导数小题常见考法 讲义-2025届高三数学二轮复习

导数小题常见考法 考法一 切线问题 1 角度1.公切线 1 角度2.切线相关的范围问题 7 角度3.切线间的位置关系 13 角度4.切线与距离最值 16 考法二 抽象函数不等式 21 考法三 三次函数图象及基本性质 29 角度1.三次函数的基本性质 29 角度2.三次函数零点问题 30 角度3.三次函数的对称性 34 考法四 恒成立求参 40 方法1.常规法（分参、讨论） 40 方法2.同构（指对） 47 考法五 导数中的对称性 56 考法一 切线问题 角度1.公切线 一、【题型总结】 ▲适用题型：求函数的公切线相关题型. ▲方法原理：公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 二、【典型例题】 1.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 【详解】对函数求导得，对求导得，设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点，则，由点在切线上得，由点在切线上得，这两条直线表示同一条直线，所以，解得. 2．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 3．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 【答案】-2 【难度】0.4 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】求导，由导数几何意义得到切线方程，对照系数得到，联立得到，故. 【详解】因为，，所以，， 则在点处的切线方程为，即； 在点处的切线方程为：，即， 由已知，由得，故， 故，解得， 所以，因此． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面： (1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数； (2) 已知斜率求切点即解方程； (3) 已知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解. 4．（2025·广东·一模）已知曲线与曲线只有一个公共点，则（   ） A． B．1 C．e D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】反函数的性质应用、求曲线切线的斜率（倾斜角）、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】方法一：把两曲线与有一个公共点，转化为方程只有一个实数解，通过分离常数求出值； 方法二：把两曲线与有一个公共点，转化成两曲线只有一个公切点，再利用几何意义求解； 方法三：利用原函数和反函数图像关于对称，且两函数图像都与相切于点，巧妙求出值. 【详解】方法一：由已知曲线与曲线只有一个公共点， 方程只有一个实数解，而，则只考虑， 即，令，则， 而在单调递增，且， 所以时，单调递减， 时，单调递增， 而时，；时，， 所以． 方法二：由已知曲线与曲线只有一个公共点， 则曲线与曲线只有一个公切点，设其坐标为， 根据函数的图像与函数的图像之间的关系， 所以有， 即，所以， 设，则在单调递减，而， 所以，所以． 方法三：由于函数的反函数为，两函数关于对称， 由于，令，则，即函数与函数相切于点， 同理，，令，即函数． 与函数也相切于点， 于是函数与函数相切于点，由选项可知，． 故选：B. 三、【习题检测】 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知曲线与曲线交于点，直线与曲线切于点，与曲线切于点，则的面积为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】联立方程可得，设切点，求导，可根据点斜式求解处的切线方程为，与二次函数联立，根据判别式为0可得，,以及切线方程，即可根据点点距离以及点到直线距离公式求解. 【详解】联立与可得，故，因此, 设，对求导可得， 故处的切线方程为，即， 联立与可得，由于相切，故，解得，且， 因此，,切线的方程为， 因此,点到直线的距离为， 故面积为， 故答案为： 2．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 【答案】/0.375 【难度】0.65 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】由题意得出两抛物线在第一象限相切，设两抛物线的公共切点为，借助导数，求出两条曲线在该点处的切线斜率，利用斜率相等建立方程求出切点坐标，代入函数即可得解. 【详解】 由题意可知，两抛物线与只可能在第一象限相切； 设两个抛物线相切于，在该点处的切线的斜率为， 抛物线在第一象限的图象为函数在第一象限的图象, 函数在该点处的切线的斜率为：， 所以有，解方程得：， 所以切点为代入，解得. 故答案为： 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）若曲线与曲线在点处有相同的切线，则 ． 【答案】2 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、已知切线（斜率）求参数、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据给定条件，利用两条曲线在点处的切线斜率相等求解即得. 【详解】显然点在曲线上，由求导得， 由求导得， 由曲线与曲线在点处有相同的切线，得， 所以. 故答案为：2 角度2.切线相关的范围问题 一、【题型总结】 ▲适用题型：切线相关的范围问题. ▲方法原理：利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题. 二、【典型例题】 1．（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】已知切线（斜率）求参数 【分析】通过设切点，利用导数的几何意义列出等式，再利用二次函数的性质求其最小值. 【详解】设直线与曲线的切点为. 对求导，根据，可得. 因为直线的斜率为，由导数的几何意义可知， 在切点处，即. 又因为切点既在直线上又在曲线上， 所以且，即. 将代入可得：，即. 将代入可得： ， 所以当，时，取得最小值为. 故选：A 2．（24-25高三下·广东·开学考试）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】设切点求出切线方程并代入，得到关于的等式，通过分离参数将切线条数转化为两函数图象交点个数问题，再构造函数利用导函数研究函数单调性，结合图象求参数范围可得. 【详解】依题意，设切点坐标为，由，求导得， 则函数的图象在点处的切线方程为. 由切线过点，得. 令，依题意，直线与函数的图象有3个公共点. ， 当或时，，函数在上单调递减； 当时，，则函数在上单调递增； 当时，函数取得极小值， 当时，函数取得极大值， 且当时，恒有.又，， 如图，作出函数的大致图象， 由形可知，当时，直线与函数的图象有3个公共点， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 3．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】已知切线（斜率）求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】利用导数分别求得与相切的切线方程，可得，进而可得有解，从而利用导数可求的范围. 【详解】设直线与相切于点，因为， 所以切线方程，即， 设直线与相切于点， 因为，所以切线方程，即， ， 所以有解， 令，， 所以函数在，上单调递减，在，上单调递增， 因为，，所以，所以， 的范围为. 故选：A. 【点睛】思路点睛：本题考查曲线公切线相关问题的求解，求解曲线公切线的基本思路是假设切点坐标，利用导数的几何意义分别求得两曲线的切线方程，根据切线方程的唯一性构造方程组来进行求解. 三、【习题检测】 1．已知，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值、导数的运算法则、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】根据导数的几何意义结合已知方程求出，的关系，再根据不等式中“1”的整体代换即可得出答案． 【详解】由，得， 令，得， 则，即， 所以，当且仅当时取等号. 故选：D． 2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】零点存在性定理的应用、求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】设切点为，根据条件，利用导数的几何意义，得到，构造函数，利用导数与函数单调性间的关系，得到在区间上单调递增，利用零点存在性原理，可得只有一解，即可求解. 【详解】设切点为，则， 又，所以切线斜率为， 又切线过点，所以，整理并化简得， 令，则， 令，则， 易知时，，时，， 则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上恒成立， 所以在区间上单调递增，又，， 所以存在唯一，使，所以切线只有一条， 故选：B. 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得的图象在点处的切线的斜率满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】对函数求导，求出导函数的取值范围，即的取值范围，再根据题干列不等式求解即可. 【详解】设在A点,B点的斜率分别为，因为， 所以，．当时，， 则．因为，，所以， 解得或， 故的取值范围是． 故答案为： 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数.若函数与函数存在两条公切线，则整数的最小值为_______. 【答案】 【难度】0.65 【详解】设公切线与两函数的图象分别相切于点和点， 因为， 所以直线的方程可表示为或， 则有，① ，② 由①可得，代入②可得， 即，令，则， 令，则，， 所以由复合函数的单调性可知在区间上单调递增， 又， 根据零点存在定理知，存在，使得， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增. 因为在上单调递增，所以， 则， 又为整数，所以，故所求整数的最小值是. 【点睛】方法点睛：对于函数与函数有相同的切线问题，一般设函数在点处与函数在点处有相同的切线，由，利用消元法，转化为方程有解求解. 角度3.切线间的位置关系 一、【典型例题】 （2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】根据对数的运算性质化简函数的解析式，结合导数的几何意义，互相垂直的两直线的斜率的关系分类讨论进行求解即可． 【详解】由， 不妨设，两切线的斜率分别为， 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当时，则有，此时，显然， 因此不成立，不符合题意； 当，则有， 此时，变形得． 故选：A 二、【习题检测】 1.（2024·湖北·模拟预测）若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、基本不等式求积的最大值、求平行线间的距离 【分析】先对函数求导，得导函数是偶函数，由在A，B两点处切线互相平行，可得，计算原点O到点A处切线的距离的最大值后可得两条平行线距离最大值. 【详解】由题意有，设， 所以函数在点A处的切线方程为， 所以原点O到点A处切线的距离为， 因为， 所以 当且仅当时等号成立， 因为是偶函数，且在A，B两点处切线互相平行， 所以，即在A，B两点处切线关于原点对称， 所以这两条平行线间的距离的最大值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键在于利用是偶函数，得到两条切线关于原点对称，故两条平行线距离最大值即为原点O到点A处切线的距离最大值的2倍. 2．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】两条切线平行、垂直、重合（公切线）问题 【分析】设函数在点和处的两条切线互相垂直，，，由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，进而根据切线方程求出A，B坐标，进而求解即可. 【详解】设函数在点和处的两条切线互相垂直， 如图，可得的零点为1，故不妨设，， 则，， 当时，，， 当时，，， 则，． 所以，即． 因为：，即， ：，即， 则，，因为，且， 故. 故答案为：2. 角度4.切线与距离最值 一、【题型总结】 ▲适用题型：一般是两条曲线上两点距离最值问题. ▲方法原理：数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法. 二、【典型例题】 1.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ） A． B． C． D． 【详解】由题意知函数与互为反函数，其图象关于直线对称，两曲线上点之间的最小距离就是与上点的最小距离的2倍.设上点处的切线与直线平行.则 点到的距离为 , 则的最小值为. 2．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】反函数的性质应用、已知切线（斜率）求参数、求点到直线的距离 【分析】依题意求出的反函数，将“镜像距离”转化成一对反函数图象上两点之间的距离，利用导函数的几何意义求出切线方程即可求得结果. 【详解】由函数可得，即, 所以的反函数为, 由点在曲线上可知点在其反函数上， 所以相当于上的点到曲线上点的距离， 即， 利用反函数性质可得与关于对称， 所以可得当与垂直时，取得最小值为2， 因此两点到的距离都为1， 过点的切线平行于直线，斜率为1，即， 可得，即， 点到的距离，解得， 当时，与相交，不合题意； 因此， 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用反函数性质将“镜像距离”问题转化为两函数图象上两点距离的最值问题，再由切线方程可解得参数值. 三、【习题检测】 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）若函数的图象上存在两点使得在处的切线与在处的切线的夹角为，则实数的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求曲线切线的斜率（倾斜角） 【分析】求出导函数，得出切线斜率的最大值和最小值，由斜率最大和最小的两条切线的夹角不小于可得参数范围． 【详解】，，， 设斜率最大与斜率最小的两条切线的夹角为， ，由题意，解得． 故答案为：． 【点睛】方法点睛：从动态角度看，斜率最大和最小的两条切线的夹角不小于时，移动其中一个切线的切点，则两条切线的夹角随之发生变化，当两切线重合时夹角变为0，由连续性的变化知中间一定存在夹角为的切线，由此得解法． 2．已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】分析函数单调性得图象，确定A，B两点之间距离的最小值的情况，利用导数的几何意义可得切线方程，从而求得最小距离. 【详解】由题意可得，令得 所以当，，函数单调递减，当，，函数单调递增，所以， 所以的图象如下图：    要使得A，B两点之间距离最小，即直线与平行时，当直线与曲线相切时， 与的距离即为A，B两点之间最小的距离， 令，解得．由， 所以直线的方程为，即 则与的距离的距离， 则A，B两点之间的最短距离是． 故答案为：． 3．（24-25高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ． 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、求点到直线的距离 【分析】先分析曲线与直线是否存在交点，若存在交点则距离的最小值为，若不存在交点，则问题转化为与直线平行的切线所对应的切点到直线的距离. 【详解】因为，所以与没有公共点， 则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为上任意一点与上任意一点之间距离最小值的2倍． 设为上的一点， 因，则过点的切线斜率为， 令，则， 故是递增函数，且当时，， 则存在唯一解，此时过点的切线与平行， 所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为点到直线的距离， 即， 所以上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为． 故答案为：. 考法二 抽象函数不等式 一、【题型总结】 ▲适用题型：含导函数的抽象函数涉及不等式类型. ▲方法原理：下列模型理解为主，无需记忆，核心是导数逆运算 1.模型整理： （1）对于，构造， （2）对于，构造 （3）对于，构造， （4）对于，构造 （5）对于，构造， （6）对于，构造 （7）对于，构造， （8）对于，构造 （9）对于，构造， （10）对于，构造 （11）对于，构造， （12）对于，构造 （13）对于，构造 （14）对于，构造 （15）；；； （16）；． 二、【典型例题】 1.是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，再分类讨论即可求解. 【详解】解：令，， 所以在上为常函数或递减, 若在上为单调递减，所以， 即①，② ①②两式相乘得： 所以， 若在上为常函数，且，则， 即③，④， ③④两式相乘得： 所以， 综上所述， 故选：A 2.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【详解】构造新函数,，当时.所以在上单减，又，即.所以可得,此时， 又为奇函数，所以在上的解集为：.故选A. 3．已知定义在上的函数的导函数为，任意，有，且，设，，，则 A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】根据题意构造函数，得到，得到是增函数，再根据题干得到g(x)是偶函数，代入解析式可得到最终结果. 【详解】构造函数，所以函数是增函数，因为，即， 故函数是偶函数，上函数是增函数，故 代入解析式得到<<，故. 故答案为A. 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数的单调性中的应用，以及函数奇偶性的应用，考查了利用单调性解决不等式问题，这道题目属于抽象函数解不等式；除此之外，如果题目中给出函数的解析式，但是通过直接解不等式非常麻烦的题目，也可以通过研究函数的单调性，奇偶性等来得到不等式的解集. 4.设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由题意构造函数，结合函数的解析式和导函数的符号可确定函数的单调性，由函数的单调性即可确定题中所给的不等式是否正确. 【详解】是函数定义在（0，+∞）上的导函数，满足， 可得， 令，则， ∴函数在（0，+∞）上单调递增． ∴， ∴． 故选B． 【点睛】本题考查函数与导数的应用，正确构造函数，熟练掌握利用导数研究函数的单调性是解题的关键． 三、【习题检测】 1．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造一个新的函数，然后根据函数的单调性来确定不等式的解集. 【详解】设. 对求导，则. 已知，即，而恒成立，所以恒成立. 这说明函数在上单调递增. 已知，则. 不等式可变形为，即，也就是. 因为在上单调递增，所以. 不等式的解集为，. 故选：B 2.记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【分析】因为，可构造函数，利用导数可知，在单调递增，即可得，化简即可判断出正确选项． 【详解】不妨设，因为，设，则, 所以在单调递增，所以，即，从而． 故选：A． 【点睛】本题主要考查利用导数解决函数的单调性问题，解题关键是构造出合适的函数模型，意在考查学生的数学建模能力，属于中档题． 3.定义在上的函数满足（其中为的导函数），则下列各式成立的是 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构建新函数，根据题设条件有在上为增函数，从而得到，化简后可得. 【详解】 ，即 令，则在上为增函数，，即，亦即 ，亦即，故选. 【点睛】如果题设中有关于函数及其导数的不等式，我们应根据该式的形式构建新函数并且新函数的单调性可根据题设中的不等式得到，构建新函数时可借鉴导数的运算规则. 4．已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.4 【知识点】判断指数函数的单调性、利用导数求函数的单调区间（不含参）、根据函数的单调性解不等式、由函数奇偶性解不等式 【分析】首先根据函数是定义在上的偶函数得，再求导得，结合函数也是偶函数，得，从而得导函数的解析式，最后利用导函数研究函数的单调性即可解出实数的范围. 【详解】由题意，是定义在上的偶函数，则，所以， 即，又也是偶函数，所以， 所以，即， 因为函数是R上的减函数，也是减函数， 所以函数是R上的减函数； 令，即，解得， 当时，，此时函数在上单调递增， 当时，，此时函数在上单调递减， 又函数是上的偶函数， 所以由，可得，解得， 因此，实数的范围是， 故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是根据，求导得，进而得导函数的解析式，再利用导函数研究函数的单调性. 5．已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意得函数关于直线对称，，进而构造函数，易得其关于点对称，在上单调递增，再分时和时两种情况讨论求解即可. 【详解】解：因为定义在上的函数满足为偶函数， 所以函数关于直线对称，即. 因为当，有，即， 故令，则在上单调递增， 因为， 所以关于点对称， 所以在上单调递增， 因为，所以 所以，当时，，所以. 当时，，所以且，即无解. 所以，不等式的解集是 故选：A 6．（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】简单复合函数的导数 【分析】构造函数，对其求导并结合已知可得，所以，即可解不等式. 【详解】令，则， 故（c为常数）， ∵，∴，， ∴， 令，解得． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：根据已知构造函数，对其求导可确定函数. 7．（24-25高三上·广东·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数的单调性解不等式、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造，求导得出函数的单调性，利用单调性解不等式即可． 【详解】解：令 则，， 当时，， 所以当时，， ，故在上为减函数， 令， 则， 所以， 故不等式的解集为 故答案为： 考法三 三次函数图象及基本性质 角度1.三次函数的基本性质 一、【题型总结】 ▲适用题型：涉及三次函数的题型. ▲方法原理： 1.基本性质 设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有： 性质1： ①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． ③单调性和图像：求导即证 图像 二、【典型例题】 （多选题2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 角度2.三次函数零点问题 一、【题型总结】 ▲适用题型：三次函数零点相关的题型. ▲方法原理： 1.三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数：， 判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得： （1） 若，则恰有一个实根； （2） 若，且，则恰有一个实根； （3） 若，且，则有两个不相等的实根； （4）若，且，则有三个不相等的实根． 说明：（1）（2）含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）； （5）有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且； （6）有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号．所以且． 2.对三次函数，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系. 证明：，由待定系数法可得： 二、【典型例题】 （多选·24-25高三上·湖北·期末）已知函数，则下列命题中正确的是（    ） A．0是的极小值点 B．有可能有三个零点 C．当时， D．若存在极大值点，且，其中，则 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】讨论a的取值情况，利用导数研究函数的单调性和极值，进而判断A，B；当时，利用导数得到函数的单调性，判断，的大小关系，进而判断C；若存在极大值点，则，即，因为，化简等式，即可判断 【详解】解：由题意可得， 令，当时，得或， 对于A，当时， 令，解得或，则在和上单调递增， 令，解得，则在上单调递减， 所以在处取得极小值， 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值； 当时，，在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值，故A正确； 对于B，当时， 在和上单调递增，在上单调递减， 当，，且先增后减再增，且在处取得极小值，此时只有一个零点. 同理，当时，在和上单调递减，在上单调递增，先减后增再减，且在处取得极小值, 当，，此时此时只有一个零点. 当时，，没有零点，故B错误； 对于C，当时，在上单调递减， 又，，所以，故C正确； 对于D，若存在极大值点，则，即， 因为，所以， 所以，， 即， 又，所以，故D正确. 故选： 三、【习题检测】 （2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】写出，并求出极值点，转化为极大值大于0且极小值小于0即可. 【详解】，则， 若要存在3个零点，则要存在极大值和极小值，则， 令，解得或， 且当时，， 当，， 故的极大值为，极小值为， 若要存在3个零点，则，即，解得， 故选：B. 角度3.三次函数的对称性 一、【题型总结】 ▲适用题型：涉及三次函数对称性的题型. ▲方法原理： 1.对称性：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；； （1）原因：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．三次函数，其导函数为二次函数：，易知导函数的对称轴即为三次函数对称中心横坐标 （2）是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心. 二、【典型例题】 （多选·2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 【答案】AD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点、判断零点所在的区间 【分析】A选项，先分析出函数的极值点为，根据零点存在定理和极值的符号判断出在上各有一个零点；B选项，根据极值和导函数符号的关系进行分析；C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴，则为恒等式，据此计算判断；D选项，若存在这样的，使得为的对称中心，则，据此进行计算判断，亦可利用拐点结论直接求解. 【详解】A选项，，由于， 故时，故在上单调递增， 时，，单调递减， 则在处取到极大值，在处取到极小值， 由，，则， 根据零点存在定理在上有一个零点， 又，，则， 则在上各有一个零点，于是时，有三个零点，A选项正确； B选项，，时，，单调递减， 时，单调递增， 此时在处取到极小值，B选项错误； C选项，假设存在这样的，使得为的对称轴， 即存在这样的使得， 即， 根据二项式定理，等式右边展开式含有的项为， 于是等式左右两边的系数都不相等，原等式不可能恒成立， 于是不存在这样的，使得为的对称轴，C选项错误； D选项， 方法一：利用对称中心的表达式化简 ，若存在这样的，使得为的对称中心， 则，事实上， ， 于是 即，解得，即存在使得是的对称中心，D选项正确. 方法二：直接利用拐点结论 任何三次函数都有对称中心，对称中心的横坐标是二阶导数的零点， ，，， 由，于是该三次函数的对称中心为， 由题意也是对称中心，故， 即存在使得是的对称中心，D选项正确. 故选：AD 【点睛】结论点睛：（1）的对称轴为；（2）关于对称；（3）任何三次函数都有对称中心，对称中心是三次函数的拐点，对称中心的横坐标是的解，即是三次函数的对称中心 三、【习题检测】 1．（多选·24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数，则（   ） A． B．若函数单调递增，则 C．当时，函数的图象关于点中心对称 D．若存在，使得，则a的最大值是1 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】函数对称性的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用配方法判断A；利用导数判断B；利用中心对称的性质判断C；分类讨论判断 【详解】解：因为， 所以，A错误； 求导数，， 所以，所以，B正确； 当时，， 所以， 所以函数的图象关于点中心对称，C正确； 当时，，满足题意； 当时，若, 则， 故在上无解，故，所以a的最大值是1，D正确. 故选: 2．（多选·24-25高三上·湖北武汉·期末）设函数，则（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，有两个极值点 C．对，点是的对称中心 D．当时，直线不是的切线 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】判断或证明函数的对称性、已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】选项A根据可判断；选项B根据极点的定义判断即可；选项C由可判断；选项D，根据斜率为0求得切线为可判断. 【详解】由得， 选项A：当时，，故在上单调递增，故A正确； 选项B：当时，，可得， 当时，，当时，， 当时，， 故有两个极值点，故B正确； 选项C：，， 故的对称中心为，故C正确； 选项D：当时，，得 由得，， 故斜率为0时切线方程为，即，故D错误， 故选：ABC 3．（多选·2025·山东枣庄·二模）已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，直线与曲线有三个交点，，则 【答案】ACD 【难度】0.4 【知识点】求过一点的切线方程、用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数研究方程的根 【分析】A选项，求导，得到导函数大于0恒成立，故A正确；B选项，时，导函数大于等于0恒成立，B错误；C选项，设切点，由几何意义得到切线方程，将代入，整理得到，构造设，求导得到单调性，数形结合得到只有1个根-2，C正确；D选项，若，此时直线与曲线只有1个交点，不合要求，故，联立直线与曲线得到，令，变形得到. 【详解】A选项，时，， 恒成立，故函数在上单调递增，A正确； B选项，，当时，恒成立， 此时在R上单调递增，无极值，B错误； C选项，显然不在上，设切点为， 因为，所以， 故切线方程为， 又切线过点，故， 整理得， 设，则 令得或， 令得或，令得， 故在上单调递增，在上单调递减， 其中，， 又，故只有1个根-2， 故过点且与曲线相切的直线有且仅有一条，C正确； D选项，当时，， 若，直线， 此时与曲线只有1个交点，不合要求，故， ，直线与曲线联立得 ， 设， 故， 所以，则，D正确. 故选：ACD 考法四 恒成立求参 方法1.常规法（分参、讨论） 一、【题型总结】 ▲适用题型：已知不等式恒成立（任意）求参数问题； ▲方法原理： 1.若在上恒成立在上的最大值. 2.若在上恒成立在上的最小值. 3.满足则 二、【典型例题】 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）若不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】令，依题意可得恒成立，求出函数的导函数，分、两种情况讨论，说明函数的单调性，求出，即可得到，从而得到，再利用导数求出的最小值，即可得解. 【详解】令，则恒成立， 又， 当时，恒成立，所以在上单调递增，且时，不符合题意； 当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以， 所以， 所以， 令，， 则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，所以，即的取值范围是. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是推导出，从而得到. 2．已知函数，设，对任意且，有恒成立，则的范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】可设，由此能得到，根据单调性的定义，令，要使函数在上是增函数，只要函数在上的导数值大于等于即可，继而求出的范围. 【详解】由题意可得， 不妨设，恒成立，即恒成立， 令，即， ， 要使在上为增函数，只要在上恒成立， 即对恒成立， 解得， 故答案为： 3．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、解不含参数的一元二次不等式、由对数函数的单调性解不等式 【分析】原问题等价于恒成立，据此将所得的不等式进行恒等变形，可得，由右侧函数的单调性可得实数的二次不等式，求解二次不等式后可确定实数的取值范围. 【详解】由函数的解析式可得在区间上恒成立， 则，即在区间上恒成立， 故，而，故， 故即，故， 结合题意可得实数的取值范围是. 故答案为：. 三、【习题检测】 1．已知函数，，使得，的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、定义法判断或证明函数的单调性 【分析】不妨设，把化为，构造函数，利用的导数，求出的取值范围． 【详解】不妨设, ∵， 即，, 构造函数， ∴在是单调递增函数， ∴,∴ 当时，，，所以， 所以， 所以的取值范围为 故答案为： 2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在单调递增，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、二倍角的余弦公式、一元二次不等式在某区间上的恒成立问题 【分析】根据导数与函数单调性的关系，由函数在单调递增得到不等式，利用三角恒等变换、换元法转化为一元二次不等式在闭区间上的恒成立问题，运算即可得解. 【详解】解：函数的导数为， 由题意，函数在上单调递增， ∴在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则，， ∵在上恒成立， ∴在上恒成立， 又∵的图象是开口向下的抛物线， ∴，解得：. ∴的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：导数与函数单调性的关系： 1.是函数在区间上单调递增（减）的充分不必要条件. 2.是函数在区间上单调递增（减）的必要不充分条件. 3.若在区间的任意子区间上都不恒等于零，则是函数在区间上单调递增（减）的充要条件. 3.已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】 根据函数的单调性可得在上恒成立，讨论a的取值范围，参变分离，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，即可求解. 【详解】因为函数，故函数， 由题意可知在上恒成立，（不恒等于0）， 当时，，不符合题意； 当时， ，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，则， 当时，递增，当时，递减， 故，故 ， 当时，仅在时取等号，符合题意； 当时， ，则在上恒成立， 即在上恒成立， 由上述分析可知无最小值，且当时，， 比如取时，，即此时在上不恒成立， 综合上述可得a的取值范围为， 故答案为：. 【点睛】方法点睛：本题是根据函数的单调性，求解参数范围，实质上是不等式恒成立问题，解决这类问题的一般方法是：利用导数列出不等式恒成立，然后参变分离，根据分离后的式子特征构造合适的函数，进而将恒成立问题转化为函数最值问题解决. 4.已知函数，其中且．若函数为单调函数，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】若单调递增，则，即，，不满足；若单调递减，则，进而可得，对求导分析单调性，求出最大值，即可得出答案. 【详解】由题意，. 若函数单调递增，则，所以，即， 所以，又时，，不满足； 若函数单调递减，则，所以，即， 所以，考查，. 当时，，不满足； 当时，，令有，当时，单调递增；当时，单调递减. 故，则，即，即，则，故，即，解得. 综上有. 故答案为： 方法2.同构（指对） 一、【题型总结】 ▲方法原理： 1.常见变形： ① 且 时，有 ② 当 且 时，有， 2.五个常见变形： ， ， ， ， 拓展：， 3.三种基本模式： ①积型： 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知. ②商型： ③和差型： 二、【典型例题】 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）对于，恒成立，则正数的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】原不等式恒成立转化为，两边同乘以后可同构函数， 由其单调性可化为恒成立，利用导数求出的最大值即可得解. 【详解】由恒成立可得，即恒成立， 由，可得恒成立， 令，则， 由知，函数单调递增， 所以恒成立， 则恒成立，即恒成立， 令，则， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 所以当时，， 所以只需，即. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于转化为后，能够两边同乘以，同构出函数，再由单调性化简为恒成立. 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，若，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】根据给定条件，换元变形并构造函数，利用导数求出最大值即可求出范围. 【详解】令函数在上单调递减，且， 则，即，而，于是， 令，求导得，当时，，当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 因此，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点点睛：换元变形不等式，再分离参数并构造函数是解题的关键. 3．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参）、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由题设有，构造，利用导数研究其单调性及值域，将问题转化为在上恒成立，再构造结合导数求参数范围. 【详解】由，可得， 即，令，则在上恒成立， 所以，由可得，由可得， 所以在上递增，在上递减，且， 在上，上，而， 所以，必须且只需在上恒成立，即恒成立， 令，则，即在上递增， 故， 故a的取值范围为. 故选：D. 【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法： 若在区间上有最值，则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 若能分离常数，即将问题转化为：（或），则 （1）恒成立：；； （2）能成立：；. 4．（2024·浙江·模拟预测）已知对恒成立，则的最大值为（    ） A．0 B． C．e D．1 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由题意得对恒成立，令，利用导数求得，即，再令，利用导数求出的最小值，可求出的取值范围，从而可求出的最大值. 【详解】由，得， 所以对恒成立， 令，则在上单调递增， 由，得， 当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，即 令， 则在上单调递增， 由，得， 所以当时，，当时，， 所以在上递减，在上递增， 所以，所以， 所以的最大值为1. 故选：D 【点睛】关键点点睛：此题考查利用导数解决不等式恒成立问题，考查利用导数求函数的最值，解题的关键是通过对原不等式变形，将问题转化为对恒成立，然后构造函数，利用导数求出最值即可，考查数学转化思想和计算能力，属于较难题. 三、【习题检测】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测），，则实数a的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】由已知可得，当时，显然不成立，故，分析可知只需考虑的情况，令，求导可得其单调性，进而可得时，恒成立，求得的最大值即可. 【详解】，，变形为，即， 显然若，当时，，不等式不成立，故， 从而，此时，若，则，故不等式恒成立， 故只需考虑的情况. 令，则， 因，所以，则在上递增， 又时，，，而即， 从而时，恒成立，也即时，恒成立， 令，则， 当时，，在上递增， 当时，，上递减， 则有最大值为， 所以，即. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于求不等式恒成立时的参数范围，一般有三种方法： 一是参变分离法，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个区间上具体的函数，通过求函数的最值解决问题； 二是讨论分析法，根据参数取值情况分类讨论解决问题； 三是数形结合，将不等式转化为两个函数，通过两个函数图象确定参数范围. 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究能成立问题 【分析】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 3．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知对任意的正数，不等式 恒成立，则正数的最大值为（     ） A． B． C． D．1 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】对数的运算性质的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】利用不等式两边同构函数，设，从而转化问题为恒成立，进而结合导数分析函数的单调性得到对恒成立，进而得到对恒成立，即，再构造函数，，进而结合导数求解即可. 【详解】由对恒成立，且， 即恒成立， 即恒成立， 设，则， 因为，即， 即函数在上单调递增， 则由恒成立， 可以转化为恒成立， 即对恒成立， 即对恒成立，即. 设，，则， 令，即；令，即， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，即， 又，所以实数a的取值范围为. 故选：. 【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是观察原不等式的特点，利用同构函数思想，将问题转化为恒成立，再结合导数进行求解即可. 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知实数 满足，则 的值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【分析】构造函数和即可求导，得函数的最值，进而根据得，求解. 【详解】由题意可得， 设则， 故，即， 令，则 当时，，， 故在单调递增，在单调递减， 所以， 令则， 故当，故在单调递减，在单调递增， 故， 由题意可知故，， 此时且解得，故， 故选：A 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 5．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】将不等式变形为，构造函数，分析可知该函数为增函数，可得出，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，即可得出实数的取值范围. 【详解】因为，由可得，即函数的定义域为， 可得， 即， 构造函数，其中，则，故函数在上单调递增， 所以，可得，则， 即，其中，令，其中， 则，当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，，解得. 综上， 故选：A. 【点睛】关键点点睛：解本题的关键在于将不等式变形为，结合不等式的结果构造函数，转化为函数的单调性以及参变量分离法求解. 考法五 导数中的对称性 一、【题型总结】 ▲适用题型：导数中涉及对称的题型包括解答题. ▲方法原理： 1.对称性： （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． 注意：对称的函数其定义域也对称 二、【典型例题】 1.（2024·全国·高考真题）已知函数 证明：曲线是中心对称图形； 【详解】的定义域为， 设为图象上任意一点，关于的对称点为， 因为在图象上，故， 而， ，所以也在图象上， 由的任意性可得图象为中心对称图形，且对称中心为. 2．（2025·广东佛山·二模）设函数，，曲线和恰有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】由得到，构造函数，利用的单调性、奇偶性及的性质，结合条件，即可求解. 【详解】由，得到，当时，得到，不满足题意， 则，由，得到， 令，则，易知时，，时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增，则， 又的定义域为，且，即的偶函数，其图象如图， 又易知为偶函数，若，则， 此时，与的交点个数为个或交点成对出现，不合题意， 所以，且，解得，    故选：B. 三、【习题检测】 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间单调递增 D． 【答案】BD 【难度】0.4 【知识点】函数对称性的应用、用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】A项由可得；B项证明可得；C项由区间内存在导数值异号的点可知不单调；D项，根据函数的对称性，利用三角函数的性质，借助导数研究单调性，分区间讨论函数范围可得. 【详解】由，解得， 故的定义域为. 选项A，由， 可得，所以的图象不关于点对称，故A错误； 选项B，由 ； 且 ； 可得，所以的图象关于直线对称，故B正确； 选项C，， 则，，且当时， 又，， 由此可知在区间不单调，故C错误； 选项D，， 由B项推理可知，图象关于对称，且， 故只需分析当时，的范围. ①当时，则，所以， 又， 由，，则， 故当时，恒有； ②当时，， 可知在单调递减； 又由C项推理可知，故， 所以在单调递增，从而， 故当，也恒有； 综上所述，当，. 则由对称性可知，在定义域内恒成立，故D正确. 故选：BD. 【点睛】方法点睛：对于三角函数与指、对数函数等组合型函数性质的研究，一般需要结合三角函数的单调性与有界性，进行分区间讨论，在不同区间上，可借助导函数、不等式性质、函数有界性等知识解决问题. 2．（2025·广东深圳·一模）已知函数，其中． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：曲线是轴对称图形； (3)若在R上恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)在上单调递增. (2)证明过程见解析. (3). 【难度】0.15 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）去绝对值求导函数，根据导函数正负判断原函数增减； （2）去绝对值判断函数为偶函数，从而确定其关于轴对称； （3）先讨论时不等式恒成立，此时可就分类讨论后得，在此条件下再讨论不等式恒成立，从而可求参数的范围. 【详解】（1）当时，函数，求导得：； 当时，， ，，， 当时，. 当时，函数在上单调递增. （2）当时，函数 ， 为偶函数，关于轴对称； 所以当时，曲线是轴对称图形. （3）在上恒成立，， 当时，有， 又， 当时，在上恒成立， 故在上为减函数，故，此时不等式恒成立， 若，， 此时当时，， 故不成立， 故当时，若不等式恒成立，则. 若，则， 又， 当时，，故 若，此时在上恒成立，故在上为减函数， 故在上恒成立，与题设矛盾； 若，当 时，有， 这与题设矛盾， 若，则，故在上为增函数， 故恒成立， 综上所述：的取值范围. 【点睛】方法点睛：导数背景下的含参不等式恒成立问题，可将导函数的值域求出，从而得到导函数符号讨论的分类点，再结合函数的单调性及零点处理不等式成立. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数小题常见考法 考法一 切线问题 1 角度1.公切线 1 角度2.切线相关的范围问题 7 角度3.切线间的位置关系 13 角度4.切线与距离最值 16 考法二 抽象函数不等式 21 考法三 三次函数图象及基本性质 29 角度1.三次函数的基本性质 29 角度2.三次函数零点问题 30 角度3.三次函数的对称性 34 考法四 恒成立求参 40 方法1.常规法（分参、讨论） 40 方法2.同构（指对） 47 考法五 导数中的对称性 56 考法一 切线问题 角度1.公切线 一、【题型总结】 ▲适用题型：求函数的公切线相关题型. ▲方法原理：公切线问题应根据两个函数在切点处的斜率相等，并且切点不但在切线上而且在曲线上，罗列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组进行求解． 二、【典型例题】 1.若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 ． 2．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 3．（24-25高三上·山东聊城·阶段练习）一条直线与函数和的图象分别相切于点和点，则的值为 ． 4．（2025·广东·一模）已知曲线与曲线只有一个公共点，则（   ） A． B．1 C．e D． 三、【习题检测】 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知曲线与曲线交于点，直线与曲线切于点，与曲线切于点，则的面积为 . 2．（2025·浙江·一模）在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线与相切，则 . 3．（24-25高三上·广东深圳·期末）若曲线与曲线在点处有相同的切线，则 ． 角度2.切线相关的范围问题 一、【题型总结】 ▲适用题型：切线相关的范围问题. ▲方法原理：利用导数的几何意义，求出导函数的值域，从而求出切线斜率的取值范围问题. 二、【典型例题】 1．（2025·广东佛山·一模）若直线与曲线相切，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 2．（24-25高三下·广东·开学考试）若过点可以作的三条切线，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·浙江金华·三模）若存在直线与曲线，都相切，则a的范围为（    ） A． B． C． D． 三、【习题检测】 1．已知，直线与曲线相切，则的最小值是（   ） A．16 B．12 C．8 D．4 2．（24-25高三下·江苏苏州·开学考试）过点作曲线的切线，则切线条数最多为（    ） A． B． C． D． 3．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的图象上存在不同的两点，使得的图象在点处的切线的斜率满足，则的取值范围是 ． 4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）已知函数.若函数与函数存在两条公切线，则整数的最小值为_______. 角度3.切线间的位置关系 一、【典型例题】 （2025·山东菏泽·一模）曲线在，两点处的切线互相垂直，则的值为（） A． B．0 C．1 D． 二、【习题检测】 1.（2024·湖北·模拟预测）若函数在不同两点，处的切线互相平行，则这两条平行线间距离的最大值为 . 2．（2025·山东青岛·一模）已知函数图象的两条切线相互垂直，并分别交轴于A，B两点，则 . 角度4.切线与距离最值 一、【题型总结】 ▲适用题型：一般是两条曲线上两点距离最值问题. ▲方法原理：数形结合的思想方法解决，常用方法平移切线法. 二、【典型例题】 1.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·吉林长春·期末）已知点，定义为的“镜像距离”．若点在曲线上，且的最小值为2，则实数的值为 . 三、【习题检测】 1．（24-25高三上·河南·阶段练习）若函数的图象上存在两点使得在处的切线与在处的切线的夹角为，则实数的取值范围是 . 2．已知点A在函数的图象上，点B在直线上，则A，B两点之间距离的最小值是 ． 3．（24-25高三下·河南周口·开学考试）记曲线关于直线的对称曲线为，则上任意一点与上任意一点之间距离的最小值为 ． 考法二 抽象函数不等式 一、【题型总结】 ▲适用题型：含导函数的抽象函数涉及不等式类型. ▲方法原理：下列模型理解为主，无需记忆，核心是导数逆运算 1.模型整理： （1）对于，构造， （2）对于，构造 （3）对于，构造， （4）对于，构造 （5）对于，构造， （6）对于，构造 （7）对于，构造， （8）对于，构造 （9）对于，构造， （10）对于，构造 （11）对于，构造， （12）对于，构造 （13）对于，构造 （14）对于，构造 （15）；；； （16）；． 二、【典型例题】 1.是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数a，b，若，则必有（    ） A． B． C． D． 2.设函数是奇函数（）的导函数，，当时，，则使得成立的的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在上的函数的导函数为，任意，有，且，设，，，则 A． B． C． D． 4.设是函数定义在上的导函数，满足，则下列不等式一定成立的是 A． B． C． D． 三、【习题检测】 1．（24-25高三下·重庆南岸·阶段练习）函数的定义域为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 2.记定义域为的函数的导函数为，且对任意的都有，则（    ） A． B． C． D． 3.定义在上的函数满足（其中为的导函数），则下列各式成立的是 A． B． C． D． 4．已知是定义在上的偶函数，且也是偶函数，且，则实数的范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数满足为偶函数，且当，有，若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三下·重庆·开学考试）已知函数在上可导且，其导函数满足：，则的解集为 ． 7．（24-25高三上·广东·阶段练习）定义在上的函数的导函数为，当时，且，则不等式的解集为 ． 考法三 三次函数图象及基本性质 角度1.三次函数的基本性质 一、【题型总结】 ▲适用题型：涉及三次函数的题型. ▲方法原理： 1.基本性质 设三次函数为：(、、、且)，其基本性质有： 性质1： ①定义域为．②值域为，函数在整个定义域上没有最大值、最小值． ③单调性和图像：求导即证 图像 二、【典型例题】 （多选题2024·全国·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 角度2.三次函数零点问题 一、【题型总结】 ▲适用题型：三次函数零点相关的题型. ▲方法原理： 1.三次方程的实根个数 由于三次函数在高考中出现频率最高，且四次函数、分式函数等都可转化为三次函数来解决，故以三次函数为例来研究根的情况，设三次函数 其导函数为二次函数：， 判别式为：△=，设的两根为、，结合函数草图易得： （1） 若，则恰有一个实根； （2） 若，且，则恰有一个实根； （3） 若，且，则有两个不相等的实根； （4）若，且，则有三个不相等的实根． 说明：（1）（2）含有一个实根的充要条件是曲线与轴只相交一次，即在R上为单调函数（或两极值同号），所以（或，且）； （5）有两个相异实根的充要条件是曲线与轴有两个公共点且其中之一为切点，所以，且； （6）有三个不相等的实根的充要条件是曲线与轴有三个公共点，即有一个极大值，一个极小值，且两极值异号．所以且． 2.对三次函数，如果其存在三个实根，则有.称为三次方程根与系数关系. 证明：，由待定系数法可得： 二、【典型例题】 （多选·24-25高三上·湖北·期末）已知函数，则下列命题中正确的是（    ） A．0是的极小值点 B．有可能有三个零点 C．当时， D．若存在极大值点，且，其中，则 三、【习题检测】 （2023·全国乙卷·高考真题）函数存在3个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 角度3.三次函数的对称性 一、【题型总结】 ▲适用题型：涉及三次函数对称性的题型. ▲方法原理： 1.对称性：三次函数是中心对称曲线，且对称中心是；； （1）原因：奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．三次函数，其导函数为二次函数：，易知导函数的对称轴即为三次函数对称中心横坐标 （2）是函数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.任何一个三次函数都有“拐点”且“拐点”就是三次函数图象的对称中心. 二、【典型例题】 （多选·2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．当时，有三个零点 B．当时，是的极大值点 C．存在a，b，使得为曲线的对称轴 D．存在a，使得点为曲线的对称中心 三、【习题检测】 1．（多选·24-25高三上·湖北武汉·期末）已知函数，则（   ） A． B．若函数单调递增，则 C．当时，函数的图象关于点中心对称 D．若存在，使得，则a的最大值是1 2．（多选·24-25高三上·湖北武汉·期末）设函数，则（    ） A．当时，在上单调递增 B．当时，有两个极值点 C．对，点是的对称中心 D．当时，直线不是的切线 3．（多选·2025·山东枣庄·二模）已知函数，则（    ） A．当时，函数在上单调递增 B．当时，函数有两个极值 C．过点且与曲线相切的直线有且仅有一条 D．当时，直线与曲线有三个交点，，则 考法四 恒成立求参 方法1.常规法（分参、讨论） 一、【题型总结】 ▲适用题型：已知不等式恒成立（任意）求参数问题； ▲方法原理： 1.若在上恒成立在上的最大值. 2.若在上恒成立在上的最小值. 3.满足则 二、【典型例题】 1．（24-25高三上·湖北·开学考试）若不等式恒成立，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，设，对任意且，有恒成立，则的范围为 . 3．（2023·全国乙卷·高考真题）设，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 . 三、【习题检测】 1．已知函数，，使得，的取值范围为 ． 2．（23-24高三上·广东深圳·阶段练习）若函数在单调递增，则的取值范围是 ． 3.已知函数在上单调递减，则a的取值范围为 ． 4.已知函数，其中且．若函数为单调函数，则实数a的取值范围为 ． 方法2.同构（指对） 一、【题型总结】 ▲方法原理： 1.常见变形： ① 且 时，有 ② 当 且 时，有， 2.五个常见变形： ， ， ， ， 拓展：， 3.三种基本模式： ①积型： 说明：在对“积型”同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，单调性一看便知. ②商型： ③和差型： 二、【典型例题】 1．（24-25高三上·安徽·阶段练习）对于，恒成立，则正数的范围是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南·阶段练习）已知，若，恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．若关于x的不等式对恒成立，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2024·浙江·模拟预测）已知对恒成立，则的最大值为（    ） A．0 B． C．e D．1 三、【习题检测】 1．（2025·江苏泰州·模拟预测），，则实数a的取值范围为 . 2．（2025·湖北·模拟预测）已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三下·重庆渝中·阶段练习）已知对任意的正数，不等式 恒成立，则正数的最大值为（     ） A． B． C． D．1 4．（24-25高三下·重庆沙坪坝·开学考试）已知实数 满足，则 的值为（    ） A． B． C． D．3 5．（24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知函数，若对于任意的使得不等式成立，则实数的取值范围（    ） A． B． C． D． 考法五 导数中的对称性 一、【题型总结】 ▲适用题型：导数中涉及对称的题型包括解答题. ▲方法原理： 1.对称性： （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． 注意：对称的函数其定义域也对称 二、【典型例题】 1.（2024·全国·高考真题）已知函数 证明：曲线是中心对称图形； 2．（2025·广东佛山·二模）设函数，，曲线和恰有一个交点，则（    ） A． B． C． D． 三、【习题检测】 1．（多选·24-25高三上·山东青岛·期末）已知函数，则（   ） A．的图象关于点对称 B．的图象关于直线对称 C．在区间单调递增 D． 2．（2025·广东深圳·一模）已知函数，其中． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时，证明：曲线是轴对称图形； (3)若在R上恒成立，求的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$