精品解析：北京市第一零一中学2024-2025学年高一上学期期中考试数学试题

北京一零一中2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 命题：高一数学备课组 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 3. 若，，为非零实数，且，，则（ ） A. B. C. D. 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 5. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 6. 设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 9. 函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是___________. 12. 已知集合，且，则的值为_____________. 13. 函数的值域是________；单调递减区间是________． 14. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元． 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值点为0； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是； ③当时，方程有两个不等的实根； ④当时，函数存在最大值． 其中所有正确结论的序号是________． 三、解答题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 17. 解关于的不等式：． 18. 已知函数． （1）若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； （2）若函数在上的最大值为1，求实数的值． 19. 已知函数是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求的取值范围． 20. 给定正整数，集合，若存在个不同的正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． （1）判断是否为“可表集合”，并说明理由； （2）证明：若为“可表集合”，则； （3）若为“可表集合”，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中2024-2025学年度第一学期期中考试 高一数学 （本试卷满分120分，考试时间100分钟） 命题：高一数学备课组 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据集合的交集，可得答案. 【详解】由题意可得. 故选：A. 2. 已知命题，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件由含有一个量词的命题的否定方法直接写出p的否定判断作答. 【详解】由题意得，因为全称命题的否定是特称命题， 故则命题的否定是. 故选：D 3. 若，，为非零实数，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】举反例说明ABD是错误的，根据不等式的性质判断C的真假. 【详解】令，，则，， 因为此时，故A不成立； ，故B不成立； ，故D不成立； 根据不等式的基本性质：，，故C成立. 故选：C 4. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式的解法，求出结果即可. 【详解】有题意可得，解得，即解集为， 故选：B. 5. 函数的图象不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对进行分类讨论，由此确定正确答案. 【详解】当时，，对应图象是B选项. 当时，对应图象是D选项. 当时，在上单调递减， 对应图象是C选项. 所以不可能的是A选项. 故选：A 6. 设函数的定义域为，则“”是“为减函数”的（ ） A. 充分必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分而不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的单调性及充分、必要条件的定义判定选项即可. 【详解】若，则， 作出函数图象， ， 由图象可知成立，但显然不为减函数； 若为减函数，又，则， 所以“”是“为减函数”的必要不充分条件. 故选：B 7. 若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分和两种情况讨论，再结合的性质求解即可. 【详解】当时，在区间上单调递增，符合题意， 当时， 因为为二次函数，且函数在区间上单调递增， 所以，解得，所以实数的取值范围是. 故选：. 8. 设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意利用函数的奇偶性和函数的递推关系即可求得的值. 【详解】由题意可得：， 而， 故. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和函数的递推关系式，灵活利用所给的条件进行转化是解决本题的关键. 9. 函数．若存在，使得，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过分类讨论和，将转化成具体的不等式，再转化为最值问题，根据单调性求出最值，可得的取值范围. 【详解】当时，，，可化为， 即存在，使得成立， 的对称轴为， 在区间单调递增， 只要，即，解得：， 又，， 当时，可化为，此时不等式恒成立， 综上所述，． 故选： 【点睛】本题考查了不等式有解问题，通过分类讨论转化成最值问题，使问题得到了解决，分类讨论是高中数学经常用到的解题方法，属于中档题. 10. 已知集合，若，且对任意的，，均有，则中元素个数的最大值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知可得集合，由可知与异号或其中至少有一个为，通过列举可得集合，即可求解. 【详解】因为集合， 所以 ， 由得， 所以与异号或其中至少有一个为， 又，，， 所以满足条件的集合或 或 或 ， 所以集合中元素个数的最大值为. 故选：. 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 函数的定义域是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法，求得函数的定义域. 【详解】， 所以的定义域为. 故答案为： 12. 已知集合，且，则的值为_____________. 【答案】或 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系确定的值，结合元素的互异性验证. 【详解】由题意可得或，解得或或， 当时，，符合题意. 当时，，符合题意， 当时，，不满足集合中元素的互异性，不符合. 综上得或. 故答案为：或. 13. 函数的值域是________；单调递减区间是________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】先求出函数定义域，进而求出值域，并根据复合函数单调性满足同增异减得到答案. 【详解】令，解得或，故定义域为， ，故值域为， 由于在上单调递增， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性满足同增异减可知，单调递减区间为. 故答案为：，. 14. 李明自主创业，经营一家网店，每售出一件商品获利8元．现计划在“五一”期间对商品进行广告促销，假设售出商品的件数（单位：万件）与广告费用（单位：万元）符合函数模型．若要使这次促销活动获利最多，则广告费用应投入_______万元． 【答案】 【解析】 【分析】设李明获得的利润为万元，求出关于的表达式，利用基本不等式可求得的最小值及其对应的的值. 【详解】设李明获得的利润为万元，则， 则 ， 当且仅当，因为，即当时，等号成立. 故答案为：. 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 15. 设，函数，给出下列四个结论： ①当时，函数的最大值点为0； ②若在区间上单调递增，则的取值范围是； ③当时，方程有两个不等的实根； ④当时，函数存在最大值． 其中所有正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】分段分析函数的单调性，求得函数值的取值范围，可判断①③④的真假；结合函数单调性的概念，求参数的取值范围，可判断②的真假. 【详解】对①，当时，函数， 可知函数在上单调递增，；在上单调递增，在上单调递减，所以当时，；函数在上单调递增，恒有. 综上可知：当时，函数的最大值点为0.故①正确； 对②，因为函数在上单调递增，在上单调递增，所以要使在上单调递增，须有.故②正确； 对③，当时，在上，，方程无解； 在上，恒成立，方程无解； 在上，函数，单调递增，方程至多有1解. 故当时，方程至多有1解. ③错误； 对④，当时，函数在上单调递增，；在上，函数有最大值；在上，恒成立. 因为，所以成立，所以此时函数有最大值，为.故④正确. 故答案为：①②④ 三、解答题共5小题，共55分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 16. 设全集，集合，． （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）解二次不等式，确定集合，在根据并集运算求并集即可. （2）根据集合的包含关系求参数的取值范围. 【小问1详解】 由，即. 当时，由，即. 所以. 【小问2详解】 因为， 若，则，由得：； 若，则，成立； 若，则，由得：. 综上，实数的取值范围是：. 17. 解关于的不等式：． 【答案】 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 【解析】 【分析】分，，三种情况解不等式. 【详解】当时，原不等式可化为：. 当时，. 若即时，原不等式的解为：或； 若即时，原不等式的解为：； 若即时，原不等式的解为：或. 当时，. 因为，所以. 综上可知：当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：； 当时，原不等式的解集为：. 18. 已知函数． （1）若方程有两个实根，，且满足，求实数的值； （2）若函数在上的最大值为1，求实数的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据题意，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，由条件可得函数的对称轴，然后分，以及讨论，结合二次函数的单调性代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 方程有两个实根，， 由韦达定理可得， 又， 即， 化简可得，解得或， 当时，原方程为，有两实根，满足题意； 当时，原方程为，即， 其中，即方程无实根，故舍去； 所以. 【小问2详解】 因为， 其图像开口向下，对称轴为， 当时，即时， 函数在上单调递减，则， 即，满足； 当时，即时， 函数在上单调递增，则，即，不满足，故舍去； 当时，即时， 函数在处取得最大值， 即， 即，解得， 且，则； 综上所述，或. 19. 已知函数是上的偶函数． （1）求实数的值； （2）判断函数在上的单调性，并用单调性定义证明； （3）如果对，都有成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 由（1）可知：，即，该函数单调递增，理由如下： 设是上任意两个实数，且，即， ， 因为，所以， 所以函数在区间上单调递增； （3） 【解析】 【分析】（1）根据偶函数的性质进行求解即可； （2）根据单调性的定义进行判断证明即可； （3）根据偶函数的性质，结合单调性先求出函数的值域，再解不等式即可. 【小问1详解】 因为函数是上的偶函数， 所以有， 因为，所以； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由（2）可知：函数在区间上单调递增， 而函数是偶函数，所以函数在上单调递减， 因为，， 所以在上的值域为， 由恒成立，即， 也就是， 则，得， 所以的取值范围为. 20. 给定正整数，集合，若存在个不同的正整数，对任意的，存在，使得或或，则称为“可表集合”． （1）判断是否为“可表集合”，并说明理由； （2）证明：若为“可表集合”，则； （3）若为“可表集合”，求的最小值． 【答案】（1）是，理由： 由于对，，有，，，，. 故是“可表集合”. （2） 欲找寻的最大值，即中的元素尽可能地多， 则由运算后的所有情况为：， 共20个，故. （3） 【解析】 【分析】（1）直接根据定义判断； （2）列出满足，，的所有情况最多个数即可证明结论； （3）列出、、、的所有情况，并说明其错误性，再时举出复合题意的例子，即可说明的最小值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 若，则中元素至多有，个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，则中元素至多有个，不符合题意； 若，不妨设，则由构成的数有 共20个， 因为最大数且为偶数，故不可能是中的元素， 故其余19个数刚好构成集合， 这19个数之和为，且， 故， 因，则，又均为正整数，经检验不存在这样的正整数， 故无法构成集合； 若，经过运算可构成集合， 故若为“可表集合”时，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $