特殊四边形 2025年浙江省中考数学总复习特色专题

特殊四边形—2025年浙江省中考数学总复习特色专题 一、选择题 1．如图，在中，，相交于点，，．过点作的垂线交于点，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，在正方形ABCD中，连结AC，点是线段AC上一点，连结BE，过点作交AD于点，连结，则BF的长为（　　） A． B． C． D． 3．如图，已知矩形纸片ABCD，其中，现将纸片进行如下操作： 第一步，如图①将纸片对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展开后如图②； 第二步，再将图②中的纸片沿对角线BD折叠，展开后如图③； 第三步，将图③中的纸片沿过点E的直线折叠，使点C落在对角线BD上的点H处，如图④． 则DH的长为（　　） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，为对角线的中点，.动点在线段上，动点在线段上，点同时从点出发，分别向终点运动，且始终保持.点关于的对称点为；点关于的对称点为.在整个过程中，四边形形状的变化依次是（　　） A．菱形→平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 B．菱形→正方形→平行四边形→菱形→平行四边形 C．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形→平行四边形 D．平行四边形→菱形→正方形→平行四边形→菱形 二、填空题 5．如图，在菱形中，对角线，相交于点，．线段与关于过点的直线对称，点的对应点在线段上，交于点，则与四边形的面积比为　 　． 6．如图1，四个边长为1的小正方形组成一个边长为2的大正方形，过点的直线是它的一条对称轴.如图2，将图1中的正方形沿直线向下平移，使点落在的垂直平分线上，连结，则阴影部分面积为　 　. 图1图2 7．如图，在中，，两个边长为1的正方形的顶点D，E，F，I，J均在的边上，，令，当时，　 　；当时，　 　． 8．如图，边长为6的菱形中，是边上的一点，，将四边形沿着折叠得到四边形，当、、点在同一条直线上时，　 　，此时交边于点，的长为　 　． 9．如图，在正方形ABCD中，点E是边BC上的动点（不与点B、C重合），∠BAE=∠GEF，AE=EF，FG⊥BC交BC延长线于点G，FQ⊥CD于点Q，连结AF交CD于点H，点P是AF的中点，连结BP.求： （1）的度数为　 　 （2）当时，　 　.（用的代数式表示） 三、解答题 10．如图，在中，． （1）尺规作图： ①作线段的垂直平分线，交于点D，交于点O； ②在直线上截取，使，连接．（保留作图痕迹） （2）猜想证明：作图所得的四边形是否为菱形？并说明理由． 11．如图，已知矩形ABCD，点在CB延长线上，点在BC延长线上，过点作交ED的延长线于点，连结AF交EH于点. （1）求证：. （2）当时，求EF的长. 12．如图，菱形的对角线与交于点O，，． （1）求证：四边形是矩形； （2）若 ，求四边形的周长． 13．正方形边长为3，点E是上一点，连结交于点F． （1）如图1，若，求的值； （2）如图1，，若，求m的值． （3）如图2，点G为上一点，且满足，设，试探究y与x的函数关系． 14．在边长为的正方形中，点在边上（不与点，重合），射线与射线交于点． （1）若，求的长． （2）求证：． （3）以点为圆心，长为半径画弧，交线段于点．若，求的长． 15．问题：如何将物品搬过直角过道? 情景：图1是一直角过道示意图，O，P为直角顶点，过道宽度都是.矩形ABCD是某物品经过该过道时的俯视图，宽AB为. 操作： 步骤 动作 目标 1 靠边 将如图1中矩形ABCD的一边AD靠在SO上 2 推移 矩形ABCD沿SO方向推移一定距离，使点在边AD上 3 旋转 如图2，将矩形ABCD绕点旋转 4 推移 将矩形ABCD沿OT方向继续推移 探究： （1）如图2，已知BC=1.6m，OD=0.6m.小明求得后，说：“，该物品能顺利通过直角过道.”你赞同小明的结论吗？请通过计算说明. （2）如图3，物品转弯时被卡住（分别在墙面PQ与PR上)，若.求OD的长. （3）求该过道可以通过的物品最大长度，即求BC的最大值(精确到0.01米，). 16．定义：在四边形中，若一条对角线能平分一个内角，则称这样的四边形为“可折四边形”． 例：如图1，在四边形中，，则四边形是“可折四边形”． 利用上述知识解答下列问题． （1）在平行四边形、矩形、菱形、正方形中，一定是“可折四边形”的有：__________． （2）在四边形中，对角线平分． ①如图1，若，，求的最小值． ②如图2，连接对角线，若刚好平分，且，求的度数． ③如图3，若，，对角线与相交于点，当，且为等腰三角形时，求四边形的面积． 17．综合与实践 如图，在矩形ABCD中，点E是边AD上的一点（点E不与点A，点D重合），连结BE．过点C作CF∥BE交AD的延长线于点F，过点B作BG⊥CF交FC的延长线于点G，过点F作FH⊥BE交BE的延长线于点H.点Р是线段CF的一点，且CP=FP. （1）探究发现：点点发现结论：ABCG丝△FEH．请判断点点发现的结论是否正确，并 说明理由. （2）深入探究：老师请学生经过思考，提出新的问题，请你来解答. ①“运河小组”提出问题：如图1，若点P，点D，点H在同一条直线上，AE=2，ED=4，求FG的长. ②“武林小组”提出问题：如图2，连结EP和BF，若∠PEF=∠EFB，AB=4，AD=6，求tan∠HBF的值. 18．综合与实践 主题 如何在矩形中折出黄金矩形 探究背景 宽与长比为的矩形叫“黄金矩形”，建于公元前年的古希腊帕特农神庙就是这种矩形．在学习完《比例线段》后，两个兴趣小组开启了数学探究之旅，探究如何在宽，足够长的矩形纸片中折出黄金矩形． 探究过程 小组一： 步骤1：如图1，将纸片折叠，使得与重合，折痕为． 步骤2：如图2，将纸片折叠，使得与重合，折痕为． 步骤3：如图3，先折出折痕，再将矩形沿着折叠，使得的对应边落在直线上． 步骤4：如图4，过点沿着折出矩形 （1）图3中______；______． （2）请写出图4中哪些图形为黄金矩形? 小组二：我们小组的折叠步骤1，步骤2和第一小组相同，接下来的过程不同． 步骤3：如图5，将纸片沿着折叠，使得点对应点落在上． 步骤4：如图6，将纸片沿着折叠，点对应点落在上，过点沿着折叠，折出矩形． （3）请写出图6中哪个矩形是黄金矩形? 评价 （4）你认为哪个小组方法较好?请选取一个小组的方法，证明研究过程得到的图形为黄金矩形． 答案解析部分 1．【答案】C 2．【答案】B 3．【答案】D 4．【答案】A 5．【答案】 6．【答案】 7．【答案】； 8．【答案】60°； 9．【答案】（1）45° （2） 10．【答案】（1）解：①如图：直线MN即为所求； ②如图，即为所求； ； （2）解：四边形BECD是菱形，理由如下： ∵MN垂直平分BC， ∴， ∵， ∴四边形BECD是平行四边形， 又∵， ∴四边形BECD是菱形． 11．【答案】（1）证明：， ∴∠E=∠GFE， 四边形ABCD是矩形， ， ， ∴BF=CE， ∴BF-BC=CE-BC， 即BE=CF； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠DCB=90°，BC=AD=4， ∵FH⊥BF， ∴∠HFB=∠DCB=90°， ∴CD∥FH， ∴△DCE∽△HFE， ∴， ∴. 设BE=CF=x，则CE=x+4，EF=2x+4， ， 解得x=1， ∴EF=6. 12．【答案】（1）证明：，． 四边形是平行四边形， 又四边形是菱形， ， ， 平行四边形是矩形． （2）解：四边形是菱形， ，，， ， ， ， 为等边三角形，则 ， ， 四边形是矩形， ， 四边形的周长是． 13．【答案】（1） （2） （3） 14．【答案】（1）解：∵四边形ABCD是正方形， ∴，AB∥CD， ∵， ∴． ∵AB∥CD， ， ， 即， ； （2）证明：四边形ABCD是正方形， ，， ， ， ， ． （3）解：设， 则，． 在中，， 即， 解得． ． 15．【答案】（1）解：不赞同，理由如下： 连结OB， 由题知，， 则， 该物品不能顺利通过直角过道， （2）解：如图，过点作PR的平行线，交过道两侧分别于点，由题可知， ， ， ， ， （3）解：当时，物品能通过直角过道． 当，则， 同理，， 此时，， 所以物品的最大长度为米． 16．【答案】（1）菱形、正方形 （2）解：①当，时，与最小，∴此时最小； ∵，对角线平分． ∴ ∴， ∴ 答：的最小值为4； ②如图1，过点D作交延长线于F，于P，交延长线于G， ① 又平分，平分 ， ② ①×2－②得 ∵，，， 又平分，平分 ∴， 平分 ∴ ③如图2 过作，， 又∵平分 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∴ 则，，，四点共圆 ∴， 当时，如图3 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴， ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ． 当时，如图4 ∵， ∴ ∴ ∵ ∴同理可求得，，， ． 综上，四边形的面积为或 17．【答案】（1）证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ∴点点发现的结论正确． （2）解：①在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，∴， ∴， 过点H作， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． ②连结， 在中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴． 18．【答案】解：（1）将纸片折叠，使得与重合，折痕为，∴， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∵将纸片折叠，使得与重合，折痕为， ∴点，为，的中点， ∴， ∴， ∵将矩形沿着折叠，使得的对应边落在直线， ∴， 故答案为：；； （2）∵， ∴， 由图折叠可知，四边形为矩形， ∵，， ∴， ∴四边形为黄金矩形， ∵，， ∴， ∴四边形为黄金矩形； （3）将纸片折叠，使得与重合，折痕为， ∴， ∴，，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， 由图折叠可知，，， ∵纸片沿着折叠，点对应点落在上，过点沿着折叠，折出矩形， ∴，四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴四边形为黄金矩形， （4）小组一好，四边形为黄金矩形；证明方法同（2）； 小组二好，四边形为黄金矩形；证明方法同(3)． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$