精品解析：广东省汕头市潮南区司马公办学校2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

2024～2025学年度第二学期 九年级数学科阶段性练习题（一） 内容包括：第26章——第27章 班级：座号：姓名： 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组图形中不是位似图形的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的定义解答即可，注意排除法在解选择题中的应用． 【详解】根据位似图形的定义，可得A，B，C是位似图形，B与C的位似中心是交点，A的位似中心是圆心；D不是位似图形． 故选D． 【点睛】本题考查了位似图形定义．注意：①两个图形必须是相似形；②对应点的连线都经过同一点；③对应边平行． 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键，只要点的坐标满足即可得解． 【详解】反比例函数表达式为 ∴只要点的坐标满足即可． ∵ 故选A． 3. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象的性质，掌握反比例函数的性质成为解题的关键． 根据反比例函数的图象性质列出不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、第三象限， ∴，解得：. 故选D． 4. 如图，在菱形中，是的中点、，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线的性质，平行线分线段成比例定理，菱形的周长公式，熟练掌握相关知识是解题的关键，根据三角形中位线的性质，可得，再根据菱形的周长公式，即可求解． 【详解】解：∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，即是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的周长为：． 故选：A． 5. 如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是( ) A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴当时，或． 故选：A． 6. 已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理．利用平行线分线段成比例定理判断即可． 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了黄金分割的定义，理解并掌握黄金分割点的定义是解题关键．线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．根据，即可作答． 【详解】解：∵P为的黄金分割点， ∴． 故选：A． 8. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定定理，根据题意可先证明，再根据相似三角形的判定定理逐一判断即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加条件，结合条件，可以根据两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明，故A不符合题意； 添加条件，结合条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故B不符合题意； 添加条件，结合条件，不可以证明，故C符合题意； 添加条件，结合条件，可以根据有两组角对应相等的两个三角形相似证明，故D不符合题意； 故选：C． 9. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的性质，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：由图可得，，，， ∵， ∴， 即， ∴， 故选：． 10. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB、若轴，则的面积是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键．根据反比例函数值的几何意义解答即可． 【详解】解：如图，连接、， 轴， ． 故选：B． 二、填空题（本大题共5小题） 11. 反比例函数的图象位于第__________象限． 【答案】一、三 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练的掌握反比例函数的性质． 反比例函数的图象：时，位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；时图象位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．根据反比例函数的性质即可求解． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 故答案为：一、三． 12. 如图1是某班级的三角形花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理求得，再由求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 故答案为：． 13. 快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， ∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度， ∴， ∴反比例函数解析式， 当时，， 故答案为：． 14. 反比例函数图象上有两点，，若，则等于__． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，把，代入，结合，从而可得答案． 【详解】解：将点，代入反比例函数得出：，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，点、，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了图形的变化与坐标的关系，平移的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，过点C作轴于点E，利用平移的性质和矩形的判定定理得到四边形是矩形；利用相似三角形的判定与性质求得线段，的长，进而得到的长，即可得解，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【详解】过点C作轴于点E，如图， ∵点，， ∴，， ∵线段平移得到线段， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 已知，如图所示，在中，点在边上，点在边上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质定理． （1）利用三角形外角的性质及可得出，结合即可证出； （2）利用相似三角形的性质求出的长即可． 【小问1详解】 证明：∵ 又， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 17. 直线：交坐标轴于A、B两点，若P是线段的三等分点，且双曲点过点，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，平行线分线段成比例，求反比例函数解析式，熟练掌握一次函数图象与待定系数法求反比例函数解析式方法是解题的关键． 先求出点A、B的坐标，从而求出点P坐标，再把点P坐标代入求解即可． 【详解】解：∵直线：交坐标轴于A、B两点， 令，则， 令，则， ∴，， ∵是线段的三等分点， ∴或， ∵双曲线过点， ∴或， 即．． 18. 一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数过点A． （1）求a与k的值； （2）求的面积； （3）当时，请直接写出自变量的取值范围______． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数图象交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形面积，熟练掌握利用图象法求不等式解集是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求得答案； （2）根据三角形面积公式求解即可； （3）利用图象法，根据函数的图象即可求解． 小问1详解】 解：∵点在直线上， ∴， ∴， 又∵反比例函数过点A， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：∵一次函数与x轴交于C点， ∴令，则， 解得：， ∴， 由（1）知， ∴． 【小问3详解】 解：由（1）知， ∴由图象可得：当时，． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为2:1； （2）在（1）的条件下， ①写出，，的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 【答案】（1） （2）①点，，；②点 【解析】 20. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间的反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要 ； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 【答案】（1）3.2 （2） （3）一个加热周期内水温不低于的时间为 【解析】 【分析】（1）依题得开机加热时每分钟上升，则水温从加热到所需时间用温度差每分钟加热的温度即即可求解； （2）结合（1）中可得点在反比例函数的图像上，代入即可求得k值，从而得到反比例函数解析式； （3）分类讨论，降温过程中水温不低于的时间加热过程中水温低于的时间即为加热一次水温不低于的时间，其中降温过程中水温不低于的时间利用中的函数解析式即可求得． 【小问1详解】 解： 开机加热时每分钟上升， 水温从加热到，所需时间为， 故答案为：3.2； 【小问2详解】 解：设水温下降过程中，与的函数关系式为， 由题意得，点在反比例函数的图像上， ， 解得：， 水温下降过程中，与的函数关系式是； 【小问3详解】 解：在加热过程中，水温为时，， 解得：， 在降温过程中，水温为时，， 解得：， ， 一个加热周期内水温不低于的时间为． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数的图像与性质、求反比例函数的解析式、利用函数解决实际问题，解题关键是掌握反比例函数解析式的求法及利用函数解决实际问题． 21. 在物理课中我们学过《光的反射定律》，小天想利用光的反射定律测量麓湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端时，测得小天到平面镜的距离为1.5米，小天的眼睛到地面的距离也为1.5米；将平面镜从点沿的延长线向后移动8米到点处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端，这时测得小天到平面镜的距离是2.5米，求美术馆的高度． 【答案】美术馆的高度为米 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，正确应用相似三角形的判定和性质是解题的关键． 设米，米，可证，得出，得到，根据相似三角形的判定得到，得出，计算即可得到答案． 【详解】解：设米，米， 由题得，， ， ， 米，米， ， ， ，， ， ， 米，米，米， ， ； 美术馆的高度为米 ． 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 如图，直线与反比例函数图象的交点分别为P，Q，且点P的坐标为，过点P作轴，垂足为B．直线与x轴交于点A，与y轴交于点C． （1）求k的值； （2）若点D是反比例函数图象上的一点，且在点P的右侧，连接，若，求点D的坐标； （3）若M为y轴上一个动点，N为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出M的坐标． 【答案】（1） （2） （3）或或或 【解析】 【分析】（1）将点代入，求得，将点坐标代入求得； （2）过点D作轴，先求得，再根据的几何意义求得，再求得，设，则得，再求解即可得答案； （3）分为矩形的边和对角线，分别画出图形，构造直角三角形，通过勾股定理来解决问题． 【小问1详解】 解：直线过点， ， ， ， 过点， ； 【小问2详解】 解：过点D作轴， 在一次函数中令，得， ， ，轴， ， 点P、D在函数的图象上，轴，轴， ， ， ， 设， 则， 解得：或， 点D在点P的右侧， ， ； 【小问3详解】 解：将与联立方程组得： ，解得：或， ， 设， ，，， 当以M，N，P，Q为顶点的四边形为矩形时， 如图，当是矩形的边时， 若时，则， ， 解得：， ； 若时，则， ， 解得：， ； 如图，当是矩形的对角线时， 则时，则， ， 解得：， ，， 综上：或或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数关系式，矩形的性质，反比例函数的几何意义，勾股定理等知识，解决问题的关键是正确分类，画出图形，并通过勾股定理建立方程解决问题． 23. 综合实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 一张三角形纸片，其中，． （1）操作一：折叠三角形纸片，使点A落在边上，展开后折痕为，使与相似．如图1，小明通过折叠，使点A与点B重合，很快得到两个相似的三角形．你还有其他的折法吗？如果有，请你在图2中直接画出折痕，并证明与相似；如果没有，请说明理由． 【迁移探索】 （2）操作二：如图3，小君将纸片折叠，使点A落在边上（不与点C重合），折痕为，连接，相交于点M，求证：； 【延伸应用】 （3）如图4，延长操作二中的折痕，交延长线于点F，点G在上，且，连接、，求证：． 【答案】（1）图见解析，证明见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质，三角形折叠的性质知识点，解题的关键是根据三角形折叠的特点找到相等的角，再利用相似三角形的判定定理证明三角形相似，进而通过相似三角形对应边成比例，对应角相等的性质来解决问题。 （1）对于操作一，根据折叠性质得到垂直关系，从而得出相等的角，利用两角对应相等证明三角形相似。 （2）操作二中，先由与操作一类似的方法证明一组相似三角形，得出对应边成比例，再通过角的关系证明另外两组相似三角形，进而得到要证明的比例式。 （3）延伸应用中，通过已知的角相等关系，逐步证明多组相似三角形，利用相似三角形的性质得到角之间的关系，最终证明垂直。 【详解】解：（1）如图，即为折痕． 证明：由折叠得：． ∴． ∵， ∴． （2）同（1）理可证：， 则， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． （3）∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024～2025学年度第二学期 九年级数学科阶段性练习题（一） 内容包括：第26章——第27章 班级：座号：姓名： 一、选择题（本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列各组图形中不是位似图形的是（） A. B. C. D. 2. 下列各点中，在反比例函数的图象上的是（ ） A. B. C. D. 3. 若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是（ ） A B. C. D. 4. 如图，在菱形中，是的中点、，交于点，如果，那么菱形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，反比例函数的图象经过点，当时，的取值范围是( ) A. 或 B. C. D. 6. 已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（ ） A. B. C. D. 7. 大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分割点，如果的长度为，则的长度是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知，那么添加下列的一个条件后，仍无法判定的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，若，则的面积是（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于A，B两点，连接AB、若轴，则的面积是（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题共5小题） 11. 反比例函数的图象位于第__________象限． 12. 如图1是某班级的三角形花架，图2是其侧面示意图，已知，，，则的长为_____． 13. 快递运载机器人是一种应用于配送领域的智能机器人，它的最快移动速度是载重后总质量的反比例函数．已知一款快递运载机器人载重后总质量时，它的最快移动速度；当其载重后总质量时，它的最快移动速度______． 14. 反比例函数图象上有两点，，若，则等于__． 15. 如图，点、，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是_________． 三、解答题（一）（本大题共3小题） 16. 已知，如图所示，在中，点在边上，点在边上，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 17. 直线：交坐标轴于A、B两点，若P是线段的三等分点，且双曲点过点，求的值． 18. 一次函数与x轴交于C点，与y轴交于B点，点在直线上，反比例函数过点A． （1）求a与k的值； （2）求的面积； （3）当时，请直接写出自变量的取值范围______． 四、解答题（二）（本大题共3小题） 19. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标为，，． （1）以原点为位似中心，在轴上方作，使与位似，且相似比为2:1； （2）在（1）的条件下， ①写出，，的坐标； ②写出边上任意一点的对应点的坐标． 20. 如图1是某新款茶吧机，开始加热时，水温每分钟上升，加热到时，停止加热，水温开始下降，此时水温是通电时间反比例函数．若在水温为时开始加热，水温与通电时间之间的函数关系如图2所示． （1）将水从加热到需要 ； （2）在水温下降的过程中，求水温关于通电时间的函数表达式； （3）加热一次，水温不低于的时间有多长？ 21. 在物理课中我们学过《光反射定律》，小天想利用光的反射定律测量麓湖对面美术馆的高度．首先，小天在地面上的点处放置了一块平面镜，随后，站在的延长线上，当小天从平面镜中刚好看到美术馆顶端时，测得小天到平面镜的距离为1.5米，小天的眼睛到地面的距离也为1.5米；将平面镜从点沿的延长线向后移动8米到点处，小天继续向后移动，眼睛又恰好看到美术馆顶端，这时测得小天到平面镜的距离是2.5米，求美术馆的高度． 五、解答题（三）（本大题共2小题） 22. 如图，直线与反比例函数图象的交点分别为P，Q，且点P的坐标为，过点P作轴，垂足为B．直线与x轴交于点A，与y轴交于点C． （1）求k的值； （2）若点D是反比例函数图象上的一点，且在点P的右侧，连接，若，求点D的坐标； （3）若M为y轴上一个动点，N为平面内一点，当以M，N，P，Q为顶点的四边形为矩形时，请直接写出M的坐标． 23. 综合实践课上，老师让同学们以“三角形的折叠”为主题开展数学活动． 【初步思考】 一张三角形纸片，其中，． （1）操作一：折叠三角形纸片，使点A落在边上，展开后折痕为，使与相似．如图1，小明通过折叠，使点A与点B重合，很快得到两个相似的三角形．你还有其他的折法吗？如果有，请你在图2中直接画出折痕，并证明与相似；如果没有，请说明理由． 【迁移探索】 （2）操作二：如图3，小君将纸片折叠，使点A落在边上（不与点C重合），折痕为，连接，相交于点M，求证：； 延伸应用】 （3）如图4，延长操作二中的折痕，交延长线于点F，点G在上，且，连接、，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$