阿氏圆和卡西尼卵形线 课件-2025届高三数学二轮专题复习

圆锥曲线知识拓展----- 授课教师：李霞 阿氏圆和卡西尼卵形线 x O y F 2 F 1 P 平面内两个定点F1(-c,0),F2(-c,0) (2a>2c) (2a<2c) F1 F2 P x y O 点P的轨迹是什么图形？ 定义:平面内到两定点距离之比为常数k(k>0,k≠1)的点的轨迹是圆.这个圆我们称之为“阿波罗尼斯圆”，简称“阿氏圆”. 特殊地,设定点为动点为则当时, 点的轨迹是线段的垂直平分线. 【背景】 阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻而系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一． 背景介绍 阿氏圆定理： 到两定点的距离之比为定值（不等于1）的点的轨迹是一个圆 定理证明 ： C x D 已知右图在∆PAB中，PA=kPB，试证明点P的轨迹是一个圆 三角形内角平分线定理：三角形任意两边之比等于它们夹角的平分线分对边之比 三角形外角平分线定理：三角形的外角平分线如果和对边延长线相交，则它将按对应内角的两边之比分对边 [典型例题] 满足条件AB=2,AC=BC的△ABC的面积的最大值为__________.  典型例题 解：以直线AB为x轴,以线段AB的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系. 则点A(-1,0),B(1,0),设点C(x,y), 由条件得 化简为 从而 , y x O 典型例题 2 D 分析：点C在以A、B为定点的阿氏圆上. 22:50 [典型例题] 满足条件AB=2,AC=BC的△ABC的面积的最大值为__________.  典型例题 方法二：动点C的轨迹是以A、B为定点的阿氏圆， 且圆心D在A、B的延长线上. 2 y x O M N D 由AC=BC，圆心D在点B的右边，B在圆内，A在圆外. 当动点C运动到 所以 即阿氏圆的半径为2 满足. 从而 22:50 卡西尼卵形线是法国数学家卡西尼在研究土星的运行轨道时提出的，但是近年来在高考试题和模考中经常出现，考察学生通过方程来研究曲线的性质的能力，体现了创新思维. 高中数学拓展 定义：到两个定点（焦点）F1(-c,0)、F2(c,0)的距离之积为常数a2(a>0)的点的轨迹，是卡西尼卵形线. ----卡西尼卵形线在高考中的应用 方程： 17世纪80年代，法国天文学家卡西尼在研究土星及其 卫星的运行规律时提出了这个问题. 深入研究后，卡西尼发现，平面内与两个定点的距离之积为常数的点的轨迹是卵形线，故叫做卡西尼卵形线， 并把这两个定点叫做卡西尼卵形线的焦点， 两焦点间的距离叫做卡西尼卵形线的焦距. Cassini,1625-1712 如今，卡西尼卵形线在天文学、航空航天、电磁学等领域有广泛且重要的应用.在数学中，卵形线也是解析几何研究的一类重要曲线. 背景介绍 ①当a<c时，轨迹是两支封闭曲线，有点像两个鸡蛋，这也是卵形线名字的由来； ②当a=c时，轨迹是伯努利双纽线. 轨迹是中部凹进的封闭曲线；   ④当 时， 轨迹是中部扁平的封闭曲线； ⑤当 时， 轨迹是中部凸出的封闭曲线. 当 时， ③ ① ② ③ ④ ⑤ 定义：到两个定点（焦点）F1、F2的距离之积为常数a2(a>0)的点的轨迹，是卡西尼卵形线. 卡西尼卵形线 1.对称性 2.顶点 性质： 卡西尼卵形线为轴对称图形和中心对称图形，对称轴为两坐标轴 把曲线与坐标轴的交点定义为卡西尼卵形线的顶点 a=c时，是伯努利双纽线，有三个顶点 a≠c时，卡西尼卵形线都有四个顶点 (2023届广州一模第12题)平面内到两个定点距离之积为常数的点的 轨迹称为卡西尼卵形线，它是1675年卡西尼研究土星及其卫星的 运行规律时发现的.已知平面直角坐标系中，,， 动点P满足，则下列结论正确的是( ) 典型例题 感谢观看 汇报人：李霞 Lavf58.20.100 $$