精品解析：2025年河南省周口市郸城县实验中学九年级中考数学模拟试卷

2025年春九年级模拟试卷 数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 魏晋时期的数学家刘徽在“正负术的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了正负数的意义，根据“正放表示正数，斜放表示负数”，即可求解． 【详解】解：根据题意可得：图2应记作 故选：B． 2. 下面是常见的化学仪器简易平面图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，根据轴对称图形的概念求解． 【详解】解：A．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D．是轴对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 3. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的加减，关键是熟练掌握同分母分式的加减运算法则．根据同分母分式的加减运算法则进行计算，即分母不变，分子相加减，最后再约分即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质．如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得到，，平行线的性质，得到，三角形的外角的性质，得到，进而求出的度数． 【详解】解：如图： ∵正六边形的一个外角的度数为：， ∴正六边形的一个内角的度数为：， 即：，， ∵一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，， ∴， ∴， ∴； 故选：C． 5. 图1为某品牌空调外机支架，图2是其模型图，依据图中数据可得斜边长度为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法，勾股定理，先根据勾股定理求得，进而用科学记数法表示，即可求解． 【详解】解：依题意，， ∴， 故选：A． 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 则不等式组的解集为， 故选C． 7. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. 0，4 B. 2，9 C. 0 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据图象可得对称轴为直线，的一个根为，进而根据对称性求得的另一个根，即可求解． 【详解】解： 时， ∴的一个根是 ∵图象的对称轴为直线， ∴的另一个根是 故选：A． 8. 根据中国汽车工业协会的数据，2024年前三季度，中国新能源汽车产、销量分别为万辆和万辆，同比增长和，占新车总销量的．如图是印有新能源车标的三张卡片，它们除正面图案之外完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了树状图法或列表法求概率，解题的关键是正确画出树状图得到所有的等可能的结果数．根据题意，利用树状图法将所有结果都列举出来，然后根据概率公式计算解决即可． 【详解】解：把3张卡片分别记为A、B、C， 画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中两次抽取的卡片正面相同的结果有3种， ∴两次抽取的卡片图案相同的概率为． 故选∶C． 9. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，圆周角定理的应用，扇形面积的计算．连接，，证明，可得，求解，再利用扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：连接，， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， 即点是的中点， ∵点O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 如图1，在四边形中，，，，M是对角线的中点，点N从点C出发沿方向匀速运动，到达点A时停止．设点N的运动路程为x，的面积为y，y与x的大致图象如图2所示，则的长为（　　） A. B. C. 12 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，平行四边形的性质与判定，勾股定理；过点作于点，根据题意得出四边形是平行四边形，根据得出，，进而根据图2得出，，根据三角形中线的性质以及三角形的面积公式得出，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据图2可得，当时，的面积最大， ∴当重合时，， 又∵是对角线的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出的一个同类项：________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义，同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同．根据同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关． 【详解】解：和是同类项， 故答案为：（答案不唯一）． 12. 在实验中学运动会的跳高比赛中，甲、乙两位选手进行了五轮比赛，小红对他们的比赛成绩（单位：分，满分10分）进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则成绩的稳定性更好的选手是________（填“甲”或“乙”）． 【答案】甲 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，理解方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定是解题的关键．根据方差的意义即数据波动越小，数据越稳定即可得出答案． 【详解】解：由折线图可知，甲选手的成绩波动范围较小（从最低分到最高分，差值为），而乙选手的成绩波动范围更大（从分到分，差值为），因此，甲选手的成绩更稳定． 故答案为：甲． 13. 如图，在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有数字“”“”和属性“有理数”“无理数”．现将四张卡片的正面朝下放置，混合洗匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片数字与属性完全对应的概率为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了无理数与有理数，算术平方根，列表法求概率，根据题意列出表格，进而根据表格求得所有等可能结果，进而根据概率公式计算，即可求解． 【详解】解：是有理数，是无理数， 列表如下， 有理数 无理数 ， 有理数， 无理数， ， 有理数， 无理数， 有理数 有理数， 有理数， 有理数、无理数 无理数 无理数， 无理数， 有理数，无理数 共有12种情况，其中抽到的卡片数字与属性完全对应的有4种 抽到的卡片数字与属性完全对应的概率为 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点．已知，，，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】取的中点，以为直径作，过点作于点，根据，得出四边形是的内接四边形，，得出，进而根据已知可得，，设，则，，进而根据得出，在中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图所示，取的中点，以为直径作，过点作于点， ∵， ∴四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，则 ∵，， ∴， ∴， 设，则， ∴ ∴ 在中， 故答案为：． 15. 在四边形中，，，，为其对角线，且．若四边形满足有一组对边平行，则的长为________． 【答案】或1 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，含的直角三角形的性质，解直角三角形的应用等知识，分和两种情况讨论即可． 【详解】解∶当时，如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， 综上，的长为或1， 故答案为：或1． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）代数推理：若是一个整数，试证明是一个偶数． 【答案】（1）1； （2）证明：， 当m为奇数时，是偶数， ∴是偶数； 当m为偶数时，是奇数， ∴是偶数， 综上，是偶数． 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，因式分解的应用，解题的关键是： （1）根据零指数幂的意义，负整数指数幂的意义等计算即可； （2）先根据提取公因式法因式分解，然后分m为奇数和偶数两种情况讨论即可． 【详解】解∶（1）原式 ； （2）略 17. 为丰富学生的课外生活，某校要举行一次校园文化演讲．根据规则，评委分别从演讲内容、语言表达、临场表现三个方面对参赛选手进行打分，每项满分均为100分．经统计、整理，得到如下信息： a．参赛选手演讲内容得分频数直方图如下：（每组包含最小值，不包含最大值） b．参赛选手演讲内容得分在80分至90分这一组中的数据为：86，86，87，88． c．参赛选手中甲、乙两名同学各项得分统计表如下： 演讲内容 语言表达 临场表现 甲 87 88 80 乙 86 90 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）参赛选手演讲内容得分的中位数为________分； （2）学校计划按照临场表现得分给不超过一半的学生颁发“表现优异奖”，则甲、乙两名同学可能获得“表现优异奖”的是________同学；（填“甲”或“乙”） （3）如果将“演讲内容”“语言表达”“临场表现”按照计算总成绩，且规定总成绩越高表现越好．请计算甲、乙的总成绩，并比较这两名同学谁的表现更好． 【答案】（1）86 （2）乙 （3）乙同学表现更好 【解析】 【分析】本题考查了加权平均数，中位数等知识，解题的关键是∶ （1）根据中位数的定义求解即可； （2）比较临场表现得分即可求解； （3）根据加权平均数公式求出甲、乙的得分，即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴中位数是第9和10名选手的得分的平均分，即分， 故答案为：86； 【小问2详解】 解：∵， ∴学校计划按照临场表现得分给不超过一半的学生颁发“表现优异奖”，则甲、乙两名同学可能获得“表现优异奖”的是乙同学， 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：甲的总成绩为（分）， 乙的总成绩为（分）， ∵， ∴乙同学的表现更好． 18. 如图1，数学小组利用所学的锐角三角函数的知识测量一条河的宽度．他们在点处将无人机垂直升腾至点处，在点处测得，两点的俯角分别为和，如图2，已知点，，在同一水平直线上． （1）试求这条河的宽度；（结果精确到．参考数据：，，，） （2）经资料显示，河的实际宽度与计算结果稍有差异，请提出一条减少误差的方法． 【答案】（1） （2）多次测量取平均值（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是： （1）在、中，根据正切的定义求出、，即可求解； （2）提出能减少误差的方法即可． 【小问1详解】 解：由题意，得，， 在中，， ∴， 在中， ， ∴， 即这条河的宽度为； 【小问2详解】 解：多次测量取平均值（答案不唯一） 19. 如图，正方形内接于，是的中点，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的平行线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 【答案】（1）如图所示， （2） 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质与判定，正多边形与圆，勾股定理，圆周角定理以及弧长公式，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据三角形的角平分线交于一点，连接交于点，连接交于点，连接，即可求解； （2）根据（1）可得，进而根据正方形的性质求得半径，再根据弧长公式，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示， ∵正方形内接于， ∴，是的角平分线， ∵是的中点，则 ∴，即是的角平分线， ∴是的角平分线， ∴ 又∵ ∴ ∴； 【小问2详解】 解：如图，连接 由（1）可得 又∵ ∴ ∴ 20. 如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： … 4 6 8 10 12 … … 9 6 4.5 3.6 3 … （1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 【答案】（1） 画图如下∶ （2）；弹簧秤的示数将不断增大 【解析】 【分析】本题考查了画反比例函数图象，反比例函数的性质及其应用，由图象判断出y与x之间的函数关系是解题的关键． （1）根据表格数值描点、连线即可画出图形 ，根据图象特点判断出y与x之间的函数关系，最后利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入（1）所得函数解析式即可求出x，根据函数的性质即可判断弹簧秤示数的变化情况； 【小问1详解】 解∶由图可得，y是x的反比例函数，设，把代入得， ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解∶把代入，得， 积的， 即当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与O点的距离是， ∵，在第一象限内，y的值随着x的值的增大而减小， ∴随着弹簧秤与O点的距离不断减小，弹簧秤的示数将不断增大． 21. 河南温县铁棍山药已有超过3000年的种植历史，它是四大怀药之一，具有很高的药用价值和食用价值．某超市代理的铁棍山药有普通包装和礼品包装两种，已知礼品包装比普通包装每件贵20元，且2件普通包装和1件礼品包装的进货价共140元． （1）分别求出每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价； （2）若某特产店计划购进山药共200件，且礼品包装的数量不多于普通包装数量的，则普通包装的山药最少购进多少件？ （3）若该特产店每件礼品包装的山药售价为75元，每件普通包装的山药售价为50元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店售完这批山药获得的利润最大，最大利润为多少元？ 【答案】（1）每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是元/件、元/件 （2）普通包装的山药最少购进件 （3）购进普通包装的山药件，购进礼品包的山药件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为元 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，一次函数的性质等知识，根据题意列出方程，不等式和一次函数关系式是解题的关键． （1）设每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是a元/件、b元/件，根据等量关系列出方程组，解方程组即可； （2）设普通包装的山药购进件，则礼品包的山药购进件，根据题意列出不等式，解不等式求最小整数解，即可求解． （3）设售完这批山药获得的利润为，购进普通包装的山药件，根据题意列出一次函数关系式，根据一次函数的性质求得最大值，即可求解． 【小问1详解】 解：设每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是a元/件、b元/件，根据题意得， 解得： 答：每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价分别是元/件、元/件； 【小问2详解】 解：设普通包装的山药购进件，则礼品包的山药购进件，根据题意得， 解得： 最小正整数解为 答：普通包装的山药最少购进件 【小问3详解】 解：设售完这批山药获得的利润为，购进普通包装的山药件，根据题意得， ∵， 当时，取得最大值 答：购进普通包装的山药件，购进礼品包的山药件，售完这批山药获得的利润最大，最大利润为元 22. 如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，树枝经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为． （1）求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）； （2）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪． 【答案】（1） （2）不需要修建 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是∶ （1）先求出点A的坐标，然后根据待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中所求的解析式，求出点C的横坐标，即可判断． 【小问1详解】 解：令，则， ∴， 设该抛物线的解析式为， 把代入， 得， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：不需要修建， 理由如下： 把代入， 得， 解得，（舍去）， ∵， ∴不需要修建． 23. 综合与实践 学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究． 【模型感知】 （1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中： ①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）； ②求的最小值． 【拓展探究】 （2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值． 【答案】（1）①平行四边形；②；（2） 【解析】 【分析】（1）①根据平移的性质以及平行四边形的判定定理，即可得到结论； ②作点关于的对称点，连接，，当共线时，有最小值，再证明是等腰直角三角形，且共线，在直角中，利用勾股定理即可求解． （2）同理可得是等边三角形，且共线，进而利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）①∵纸片沿剪痕的方向平移得到， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 故答案是：平行四边形； ②∵四边形是平行四边形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等腰直角三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． （2）如图所示，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴=， 作点关于的对称点，连接，， 当共线时，有最小值， 此时的最小值， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵关于的对称点， ∴，， ∴是等边三角形，且共线， ∴在直角中，， ∴的最小值=． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，菱形的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，平移和轴对称的性质，作出点关于的对称点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春九年级模拟试卷 数学 注意事项： 1．此卷分试题卷和答题卡两部分，满分120分，考试时间100分钟． 2．请用钢笔或圆珠笔在答题卡上答题，答题前请将姓名、准考证号填写清楚． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 魏晋时期的数学家刘徽在“正负术的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数．根据刘徽的这种表示法，图1可记作，则图2应记作（ ） A. B. C. D. 2. 下面是常见的化学仪器简易平面图，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 化简的结果是（ ） A. B. 2 C. D. 4. 如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 图1为某品牌空调外机支架，图2是其模型图，依据图中数据可得斜边长度为，将数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知二次函数的图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ） A. 0，4 B. 2，9 C. 0 D. 4 8. 根据中国汽车工业协会的数据，2024年前三季度，中国新能源汽车产、销量分别为万辆和万辆，同比增长和，占新车总销量的．如图是印有新能源车标的三张卡片，它们除正面图案之外完全相同，把这三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张，放回洗匀后，再从中随机抽取一张，两次抽取的卡片正面图案相同的概率为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，以为直径的与，分别交于点，，连接，．若，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，在四边形中，，，，M是对角线的中点，点N从点C出发沿方向匀速运动，到达点A时停止．设点N的运动路程为x，的面积为y，y与x的大致图象如图2所示，则的长为（　　） A. B. C. 12 D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 请写出的一个同类项：________． 12. 在实验中学运动会的跳高比赛中，甲、乙两位选手进行了五轮比赛，小红对他们的比赛成绩（单位：分，满分10分）进行了收集和分析，并绘制了如图所示的折线统计图，则成绩的稳定性更好的选手是________（填“甲”或“乙”）． 13. 如图，在四张反面无差别的卡片上，其正面分别印有数字“”“”和属性“有理数”“无理数”．现将四张卡片的正面朝下放置，混合洗匀后从中随机抽取两张，则抽到的卡片数字与属性完全对应的概率为________． 14. 如图，在四边形中，，对角线，相交于点．已知，，，则的长为________． 15. 在四边形中，，，，为其对角线，且．若四边形满足有一组对边平行，则的长为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）代数推理：若是一个整数，试证明是一个偶数． 17. 为丰富学生的课外生活，某校要举行一次校园文化演讲．根据规则，评委分别从演讲内容、语言表达、临场表现三个方面对参赛选手进行打分，每项满分均为100分．经统计、整理，得到如下信息： a．参赛选手演讲内容得分频数直方图如下：（每组包含最小值，不包含最大值） b．参赛选手演讲内容得分在80分至90分这一组中的数据为：86，86，87，88． c．参赛选手中甲、乙两名同学各项得分统计表如下： 演讲内容 语言表达 临场表现 甲 87 88 80 乙 86 90 85 根据以上信息，回答下列问题： （1）参赛选手演讲内容得分的中位数为________分； （2）学校计划按照临场表现得分给不超过一半的学生颁发“表现优异奖”，则甲、乙两名同学可能获得“表现优异奖”的是________同学；（填“甲”或“乙”） （3）如果将“演讲内容”“语言表达”“临场表现”按照计算总成绩，且规定总成绩越高表现越好．请计算甲、乙的总成绩，并比较这两名同学谁的表现更好． 18. 如图1，数学小组利用所学的锐角三角函数的知识测量一条河的宽度．他们在点处将无人机垂直升腾至点处，在点处测得，两点的俯角分别为和，如图2，已知点，，在同一水平直线上． （1）试求这条河的宽度；（结果精确到．参考数据：，，，） （2）经资料显示，河的实际宽度与计算结果稍有差异，请提出一条减少误差的方法． 19. 如图，正方形内接于，是的中点，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的平行线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，求的长． 20. 如图1，小丽设计了一个探究杠杆平衡条件的实验：取一根匀质木杆，用细绳绑在木杆的中点处，并将其吊起．在中点左侧固定位置处悬挂重物，在中点右侧用一个弹簧秤向下拉，直至木杆平衡，改变弹簧秤与点的距离，重复上述步骤，观察弹簧秤的示数的变化情况．实验数据记录如下： … 4 6 8 10 12 … … 9 6 4.5 3.6 3 … （1）把表中，的各组对应值作为点的坐标，在如图2所示的平面直角坐标系中描出相应的点，用平滑的曲线连接这些点并观察所得的图象，求出与之间的函数关系式； （2）当弹簧秤的示数为时，弹簧秤与点的距离是多少？在弹簧的弹性限度内，随着弹簧秤与点的距离逐渐减小，弹簧秤的示数将发生怎样的变化？ 21. 河南温县铁棍山药已有超过3000年的种植历史，它是四大怀药之一，具有很高的药用价值和食用价值．某超市代理的铁棍山药有普通包装和礼品包装两种，已知礼品包装比普通包装每件贵20元，且2件普通包装和1件礼品包装的进货价共140元． （1）分别求出每件普通包装、礼品包装铁棍山药的进价； （2）若某特产店计划购进山药共200件，且礼品包装的数量不多于普通包装数量的，则普通包装的山药最少购进多少件？ （3）若该特产店每件礼品包装的山药售价为75元，每件普通包装的山药售价为50元，在（2）的条件下，怎样进货可使该特产店售完这批山药获得的利润最大，最大利润为多少元？ 22. 如图1，果农正在进行的果树压枝处理可以减少树枝对营养成分的吸收，使更多的营养成分流向花芽，从而促进花芽分化，提高开花结果的数量和质量．如图2是一棵树枝在平面直角坐标系中的示意图，树枝近似呈直线生长，树枝上一点的生长高度与它到树干的水平距离近似满足一次函数关系，树枝经过压枝后变成抛物线形状，该抛物线最低点距离地面，且与树干的水平距离为． （1）求该抛物线的解析式（无需写出自变量的取值范围）； （2）经过压枝，树枝生长一段时间后依然满足（1）中的抛物线，且测得树枝端点处距离地面．为了使果树间不相互影响，要求树枝的最外端距离树干不得超过，试通过计算判断此树枝是否需要修剪． 23. 综合与实践 学完图形的平移后，小慧为了加深理解，对其进行了进一步探究． 【模型感知】 （1）她把边长为3的正方形纸片沿着对角线剪开，如图1．然后固定纸片，把纸片沿剪痕的方向平移得到，如图2．连接，，，在平移过程中： ①四边形的形状始终是________（点与点重合时除外）； ②求的最小值． 【拓展探究】 （2）如图3，她把正方形改为边长为1的菱形，，将沿射线的方向平移得到，连接，，，请直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $