AE， ∴EC＝2， ∴EP＝PC＝2， ∴正方形PCQE的面积＝4， ∴四边形EMCN的面积＝4， 故答案为：4． 【点评】本题主要考查了正方形的性质及全等三角形的判定及性质，解题的关键是作出辅助线，证出△EPM≌△EQN． 13．如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F，若，则EF的长的最小值为 　1　 ． 【分析】如图，连接OP、EF，根据已知条件和正方形、矩形的性质可以得到当EF最小就是OP最小，然后利用垂线段最短即可求解． 【解答】解：如图，连接OP、EF， ∵正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点P是BC上任意一点，PE⊥BD于点E，PF⊥AC于点F， ∴四边形OEPF为矩形，OB＝OC，AB＝BC，∠ABC＝∠BOC＝90°， ∴EF＝OP， ∴EF最小时OP最小， 当OP⊥BC于P的时OP最小， 而当OP⊥BC时，P为BC的中点， ∴OPBC， ∵AC，∠ABC＝90°，AB＝BC， ∴BC＝2， ∴OP＝1， ∴EF的长的最小值为1． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了正方形的性质，垂线段最短，矩形的性质，勾股定理、直角三角形斜边中线性质，得出EF＝OP是解题的关键． 14．如图，正方形ABCD的边长为15，AG＝CH＝12，BG＝DH＝9，连接GH，则线段GH的长为 　3　 ． 【分析】延长BG交CH于点E，根据正方形的性质证明△ABG≌△CDH≌△BCE，可得GE＝BE﹣BG＝2、HE＝CH﹣CE＝2、∠HEG＝90°，由勾股定理可得GH的长． 【解答】解：如图，延长BG交CH于点E， 在△ABG和△CDH中， ， ∴△ABG≌△CDH（SSS）， AG2+BG2＝AB2， ∴∠1＝∠5，∠2＝∠6，∠AGB＝∠CHD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°，∠5+∠6＝90°， 又∵∠2+∠3＝90°，∠4+∠5＝90°， ∴∠1＝∠3＝∠5，∠2＝∠4＝∠6， 在△ABG和△BCE中， ， ∴△ABG≌△BCE（ASA）， ∴BE＝AG＝12，CE＝BG＝9，∠BEC＝∠AGB＝90°， ∴GE＝BE﹣BG＝12﹣9＝3， 同理可得HE＝3， 在Rt△GHE中，GH， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理及其逆定理的综合运用，通过证三角形全等得出△GHE为等腰直角三角形是解题的关键． 15．如图，正方形ABCD的面积为1cm2，△AEF为等腰直角三角形，∠E＝90°，AE和BC交于点G，AF和CD交于点H，则△CGH的周长　2　 ． 【分析】延长CB至M，使BM＝DH，连接AM；先证明△ABM≌△ADH（SAS），得出AM＝AH，∠BAM＝∠DAH，证出∠MAG＝∠HAG，再证明△AMB≌△AHG（SAS）得出GM＝GH，即可求出结果． 【解答】解：延长CB至M，使BM＝DH，连接AM，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形，正方形ABCD的面积为1cm2， ∴AB＝BC＝CD＝1，∠BAD＝∠ABC＝∠D＝90°， ∴∠ABM＝90°， 在△ABM和△ADH中， ， ∴△ABM≌△ADH（SAS）， ∴AM＝AH，∠BAM＝∠DAH， ∵△AEF是等腰直角三角形， ∴∠HAG＝45°， ∴∠BAG+∠DAH＝45°， ∴∠MAG＝45°， 在△AMG和△AHG中， ， ∴△AMG≌△AHG（SAS）， ∴GM＝GH， ∴△CGH的周长＝GH+CG+CH＝GM+CG+CH＝BM+BG+CG+CH＝DH+BG+CG+CH＝BC+CD＝2, 故答案为：2． 【点评】本题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键． 16．小芳参加图书馆标志设计大赛，他在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，并与正方形的对角线交于F、G点，制成了图中阴影部分的标志，则这个标志AFEGD的面积是　　 ． 【分析】首先过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M，由在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE，即可求得△BEC与正方形ABCD的面积，由直角三角形的性质，即可求得GN的长，即可求得△CDG的面积，同理即可求得△ABF的面积，又由S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG，即可求得阴影图形的面积． 【解答】解：过点G作GN⊥CD于N，过点F作FM⊥AB于M， ∵在边长为2的正方形ABCD内作等边△BCE， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝BE＝EC＝2，∠ECB＝60°，∠ODC＝45°， ∴S△BEC2，S正方形＝AB2＝4， 设GN＝x， ∵∠NDG＝∠NGD＝45°，∠NCG＝30°， ∴DN＝NG＝x，CNNGx， ∴xx＝2， 解得：x1， ∴S△CGDCD•GN2×（1）1， 同理：S△ABF1， ∴S阴影＝S正方形ABCD﹣S△ABF﹣S△BCE﹣S△CDG＝4﹣（1）（1）＝6﹣3． 故答案为：6﹣3． 【点评】此题考查了正方形，等边三角形，以及直角三角形的性质等知识．此题综合性较强，难度适中，解题的关键是注意方程思想与数形结合思想的应用． 三．解答题（共7小题） 17．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求证：四边形CFDE是正方形． 【分析】由题意可得，四边形CFDE是矩形，根据角平分线的性质得到DE＝DF，根据有一组邻边相等的矩形是正方形，四边形CFDE是正方形． 【解答】证明：∵∠ACB＝90°，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴四边形CFDE是矩形． 又∵CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC， ∴DE＝DF． ∴四边形CFDE是正方形（有一组邻边相等的矩形是正方形）． 【点评】本题是考查正方形的判别方法，判别一个四边形为正方形主要根据正方形的概念，途径有两种：①先说明它是矩形，再说明有一组邻边相等；②先说明它是菱形，再说明它有一个角为直角． 18．四边形ABCD是正方形，E、F分别是DC和CB的延长线上的点，且DE＝BF，连接AE、AF、EF． （1）求证：△ADE≌△ABF； （2）若BC＝8，DE＝6，求△AEF的面积． 【分析】（1）根据SAS只要证明AD＝AB，∠D＝∠ABF，DE＝BF即可； （2）只要证明△AEF是等腰直角三角形即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠D＝∠ABC＝90°， 而F是CB的延长线上的点， ∴∠ABF＝90°， 在△ADE和△ABF中 ， ∴△ADE≌△ABF（SAS）； （2）解：∵BC＝8， ∴AD＝8， 在Rt△ADE中，DE＝6，AD＝8， ∴AE10， ∵△ABF可以由△ADE绕旋转中心 A点，按顺时针方向旋转90 度得到， ∴AE＝AF，∠EAF＝90°， ∴△AEF的面积AE2100＝50． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、三角形的面积．等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键利用全等三角形的性质解决问题，属于中考常考题型． 19．如图，点E正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE、CF． （1）求证：△ABF≌△CBE； （2）判断△CEF的形状，并说明理由． 【分析】（1）由四边形ABCD是正方形可得出AB＝CB，∠ABC＝90°，再由△EBF是等腰直角三角形可得出BE＝BF，通过角的计算可得出∠ABF＝∠CBE，利用全等三角形的判定定理SAS即可证出△ABF≌△CBE； （2）根据△EBF是等腰直角三角形可得出∠BFE＝∠FEB，通过角的计算可得出∠AFB＝135°，再根据全等三角形的性质可得出∠CEB＝∠AFB＝135°，通过角的计算即可得出∠CEF＝90°，从而得出△CEF是直角三角形． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝CB，∠ABC＝90°， ∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°， ∴BE＝BF， ∴∠ABC﹣∠CBF＝∠EBF﹣∠CBF， ∴∠ABF＝∠CBE． 在△ABF和△CBE中，有， ∴△ABF≌△CBE（SAS）． （2）解：△CEF是直角三角形．理由如下： ∵△EBF是等腰直角三角形， ∴∠BFE＝∠FEB＝45°， ∴∠AFB＝180°﹣∠BFE＝135°， 又∵△ABF≌△CBE， ∴∠CEB＝∠AFB＝135°， ∴∠CEF＝∠CEB﹣∠FEB＝135°﹣45°＝90°， ∴△CEF是直角三角形． 【点评】本题考查了正方形的性质．全等三角形的判定及性质、等腰直角三角形的性质以及角的计算，解题的关键是：（1）根据判定定理SAS证明△ABF≌△CBE；（2）通过角的计算得出∠CEF＝90°．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过正方形和等腰三角形的性质找出相等的边，再通过角的计算找出相等的角，以此来证明两三角形全等是关键． 20．如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝25cm，BC＝30cm，点P从A点出发，以2cm/s，的速度向D点运动，点Q从C点同时出发，以3cm/s的速度向B点运动，规定一个动点到达端点时，另一个动点也停止，运动时间为t， （1）当t＝　5　 s时，四边形PQCD是平行四边形； （2）当t＝　6　 s时，四边形ABQP是矩形； （3）在（2）的条件下，当AB＝　12　 cm时，四边形ABQP是正方形． 【分析】（1）根据PD∥CQ，可得当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形，解方程25﹣2t＝3t，即可得到t的值； （2）根据AD∥BC，∠ABC＝90°，可得当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形，解方程2t＝30﹣3t，即可得到t的值； （3）当t＝6时，AP＝2×6＝12，根据四边形ABQP是矩形，即可得到当AB＝AP＝12时，四边形ABQP是正方形． 【解答】解：（1）由题可得，AP＝2t，CQ＝3t， ∵AD＝25， ∴PD＝25﹣2t， ∵PD∥CQ， ∴当PD＝CQ时，四边形PQCD是平行四边形， 此时，25﹣2t＝3t， 解得t＝5， 故答案为：5； （2）∵BC＝30，CQ＝3t， ∴BQ＝30﹣3t， ∵AD∥BC，∠ABC＝90°， ∴当AP＝BQ时，四边形ABQP是矩形， 此时，2t＝30﹣3t， 解得t＝6， 故答案为：6； （3）当t＝6时，AP＝2×6＝12， 又∵四边形ABQP是矩形， ∴当AB＝AP＝12时，四边形ABQP是正方形． 故答案为：12． 【点评】本题主要考查了正方形的判定，平行四边形的判定以及矩形的判定，解题时注意：先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等即可得到正方形． 21．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H，与DA相交于点M． （1）求证：△AGD≌△AEB； （2）判断EB与GD之间的关系，并说明理由； （3）若AB＝2，AG，求EB的长． 【分析】（1）根据正方形的性质可利用 SAS证明△GAD≌△EAB可得结论； （2）先证明EB＝GD，设BE、AD交于点M，根据（1）的结论可得∠ADG＝∠ABE，再利用三角形的内角和即可证得结论； （3）设BD与AC交于点O，根据勾股定理可求出DB的长，进而可得OD与OG的长，再根据勾股定理即可求出结果． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD和四边形AEFG都是正方形， ∴AG＝AE，AB＝AD，∠GAE＝∠BAD＝90°， ∴∠GAD＝∠EAB， ∴△GAD≌△EAB（ SAS）， （2）解：EB＝GD，EB⊥GD， 理由如下：∵△GAD≌△EAB， ∴EB＝GD，∠ADG＝∠ABE， 设BE、AD交于点M，如图， ∵∠DMH＝∠BMA， ∴∠DHM＝∠BAM＝90°， ∴EB⊥GD． （3）解：设BD与AC交于点O， ∵AB＝AD＝2， 在Rt△ABD中，， ∴， ∴， ∴； 【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理以及三角形的内角和等知识，属于常考题型，熟练掌握正方形的性质是解题的关键． 22．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上两个点，DE＝CF． （1）如图1，AF与BE的关系是　AF＝BE，AF⊥BE　 ； （2）如图2，当点E是AD的中点时，（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请进行证明；若不成立，说明理由； （3）如图2，当点E是AD的中点时，求证：CG＝CB． 【分析】（1）结论：AF＝BE，AF⊥BE．证明△ABE≌△DAF（SAS）即可． （2）结论不变．证明方法类似． （3）如图2中，延长AF、BC交于点H．证明BC＝CH，利用直角三角形斜边中线定理证明即可． 【解答】解：（1）结论：AF＝BE，AF⊥BE． 理由：如图1中，∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝CD，∠BAE＝∠ADF＝90°， ∵DE＝CF， ∴AE＝DF， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴AF＝BE，∠AEB＝∠AFD， ∵∠AFD+∠FAD＝90°， ∴∠AEB+∠FAD＝90°， ∴∠EGA＝90°， ∴BE⊥AF． 故答案为AF＝BE，AF⊥BE． （2）结论仍然成立． 理由：∵E、F分别是AD、CD的中点， ∴AEAD，DFCD， ∴AE＝DF， 又∵∠BAD＝∠D＝90°，AB＝AD， ∴△ABE≌△DAF（SAS）， ∴AF＝BE，∠AEB＝∠AFD， ∵在直角△ADF中，∠DAF+∠AFD＝90°， ∴∠DAF+∠AEB＝90°， ∴∠AGE＝90°， ∴AF⊥BE． （3）如图2中，延长AF、BC交于点H． ∵DF＝CF，∠D＝∠FCH＝90°，∠AFD＝∠HFC， ∴△ADF≌△HCF（ASA）， ∴BC＝AD＝CH＝CD， 在直角△BGH中，BC＝CH， ∴GCBH， ∴CB＝CG＝CH， 即CG＝CB． 【点评】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 23．（1）数学理解：如图①，△ABC是等腰直角三角形，过斜边AB的中点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，求AB，BE，AF之间的数量关系； （2）问题解决：如图②，在任意直角△ABC内，找一点D，过点D作正方形DECF，分别交BC，AC于点E，F，若AB＝BE+AF，求∠ADB的度数； （3）联系拓广：如图③，在（2）的条件下，分别延长ED，FD，交AB于点M，N，求MN，AM，BN的数量关系． 【分析】数学理解： （1）由等腰直角三角形的性质可得AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，ABAC，由正方形的性质可得DE＝DF＝CE，∠DFC＝∠DEC＝90°，可求AF＝DF＝CE，即可得AB（AF+BE）； 问题解决： （2）延长AC，使FM＝BE，通过证明△DFM≌△DEB，可得DM＝DB，通过△ADM≌△ADB，可得∠DAC＝∠DAB∠CAB，∠ABD＝∠CBD∠ABC，由三角形内角和定理可求∠ADB的度数； 联系拓广： （3）由正方形的性质可得DE∥AC，DF∥BC，由平行线的性质可得∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD，可得AM＝MD，DN＝NB，即可求MN，AM，BN的数量关系． 【解答】解： 数学理解： （1）AB（AF+BE） 理由如下：∵△ABC是等腰直角三角形 ∴AC＝BC，∠A＝∠B＝45°，ABAC ∵四边形DECF是正方形 ∴DE＝DF＝CE＝CF，∠DFC＝∠DEC＝90° ∴∠A＝∠ADF＝45° ∴AF＝DF＝CE ∴AF+BE＝BC＝AC ∴AB（AF+BE） 问题解决： （2）如图，延长AC，使FM＝BE，连接DM， ∵四边形DECF是正方形 ∴DF＝DE，∠DFC＝∠DEC＝90° ∵BE＝FM，∠DFC＝∠DEB＝90°，DF＝ED ∴△DFM≌△DEB（SAS） ∴DM＝DB ∵AB＝AF+BE，AM＝AF+FM，FM＝BE， ∴AM＝AB，且DM＝DB，AD＝AD ∴△ADM≌△ADB（SSS） ∴∠DAC＝∠DAB∠CAB 同理可得：∠ABD＝∠CBD∠ABC ∵∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90° ∴∠DAB+∠ABD（∠CAB+∠CBA）＝45° ∴∠ADB＝180°﹣（∠DAB+∠ABD）＝135° 联系拓广： （3）∵四边形DECF是正方形 ∴DE∥AC，DF∥BC ∴∠CAD＝∠ADM，∠CBD＝∠NDB，∠MDN＝∠AFD＝90° ∵∠DAC＝∠DAB，∠ABD＝∠CBD ∴∠DAB＝∠ADM，∠NDB＝∠ABD ∴AM＝MD，DN＝NB 在Rt△DMN中，MN2＝MD2+DN2， ∴MN2＝AM2+NB2， 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/4/1 23:18:58；用户：姚怀洪；邮箱：13927028828；学号：38450005 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$