第8章 认识概率 讲义 2024-2025学年苏科版八年级数学下册

专题2 认识概率 一、确定事件与随机事件 1. 确定事件： ① 不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． ② 必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件． 必然事件和不可能事件都是确定事件． 2. 随机事件： 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件． 特别说明：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”； 2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 二、频率与概率 1. 概率： ① 定义：一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率． ② 表示：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率 规定： 必然事件A发生的概率是1 ，记作P(A)=1； 不可能事件A发生的概率是0，记作P(A)=0； 随机事件A发生的概率P(A)是0和1之间的一个数． 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 三、古典概型 满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1）一次试验中，可能出现的结果是有限的； （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的. 古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率. 特别说明：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等， 事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=. 【典型例题】 一、确定事件与随机事件 【例1】“三次抛掷一枚硬币，三次反面朝上”这一事件是　 　事件（填“必然”、“不可能”、“随机” ． 【例2】下列事件中，是不可能事件的是　　 A．通常加热到时，水沸腾 B．购买一张彩票中奖 C．任意画一个三角形，内角和为 D．经过十字路口遇到红灯 【例3】奥运会射击比赛冠军在以后的某次比赛中，“有一枪脱靶”，这一事件是　 　（填不可能事件、必然事件或随机事件） 【例4】两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是　　 A．两个小球的标号之和等于3 B．两个小球的标号之和等于6 C．两个小球的标号之和大于0 D．两个小球的标号之和等于1 二、可能性的大小 【例1】在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是　　． 【例2】掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是　　 A．点数小于4 B．点数大于4 C．点数大于5 D．点数小于5 【例3】下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是　　 A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，点数朝上的可能性 D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性 【例4】任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为　 　．①面朝上的点数小于2； ②面朝上的点数大于2； ③面朝上的点数是奇数． 【例5】如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最终停留在黑色区域的概率是（    ）． A． B． C． D． 三、概率的意义 【例1】下列说法正确的是　　 A．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取抽样方式 B．“守株待兔”是必然事件 C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1 D．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是，小明买了10张彩票，一定有7张中奖 【例2】一个不透明的袋中装有6个黄球，个红球，个白球，每个球除颜色外都相同．把袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出黄球记为事件，摸出的球不是黄球记为事件，若（A）（B），则与的数量关系是　 　． 【例3】下列说法中错误的是　　 A．不可能事件发生的概率为0 B．概率很小的事不可能发生 C．必然事件发生的概率是1 D．随机事件发生的概率大于0、小于1 【例4】事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是　 ． 四、利用频率估计概率 【例1】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 50 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 41 78 158 320 800 “射中9环以上”的频率 0.75 0.82 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是　　 A．0.75 B．0.82 C．0.78 D．0.80 【例2】一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同，每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的概率的为　 　． 【例3】在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共36个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是　　 A．5 B．9 C．15 D．24 【例4】在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近　 　； （2）试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ （3）从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球，这两只球颜色不同的概率是多少？ 【例5】如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 … m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）． (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）． (3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留） 【例6】在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 【巩固练习】 1.下列事件是不可能事件的是（    ） A．太阳从东边升起 B．篮球明星林书豪投10次篮，次次命中 C．打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片 D．一个三角形的内角和为181度． 2.下列事件： ①在干燥的环境中，种子发芽； ②在足球赛中，弱队战胜强队； ③抛掷 10 枚硬币，5 枚正面朝上； ④彩票的中奖概率是，买 100 张有 5 张会中奖． 其中随机事件有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3.一个均匀的正方体木块，每个面上都是分别标有1、3、5、7、9、11，任意掷出正方体木块，朝上的数字为偶数的可能性是（　　） A．很可能 B．不可能 C．不太可能 D．可能 4.小明和小亮乘一小竹筏过河．小明体重约58千克，小亮体重约58.1千克，小竹筏能承载的最大重量约为57.9千克．下列说法：①小明一定能过河；②小亮一定不能过河；③小明有可能过河；④两人都有可能过河．正确的说法有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5.有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（　　） A．不可能 B．不太可能 C．非常有可能 D．一定可以 6.（1）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不确定事件？（填入题后括号内） ①校运会上，我班一位女同学的100米跑成绩是12秒11．( )事件 ②人在地球上所受的重力比在月球上小．( )事件 ③一个四边形四个内角的和等于360°．( )事件 （2）写出一个不确定事件．（只需写一个，填在下面的横线上）________ 7.依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上． ①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品； ②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻； ③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等； ④小明打开电视，正在播放广告； 必然事件 __；不可能事件 __；随机事件 __． 8.如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是__________． 9.转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字_______的区域的可能性最大． 10.如图，一张正方形纸片被分成了A、B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域______（填“A”、“B”或“C”）的可能性最小． 11.在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球 (1)摸到哪种颜色球的可能性大？ (2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同． 12.英文字母中，元音字母包含：a，e，i，o，u．现用 25 张包含英文字母的卡片拼出英语短句“Work hard，and you will succeed”．比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列： （）从 25 张卡片中任意抽一张，上面的字母属于元音字母； （）从 25 张卡片中任意抽一张，上面的字母不属于元音字母； （）从 25 张卡片中任意抽一张，上面的字母是“l”． 13.A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案： A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车． 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ (2)你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？ 14.有一个转盘如图所示，被分成6个大小相同的扇形，颜色分别为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．有下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色． (1)在上述事件中，可能性最大的是________，可能性最小的事件是________（填序号）； (2)将上述事件按发生的可能性从小到大的顺序排列________（填序号）． 15.如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最终停留在黑色区域的概率是（    ）． A． B． C． D． 16.下表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为（    ） 抛掷次数 100 300 500 800 1000 钉尖不着地的频数 64 180 310 488 310 钉尖不着地的频率 0.64 0.60 0.62 0.61 0.61 A．0.59 B．0.61 C．0.63 D．0.64 17.从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“A” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“黑桃” D．这张牌的点数是10 18.如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（　　） A．20 B．30 C．40 D．60 19.在大力发展现代化农业的形势下，现有、两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 300 500 1000 3000 出芽率 0.99 0.94 0.96 0.98 0.97 出芽率 0.99 0.95 0.94 0.97 0.96 下面有三个推断： ①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以、两种新玉米种子出芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97； ③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会高于种子．其中合理的是（   ）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 20.我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______． 21.“扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有两项，“半程马拉松”和“迷你马拉松”．乐乐参加了志愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查： 调查人数 20 50 100 200 500 1000 参加人数 15 39 81 171 426 851 频率 0.750 0.780 0.810 0.855 0.852 0.851 请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为______．（精确到0.01） 22.“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960 如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为________．（精确到0.01） 23.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为________． 24.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小铭同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色阴影部分的总面积，向正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入阴影部分的频率稳定在0.65左右，据此估计阴影部分的总面积约为___cm2 25.在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 26.在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 27.某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 a 0.100 b (1)填空：a≈　　，b≈　　； (2)柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）； (3)柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 28. 在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中摇匀，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近________精确到，估计盒子里白球有________个，假如摸一次，摸到白球的概率为________； （2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 29.在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的______；______； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； （3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2 认识概率 一、确定事件与随机事件 1. 确定事件： ① 不可能事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． ② 必然事件：在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件． 必然事件和不可能事件都是确定事件． 2. 随机事件： 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件． 特别说明：1.必然发生的事件和不可能发生的事件均为“确定事件”，随机事件又称为“不确定事件”； 2.要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型.一般地，必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小有可能不同. 二、频率与概率 1. 概率： ① 定义：一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件发生的概率． ② 表示：如果用字母A表示一个事件，那么P(A)表示事件A发生的概率 规定： 必然事件A发生的概率是1 ，记作P(A)=1； 不可能事件A发生的概率是0，记作P(A)=0； 随机事件A发生的概率P(A)是0和1之间的一个数． 所以有：P(不可能事件)＜P(随机事件)＜P(必然事件). 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 三、古典概型 满足下列两个特点的概率问题称为古典概型. （1）一次试验中，可能出现的结果是有限的； （2）一次试验中，各种结果发生的可能性相等的. 古典概型可以从事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比例分析事件的概率. 特别说明：如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性相等， 事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）=. 【典型例题】 一、确定事件与随机事件 【例1】“三次抛掷一枚硬币，三次反面朝上”这一事件是　 　事件（填“必然”、“不可能”、“随机” ． 【例2】下列事件中，是不可能事件的是　　 A．通常加热到时，水沸腾 B．购买一张彩票中奖 C．任意画一个三角形，内角和为 D．经过十字路口遇到红灯 【例3】奥运会射击比赛冠军在以后的某次比赛中，“有一枪脱靶”，这一事件是　 　（填不可能事件、必然事件或随机事件） 【例4】两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是　　 A．两个小球的标号之和等于3 B．两个小球的标号之和等于6 C．两个小球的标号之和大于0 D．两个小球的标号之和等于1 二、可能性的大小 【例1】在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是　　． 【例2】掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是　　 A．点数小于4 B．点数大于4 C．点数大于5 D．点数小于5 【例3】下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是　　 A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，点数朝上的可能性 D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性 【例4】任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为　 　．①面朝上的点数小于2； ②面朝上的点数大于2； ③面朝上的点数是奇数． 【例5】如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最终停留在黑色区域的概率是（    ）． A． B． C． D． 三、概率的意义 【例1】下列说法正确的是　　 A．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取抽样方式 B．“守株待兔”是必然事件 C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1 D．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是，小明买了10张彩票，一定有7张中奖 【例2】一个不透明的袋中装有6个黄球，个红球，个白球，每个球除颜色外都相同．把袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出黄球记为事件，摸出的球不是黄球记为事件，若（A）（B），则与的数量关系是　 　． 【例3】下列说法中错误的是　　 A．不可能事件发生的概率为0 B．概率很小的事不可能发生 C．必然事件发生的概率是1 D．随机事件发生的概率大于0、小于1 【例4】事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是　 ． 四、利用频率估计概率 【例1】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 50 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 41 78 158 320 800 “射中9环以上”的频率 0.75 0.82 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是　　 A．0.75 B．0.82 C．0.78 D．0.80 【例2】一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同，每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的概率的为　 　． 【例3】在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共36个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是　　 A．5 B．9 C．15 D．24 【例4】在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近　 　； （2）试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ （3）从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球，这两只球颜色不同的概率是多少？ 【例5】如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 … m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）． (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）． (3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留） 【例6】在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 参考答案： 一、确定事件与随机事件 【例1】“三次抛掷一枚硬币，三次反面朝上”这一事件是　 　事件（填“必然”、“不可能”、“随机” ． 【答案】随机 【解析】解：“三次投掷一枚硬币，三次反面朝上”这一事件是随机事件，故答案为：随机． 【例2】下列事件中，是不可能事件的是　　 A．通常加热到时，水沸腾 B．购买一张彩票中奖 C．任意画一个三角形，内角和为 D．经过十字路口遇到红灯 【答案】C 【解析】解：、通常加热到时，水沸腾，是必然事件，不符合题意； 、购买一张彩票中奖，是随机事件，不符合题意； 、任意画一个三角形，内角和为是不可能事件，符合题意； 、经过十字路口遇到红灯是随机事件，不符合题意， 故选：． 【例3】奥运会射击比赛冠军在以后的某次比赛中，“有一枪脱靶”，这一事件是　 　（填不可能事件、必然事件或随机事件） 【答案】随机事件 【解析】 解：奥运会射击比赛冠军在以后的某次比赛中，“有一枪脱靶”，这一事件是随机事件； 故答案为：随机事件． 【例4】两个不透明的口袋中分别装有两个完全相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1和2．从这两个口袋中分别摸出一个小球，则下列事件为随机事件的是　　 A．两个小球的标号之和等于3 B．两个小球的标号之和等于6 C．两个小球的标号之和大于0 D．两个小球的标号之和等于1 【答案】A 【解析】 解：两个不透明的口袋中各有两个相同的小球，将每个口袋中的小球分别标号为1，2， 从这两个口袋中分别摸出一个小球，两个小球的标号之和等于3，是随机事件，符合题意； 两个小球的标号之和等于6，是不可能事件，不符合题意； 两个小球的标号之和大于0，是必然事件，不符合题意； 两个小球的标号之和等于1，是不可能事件，不合题意； 故选：． 二、可能性的大小 【例1】在一个不透明的口袋中装有3个红球，1个白球，他们除了颜色外，其余均相同，若把它们搅匀后从中任意摸一个球，则摸到白球的可能性是　　． 【答案】 【解析】 解：在一个不透明的口袋中装有3个红球、1个白球，共4个球， 任意摸出1个球，摸到白球的概率是， 故答案为：． 【例2】掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后，在下列四个选项中，可能性最大的是　　 A．点数小于4 B．点数大于4 C．点数大于5 D．点数小于5 【答案】D 【解析】 解：掷一枚质地均匀的骰子，骰子停止后共有6种等可能的情况， 即：点数为1，2，3，4，5，6；其中点数小于4的有3种，点数大于4的有2种，点数大于5的有1种，点数小于5的有4种， 故点数小于5的可能性较大， 故选：． 【例3】下列事件中，满足随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等的是　　 A．一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，摸出每个球的可能性 B．在80个相同的零件中，检验员从中取出一个零件进行检验，取出每件产品的质量可能性 C．一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，点数朝上的可能性 D．小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性 【答案】C 【解析】 解：、一个密封的纸箱里有7个颜色不同的球，从里面随意摸出一个球，因为其他性质不一定相同，所以摸出每个球的可能性不一定相同，不符合题意． 、在80个相同的零件中，只是种类相同，没有什么其他性质相同，所以取出每件产品的质量可能性不一定相同．不符合题意． 、一枚质地均匀的骰子，任意掷一次，点数朝上的可能性相同，这个事件满足是随机事件且该事件每个结果发生的可能性都相等，符合题意 、小东经过任意一个有红绿灯的路口，遇到红、黄和绿指示灯的可能性不一定相同，因为每种灯的时间可能不同，不符合题意． 故选：． 【例4】任意掷一枚质地均匀的骰子，比较下列事件发生的可能性大小，将它们的序号按从小到大排列为　 　．①面朝上的点数小于2； ②面朝上的点数大于2； ③面朝上的点数是奇数． 【答案】①③② 【解析】解：任意掷一枚质地均匀的骰子，共有6种等可能结果， 其中①面朝上的点数小于2的有1种结果，其概率为； ②面朝上的点数大于2的有4种结果，其概率为； ③面朝上的点数是奇数的有3种结果，其概率为； 所以按事件发生的可能性大小，按从小到大排列为①③②， 故答案为：①③②． 【例5】如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最终停留在黑色区域的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 解：根据图示， 黑色区域的面积等于平行四边形面积的， 小球最终停留在黑色区域的概率是：， 故选：C． 三、概率的意义 【例1】下列说法正确的是　　 A．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取抽样方式 B．“守株待兔”是必然事件 C．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1 D．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是，小明买了10张彩票，一定有7张中奖 【答案】C 【解析】解：．为保证“嫦娥五号”成功发射，对其零部件检查采取普查方式，故错误； ．“守株待兔”是随机事件，故错误； ．有5个数都是6的整数倍，从中任选2个数都是偶数的概率是1，故正确； ．某彩票中心宣布，某期彩票的中奖率是，小明买了10张彩票，中奖率是，不一定会中奖，故错误． 故选：． 【例2】一个不透明的袋中装有6个黄球，个红球，个白球，每个球除颜色外都相同．把袋中的球搅匀，从中任意摸出一个球，摸出黄球记为事件，摸出的球不是黄球记为事件，若（A）（B），则与的数量关系是　 　． 【答案】m+n=3 【解析】解：一个不透明的袋中装有6个黄球，个红球，个白球， 任意摸出一个球，是黄球的概率（A），摸出的球不是黄球的概率（B）， （A）（B）， ， ； 故答案为：． 【例3】下列说法中错误的是　　 A．不可能事件发生的概率为0 B．概率很小的事不可能发生 C．必然事件发生的概率是1 D．随机事件发生的概率大于0、小于1 【答案】B 【解析】解答】解：、不可能事件发生的概率为0，正确，不符合题意； 、概率很小的事也可能发生，故错误，符合题意； 、必然事件发生的概率为1，正确，不符合题意； 、随机事件发生的概率大于0，小于1，正确，不符合题意， 故选：． 【例4】事件发生的概率为，大量重复做这种试验，平均每100次实验，事件发生的次数是　 ． 【答案】25 【解析】【解答】解：事件发生的概率为，大量重复做这种试验， 则事件平均每100次发生的次数为：． 故答案为：25． 四、利用频率估计概率 【例1】某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 50 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 41 78 158 320 800 “射中9环以上”的频率 0.75 0.82 0.78 0.79 0.80 0.80 根据频率的稳定性，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率约是　　 A．0.75 B．0.82 C．0.78 D．0.80 【答案】D 【解析】【解答】解：根据表格数据可知： 根据频率稳定在0.8，估计这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率是0.80． 故选：． 【例2】一个不透明的口袋中有红球和黑球共若干个，这些球除颜色外都相同，每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动，据此估计摸到红球的概率的为　 　． 【答案】0.6 【解析】【解答】解：每次摸出1个球，进行大量的球试验后，发现摸到黑球的频率在0.4附近摆动， 摸到黑球的概率约为0.4， 摸到红球的概率约为， 故答案为：0.6． 【例3】在一个不透明的袋子里装有红球，黄球共36个，这些球除颜色外都相同．小明通过多次试验发现，摸出红球的频率稳定在0.25左右，则袋子中红球的个数最有可能是　　 A．5 B．9 C．15 D．24 【答案】B 【解析】【解答】解：设袋子中红球有个， 根据题意，得：， 解得， 袋子中红球的个数最有可能是9个， 故选：． 【例4】在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共5只．某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数 58 96 116 295 484 601 摸到白球的频率 0.58 0.64 0.58 0.59 0.605 0.601 （1）请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近　 　； （2）试估计口袋中黑、白两种颜色的球各有多少只？ （3）从中先摸出一个球，不放回，再摸出一个球，这两只球颜色不同的概率是多少？ 【答案】见解析 【解析】解：（1）根据图表给出的数据可得，当很大时，摸到白球的频率将会接近0.6； 答案为：0.6； （2）由（1）摸到白球的概率为0.6，所以可估计口袋中白种颜色的球的个数是：（只， 黑颜色的球有（只； （3）共有20种等可能的结果数，其中两只球颜色不同占12种， 所以两只球颜色不同的概率． 【例5】如图，地面上有一个不规则的封闭图形ABCD，为求得它的面积，小明设计了一个如下方法： ①在此封闭图形内画出一个半径为1米的圆． ②在此封闭图形旁边闭上眼晴向封闭图形内掷小石子（可把小石子近似地看成点），记录如下： 掷小石子落在不规则图形内的总次数 50 150 300 500 … 小石子落在圆内（含圆上）的次数m 20 59 123 203 … 小石子落在圆外的阴影部分（含外缘）的次数n 29 91 176 293 … m∶n 0.689 0.694 0.689 0.706 (1)通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，则m∶n的值越来越接近 （结果精确到0.1）． (2)若以小石子所落的有效区域为总数（即m＋n），则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在 附近（结果精确到0.1）． (3)请你利用（2）中所得频率的值，估计整个封闭图形ABCD的面积是多少平方米？（结果保留） 【答案】(1)0.7(2)0.4(3)封闭图形的面积为10π平方米． 【解析】 （1）解：20÷29≈0.69； 59÷91≈0.65； 123÷176≈0.70， … 当投掷的次数很大时，则m：n的值越来越接近0.7； 故答案为：0.7； （2）解：观察表格得：随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在0.4， 故答案为：0.4； （3）解：设封闭图形的面积为a，根据题意得：=0.4， 解得：a=10π， 答：封闭图形的面积为10π平方米． 【例6】在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 【答案】(1)0.6(2)30(3)10，10 【解析】 （1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6，故答案为：0.6； （2）黑球的个数为50×0.6=30个，故答案为：30； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个， 故答案为：10，10． 【巩固练习】 1.下列事件是不可能事件的是（    ） A．太阳从东边升起 B．篮球明星林书豪投10次篮，次次命中 C．打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片 D．一个三角形的内角和为181度． 2.下列事件： ①在干燥的环境中，种子发芽； ②在足球赛中，弱队战胜强队； ③抛掷 10 枚硬币，5 枚正面朝上； ④彩票的中奖概率是，买 100 张有 5 张会中奖． 其中随机事件有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 3.一个均匀的正方体木块，每个面上都是分别标有1、3、5、7、9、11，任意掷出正方体木块，朝上的数字为偶数的可能性是（　　） A．很可能 B．不可能 C．不太可能 D．可能 4.小明和小亮乘一小竹筏过河．小明体重约58千克，小亮体重约58.1千克，小竹筏能承载的最大重量约为57.9千克．下列说法：①小明一定能过河；②小亮一定不能过河；③小明有可能过河；④两人都有可能过河．正确的说法有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 5.有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（　　） A．不可能 B．不太可能 C．非常有可能 D．一定可以 6.（1）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不确定事件？（填入题后括号内） ①校运会上，我班一位女同学的100米跑成绩是12秒11．( )事件 ②人在地球上所受的重力比在月球上小．( )事件 ③一个四边形四个内角的和等于360°．( )事件 （2）写出一个不确定事件．（只需写一个，填在下面的横线上）________ 7.依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上． ①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品； ②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻； ③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等； ④小明打开电视，正在播放广告； 必然事件 __；不可能事件 __；随机事件 __． 8.如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是__________． 9.转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字_______的区域的可能性最大． 10.如图，一张正方形纸片被分成了A、B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域______（填“A”、“B”或“C”）的可能性最小． 11.在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球 (1)摸到哪种颜色球的可能性大？ (2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同． 12.英文字母中，元音字母包含：a，e，i，o，u．现用 25 张包含英文字母的卡片拼出英语短句“Work hard，and you will succeed”．比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列： （）从 25 张卡片中任意抽一张，上面的字母属于元音字母； （）从 25 张卡片中任意抽一张，上面的字母不属于元音字母； （）从 25 张卡片中任意抽一张，上面的字母是“l”． 13.A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案： A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车． 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ (2)你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？ 14.有一个转盘如图所示，被分成6个大小相同的扇形，颜色分别为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．有下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色． (1)在上述事件中，可能性最大的是________，可能性最小的事件是________（填序号）； (2)将上述事件按发生的可能性从小到大的顺序排列________（填序号）． 15.如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最终停留在黑色区域的概率是（    ）． A． B． C． D． 16.下表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为（    ） 抛掷次数 100 300 500 800 1000 钉尖不着地的频数 64 180 310 488 310 钉尖不着地的频率 0.64 0.60 0.62 0.61 0.61 A．0.59 B．0.61 C．0.63 D．0.64 17.从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“A” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“黑桃” D．这张牌的点数是10 18.如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（　　） A．20 B．30 C．40 D．60 19.在大力发展现代化农业的形势下，现有、两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 300 500 1000 3000 出芽率 0.99 0.94 0.96 0.98 0.97 出芽率 0.99 0.95 0.94 0.97 0.96 下面有三个推断： ①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以、两种新玉米种子出芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97； ③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会高于种子．其中合理的是（   ）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 20.我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______． 21.“扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有两项，“半程马拉松”和“迷你马拉松”．乐乐参加了志愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查： 调查人数 20 50 100 200 500 1000 参加人数 15 39 81 171 426 851 频率 0.750 0.780 0.810 0.855 0.852 0.851 请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为______．（精确到0.01） 22.“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960 如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为________．（精确到0.01） 23.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为________． 24.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小铭同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色阴影部分的总面积，向正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入阴影部分的频率稳定在0.65左右，据此估计阴影部分的总面积约为___cm2 25.在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 26.在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 27.某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 a 0.100 b (1)填空：a≈　　，b≈　　； (2)柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）； (3)柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 28.在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中摇匀，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近________精确到，估计盒子里白球有________个，假如摸一次，摸到白球的概率为________； （2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 29.在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的______；______； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； （3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只． 参考答案： 1.下列事件是不可能事件的是（    ） A．太阳从东边升起 B．篮球明星林书豪投10次篮，次次命中 C．打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片 D．一个三角形的内角和为181度． 【答案】D 【分析】根据事件的分类，数据不可能事件是一定不会发生的事件，进行判断即可． 【详解】解：A．太阳从东边升起是必然事件，故A错误； B．篮球明星林书豪投10次篮，次次命中是不确定事件，故B错误； C．打开电视正在播中国新航母舰载机训练的新闻片是不确定事件，故C错误； D．一个三角形的内角和为181度是不可能事件，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了事件的分类，数据事件分为确定事件和不确定事件，确定事件由分为不可能是事件和必然时间． 2.下列事件： ①在干燥的环境中，种子发芽； ②在足球赛中，弱队战胜强队； ③抛掷 10 枚硬币，5 枚正面朝上； ④彩票的中奖概率是，买 100 张有 5 张会中奖． 其中随机事件有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 【分析】不确定事件，即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐个判定即可求解． 【详解】解：①在干燥的环境中，种子发芽是不可能事件； ②在足球赛中，弱队战胜强队可能发生也可能不发生，是随机事件； ③抛掷10枚硬币，5枚正面朝上是随机事件； ④彩票的中奖概率是，买100张有5张会中奖是随机事件． 故是随机事件的有3个， 故选：C． 【点睛】本题考查随机事件，不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 3.一个均匀的正方体木块，每个面上都是分别标有1、3、5、7、9、11，任意掷出正方体木块，朝上的数字为偶数的可能性是（　　） A．很可能 B．不可能 C．不太可能 D．可能 【答案】B 【分析】偶数个数为0，所以朝上的数字为偶数的可能性是不可能，是不可能事件． 【详解】偶数个数为0，那么可能性为0， 所以朝上的数字为偶数的可能性是不可能， 故答案为：B． 【点睛】此题考查了不可能事件，掌握不可能事件，必然事件，随机事件的概念是解题的关键． 4.小明和小亮乘一小竹筏过河．小明体重约58千克，小亮体重约58.1千克，小竹筏能承载的最大重量约为57.9千克．下列说法：①小明一定能过河；②小亮一定不能过河；③小明有可能过河；④两人都有可能过河．正确的说法有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据小竹筏承载的最大重量与小明和小亮的体重比较即可得出结论． 【详解】解：因为小竹筏承载的最大重量约为57.9千克，小明体重约58千克，小亮体重约58.1千克，故小明，小亮都不能过河， 故只有②小亮一定不能过河正确， 故选：C． 【点睛】本题考查了事件发生的可能性的大小，解题的关键是掌握有理数的比较大小的方法． 5.有一个摊位游戏，先旋转一个转盘的指针，如果指针箭头停在奇数的位置，玩的人可以从袋子里抽出一个弹珠，当摸到黑色的弹珠就能得到奖品，转盘和弹珠如下图所示，小明玩了一次这个游戏，则小明得奖的可能性为（　　） A．不可能 B．不太可能 C．非常有可能 D．一定可以 【答案】B 【分析】根据转盘知只有1个奇数，而且袋子中20个里只有6个黑球，据此得出这个游戏得到奖品的可能性很小． 【详解】解：先旋转转盘的指针，指针箭头停在奇数的位置就可以获得一次摸球机会，而只有摸到黑弹珠才能获得奖品，这个游戏得到奖品的可能性很小，属于不确定事件中的可能事件， 故选：B． 【点睛】此题考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=． 6.（1）下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是不确定事件？（填入题后括号内） ①校运会上，我班一位女同学的100米跑成绩是12秒11．( )事件 ②人在地球上所受的重力比在月球上小．( )事件 ③一个四边形四个内角的和等于360°．( )事件 （2）写出一个不确定事件．（只需写一个，填在下面的横线上）________ 【答案】     不确定     不可能     必然     明天会下雨（答案不唯一） 【分析】根据事件发生的可能性大小判断即可． 【详解】解：（1）①校运会上，我班一位女同学的100米跑成绩是12秒11．（不确定事件） ②人在地球上所受的重力比在月球上小．（不可能事件） ③一个四边形四个内角的和等于．（必然事件） （2）写出一个不确定事件．（只需写一个，填在下面的横线上） 明天会下雨（答案不唯一）． 故答案为：（1）不确定，不可能，必然；（2）明天会下雨（答案不唯一）． 【点睛】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 7.依据下列给出的事件，请将其对应的序号填写在横线上． ①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品； ②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻； ③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等； ④小明打开电视，正在播放广告； 必然事件 __；不可能事件 __；随机事件 __． 【答案】     ①     ③     ②④##④② 【分析】根据必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，对每一项进行分析即可． 【详解】解：①在只含有4件次品的若干件产品中随机抽出5件，至少有一件是合格品，是必然事件； ②五人排成一行照相，甲、乙正好相邻，是随机事件； ③同时掷5枚硬币，正面朝上与反面朝上的个数相等，是不可能事件； ④小明打开电视，正在播放广告，是随机事件； 则必然事件是①；可能是近是③；随机事件是②④， 故答案为：①；③；②④． 【点睛】本题考查的是事件的分类，事件分为确定事件和不确定事件（随机事件），确定事件又分为必然事件和不可能事件． 8.如图，有5张形状、大小、材质均相同的卡片，正面分别印着北京2022年冬奥会的越野滑雪、速度滑冰、花样滑冰、高山滑雪、单板滑雪大跳台的体育图标，背面完全相同．现将这5张卡片洗匀并正面向下放在桌上，从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是“滑冰”项目的图案的可能性是__________． 【答案】 【分析】根据题意得滑冰项目图案的有速度滑冰和花样滑冰，即可得． 【详解】解：∵有5张形状、大小、材质均相同的卡片，滑冰项目图案的有速度滑冰和花样滑冰， ∴从中随机抽取一张，抽出的卡片正面恰好是滑冰项目的可能性是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性的计算方法． 9.转动如图所示的转盘（转盘中各个扇形的面积都相等），当它停止转动时，指针指向标有数字_______的区域的可能性最大． 【答案】2 【分析】分别求出每种情况的可能性，然后进行判断． 【详解】解：指针落在标有1的区域内的可能性是； 指针落在标有2的区域内的可能性是； 指针落在标有3的区域内的可能性是； 所以指针指向标有数字2的区域的可能性最大， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了可能性大小，用到的知识点是可能性等于所求情况数与总情况数之比，关键是求出每种情况的可能性． 10.如图，一张正方形纸片被分成了A、B、C三块区域，任意抛掷一粒米到纸片上，落在区域______（填“A”、“B”或“C”）的可能性最小． 【答案】B 【分析】根据图形的面积越大，米粒落在该区域的可能性越大解答即可. 【详解】由图可以看出，正方形纸片被分成的三块区域，A面积＞C面积＞B面积， 根据图形的面积越大，米粒落在该区域的可能性越大， 则任意抛掷一粒米落到区域B的可能性最小， 故答案为：B. 【点睛】本题考查可能性的大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性的计算方法. 11.在不透明的袋子中装有3个红球和5个黄球，每个球除颜色外都相同，从中任意摸出一个球 (1)摸到哪种颜色球的可能性大？ (2)请你通过改变袋子中某一种颜色球的数量，设计一种方案；使“摸出红球”和“摸出黄球”的可能性大小相同． 【答案】(1)摸到黄球的可能性大 (2)放入两个红球 【分析】（1）分别利用概率公式求得摸到红球的概率和摸到黄球的概率，对比即可求解； （2）另外放入2个红球，那么共有10个球，每种球各有5个时，摸到红球和黄球的概率相等． 【详解】（1）∵摸到红球的概率为，摸到黄球的概率为：， ∴摸到黄球的可能性大； （2）∵要使得“摸出红球” 和“摸出黄球”的可能性大小相同， ∴使得两种球的数量相同， ∴放入2个红球即可． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，要注意具体情况具体对待，用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 12.英文字母中，元音字母包含：a，e，i，o，u．现用 张包含英文字母的卡片拼出英语短句“Work hard，and you will succeed”．比较下列事件发生的可能性大小，并将它们按可能性从小到大的顺序排列： （）从 张卡片中任意抽一张，上面的字母属于元音字母； （）从 张卡片中任意抽一张，上面的字母不属于元音字母； （）从 张卡片中任意抽一张，上面的字母是“l”． 【答案】用 分别表示事件（）（）（）发生的可能性大小，则 【分析】分别求出三个事件发生的可能性，再比较即可． 【详解】解：用 分别表示事件（）（）（）发生的可能性大小，则 ，，， ∴． 【点睛】本题考查事件发生的可能性，关键是掌握求可能性的方法． 13.A、B两人去茅山风景区游玩，已知每天某一时段开往风景区有三辆舒适程度不同的车，开过来的顺序也不确定．两人采取了不同的乘车方案： A无论如何总是上开来的第一辆车；B先观察后上车，当第一辆车开来时他不上车，而是仔细观察车的舒适度，如果第二辆车的状况比第一辆车好，他就上第二辆车；如果第二辆车不比第一辆好，他就上第三辆车． 如果把这三辆车的舒适程度分为上、中、下三等，请解决下列问题： (1)三辆车按出现的先后顺序共有哪几种不同的可能？ (2)你认为A、B两人采用的方案，哪种方案使自己乘上等车的可能性大？为什么？ 【答案】(1)6种 (2)B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大，理由见解析 【分析】（1）利用列表展示所有6种不同的可能； （2）分别求出两个方案使自己乘上等车的结果数，然后比较结果数大小可判断谁的可能性大． 【详解】（1）解：（1）列表： 三辆车按出现的先后顺序共有6种不同的可能； （2）解：A采用的方案使自己乘上等车的结果有2种；B采用的方案使自己乘上等车的结果有3种， 则B人采用的方案使自己乘上等车的可能性大． 【点睛】本题考查了可能性的大小：某事件的可能性等于所求情况数与总情况数之比． 14.有一个转盘如图所示，被分成6个大小相同的扇形，颜色分别为红、绿、黄三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，重新转动）．有下列事件：①指针指向红色；②指针指向绿色；③指针指向黄色；④指针不指向黄色． (1)在上述事件中，可能性最大的是________，可能性最小的事件是________（填序号）； (2)将上述事件按发生的可能性从小到大的顺序排列________（填序号）． 【答案】(1)④；② (2)②③①④ 【分析】分别求出摸出各种颜色球的概率，即可比较出摸出何种颜色球的可能性大． 【详解】（1）∵共3红2黄1绿相等的六部分， ∴①指针指向红色的概率为； ②指针指向绿色的概率为； ③指针指向黄色的概率为； ④指针不指向黄色为， ∴可能性最大的是④，可能性最小的事件是②， 故答案为：④；②； （2）由（1）得：②＜③＜①＜④， 故答案为：②③①④． 【点睛】本题考查的是可能性大小的判断，解决这类题目要注意具体情况具体对待．用到的知识点为：可能性等于所求情况数与总情况数之比． 15.如果小球在如图所示的地面上自由滚动，并随机停留在平行四边形内部，那么它最终停留在黑色区域的概率是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据几何概率的求法，可得：小球最终停在黑色区域的概率等于黑色区域的面积与总面积的比值． 【详解】解：根据图示， 黑色区域的面积等于平行四边形面积的， 小球最终停留在黑色区域的概率是：， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了几何概率问题，解题的关键是掌握：概率=黑色区域的面积与总面积之比． 16.下表是小明做“抛掷图钉试验”获得的数据，则可估计“钉尖不着地”的概率为（    ） 抛掷次数 100 300 500 800 1000 钉尖不着地的频数 64 180 310 488 310 钉尖不着地的频率 0.64 0.60 0.62 0.61 0.61 A．0.59 B．0.61 C．0.63 D．0.64 【答案】B 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 【详解】解：观察表格发现：随着实验次数的增多，顶尖着地的频率逐渐稳定到0.61附近， 所以可估计“钉尖不着地”的概率为0.61， 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，当实验的所有可能结果不是有限个或结果个数很多，或各种可能结果发生的可能性不相等时，一般通过统计频率来估计概率． 17.从一副扑克牌中任意抽取1张，下列事件发生的可能性最大的是（    ） A．这张牌是“A” B．这张牌是“大王” C．这张牌是“黑桃” D．这张牌的点数是10 【答案】C 【分析】根据概率的公式，分别计算出概率，比较即可． 【详解】解：A、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“A”的结果有4种，所以概率=， B、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“大王”的结果有1种，所以概率=， C、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取“黑桃”的结果有13种，所以概率=， D、一副扑克牌共54张，共54种等可能结果，抽取这张牌的点数是10有4种，所以概率=， ∵＞＞， ∴发生的可能性最大的事件是从一副扑克牌中任意抽取1张，抽到这张牌是“黑桃”， 故选：C． 【点睛】本题考查了概率的求法，解题的关键是掌握如果一个试验有 n 种等可能的结果，事件 A 包含其中的 k 种结果，那么事件 A 发生的概率为 P ( A )=． 18.如图，已知不透明的袋中装有红色、黄色、蓝色的乒乓球共120个，某学习小组做“用频率估计概率”的摸球实验（从中随机摸出一个球，记下颜色后放回），统计了“摸出球为红色”出现的频率，绘制了如图折线统计图，那么估计袋中红色球的数目为（　　） A．20 B．30 C．40 D．60 【答案】C 【分析】由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右，从而可得出现红球的概率，再利用概率公式求解红球的数量即可得到答案． 【详解】解：由折线图可得：“摸出球为红色”出现的频率稳定在左右， 所以出现红球的概率是 则袋中红球的数量为： 所以袋中红色球的数目为个， 故选： 【点睛】本题考查的是利用频率来估计概率，再利用概率求解目标球的数量，掌握利用频率估计概率是解题的关键． 19.在大力发展现代化农业的形势下，现有、两种新玉米种子，为了了解它们的出芽情况，在推广前做了五次出芽实验，每次随机各自取相同种子数，在相同的培育环境中分别实验，实验情况记录如下： 种子数量 100 300 500 1000 3000 出芽率 0.99 0.94 0.96 0.98 0.97 出芽率 0.99 0.95 0.94 0.97 0.96 下面有三个推断： ①当实验种子数量为100时，两种种子的出芽率均为0.99，所以、两种新玉米种子出芽的概率一样； ②随着实验种子数量的增加，种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97； ③在同样的地质环境下播种，种子的出芽率可能会高于种子．其中合理的是（   ）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③ 【答案】D 【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，据此解答可得． 【详解】①在大量重复试验时，随着试验次数的增加，可以用一个事件出现的概率估计它的概率，实验种子数量为100，数量太少，不可用于估计概率，故①推断不合理； ②随着实验种子数量的增加，A种子出芽率在0.97附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计A种子出芽的概率是0.97，故(②推断合理； ③在同样的地质环境下播种，A 种子的出芽率约为0.97，B种子的出芽率约为0.96，种子的出芽率可能会高于种子，故正确， 故选：D． 【点睛】此题考查利用频率估计概率，理解随机事件发生的频率与概率之间的关系是解题的关键． 20.我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______． 【答案】0.2## 【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可． 【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8， 频率为：=0.2， 故答案为：0.2． 【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数． 21.“扬州鉴真国际半程马拉松”的赛事共有两项，“半程马拉松”和“迷你马拉松”．乐乐参加了志愿者服务工作，为估算“半程马拉松”的人数，对部分参赛选手作了调查： 调查人数 20 50 100 200 500 1000 参加人数 15 39 81 171 426 851 频率 0.750 0.780 0.810 0.855 0.852 0.851 请估算本次赛事参加“半程马拉松”人数的概率为______．（精确到0.01） 【答案】0.85 【分析】随着调查次数增加，多次实验的频率稳定在概率附近，即可得出答案． 【详解】根据表格可知多次实验后频率稳定在0.85附近，所以概率是0.85． 故答案为：0.85． 【点睛】本题主要考查了用频率估计概率，掌握多次实验得出的频率稳定在概率附近是解题的关键． 22.“头盔是生命之盔”质检部门对某工厂生产的头盔质量进行抽查，抽查结果如表： 抽查的头盔数n 100 200 300 500 800 1000 3000 合格的头盔数m 95 194 289 479 769 960 2880 合格头盔的频率 0.950 0.945 0.962 0.958 0.961 0.960 0960 如果从该工厂生产出来的头盔中任取一个，则该头盔是合格的概率为________．（精确到0.01） 【答案】0.96 【分析】运用频率估计概率即可． 【详解】观察上表，可以发现，当抽取的瓷砖数n≥1000时，合格头盔的频率稳定在0.960附近，所以可取p=0.96作为该型号的合格率． 故答案为：0.96 【点睛】本题考查了利用频率估计概率，熟练掌握利用频率估计概率的相关知识是解题的关键． 23.如图①所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法：用一个长为5m，宽为4m的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了②所示的折线统计图，由此他估计不规则图案的面积大约为________． 【答案】 【分析】首先假设不规则图案面积为x，根据几何概率知识求解不规则图案占长方形的面积大小；继而根据折线图用频率估计概率，综合以上列方程求解． 【详解】解：假设不规则图案面积为x m2， 由已知得：长方形面积为20m2， 根据几何概率公式小球落在不规则图案的概率为：； 当事件A试验次数足够多，即样本足够大时，其频率可作为事件A发生的概率估计值，故由折线图可知，小球落在不规则图案的概率大约为0.35， ∴，解得x=7． 故答案为： ． 【点睛】本题考查几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，解题关键在于清晰理解题意，能从复杂的题目背景当中找到考点化繁为简，创新题目对基础知识要求极高． 24.大数据分析技术为打赢疫情防控阻击战发挥了重要作用．如图是小铭同学的健康码（绿码）示意图，用黑白打印机打印于边长为2cm的正方形区域内，为了估计图中黑色阴影部分的总面积，向正方形区域内随机掷点，经过大量重复试验，发现点落入阴影部分的频率稳定在0.65左右，据此估计阴影部分的总面积约为___cm2 【答案】2.6 【分析】求出正方形健康码的面积，根据题意得到黑色部分的面积占正方形健康码面积的，计算即可． 【详解】解：正方形健康码的边长为， 正方形健康码的面积为， 经过大量重复试验，发现点落入黑色部分的频率稳定在0.65左右， 黑色部分的面积占正方形健康码面积的， 黑色部分的面积约为：， 故答案为：2.6． 【点睛】本题考查的是利用频率估计概率，解题的关键是大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 25.在一只不透明的口袋里，装有若干个除了颜色外均相同的小球，某数学学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 100 150 200 500 800 1000 摸到白球的次数m 59 96 b 295 480 601 摸到白球的频率 a 0.64 0.58 0.59 0.60 0.601 (1)上表中的a=________，b=________； (2)“摸到白球的”的概率的估计值是________（精确到0.1）； (3)如果袋中有18个白球，那么袋中除了白球外，还有多少个其它颜色的球？ 【答案】(1)0.59，116 (2)0.6 (3)除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【分析】（1）利用频率=频数÷样本容量直接求解即可； （2）根据统计数据，当n很大时，摸到白球的频率接近0.6； （3）根据利用频率估计概率，可估计摸到白球的概率为0.6，然后利用概率公式计算其它颜色的球的个数． 【详解】（1）解：a=59÷100=0.59，b=200×0.58=116． 故答案为：0.59，116； （2）解：“摸到白球的”的概率的估计值是0.6； 故答案为：0.6； （3）解：18÷0.6-18=12（个）． 答：除白球外，还有大约12个其它颜色的小球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 26.在一个不透明的袋子里装有只有颜色不同的黑、白两种颜色的球共50个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 1000 2000 3000 5000 8000 10000 摸到黑球的次数m 650 1180 1890 3100 4820 6013 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.6025 0.6013 (1)请估计：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近　 　（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有黑球　 　个； (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以在袋子中增加相同的白球　 　个或减少黑球　 　个． 【答案】(1)0.6 (2)30 (3)10，10 【分析】（1）观察摸到黑球的频率后观察表格即可得到； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． （1） 观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2） 黑球的个数为50×0.6=30个， 故答案为：30； （3） 想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即：在袋子中增加相同的白球10个或减少黑球10个， 故答案为：10，10． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 27.某水果公司新进一批柑橘，销售人员首先从所有的柑橘中随机抽取若干柑橘，进行“柑橘损坏率”统计，并把获得的数据记录在下表中． 柑橘总质量n/kg … 300 350 400 450 500 损坏柑橘质量m/kg … 30.93 35.32 40.36 45.02 51.05 柑橘损坏的频率（精确到0.001） … 0.103 0.101 a 0.100 b (1)填空：a≈　　，b≈　　； (2)柑橘完好的概率约为　　（精确到0.1）； (3)柑橘的总重量为10000kg，成本价是1.8元/kg，公司希望这些柑橘能够获得利润5400元，那么在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为多少元比较合适？ 【答案】(1)0.101，0.102 (2)0.1 (3)在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适． 【分析】（1）利用频数计算方法去掉频数即可； （2）大量重复试验中频率稳定值即为概率； （3）设每千克大约定价为x元，根据“销售额-总成本=利润”列出关于x的方程，解之即可． 【详解】（1）解：a=40.36÷400≈0.101， b=51.05÷500≈0.102， 故答案为：0.101，0.102； （2）解：柑橘完好的概率约为0.1， 故答案为：0.1； （3）解：设每千克大约定价为x元， 根据题意得10000（1-0.1）x-10000×1.8=5400， 解得x=2.6， 答：在出售柑橘（去掉损坏的柑橘）时，每千克大约定价为2.6元比较合适． 【点睛】本题考查了用频率估计概率的知识，用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．得到售价的等量关系是解决问题的关键． 28.在一个不透明的盒子里装着只有颜色不同的黑、白两种球共30个，小鲍做摸球试验，她将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出1个球记下颜色，再把它放回盒子中摇匀，不断重复上述过程，如图是“摸到白球”的频率折线统计图． （1）当n很大时，摸到白球的频率将会接近________精确到，估计盒子里白球有________个，假如摸一次，摸到白球的概率为________； （2）如果要使摸到白球的概率为，那么需要往盒子里再放入多少个白球？ 【答案】（1）0.5，15，0.5；（2）30个 【分析】（1）根据“摸到白色球”的概率折线统计图，得出摸到白球的频率；由30×0.5=15，即可得出结果；用频率的稳定值得出摸到白球的概率即可； （2）设需要往盒子里再放入x个白球；根据题意得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由摸到白色球”的概率折线统计图可得，摸到白球的频率将会接近0.50， ， 盒子里白球为15， 随实验次数的增多，频率的值稳定于0.50， 摸到白球的概率0.5， 故答案为：0.50，15，0.5； （2）设需要往盒子里再放入个白球； 根据题意得：， 解得； 经检验，是原方程的解，且符合实际意义， 故需要往盒子里再放入30个白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、概率公式的运用．解题时注意：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 29.在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表： 摸球的次数s 150 300 600 900 1200 1500 摸到白球的频数n 63 a 247 365 484 606 摸到白球的频率 0.420 0.410 0.412 0.406 0.403 b （1）按表格数据格式，表中的______；______； （2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）； （3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）； （4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只． 【答案】（1）123；0.404；（2）0.40；（3）0.6；（4）15． 【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可； （2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右； （3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得； （4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可． 【详解】解：（1），； （2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40； （3）由题意得：摸到白球的概率为0.4， 则摸到红球的概率是； （4）设红球有x个， 根据题意得：， 解得：， 经检验，x=15是所列分式方程的解， 则口袋中红球有15只； 故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15． 【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，组成整体的几部分的概率之和为1． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$