18.2.3 正方形（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第18章 平行四边形 18.2.3 正方形 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解正方形的概念. 2.探索并证明正方形的性质，并了解平行四边形、矩形、 菱形之间的联系和区别.(重点、难点) 3.会应用正方形的性质解决相关证明及计算问题.（难点） 观察下面图形,正方形是我们熟悉的几何图形，在生活中无处不在. 你还能举出其他的例子吗？ 情景导入 矩 形 〃 〃 问题1：矩形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 新知探究 正方形的性质 5 问题2 菱形怎样变化后就成了正方形呢?你有什么发现？ 正方形 邻边相等 矩形 〃 〃 正方形 〃 〃 菱 形 一个角是直角 正方形 ∟ 正方形定义： 有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫正方形. 归纳总结 活动1 准备一张矩形的纸片，按照下图折叠,然后展开，折叠部分得到一个正方形，可量一量验证验证. 正方形 猜想 满足怎样条件的矩形是正方形？ 矩形 正方形 一组邻边相等 对角线互相垂直 正方形的判定 8 已知：如图,四边形ABCD是正方形. 求证：正方形ABCD四边相等,四个角都是直角. A B C D 证明：∵四边形ABCD是正方形. ∴∠A=90°, AB=AC （正方形的定义）. 又∵正方形是平行四边形. ∴正方形是矩形（矩形的定义）, 正方形是菱形(菱形的定义). ∴∠A=∠B =∠C =∠D = 90°, AB= BC=CD=AD. 证一证 单击此处编辑母版文本样式 第二级 第三级 第四级 第五级 已知：如图,四边形ABCD是正方形.对角线AC、BD相交于点O.求证：AO=BO=CO=DO,AC⊥BD. A B C D O 证明：∵正方形ABCD是矩形, ∴AO=BO=CO=DO. ∵正方形ABCD是菱形. ∴AC⊥BD. 已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC⊥DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是矩形, ∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°. ∵AC⊥DB, ∴ AD=AB=BC=CD, ∴四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D O 对角线互相垂直的矩形是正方形. 活动2 把可以活动的菱形框架的一个角变为直角，观察这时菱形框架的形状.量量看是不是正方形. 正方形 菱形 猜想 满足怎样条件的菱形是正方形？ 正方形 一个角是直角 对角线相等 已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线, AC=DB. 求证：四边形ABCD是正方形. 证明：∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB. ∵AC=DB, ∴ AO=BO=CO=DO, ∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形， ∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°, ∴四边形ABCD是正方形. 证一证 A B C D O 对角线相等的菱形是正方形. 正方形判定的几条途径： 正方形 正方形 + + 先判定菱形 先判定矩形 矩形条件(二选一) 菱形条件(二选一) 一个直角， 一组邻边相等， 对角线相等 对角线垂直 平行四边形 正方形 一组邻边相等 一内角是直角 概念归纳 思考 请同学们拿出准备好的正方形纸片,折一折,观察并思考.  正方形是不是轴对称图形?如果是,那么对称轴有几条? 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 4条 A B C D 思考 矩形 菱形 正 方 形 平行四边形 正方形是特殊的平行四边形,也是特殊的矩形,也是特殊的菱形.所以矩形、菱形有的性质,正方形都有. 平行四边形、矩形、菱形、正方形之间关系： 性质：1.正方形的四个角都是直角,四条边相等. 2.正方形的对角线相等且互相垂直平分. 概念归纳 例1 求证: 正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形. A D C B O 已知: 如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相 交于点O. 求证: △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO是全等的等腰直角三角形. 证明: ∵ 四边形ABCD是正方形, ∴ AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO. ∴ △ABO、 △BCO、 △CDO、 △DAO都 是等腰直角三角形,并且 △ABO≌ △BCO ≌ △CDO ≌ △DAO. 例题讲解 例2 如图，在正方形ABCD中， ΔBEC是等边三角形， 求证： ∠EAD＝∠EDA＝15° . 证明：∵ ΔBEC是等边三角形， ∴BE=CE=BC,∠EBC=∠ECB=60°， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD,∠ABC=∠DCB=90°， ∴AB=BE=CE=CD, ∠ABE= ∠DCE=30°， ∴△ABE，△DCE是等腰三角形， ∴∠BAE= ∠BEA= ∠CDE= ∠CED=75°， ∴∠EAD= ∠EDA=90°-75°=15°. 【变式题1】四边形ABCD是正方形，以正方形ABCD的一边作等边△ADE，求∠BEC的大小． 解：当等边△ADE在正方形ABCD外部时，如图①，AB＝AE，∠BAE＝90°＋60°＝150°. ∴∠AEB＝15°. 同理可得∠DEC＝15°. ∴∠BEC＝60°－15°－15°＝30°； 当等边△ADE在正方形ABCD内部时，如图②， AB＝AE，∠BAE＝90°－60°＝30°， ∴∠AEB＝75°. 同理可得∠DEC＝75°. ∴∠BEC＝360°－75°－75°－60°＝150°. 综上所述，∠BEC的大小为30°或150°. 易错提醒：因为等边△ADE与正方形ABCD有一条公共边，所以边相等． 本题分两种情况：等边△ADE在正方形的外部或在正方形的内部． 课堂练习 1、（1）把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？ 解：由折叠可知： ∠B＝∠D＝90°，∠DAB＝90°， ∴四边形ABCD是矩形. 又∵AB＝AD，∴四边形ABCD是正方形. A B C D （2）如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？ 解：在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条边长，即可得到最大的正方形木板。 2. 如图，ABCD是一块正方形场地. 小华和小芳在AB边上取定了一点E，测量知，EC=30 m，EB=10 m. 这块场地的面积和对角线长分别是多少? A D B C E 解：如图，连接AC. ∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=90°，AB=BC. 在Rt△BEC中，∠B=90°，EB=10m，EC=30m, 由勾股定理得BC= (m). 在Rt△ABC中，∠B=90°,AB=BC= m， 由勾股定理得AC= (m). ∴这块场地的面积为800m2，对角线长40m. A D B C E 3. 满足下列条件的四边形是不是正方形？为什么？ (1)对角线互相垂直且相等的平行四边形； (2)对角线互相垂直的矩形； (3)对角线相等的菱形； (4)对角线互相垂直平分且相等的四边形. 是 是 是 是 1.已知正方形的对角线长为 ，则这个正方形的面积为( ) A A.1 B. C.2 D. 分层练习 2. 如图，在正方形 的外侧，作等边三角形，则 的 度数是( ) A. B. C. D. C （第2题） 24 （第3题） 3.如图，在矩形中，对角线， 交于点，添加下列一个条件， 仍不能使矩形 成为正方形的是( ) D A. B.平分 C. D. 25 （第4题） 如图，在矩形纸片 中，，，现将其沿 对折， 使得点落在边上的点处，折痕与边交于点 ，则 的长为( ) A A.2 B.3 C.4 D.6 26 （第5题） 5.[2024· 苏州工业园区期中] 如图，四边形、四边形 分别 是菱形与正方形.若 ，则 的度数是( ) A A. B. C. D. 27 6. “方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个菱 形压角相叠而成，寓意同心吉祥.如图，将正方形沿对角线 方 向平移得到正方形 ，形成一个“方胜”图案，若 ，则 的长是( ) C A. B. C. D. 28 7. 已知菱形的对角线，相交于点 ， 添加条件：________________________可使菱形 成为正方形. （答案不唯一） 29 8.如图，四边形为正方形，为等边三角形，于点 ， 若，则 ___. 2 （第8题） 30 9.[2024· 福建] 如图，正方形的面积为4，点，，， 分别为 边，，，的中点，则四边形 的面积为___. 2 （第9题） 31 10.如图，在矩形中，点,分别在边,上，于点 ， 且.求证：矩形 是正方形. 证明: 四边形是矩形， ， . ， , , . 又, ， , 矩形 是正方形. 32 （第11题） 11.如图，在中， , 的垂直平 分线交于点，交于点，且 ,添加 一个条件，仍不能证明四边形 为正方形的是 ( ) C A. B. C. D. 33 （第12题） 12.[2024· 重庆] 如图，在边长为4的正方形 中， 点是上一点，点是 延长线上一点，连接 ，，平分，交于点 .若 ，则 的长度为( ) D A.2 B. C. D. 34 [解析] 点拨：四边形 是正方形， ， ， . 又 ， ， ， . 平分， . 又， ， 35 . 设，则 ， ， 在中，由勾股定理得 ， ，解得， . （第13题） 13. 如图，将一个边长为 的 正方形活动框架（边框粗细忽略不计）扭动成四 边形 ，对角线是两根橡皮筋，其拉伸长度 达到时会断裂.若 ,则橡皮筋 ______断裂.（填“会”或“不会”，参考数据： ） 不会 37 [解析] 点拨:设与相交于点 . 由题意得扭动后的四边形 是菱形， ,,, . ， 是等边三角形， . . 在中, , . , 橡皮筋 不会断裂. 38 （第14题） 14. 如图，在正方形 中， ，对角线，交于点.在 中， ，交于点，交于点 ， 则四边形 的面积为____. 25 39 [解析] 点拨：在正方形中，, ， 易得 . 四边形 是正方形， ， ， ， . ， ， . 40 在与中， ， . 15. 【问题情境】 通过对《平行四边形》一章内容的学 习，我们认识到矩形、菱形、正方形 都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，还有各自 的特殊性质.根据它们的特殊性，得到了这些特殊的平行四边形的判定 定理.数学课上，老师给出了一道题：如图①，矩形 的对角线 ，交于点，过点作，且，连接 . 42 【初步探究】 （1）判断四边形 的形状，并说明理由. 解：四边形 是菱形. 理由如下：， ， 四边形 是平行四边形. 四边形 是矩形， ，， ， ， 四边形 是菱形 . 43 【深入探究】 （2）如图②，若四边形 是菱形，（1）中的结论还成立吗？请说 明理由. 解：（1）中的结论不成立. 理由如下：同（1）得四边形 是平行四边形， 四边形是菱形， ， ， 四边形 是矩形. 44 【拓展延伸】 （3）如图③，若四边形是正方形，四边形 又是什么特殊的 四边形？请说明理由. 解：四边形 是正方形. 理由如下：同（1）得四边形 是平行四边形， 四边形 是正方形， ，，， ， ，， 四边形 是正方形. 45 解：它是一个矩形. 理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AO=OC，BO=OD. ∵∠1=∠2，∴OB=OC. ∴AO=OC=BO=OD. ∴AC=BD. ∴四边形ABCD是矩形. 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，且∠1=∠2．它是一个矩形吗？为什么？ 习题 2.求证：四个角都相等的四边形是矩形． 已知：如图，在四边形ABDC中，∠A=∠B=∠C=∠D.求证：四边形ABDC是矩形. 证明：∵∠A=∠B=∠C=∠D，∠A+∠B+∠C+∠D=360°， ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°. ∴四边形ABDC是矩形. 3.一个木匠要制作矩形的踏板．他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板．为什么？ 解：根据两组对边分别平行得到的是 平行四边形，又因为锯线与长边垂直， 得到一角为直角，因此能得到矩形踏板. 4.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC.求∠A，∠B的度数. 解：如图，取AB的中点D，连接CD. ∵D是AB的中点，∴AB=2AD. ∵∠ACB=90°，∴AB=2CD. 又∵AB=2AC，∴AD=CD=AC.∴△CAD是等边三角形. ∴∠A=60°，∠B=90°－60°=30°. 5.如图，四边形ABCD是菱形，∠ACD=30°，BD=6．求： (1) ∠BAD，∠ABC的度数； 解：(1) ∵四边形ABCD是菱形， ∴∠ACB=∠ACD=30°. ∴∠BCD=60°. ∴∠BAD=60°， ∠ABC=180°-60°=120°. (2) AB，AC的长 (2) 由(1)易得△BCD为等边三角形，∴BC=BD=6. ∴AB=BC=6. ∴AC= 6.如图，AE∥BF，AC平分∠BAD，且交BF于点C，BD平分∠ABC，且交AE于点D，连接CD. 求证：四边形ABCD是菱形． 证明：∵AC平分∠BAD， BD平分∠ABC，AE∥BF， ∴∠BAC=∠DAC，∠ABD=∠CBD， ∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠CBD. ∴∠BAC=∠BCA，∠ABD=∠ADB. ∴AB=BC，AB=AD. ∴BC=AD. ∵BC∥AD， ∴四边形ABCD是平行四边形. 又AB=BC，∴四边形ABCD是菱形. 7.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角．要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的角？ 解：剪口应与折痕成45°角. 8.如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下. 然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了. 纸盒的底面是什么形状？为什么？ 解：纸盒的底面是矩形. 理由是有三个角是直角的四边形是矩形. 9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，∠ACD=3∠BCD，E是斜边 AB的中点.∠ECD是多少度？为什么？ 解：∠ECD=45°. 理由如下： ∵∠ACB=90°，∠ACD=3∠BCD，∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠ACD=67.5°，∠BCD=22.5°. ∵CD⊥AB， ∴∠B=90°－∠BCD=67.5°. ∵E是斜边AB的中点， ∴EC=EB. ∴∠ECB=∠B=67.5°. ∴∠ECD=∠ECB－∠BCD=45°. 10.如图，四边形ABCD是菱形，点M，N分别在AB，AD上，且BM=DN，MG∥AD，NF∥AB；点F，G分别在BC，CD上，MG与NF相交于点E. 求证：四边形AMEN，EFCG都是菱形． 证明：∵MG∥AD，NF∥AB， ∴四边形AMEN是平行四边形. ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD. 又∵BM=DN， ∴AB－BM=AD－DN，即AM=AN. ∴四边形AMEN是菱形. 同理可证四边形EFCG是菱形. 11.如图，四边形ABCD是菱形，AC=8，DB=6，DH⊥ AB于点H. 求DH的长． 解：∵四边形ABCD是菱形， ∴OA= AC=4，OB= DB=3， 且OA⊥OB. ∴AB2=OA2+OB2=42+32=25. ∴AB=5. ∵S菱形ABCD= AC·BD=AB·DH， ∴ ×8×6=5DH. ∴DH= 12.(1) 如下图(1)，四边形OBCD是矩形，O，B，D三点 的坐标分别是(0，0)，(b，0)，(0，d). 求点C的坐 标. 解：(1) ∵四边形OBCD是矩形， ∴∠CDO=∠CBO=90°， CD=OB=b，CB=DO=d. ∴点C的坐标为(b，d). （2）如下图(2)，四边形ABCD是菱形，C，D两点的坐标分别是(c，0)，(0，d)，点A，B在坐标轴上.求A，B两点的坐标． (2) ∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，OA=OC， OB=OD. ∴A(－c，0)，B(0，－d). （3）如下图(3)，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，d). 求B，C两点的坐标. (3) ∵四边形OBCD是正方形， ∴∠CDO=∠CBO=90°， OB=BC=CD=DO=d. ∴B(d，0)，C(d，d). 13.如图，E，F，M，N分别是正方形ABCD四条边上的点，且AE=BF=CM=DN. 试判断四边形EFMN是什么图形，并证明你的结论． 解：四边形EFMN是正方形. 证明如下：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB=BC=CD=DA. 又∵AE=BF=CM=DN， ∴BE=CF=DM=AN. 由勾股定理可得，EF=FM=MN=EN. ∴四边形EFMN是菱形. 易证△NAE≌△EBF， ∴∠ANE=∠BEF. ∵∠ANE+∠AEN=90°， ∴∠BEF+∠AEN=90°. ∴∠NEF=90°. ∴四边形EFMN是正方形. 14.如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形．用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线长． 解：可以拼成如图所示的三种平行四边形. (1)图(a)拼成的是矩形，其对角线相等，均为m. (2)图(b)拼成的是平行四边形，其较短的对角线长为n， 较长的对角线长为 (3)图(c)拼成的是平行四边形，其较短的对角线长为h， 另一条对角线长为 15.如图，四边形ABCD是正方形. G是BC上的任意一点，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F. 求证：AF－BF=EF． 证明：∵DE⊥AG，BF∥DE， ∴BF⊥AG，∠DEA=∠AFB=90°. ∵∠DAE+∠BAF=90°，∠DAE+∠ADE=90°， ∴∠BAF=∠ADE. 又∵AD=BA. ∴△DAE≌△ABF. ∴AE=BF. ∴AF－BF=AF－AE=EF. 16.如图，在△ABC中，BD，CE分别是边AC，AB上的中线，BD与CE相交于点O. BO与OD的长度有什么关系？BC边上的中线是否一定过点O？为什么？(提示：分别作BO，CO的中点M，N，连接ED，EM，MN，ND.) 解：BO=2OD. BC边上的中线一定过点O.理由如下： ∵AE=BE，AD=CD，∴ ∵OM=MB，ON=NC， ∴ ∴四边形EMND是平行四边形. ∴OD=OM，OE=ON. ∵OM=MB，∴OD=OM=MB. ∴BO=2OD. 如图，连接AO并延长到点G，使OG=OA， OG交BC于点F，连接BG，CG. ∵D为AC的中点，∴OD∥CG，CG=2OD. 由(1)得BO=2OD，∴CG=BO. 又BD∥CG，∴四边形OBGC为平行四边形. ∴FB=FC. ∴BC边上的中线一定过点O. G F 17.如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四部分面积相等，你有多少种方法？并与你的同学交流一下． 解：有无数种方法.如图所示，以下方法均满足条件，只要满足两条小路的交点为正方形对角线的交点，并且互相垂直即可. 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 或对角线相等 一组邻边相等 或对角线垂直 一组邻边相等 或对角线垂直 一个角是直角 或对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结 课堂小结 $$