4.3.1 等比数列的概念 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

等比数列的概念 课堂教学 1 情景引入 情境1 折纸游戏　 请写出折纸游戏中纸张的层数所构成的数列. 1，2，4，8，16，32，… ① 2 情景引入 情境2 实例探究 《庄子·天下篇》中的一个论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 木棰长度 第一天取半 第二天取半 第三天取半 第四天取半 ... ... ... 第 天取半 n 设木棰长度为 1 3 探究新知 问题1 以上数列有怎样的取值规律？ 共同特点: 从第2项起，每一项与前一项的比都等于同一个常数. 问题2 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 探究新知 【探究一】 等比数列的定义 等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示 .例如①的公比 问题3 你能用符号语言描述等比数列的定义吗？ 问题4 你能列举生活中一些等比数列的例子吗？ 5 探究新知 练习1 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． （1）16，8，4，2，1 （2）1， （3）1，1，1，0，1 （4）1，1，1，1，1 注：（1）公比为同一个常数； （2）等比数列的每一项都不能为零； （3）公比可正可负，但不可为零. 6 探究新知 练习2 若在2与8中间插入一个数G，使得2，G，8成等比数列，G是多少？ 由等比数列的定义，有 所以 即 等比中项的定义： 如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项. 思考：等比中项G与a、b之间又怎样的关系？ 7 探究新知 练习3 在-1，( )，4 中插入一个什么数使其变成等比数列. 思考: 任何两个非零实数都有等比中项吗？ 结论：同号的两数的等比中项有两个，它们互为相反数；异号的两数没有等比中项. 探究新知 【探究二】 等比数列的通项公式 【探究】 等比数列1，2，4，8，16，…的第10项是多少？第50项是多少？ 等差数列 等比数列 不完全归纳法 探究新知 问题5 那同学们能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？ 问题6 还有什么其他方法，推导等比数列的通项公式吗？ 累乘法 累加法 等差数列 等比数列 探究新知 又 ，这就是说，当 时上式也成立. 因此，首项为 ，公比为 的等比数列 的通项公式为 探究新知 等比数列的通项公式：　 首项为 ,公比 为的等差数列 的通项公式为 注：等比数列中四个基本量a1，an，n，q 知三求一（方程思想） 探究新知 【探究三】 等比数列与指数函数的关系 【探究】 在同一个直角坐标系中，画出等比数列 和函数 的图象.（1）等比数列 的图象有什么特点？（2）等比数列 的图象与函数 的图象有什么关系？ 13 探究新知 问题7 你发现了什么规律？类似于等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式，它和哪一类函数有关？ 等比数列 的通项公式可以写为 当 且 时，等比数列 的第 项 是指数函数 当 时的函数值，即 （如右图所示）. 反之，任给指数函数指数型函数 为常数， 且 则 构成一个首项为 公比为 的等比数列. 例题解析 例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求 的第5项. 法1：基本量法； 法2：等比中项法. 例题解析 例2 已知等比数列 的公比为 试用 的第 项 表示 . 形 等差数列 等比数列 类比 抽象概念 代数运算 归纳法 累乘法 累加法 通项公式 函数角度 数 一次函数 指数函数 数 形 课堂小结 课时分层作业. A组------必做题：教材P31的练习第1、2、3题； B组------选做题：已知 是项数相同的等比数列， 是等比数列吗？ 课后作业 教学阐释 4.3.1等比数列的概念 人教版A版选择性必修第二册 教材分析和学情分析 教学目标、重难点和核心素养 2 教学方法和教学设备 3 1 目录 CONTENTS 教学过程 4 选择性必修第二册第四章 一、教材分析和学情分析 新老教材对比：知识导入环节，新教材类比函数的研究方法比旧教材类比实数的研究方法更符合新课标要求。 等差数列 有着广泛的实际应用 《函数》内容的延伸 起着承上启下的作用 为学习等比数列给出了“示范”提供了“模式”，打好基础 是培养学生数学能力的良好题材 是探究特殊数列的开始 “数列”的概念、通项公式及递推公式的延续 教材的地位和作用 一、教材分析和学情分析 学生知识层面上 学生能力层面上 学生已经学习了等差数列的相关基本知识，对数列通项公式的推导有了一定的认识，对函数、方程思想体会逐渐深刻. 高二学生具备了一定分析问题、解决问题的能力，基本形成合作交流、独立探究的能力；逻辑思维能力也初步形成，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、敏捷，但缺乏冷静、深刻. 二、教学目标、重难点和核心素养 课标要求 3、通过对等比数列概念的归纳，进一步培养学生严密的思维习惯，以及实事求是的精神，严谨的科学态度. 体会探究过程中的主体作用及探究问题的方法，经历解决问题的全过程. 1、通过实例抽象出等比数列的定义，探索并掌握等比数列的通项公式； 2、通过现实生活中大量存在的数列模型，让学生充分感受到数列是反映现实生活的模型，体会数学是丰富多彩的而不是枯燥乏味的； 素养要求 数学抽象 逻辑推理、数学运算 数学建模 重难点 二、教学目标、重难点和核心素养 理解等比数列的概念；等比数列的通项公式的推导过程及应用. 重 点 等比数列的函数特征及综合运用. 难 点 04 OPTION 采取由特殊到一般，再到特殊的思想，以探究式教学思想为主导，充分发挥学生主体作用，让学生在讨论、分析、探索、感悟，中发现等比数列的定义和通项公式，借助多媒体的直观展示，帮助学生理解；通过讲练结合，突出重点，突破难点。 突破 三、教学方法和教学设备 以学生为主体，教师是主导， 采用问题引导探究式教学和小组合作式学习法。 教学策略方法 Geogebra软件、课件、多媒体、翻页笔。 教学设备及工具 四、教学过程 情景引入 新课讲授 例析&练习 探究等比数列的概念 课堂小结 作业布置 四、教学过程——情景引入 04 OPTION 以小游戏开头，且此结果出乎预料，提高学生学习兴趣. 设计意图 情境1 折纸游戏　 请写出折纸游戏中纸张的层数所构成的数列. 情境2 实例探究 《庄子·天下篇》中的一个论述：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”. 四、教学过程——探究新知 04 OPTION 由几个具体数列提炼出定义，培养学生归纳总结的能力，类比等差数列下定义，增强学生的类比能力，体会数学知识之间的联系. 让学生发表自己的见解，强化学生的主体地位，培养学生的语言表达能力. 设计意图 问题1 以上数列有怎样的取值规律？ 问题2 类比等差数列的概念，从上述几个数列的规律中，你能抽象出等比数列的概念吗？ 四、教学过程——探究新知 04 OPTION 通过体会数学符号语言的简洁美，有助于理解概念的本质，为通项公式的推导做铺垫. 设计意图 【探究一】 等比数列的定义 等比数列的定义： 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母 表示 .例如①的公比 问题3 你能用符号语言描述等比数列的定义吗？ 四、教学过程——探究新知 04 OPTION 让学生感受到等比数列是现实生活中大量存在的数学模型，体会到数学源于生活的实际，学会用数学的眼光看问题. 设计意图 问题4 你能列举生活中一些等比数列的例子吗？ 04 OPTION 学生对刚学习的概念理解还不够深刻，通过概念的辨析，强化学生对等比数列概念的理解，看清“等比”的本质特征. 结合练习找到定义中需注意的点，讲练结合，使学生更好的掌握知识. 设计意图 四、教学过程——探究新知 练习1 判断下列数列是否是等比数列．如果是，写出它的公比． （1）16，8，4，2，1 （2）1， （3）1，1，1，0，1 （4）1，1，1，1，1 四、教学过程——探究新知 四、教学过程——探究新知 04 OPTION 理解了等比数列概念的基础上，类比等差中项的定义，进一步由学生自己给出等比中项的定义，再一次经历由特殊到一般，为后面研究等比数列的性质做铺垫. 设计意图 练习3 在-1，( )，4 中插入一个什么数使其变成等比数列. 思考: 任何两个非零实数都有等比中项吗？ 四、教学过程——探究新知 04 OPTION 研究折纸问题，呼应开头，并引出研究等比数列通项公式的必要性. 培养学生自己解决问题的能力，变“要我学”为“我要学”. 设计意图 【探究二】 等比数列的通项公式 【探究】 等比数列1，2，4，8，16，…的第10项是多少？第50项是多少？ 四、教学过程——探究新知 04 OPTION 不完全归纳法直观但未必可靠，由这种方法得到的结论还需要进行严格的证明才可以用，进而引出实用性更强的累乘法. 同时在小组讨论中培养团结协作的精神. 设计意图 问题5 那同学们能不能类比等差数列的通项公式的研究过程，来推导出等比数列的通项公式呢？ 1、不完全归纳法 04 OPTION 类比旧知识，探究新定义，提高学生的学习能力，并对不同方法加以比较，利用学生思维的发散，提高思维能力. 设计意图 四、教学过程——探究新知 问题6 还有什么其他方法，推导等比数列的通项公式吗？ 2、累乘法 等比数列的通项公式：　 首项为 ,公比 为的等差数列 的通项公式为 注：等比数列中四个基本量a1，an，n，q 知三求一（方程思想） 四、教学过程——探究新知 04 OPTION 引导学生小组合作探究等比数列与指数函数的关系，进一步掌握函数思想，增强学生直观想象和逻辑推理素养. 设计意图 四、教学过程——探究新知 问题7 你发现了什么规律？类似于等差数列与一次函数的关系，观察等比数列的通项公式，它和哪一类函数有关？ 四、教学过程——例题分析 04 OPTION 通过具体例题讲解，分析等比数列通项公式中的四个量，已知什么？求什么？怎么求？提高学生分析问题，解决问题的能力.培养学生函数思想、方程思想(知三求一)，强化学生学以致用的意识. 设计意图 例1 若等比数列的第4项和第6项分别为48和12，求 的第5项. 例2 已知等比数列 的公比为 试用 的第 项 表示 . 四、教学过程——课堂小结 04 OPTION 通过设问的方式引导学生回忆本节课所学内容，检验学生学习效果，突出重点，培养学生总结反思能力及概括能力、表达能力. 设计意图 四、教学过程——课后作业 04 OPTION 以作业巩固性和发展性为出发点，设计了必做和选做两种题目，必做是对本节课内容的反馈，选做题给学有余力的学生创造更广阔的数学空间. 充分表达分层次教学理念. 设计意图 课时分层作业. A组------必做题：教材P31的练习第1、2、3题； B组------选做题：已知 是项数相同的等比数列， 是等比数列吗？ 综述 手段&资源 小组活动 课件动图 Geogebra软件 问题引导 数学抽象 逻辑推理 数学运算 数学建模 感谢各位专家评委的指导！ $$