精品解析：湖北省大冶市第四实验学校等部分学校2024-2025学年九年级下学期中考全真模拟一数学卷

名师专版·2025年中考全真模拟试题（一）数学试卷 （满分120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 2. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 下列事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 打草惊蛇 D. 水到渠成 7. 明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（　　） A B. C D. 8. 如图，在中，以为直径的经过点．以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线分别交弦、劣弧于点，连接．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点为弦的中点 D. 点为劣弧的中点 9. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若、两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为、轴的平面直角坐标系内，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是__________．（写出一个即可） 12. 为弘扬我国传统文化，现校准备从春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是______． 13 化简：___________． 14. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当为20时，对应的高度为___________． … 1 2 3 … … 2 2.3 2.6 … 15. 已知：如图，正方形的边长为点是正方形的边上的一点，与对角线相交于点，若，则的度数是___________；的长为________． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 计算：； 17. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 18. 某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得． （1）如图1，请计算人工湖两端点之间的距离；（结果保留根号） （2）如果最后一名同学所站的点处恰好到点和点距离相等，如图2，请计算两点间的距离． 19. 某校举行国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如表． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 甲组学生的成绩：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10；乙组学生的成绩条形统计图． 根据以上信息．整理分析数据如表． （1）求的值； （2）填空：___________，___________． （3）若从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的表达式和m值 （2）请根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最大值为______． 21. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 22. 某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为9m，当球出手后水平距离为5m时到达最大高度4.6m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； （2）问甲投出的这个球能否准确命中； （3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 23. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图1，若为边上一点，为延长线上一点，且，求证：； （2）在（1）的条件下，连接，延长交于点恰好是的中点．如果，求的长； （3）如图2，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，请探究的值，并证明． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接 ，当时，求t的值； （3）设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S， ①求S关于t的函数解析式； ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 名师专版·2025年中考全真模拟试题（一）数学试卷 （满分120分 考试时间：120分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列各数中，最小的数是（　　） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查比较有理数的大小，去绝对值，化简多重符号，根据正数大于0，0大于负数，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴， ∴最小的数为：． 故选D． 2. 如图是一个三棱柱，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的主视图．从正面看到的是主视图，看到的轮廓线用实线，看不到的轮廓线用虚线．根据主视图的定义进行判断即可． 【详解】解：由题意知，主视图如下， 故选：C． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，根据合并同类项，同底数幂的乘除法，积的乘方法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、不能合并，原运算错误，不符合题意； B、，原运算正确，符合题意； C、，原运算错误，不符合题意； D、，原运算错误，不符合题意； 故选：B． 4. 光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此当光线从水中射向空气时，要发生折射，由于折射率相同，所以在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如图，，的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握“两直线平行，同位角相等”是解题关键． 根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：光线在水中平行， ． 故选：B． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴， 在数轴上表示为： 故选：D． 6. 下列事件属于不可能事件的是（ ） A. 守株待兔 B. 水中捞月 C. 打草惊蛇 D. 水到渠成 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件概念，根据“必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件”，进行逐项判断即可． 【详解】解：A、守株待兔，是随机事件，故不符合题意； B．水中捞月，是不可能事件，故符合题意； C．打草惊蛇，是必然事件，故不符合题意； D．水到渠成，是必然事件，故不符合题意； 故选：B． 7. 明代时，1斤=16两，故有“半斤八两”之说．明代数学家程大位的《算法统宗》中有一道题的大意为：客人分银子，如果每人分七两，则多四两；如果每人分九两，则还差半斤．问所分银子共有几两？设所分银子共有两，则可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是列出未知数，找出等量关系． 根据两种分配方案的人数相等这一等量关系，列出方程即可． 【详解】解：根据题意，半斤8两， 根据两种分配方案的人数相等可列如下方程： ． 故选：C． 8. 如图，在中，以为直径的经过点．以点为圆心，适当长为半径画弧分别交于点，再分别以点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点，画射线分别交弦、劣弧于点，连接．下列结论正确的是（ ） A. B. C. 点为弦的中点 D. 点为劣弧的中点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的作图及意义，直径所对的圆周角是直角，相等的圆周角所对的弧相等，根据，得出，即可作答． 【详解】∵以为直径的经过点， ∴， 由作图可知， ∴，即点为劣弧的中点， 故D选项正确，其他选项无法证明， 故选：D． 9. 某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示．若、两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为、轴的平面直角坐标系内，若点的坐标为，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形—轴对称变换，根据关于对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标不变即可得解． 【详解】解：∵、两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为、轴的平面直角坐标系内，点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：C． 10. 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与轴的一个交点在和之间，则下列结论：①；②；③；④一元二次方程没有实数根．其中正确的结论个数是（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象和系数的关系以及二次函数图象的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 利用函数图象的性质来确定系数的取值和关系，根据函数的图象以及顶点坐标判断一元二次方程根的情况． 【详解】解：①根据图象开口向下可知，与轴交点坐标位于轴正半轴可知， ， 故①正确； ②根据顶点坐标可知，抛物线的对称轴是直线，且与轴的一个交点在和之间， 则另一交点在和之间， 当时，代入得：，观察图象可知，即， 故②正确； ③根据顶点坐标公式可得，，整理得， 故③正确； ④一元二次方程，可看作抛物线与直线相交情况，经过观察图象可知抛物线和这条直线无交点， ∴一元二次方程没有实根， 故④正确． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 要使二次根式在实数范围内有意义，则符合条件的正整数的值可以是__________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握该知识点是关键．根据二次根式的被开方数是非负数求出的取值范围，写出一个符合题意的即可． 【详解】解：有意义， 解得， 即的值可以是5（答案为不唯一）． 故答案为：（答案为不唯一）． 12. 为弘扬我国传统文化，现校准备从春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节刚好被选中的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了画树状图法求概率，根据画树状图法求概率即可，熟练掌握列表法与树状图法是解题的关键． 【详解】解：设春节、元宵节、清明节、端午节四个节日中分别用，，，表示， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，恰好是和的结果数为种， ∴春节和端午节刚好被选中的概率为， 故答案为：． 13. 化简：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简即可． 【详解】解： ； 故答案为：． 14. 漏刻是我国古代的一种计时工具，据史书记载，西周时期就出现了漏刻，这是中国古代人民对函数思想的创造性应用．张欢同学依据漏刻的原理制作了一个简单的漏刻计时工具模型，研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数，表中是张欢记录的部分数据，当为20时，对应的高度为___________． … 1 2 3 … … 2 2.3 2.6 … 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，根据表格信息，掌握待定系数法求解析式是关键． 一次函数解析式为，运用待定系数法求出解析式为，把代入计算即可求解． 【详解】解：研究中发现水位（单位：）是时间（单位：）的一次函数， ∴设一次函数解析式为， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∴当时，， ∴当为时，对应的高度为， 故答案为： ． 15. 已知：如图，正方形的边长为点是正方形的边上的一点，与对角线相交于点，若，则的度数是___________；的长为________． 【答案】 ①. ##30度 ②. 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形外角的性质，先证，得出，然后根据等边对等角得出，再根据三角形外角的性质及直角三角形两个锐角互余求出，在中求出，进而求出，最后根据即可． 【详解】解：在正方形中，， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 三、解答题（共9小题，共75分） 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据零指数幂、负整数指数幂和绝对值的意义计算，再根据二次根式的加减法则运算，即可求解． 【详解】解： 17. 如图，在中，点分别在上，且相交于点，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，连接，证明四边形为平行四边形即可得证． 【详解】证明：连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵相交于点， ∴． 18. 某学校数学兴趣小组准备利用所学知识测量该市一公园人工湖的长度，如图所示，两名同学分别站在相距70米的水平线上点和点处，另有两名同学分别站在湖的两端点和点处，均垂直于，且测得． （1）如图1，请计算人工湖两端点之间的距离；（结果保留根号） （2）如果最后一名同学所站的点处恰好到点和点距离相等，如图2，请计算两点间的距离． 【答案】（1）人工湖两端点之间的距离为 （2）两点间的距离为． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理： （1）连接，过点作，在中，利用勾股定理进行求解即可； （2）设，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：连接，过点作，则由题意，可知：， ∴， 在中，由勾股定理，得：； 答：人工湖两端点之间的距离为； 【小问2详解】 设，则：， 在中，， 在中，， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴； ∴ 答：两点间距离为． 19. 某校举行国学知识竞赛，设定满分10分，学生得分均为整数，在初赛中，甲、乙两组（每组10人）学生成绩（单位：分）如表． 组别 平均数 中位数 众数 方差 甲组 7 6 2.6 乙组 7 2 甲组学生的成绩：5，6，6，6，6，6，7，9，9，10；乙组学生的成绩条形统计图． 根据以上信息．整理分析数据如表． （1）求的值； （2）填空：___________，___________． （3）若从甲、乙两组学生中选择一个组参加决赛，应选哪个组？并说明理由． 【答案】（1）7 （2）6，7 （3）选乙组，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数，利用方差作决策： （1）利用平均数的计算公式计算即可； （2）利用中位数和众数确定方法求解即可； （3）利用方差作决策即可． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 甲组数据中间两位为：， ∴， 乙组：出现次数最多的数据为7， ∴； 【小问3详解】 选乙组，理由如下： 甲，乙两组的平均数相同，乙组的中位数和众数都比甲组大，且方差比甲组小，故选乙组． 20. 如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和． （1）求一次函数的表达式和m值 （2）请根据图象，直接写出不等式的解集； （3）点P是线段上一点，过点P作轴于点D，连接，若的面积为S，则S的最大值为______． 【答案】（1）； （2）或 （3）2 【解析】 【分析】本题考查一次函数、反比例函数与二次函数的综合应用，涉及待定系数法、不等式解集、三角形面积等知识． （1）将代入得b，即得一次函数的解析式，将代入一次函数解析式得m； （2）求出，由图可得，根据直线在双曲线下方的部分的自变量的范围即的解集，即可求解； （3）由点P是线段上一点，可设，且，可得，即得当时，S有最大值，且最大值是2． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， ∴一次函数解析式是， ∵在一次函数的图象上， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得点， 一次函数与反比例函数的交点分别为点和， 由图可得，的解集为：或； 【小问3详解】 解：∵点P是线段上一点， ∴设，， ∴， ∵，且， ∴当时，S有最大值，且最大值是2． 故答案为：2． 21. 如图，是的直径，C是的中点，过点C作的垂线，垂足为点E． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，证明，可得，再进一步可得结论； （2）连接、，证明四边形是矩形，可得，再证明，可得，可得，利用可得答案． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接、，交于点， ∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、切线的判定及扇形的面积公式，矩形的判定和性质等知识点，熟练地掌握切线的判定方法是解决本题的关键． 22. 某校积极开展阳光体育活动，在一场九年级的篮球比赛中，队员甲正在投篮（如图），已知球出手时离地面高，与篮圈中心的水平距离为9m，当球出手后水平距离为5m时到达最大高度4.6m，设篮球运行的轨迹为抛物线，篮圈距地面3m． （1）建立如图的平面直角坐标系，求篮球运行的抛物线解析式； （2）问甲投出的这个球能否准确命中； （3）此时，若对方队员乙在甲前面1m处跳起盖帽拦截，已知乙的最大摸高为，那么他能否获得成功？ 【答案】（1） （2）一定能投中 （3）不能获得成功 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求求解析式，根据自变量的值求函数值的计算是解题的关键． （1）根据题意设二次函数解析式为，运用待定系数法即可求解； （2）将代入抛物线解析式，确定篮圈中心点在抛物线上即可； （3）将代入，得，则乙的最大摸高没有超过此时球的运行高度，由此即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，球出手点的坐标，最高点即顶点坐标是， ∴设二次函数解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴； 【小问2详解】 解：一定能投中；理由如下： 将代入抛物线解析式， ∵篮圈中心的坐标是， ∴一定能投中； 【小问3详解】 解：盖帽不能获得成功；理由如下： 将代入，得， ∵， ∴乙最大摸高没有超过此时球的运行高度， ∴盖帽不能获得成功． 23. 点是正方形所在平面内一点． （1）如图1，若为边上一点，为延长线上一点，且，求证：； （2）在（1）的条件下，连接，延长交于点恰好是的中点．如果，求的长； （3）如图2，若点在边下方，当时，过点作的垂线交的延长线于点，请探究的值，并证明． 【答案】（1）见详解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，余角的性质，线段的垂直平分线的判定等知识，解题的关键是熟练掌握各性质定理． （1）利用三角形全等即可解答此题； （2）利用线段垂直平分线的判定定理和勾股定理即可解答此题； （3）利用等角的余角相等，找出两三角形全等的条件，根据全等三角形，得出对应边相等，根据等腰直角三角形的三边之比即可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵四边形是正方形， ,， 在与中 （）， ． 【小问2详解】 解：如下图所示， 由（1）可得， ， 又， ， ， 又∵是的中点， ∴垂直平分， ， 在中，根据勾股定理得： ， ， ， ， ∴的长为． 【小问3详解】 解: 的值为，探究如下： 由题可知，， ， ， ， ， 在与中， ， （）， ， 是等腰直角三角形， ， ∴的值为． 24. 如图，已知二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点，连接．点P为x轴上方抛物线上一动点（点P不与点C重合），设点P的横坐标为t． （1）求该二次函数的解析式； （2）连接 ，当时，求t的值； （3）设以A，O，C，P为顶点的四边形的面积为S， ①求S关于t的函数解析式； ②根据S的不同取值，试探索点P的个数情况． 【答案】（1） （2） （3）①S关于t的函数解析式为②当时，存在3个符合条件的点P；当时，存在2个符合条件的点P；当时，存在1个符合条件的点P． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）利用已知条件得到，则点P与点C的纵坐标相同，令，求得x值，则点P的横坐标可求； （3）①利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：当点P在的上方时，即，，过点P作于点D，利用解答即可；当点P在的下方时，即，， 过点P作于点E，利用解答即可； ②利用函数的性质求得S的取值范围，画出函数的图象，依据图象解答即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴交于点和点B，与y轴交于点， ∴， ∴， ∴该二次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．如图， ∴点P的纵坐标为4， ∴， ∴或， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①令，则， ∴或， ∴， ∴． 当点P在的上方时， 即，， 过点P作于点D，如图， 则，， ∴， ∴ ． 当点P在的下方时， 即，， 过点P作于点E，如图， 则， ∴ ． 综上，S关于t的函数解析式为； ②当时， ， ∵， ∴当时，S有最大值为16， ∴． 当时，， ∴． 画出函数的大致图象，如图： 由图象可知： 当时，存在3个符合条件的点P； 当时，存在2个符合条件的点P； 当时，存在1个符合条件的点P． 【点睛】本题主要考查了二次函数综合．熟练掌握待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与三角形面积综合，一次函数与三角形面积综合，分类讨论，是解题和关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$