精品解析：江苏省扬州市江都区八校联谊2024-2025学年七年级下学期数学第一次月考试卷

七年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分．每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 4. 如果是完全平方式，那么的值是（ ） A. 0 B. C. D. 5. 已知，，，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则的值是（   ） A. B. C. 9 D. 8 7. 若，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 8. 设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ①②④ 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 9. 纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是__________． 10. 计算：（﹣3a3）2＝______． 11. 已知，（m，n为正整数），则___． 12. 已知，，则的值为________． 13. 已知，则________． 14. 若，则m — n的值为_______． 15. 如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是_______． 16. 已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是_____． 17. 如图，校园里长为10米宽为8米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是______平方米． 18. 代数式的末尾数字是_______． 三、解答题（本大题共10小题，共96.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2）. 20. 计算： （1）； （2）． 21. 已知，求代数式的值． 22. 在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： （1）比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） （2）已知，，，试比较，，的大小． 23. （1）已知，，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 24. 如图，在方格纸内将水平向右平移个单位，再向下平移个单位得到. （1）画出； （2）过点画边上的垂线； （3）求图中的面积. 25. （1）已知实数，满足，，求的值； （2）已知实数，满足，，求的值． 26. 某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距米． （1）用多项式表示一个游泳池的面积； （2）当，，时，求两个游泳池的总面积． 27. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又如：求代数式的最小值：； 又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）已知、都是正整数，且满足，求a、b的值； （3）当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 28. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七年级数学试题 一、选择题（本大题共8小题，共24.0分．每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 下列图形中，不能通过其中一个四边形平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移与旋转的性质即可得出结论． 【详解】解：A．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； B．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； C．能通过其中一个四边形平移得到，不合题意； D．不能通过其中一个四边形平移得到，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查的是利用平移设计图案，熟知图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小是解答此题的关键． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别计算出各项的结果，再进行判断即可． 【详解】解：A.，故原选项错误； B. ，故原选项错误； C. ，计算正确； D. ，故原选项错误 故选C 【点睛】本题主要考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方以及积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3. 下列乘法中，不能运用平方差公式进行运算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，正确识别平方差公式是解题的关键． 根据平方差公式中的两个二项式有一项完全相同，另一项互为相反数即可求解． 【详解】解：平方差公式的形式为， 选项A： ，相同项x，相反项a 和，故选项A符合公式； 选项B： ，没有相同项，故选项B不符合公式； 选项C： ，相同项，相反项和x，故选项C符合公式； 选项D： ，相同项m，相反项b 和，故选项D符合公式． 故选：B． 4. 如果是完全平方式，那么的值是（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式是解题的关键．根据完全平方公式计算即可求解． 【详解】解：由题意可知，， ， 故选：D． 5. 已知，，，那么，，之间的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了有理数的乘方，0次幂和负整数指数幂的运算及数的大小比较，熟练在掌握运算性质是解此题的关键． 利用有理数的乘方，0指数幂和负整数指数幂的运算性质分别求出a、b、c的值，再比较即可． 【详解】∵，，， ∵， ∴． 故选：B． 6. 已知，则的值是（   ） A. B. C. 9 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，令，则，根据可推出，结合即可求解； 【详解】解：令，则； ∵， ∵， ∴； ∵， ∴， 故选：B 7. 若，，则与的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，关键是作差法和配方法的应用．利用作差法和配方法计算即可． 【详解】解：：， ， ， ， 故选：C 8. 设，是有理数，定义一种新运算：．下面有四个推断：①；②；③；④．其中正确的是（ ） A. ①③ B. ①② C. ③④ D. ①②④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式，解题的关键是掌握新运算规则． 根据新运算规则进行化简，然后对选项逐个进行判断． 【详解】解：①，，故①符合题意； ②，，故②不符合题意； ③，，故③符合题意； ④；，故④不符合题意； 故选：A． 二、填空题（本大题共10小题，共30.0分） 9. 纳秒是非常小的时间单位，，北斗全球导航系统的授时精度优于，用科学记数法表示是__________． 【答案】s． 【解析】 【分析】根据科学记数法的表示形式进行表示即可． 【详解】∵， ∴=20×10-9s， 用科学记数法表示得s， 故答案为：s． 【点睛】本题考查了科学记数法，掌握科学记数法的表示方法是解题关键． 10. 计算：（﹣3a3）2＝______． 【答案】9a6 【解析】 【分析】根据积的乘方等于每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，可得答案． 【详解】解：原式＝（﹣3）2a3×2 ＝9a6 故答案为：9a6． 【点睛】本题考查积的乘方、幂的乘方的法则，熟练并正确使用法则是关键 11. 已知，（m，n为正整数），则___． 【答案】24 【解析】 【分析】对进行变形可得，然后将已知条件代入即可． 【详解】解：原式． 故答案为：24 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法、幂的乘方与积的乘方，熟练掌握运算公式是解题的关键． 12. 已知，，则的值为________． 【答案】22 【解析】 【分析】把已知条件a-b=4两边平方，根据完全平方公式展开，然后代入数据计算即可求解． 【详解】∵a-b=4， ∴a2-2ab+b2=16， ∵ab=3， ∴a2+b2=16+2×3=22． 故答案为：22． 【点睛】本题考查了利用完全平方公式的变形求解和整体代入法求代数式的值，熟练掌握完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2是解答本题的关键. 13. 已知，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 若，则m — n的值为_______． 【答案】3 【解析】 【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出m与n的值，即可求出m-n的值． 【详解】解：∵（x+3）（x+n）=x2+nx+3x+3n=x2+（n+3）x+3n， ∴， 解得：m=-2，n=-5， 则m-n=-2+5=3， 故答案为：3． 【点睛】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15. 如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是_______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了图形的平移，根据平移性质可得，，然后判断出四边形的周长的周长，即可得出结果． 【详解】解：向右平移得到， ，， 四边形的周长， 即四边形的周长的周长， 故答案为：20． 16. 已知一个多项式除以多项式所得的商式为，余式为，这个多项式是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的四则混合运算，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 由题意可知，这个多项式是，然后展开，再合并同类项即可． 【详解】解：由题意得，这个多项式 ， 故答案为． 17. 如图，校园里长为10米宽为8米的长方形草地内修建了宽为1米的道路，则草地面积是______平方米． 【答案】56 【解析】 【分析】利用平移的性质得到草地部分的图形为一个长方形，利用公式计算即可． 【详解】解：利用平移的性质可得草地部分的图形为一个长方形，长为(10−2)米，宽为(8−1)米， 因此草地部分的面积为：(10−2)×(8−1)=56（平方米）， 故答案为：56． 【点睛】此题考查利用平移解决实际问题，正确理解平移的性质是解题的关键． 18. 代数式的末尾数字是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的计算，利用平方差公式得到式子结果为，再根据末尾数字规律求解即可． 【详解】解： …… ， ∵的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是，的末尾数字是， ∴末尾数字按，，，的顺序依次出现， ∵， ∴的末尾数字是， 故答案为：． 三、解答题（本大题共10小题，共96.0分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19. 计算： （1） （2）. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据同底数幂的乘法与除法法则进行计算即可； （2）分别根据绝对值的性质，零指数幂与负整数指数幂的运算法则计算出各数，再根据有理数的加减法则进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 【点睛】本题考查的是负整数指数幂，零次幂，同底数幂的乘法和除法，熟知同底数幂的乘法与除法法则是解题的关键． 20. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，熟练掌握完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式法则，是解题的关键． （1）利用多项式乘以多项式法则进行计算即可； （2）先利用完全平方公式和平方差公式以及单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，即可求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 ． 21. 已知，求代数式的值． 【答案】5 【解析】 【分析】首先进行整式的混合运算，再把代入，即可求解． 【详解】解： 【点睛】本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 22. 在比较幂的大小时，小宇同学发现：对于正整数，，，若，，则；若，则．请运用此规律解决下列问题： （1）比较大小：_______（填“>”“<”或“=”） （2）已知，，，试比较，，的大小． 【答案】（1）< （2） 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，比较幂的大小，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据题意并将利用幂的乘法法则变形为，比较即可得解； （2）根据幂的乘方法则将，，进行变形，再结合若，则比较即可得解． 【小问1详解】 解：∵若，，则，， ∴； 【小问2详解】 解：∵，，，且， ∴， ∴，即． 23. （1）已知，，求的值． （2）已知为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）56 【解析】 【分析】（1）根据同底数幂的乘法公式的逆应用求解即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方运算法则求解即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴； （2）， ∵n为正整数，且， ∴原式． 【点睛】本题考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． 24. 如图，在方格纸内将水平向右平移个单位，再向下平移个单位得到. （1）画出； （2）过点画边上的垂线； （3）求图中的面积. 【答案】（1） 如图所示，即为所求； ； （2）如图所示，即为所求； （3）的面积为8． 【解析】 【分析】（1）将三个顶点分别向下平移2个单位再向右平移4个单位得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）过点B画边所在直线上的垂线，再平移过点C，交直线于点D； （3）根据割补法列式计算即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为． 【点睛】本题主要考查作图—平移变换，解题的关键是掌握平移变换的定义与性质． 25. （1）已知实数，满足，，求的值； （2）已知实数，满足，，求的值． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式的变形求值问题，熟练掌握是解题的关键． （1）将展开，即可求解； （2）由平方差公式展开，再由完全平方公式展开进行整体代换求值，即可求解； 【详解】（1）展开得： ，将带入得： ． （2）由平方差公式展开得： ，即， ， ，两边同时减去得： ， ． 26. 某小区一块长为米，宽为米的长方形场地中间，并排修建了两个大小一样的长方形游泳池，两个游泳池之间以及游泳池与长方形场地的边线都相距米． （1）用多项式表示一个游泳池的面积； （2）当，，时，求两个游泳池的总面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了整式乘法的应用，弄清题意是解本题的关键． （1）根据图形表示出每一个游泳池的长与宽，即可表示出面积； （2）结合（1）的结论，将、、带入到整式并计算，即可得到答案． 【小问1详解】 解：根据题意得一个游泳池的面积． 【小问2详解】 解：将、、带入到整式得， 两个游泳池的总面积， 答：两个游泳池的总面积为． 27. 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值，最小值等． 例如：分解因式：； 又如：求代数式的最小值：； 又；当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解决下列问题： （1）分解因式：______； （2）已知、都是正整数，且满足，求a、b的值； （3）当、为何值时，多项式有最大值？并求出这个最大值． 【答案】（1） （2）， （3）当时，多项式有最大值，最大值为16 【解析】 【分析】本题考查了配方法分解因式和配方法求最值，通过例题和材料，明确配方法的步骤，因式分解，用配方法求最值． （1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）根据题意，移项后配方即可； （3）对多项式变形，使式子中出现完全平方式，利用非负数的性质即可求出多项式的最大值． 【小问1详解】 解：． 【小问2详解】 解：将配方，得： ， 解得，． 【小问3详解】 解： ， 当时，多项式有最大值，最大值为． 28. 【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $