导数的概念和运算 讲义-2025届高三数学一轮复习

导数的基本概念和运算 考点一：导数的概念 1．导数的定义 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 要点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 要点诠释： 函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。 (2)导数的几何意义： 函数在点x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。 要点诠释： ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。 ②，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；，切线与轴平行。 (3)曲线的切线方程 如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为： 。 类型一：导数概念的应用 1．若曲线在点处的切线方程为，那么（ ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【解析】∵曲线在点处的切线斜率为，切线方程为 ∴ ∴ 故选B 2．如图，直线是曲线在处的切线，则=（ ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【解析】由图可知 又过直线， 即 故选 例1、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。 【解析】∵ ∴ ∴。 例2、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程. 【解析】设. 由f(1)=3，故切点为（1，3）， 切线方程为y―3=5(x―1)，即y=5x―2. 举一反三： 1．函数在处的导数的几何意义是（ ） A．在处的函数值 B．在点 处的切线与轴所夹锐角的正切值 C．曲线在点处的切线斜率 D．点与点(0,0)连线的斜率 【答案】C 【解析】由导数的几何意义可知， 函数在处的导数为曲线在点处的切线的斜率． 故选C 【变式1】已知函数 （1）求函数在x=4处的导数. （2）求曲线上一点处的切线方程。 【答案】 （1） （2）由导数的几何意义知，曲线在点处的切线斜率为， ∴所求切线的斜率为。 ∴所求切线方程为，整理得5x+16y+8=0。 【变式2】过点，曲线的切线方程为 。 【答案】设所求切线的切点坐标为P（x0，y0），则切线斜率为 则所求切线方程为，又因为切线过点，代入， 或 所以切线方程为或 【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程. 【答案】由题意知， ∴曲线在（0，1）处的切线的斜率 ∴该切线方程为设的方程为， 则，解得，或. 当时，的方程为；当时，的方程为 综上可知，的方程为或. 考点二：常见基本函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8）， 考点三：函数四则运算求导法则 设，均可导 （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 类型二：利用公式及运算法则求导数 例3．求下列函数的导数： （1）； （2） （3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4 【解析】 （1）. （2）. （3）∵，∴. （4） 例4．求下列各函数的导函数 （1）；（2）y=x2sinx; （３）y=； （４）y= 【解析】 （1）法一：去掉括号后求导. 法二：利用两个函数乘积的求导法则 =2x(2x－3)+(x2+1)×2 =6x2－6x+2 （2）y′=（x2）′sinx＋x2（sinx）′=2xsinx＋x2cosx （３）= （4） = = 举一反三： 【变式4】求下列函数的导数： （1）； （2） （3）y=6x3―4x2+9x―6 【答案】 （1）. （2） ∴. （3） 【变式5】求函数的导数 【答案】 ∴ 考点四：复合函数的求导法则 或 即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。 要点诠释： 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。 类型四：复合函数的求导问题 例5．求下列函数导数. （1）； （2）； （3）； （4）. 【解析】 （1），. . （2）， ∴ （3），. ∴ （4），， ∴ . 举一反三： 【变式6】求下列函数的导数： (1)； （2） 【答案】 (1)令,, （2）令 学科网（北京）股份有限公司 $$ 导数的基本概念和运算 考点一：导数的概念 1．导数的定义 对函数，在点处给自变量x以增量，函数y相应有增量。若极限存在，则此极限称为在点处的导数，记作或，此时也称在点处可导。 即：（或） 要点诠释： ①增量可以是正数，也可以是负数； ②导数的本质就是函数的平均变化率在某点处的极限，即瞬时变化率。 2．导函数： 如果函数在开区间内的每点处都有导数，此时对于每一个，都对应着一个确定的导数，从而构成了一个新的函数, 称这个函数为函数在开区间内的导函数，简称导数。 函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 要点诠释： 函数的导数与在点处的导数不是同一概念，是常数，是函数在处的函数值，反映函数在附近的变化情况。 3．导数几何意义： （1）曲线的切线 曲线上一点P(x0，y0)及其附近一点Q(x0+△x,y0+△y)，经过点P、Q作曲线的割线PQ，其倾斜角为当点Q(x0+△x,y0+△y)沿曲线无限接近于点P(x0，y0)，即△x→0时，割线PQ的极限位置直线PT叫做曲线在点P处的切线。 若切线的倾斜角为，则当△x→0时，割线PQ斜率的极限，就是切线的斜率。 即：。 (2)导数的几何意义： 函数在点x0的导数是曲线上点（）处的切线的斜率。 要点诠释： ①若曲线在点处的导数不存在，但有切线，则切线与轴垂直。 ②，切线与轴正向夹角为锐角；，切线与轴正向夹角为钝角；，切线与轴平行。 (3)曲线的切线方程 如果在点可导，则曲线在点（）处的切线方程为： 。 类型一：导数概念的应用 1．若曲线在点处的切线方程为，那么（ ） A． B． C． D．不确定 2．如图，直线是曲线在处的切线，则=（ ） A． B．3 C．4 D．5 例1、用导数的定义，求函数在x=1处的导数。 例2、求曲线y=x3+2x在x=1处的切线方程. 举一反三： 1．函数在处的导数的几何意义是（ ） A．在处的函数值 B．在点 处的切线与轴所夹锐角的正切值 C．曲线在点处的切线斜率 D．点与点(0,0)连线的斜率 【变式1】已知函数 （1）求函数在x=4处的导数. （2）求曲线上一点处的切线方程。 【变式2】过点，曲线的切线方程为 。 【变式3】曲线在（0，1）处的切线与的距离为，求的方程. 考点二：常见基本函数的导数公式 （1）（C为常数）， （2）（n为有理数）， （3）， （4）， （5）， （6）， （7）， （8）， 考点三：函数四则运算求导法则 设，均可导 （1）和差的导数： （2）积的导数： （3）商的导数：（） 类型二：利用公式及运算法则求导数 例3．求下列函数的导数： （1）； （2） （3）； （4）y=2x3―3x2+5x＋4 例4．求下列各函数的导函数 （1）；（2）y=x2sinx; （３）y=； （４）y= 举一反三： 【变式4】求下列函数的导数： （1）； （2） （3）y=6x3―4x2+9x―6 【变式5】求函数的导数 考点四：复合函数的求导法则 或 即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘以中间变量对自变量的导数。 要点诠释： 选择中间变量是复合函数求导的关键。求导时需要记住中间变量，逐层求导，不遗漏。求导后，要把中间变量转换成自变量的函数。 类型四：复合函数的求导问题 例5．求下列函数导数. （1）； （2）； （3）； （4）. 举一反三： 【变式6】求下列函数的导数： (1)； （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$