拓展7-1 复数高频题型专攻-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（人教A版2019必修第二册）

拓展7-1 复数高频题型专攻 一、复数的实虚部及分类 五、复数的模 二、复数的几何意义 六、复数相等及解方程 三、复数的四则运算 七、与复数模有关的最值 四、复数的高次方计算 一、复数的实虚部及分类 【例1】复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以复数的虚部为， 故选：C. 【例2】已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【详解】因为， 所以，解得. 故选：B. 【变式1-1】复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 【答案】B 【详解】复数为纯虚数，等价于，即或， 由选项知，只有是复数为纯虚数的充分不必要条件，其他选项均不符合. 故选：B 【变式1-2】已知复数z的虚部为1，且为实数，则 ． 【答案】 【详解】令，则 因为为实数， 所以，解得：， ， 当时，， 当时，， 所以 故答案为： 【变式1-3】复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为 . 【答案】 【详解】设，则，即得，故z的虚部为. 故答案为： 二、复数的几何意义 【例3】已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为复数， 所以， 所以复数在复平面内对应的点所在的象限为第四象限， 故选：D 【例4】若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（   ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】因为在复平面内对应的点位于轴上， 所以，此时满足题设. 故选：C. 【变式2-1】已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【详解】因为复数满足，所以， 所以在复平面内对应的点为，位于第一象限. 故选A. 【变式2-2】已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【答案】A 【详解】因为，所以点 因为点与点关于直线对称，所以. 所以 故选:A. 【变式2-3】（多选）设，则下列结论错误的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 【答案】ABD 【详解】对于C，，， 则z在复平面内对应的点一定在实轴上方，故C正确； 对于A，取，，则z在复平面内的点在第二象限，故A错误； 对于B，令，解得，此时，则z为纯虚数，故B错误； 对于D，因为，所以z的虚部不可能为0， 则z一定不是实数，故D错误； 故选：ABD. 三、复数的四则运算 【例5】已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为复数在复平面内对应的点的坐标为，所以.， 所以， 故选：. 【例6】复数在复平面上对应的点位于第四象限，则复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一或二象限或虚轴的正半轴上 B．第二或三象限或实轴的负半轴上 C．第三或四象限或虚轴的负半轴上 D．第一或四象限或实轴的正半轴上 【答案】D 【详解】设，. ∵复数在复平面上对应的点位于第四象限，∴，. 又，，， 故复数在复平面上对应的点位于第一或四象限或实轴的正半轴上. 故选：D. 【变式3-1】设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A. 【变式3-2】设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由，得， 所以. 故选：C 【变式3-3】已知，且，复数，则的值为（    ） A．i B． C． D． 【答案】C 【详解】由得， 又， ∴ 因为为第三象限角， 所以，， 所以， 则， 所以． 故选：C. 四、复数的高次方计算 【例7】（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】, 故选：B 【例8】复数的虚部为（    ） A． B． C． D．1012 【答案】B 【详解】 , 则所求虚部为. 故选：B． 【变式4-1】已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】 . 在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D. 【变式4-2】设，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】因为，所以， 其在复平面内所对应的点位于第四象限. 故选：D. 【变式4-3】已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为 ． 【答案】6 【详解】依题意，，，则， 因此，， 所以的值中不同虚数有：，共6个. 故答案为：6 五、复数的模 【例9】已知是纯虚数，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【详解】因为是纯虚数， 所以且不等于3，所以， 则. 故选：C. 【例10】若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】依题意，，解得. 故选：B 【变式5-1】已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【详解】由，则，可得或， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 【变式5-2】已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为所以复数对应的点表示的是以为半径的圆， 所以面积为. 故选：B. 【变式5-3】若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【详解】设（，），则 . 因为，，所以在复平面内对应的点位于第三象限. 故选：C 六、复数相等及解方程 【例11】已知为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】法一：设，则， 由复数相等，得，则， 即复数，所以，所以的虚部为． 法二：由，得，则有， 所以的虚部为． 故选：A． 【例12】若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 【答案】4 【详解】设关于的方程的两根虚根为，则且， 所以，又，所以， 当时，，所以关于的方程有两个不相等实数根，不符合题意； 当时，，所以关于的方程有两个虚根，符合题意； 所以. 故答案为： 【变式6-1】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由集合，，且， 得，因此，所以， 当时，，因，故，符合题意. 故选：C 【变式6-2】是虚数单位，复数满足，则 ． 【答案】 【详解】设，则共轭复数， 由，则，解得， 所以. 故答案为：. 【变式6-3】已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 ． 【答案】2 【详解】由题意，复数是关于的实系数方程的一个根，则其共轭复数是关于的实系数方程的另一个根， 所以，. 故答案为：2. 七、与复数模有关的最值 【例13】已知复数z满足，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】在复平面内，z与对应的点，关于x轴对称， 而满足条件的点的集合是以为圆心，2为半径的圆，该圆关于x轴对称， 因此，由复数的几何意义知表示点与点的距离， 又圆上的点到的距离最大值为5， 所以的最大值为5. 故选：B 【例14】若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则复数在复平面上的对应点为， 因为， 所以，故， 所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆， 所以点到原点的最大距离为， 所以的最大值为. 故选：B． 【变式7-1】已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，表示复平面内复数对应的点在以点为圆心，为半径的圆上， 表示上述圆上的点到原点的距离，所以. 故选：D 【变式7-2】如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【详解】设复数，，在复平面内对应的点分别为，，， 因为，， 所以复数z对应的点Z的集合线段，如图所示， 所以求的最小值的问题转化为：动点Z在线段上移动，求的最小值． 因此作于，则与的距离即为所求的最小值，， 故的最小值是1． 故选：A． 【变式7-3】已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【详解】设复数，则， 即，则点的轨迹为圆心在，半径为的圆， ，其表示点到点的距离， 其最大值为到圆心的距离加上半径，即， 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 拓展7-1 复数高频题型专攻 一、复数的实虚部及分类 五、复数的模 二、复数的几何意义 六、复数相等及解方程 三、复数的四则运算 七、与复数模有关的最值 四、复数的高次方计算 一、复数的实虚部及分类 【例1】复数的虚部为（   ） A． B． C． D． 【例2】已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数（    ） A． B． C．1 D．2 【变式1-1】复数为纯虚数的充分不必要条件是（    ） A．0 B． C．或 D．或 【变式1-2】已知复数z的虚部为1，且为实数，则 ． 【变式1-3】复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为 . 二、复数的几何意义 【例3】已知复数（i为虚数单位），则复数在复平面内对应的点所在的象限为（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【例4】若复数在复平面内对应的点位于轴上，则实数（   ） A． B． C． D．2 【变式2-1】已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式2-2】已知复数，在复平面内，复数，对应的点分别为，，且点与点关于直线对称，则（    ） A． B． C． D．5 【变式2-3】（多选）设，则下列结论错误的是（   ） A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 三、复数的四则运算 【例5】已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（   ） A． B． C． D． 【例6】复数在复平面上对应的点位于第四象限，则复数在复平面上对应的点位于（    ） A．第一或二象限或虚轴的正半轴上 B．第二或三象限或实轴的负半轴上 C．第三或四象限或虚轴的负半轴上 D．第一或四象限或实轴的正半轴上 【变式3-1】设复数满足（为虚数单位），则（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】设复数（为虚数单位），的共轭复数是，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，且，复数，则的值为（    ） A．i B． C． D． 四、复数的高次方计算 【例7】（    ） A． B． C． D． 【例8】复数的虚部为（    ） A． B． C． D．1012 【变式4-1】已知是虚数单位，则在复平面内对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-2】设，则z在复平面内所对应的点位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式4-3】已知（i为虚数单位，为正整数），当、取遍所有正整数时，的值中不同虚数的个数为 ． 五、复数的模 【例9】已知是纯虚数，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【例10】若，则实数（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】已知复数，其中，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式5-2】已知复数z在复平面内满足，则复数对应的点Z的集合所形成图形的面积为（   ） A． B． C． D． 【变式5-3】若复数在复平面内对应的点位于第二象限，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 六、复数相等及解方程 【例11】已知为虚数单位，复数，复数的共轭复数为，则的虚部为（    ） A． B．3 C． D． 【例12】若关于的方程的一个虚根的模为，则实数的值为 ． 【变式6-1】已知集合，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】是虚数单位，复数满足，则 ． 【变式6-3】已知复数是关于的实系数方程的一个根，则 ． 七、与复数模有关的最值 【例13】已知复数z满足，则的最大值为（    ） A．6 B．5 C．4 D．3 【例14】若是复数，，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】已知复数满足，则最大值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】如果复数z满足，那么的最小值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式7-3】已知i为虚数单位，若复数满足，则的最大值是 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$