精品解析：北京市第三十五中学2024-2025学年高二下学期3月月考数学试卷

北京35中高二数学3月月考试卷 2025.03 班级______姓名______学号______成绩______ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求解一元二次不等式，再根据集合并集的概念进行运算即可. 【详解】因为，所以. 故选：A 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 的虚部是4 B. 是纯虚数 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的基本概念判断选项A、B；根据复数的几何意义求出复数的模，进而判断选项C；根据复数的乘方计算即可判断选项D. 【详解】复数的实部是，虚部为，故A、B错误； 因为，故C不正确； ，故D正确. 故选：D. 3. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用分式型函数、对数函数、二次函数、指数型函数的性质，分别求出函数的值域即可判断. 【详解】对A，函数的值域为，故A不正确； 对B，函数值域为，故B不正确； 对C，函数的值域为，故C不正确； 对D，因为，故函数值域为，故D正确. 故选：D. 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式判断正误即可. 【详解】A：，错误； B：，错误； C：，正确； D：，错误. 故选：C 5. 设为两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式化简计算即. 【详解】由，得，又， 则，A错误； 由，得，即， 即，整理得，BC错误，D正确. 故选：D 6. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】由图象可知，函数在上的增长越来越快， 故函数图象在点（）的切线的斜率越来越大， 因为，所以. 故选：B. 7. 有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据每人抽到中奖券的概率都相等，与抽签顺序无关，即可得到答案. 【详解】有3张奖券，其中2张可中奖，每人依次从中抽一张，每人抽到中奖券的概率都为， 故小明最后抽，则他抽到中奖券的概率也是. 故选：D 【点睛】本题主要考查等可能事件的概率，注意每个人抽到中奖券的概率相等，与抽签先后顺序无关，属于简单题. 8. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】分别求出两个随机变量的分布列后求出它们的期望和方差可得它们的大小关系. 【详解】可能的取值为；可能的取值为， ，，， 故，. ，， 故，, 故，.故选B. 【点睛】离散型随机变量的分布列的计算，应先确定随机变量所有可能的取值，再利用排列组合知识求出随机变量每一种取值情况的概率，然后利用公式计算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回与无放回的区别. 9. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】甲最后获胜情况有3种：甲投中1次，乙投中0次，或甲投中2次，乙投中1次，或甲投中2次，乙投中0次，再利用互斥事件的概率公式求解即可 【详解】由题意可得，甲最后获胜的情况有3种 ①甲投中1次，乙投中0次，则概率为 ②甲投中2次，乙投中1次，则概率 ③甲投中2次，乙投中0次，则概率为 ， 所以甲最后获胜的概率为， 故选：B 10. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 【答案】B 【解析】 【分析】求导可得；分别判断在各个区间内的正负，由此可得结果. 【详解】由得：， 对于A，当时，，即，在上是增函数，A错误； 对于B，当时，，即，在上是减函数，B正确； 对于C，当时，，即，在上是增函数，C错误； 对于D，当时，，即，在上是增函数，D错误. 故选：B. 二、填空题 11. 曲线在点处的切线方程是 __________． 【答案】 【解析】 【分析】直接求导得，代入求得斜率即可. 【详解】由，则，所以， 所以在点处的切线方程为，即． 故答案为：. 12. 函数的单调递减区间是____ 【答案】 【解析】 【分析】 求导，根据可得答案. 【详解】由题意，可得， 令，即，解得，即函数的递减区间为. 故答案为：. 【点睛】本题考查运用导函数的符号，研究函数的单调性，属于基础题. 13. 在的展开式中，的系数为______，各项系数之和为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】写出二项展开式的通项，进而可确定展开式中的系数； 令，代入二项式中即可求展开式各项系数之和. 【详解】二项式的展开式的通项为： 令，得，所以的系数为． 令，则二项式展开式各项系数之和为. 故答案为：①；②. 14. 已知甲盒中有个白球，个黑球；乙盒中有个白球，个黑球.现从这个球中随机选取一球，该球是白球的概率是__________，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是______________. 【答案】 ①. ##0.5 ②. ##0.75 【解析】 【分析】根据古典概型的计算公式及条件概率的计算公式直接得解. 【详解】设事件：取出的球为白球，事件：该球选自甲盒， 所以，， 若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是， 故答案为：，. 15. 设集合，，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在上”为事件，若的概率最大，则的所有可能值为______． 【答案】3或4 【解析】 【分析】根据题意列举出可确定的所有点，再分别求出、、、，通过比较即可确定使概率最大的n值. 【详解】根据题意，分别从集合和中随机取一个数和可以确定的点有：， 所以，，，， 所以若的概率最大，则的所有可能值为：3或4. 故答案为：3或4 16. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则按从小到大排列为______． 【答案】 【解析】 【分析】构造辅助函数，利用函数的单调性和奇偶性比较大小. 【详解】因为是奇函数，所以 令，则， 所以是偶函数 因为当时，， 所以当时，，所以在上单调递增， 因为，而， 所以 故答案为： 三、解答题（共4小题，共50分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的单调区间． 【答案】（1） （2）单调递减区间为；单调递增区间为 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义可求得切线斜率为，结合可得切线方程； （2）求导后，根据导函数正负即可求得单调区间. 【小问1详解】 由题意得：，，又， 在点处的切线方程为. 【小问2详解】 由题意知：定义域为； 由（1）知：当时，；当时，； 的单调递减区间为；单调递增区间为. 18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：；条件②：；条件③：平面平面. 【答案】条件选择见解析；（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】选择①②：（1）根据勾股定理可得，再由，利用线面垂直的判定定理可得平面；选择①③：（1）根据勾股定理可得，再由面面垂直的性质定理可得平面. （2）以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，根据 【详解】解：选择①②： （1）因为，，， 所以. 又因为，， 所以平面. 选择①③：（1）因为，，， 所以. 又因为平面平面， 平面平面， 所以平面. （2）由（1）知，. 因为四边形是正方形，所以. 如图，以为原点建立空间直角坐标系， 则，，， ，， ，，. 设平面的一个法向量为， 则即 令，则，，所以. 设直线与平面所成角为， 则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】思路点睛： 解决二面角相关问题通常用向量法，具体步骤为： （1）建坐标系，建立坐标系的原则是尽可能的使得已知点在坐标轴上或在坐标平面内； （2）根据题意写出点的坐标以及向量的坐标，注意坐标不能出错. （3）利用数量积验证垂直或求平面的法向量. （4）利用法向量求距离、线面角或二面角. 19. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． （1）试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； （2）若甲在区投3个球，在区投2个球， （ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望； （ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； （3）若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 【答案】（1）甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为． （2）（ⅰ）分布列见解析，4；（ⅱ） （3）3次． 【解析】 【分析】（1）分别求出甲在区、区投篮进球的频率即可估计概率； （2）（ⅰ）求出甲在区投篮得分的分布列，进而可求得数学期望；（ⅱ）甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有：区2分区0分、区4分区0分、区4分区3分、区6分区0分、区6分区3分，分别求出相应的概率，求和即可. （3）分别求出甲在区、区投篮一次得分的期望值，设甲在A区投篮此，则在B区投篮次，根据期望值不低于7分列出不等式求解即可. 【小问1详解】 甲在区投篮30次，投进20次，所以估计甲在区投篮进球的概率为， 甲在区投篮20次，投进10次，所以估计甲在区投篮进球的概率为. 小问2详解】 据题意，甲在区进球的概率估计为，在区投篮进球的概率估计为． （ⅰ）所有可能的取值为， ，， ，， 的分布列为 0 2 4 6 数学期望. （ⅱ）设事件为“甲在区投篮得分高于在区投篮得分” 甲在区投3个球，得分可能是，在区投2个球，得分可能是． 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的情况有： 区2分区0分，概率估计为， 区4分区0分，概率估计为， 区4分区3分，概率估计为， 区6分区0分，概率估计为， 区6分区3分，概率估计为， 则甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率估计为 【小问3详解】 甲在A区投篮一次得分的期望为：， 甲在B区投篮一次得分的期望为：， 设甲在A区投篮此，则在B区投篮次， 则总的期望值，解得， 所以甲选择在区投篮的次数最多是3次. 20. 设A是由个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记为所有这样的数表构成的集合． 对于,记为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），为A的第j列各数之和（1≤j≤n）： 记为,,…, ,,,…, 中的最小值． 对如下数表A，求的值； 1 1 0.1 （2）设数表形如 1 1 c a b 求的最大值； （3）给定正整数t，对于所有的，求的最大值． 【答案】（1）0.7 （2）1 （3） 【解析】 【详解】（1）因为， 所以 （2）不妨设.由题意得.又因为，所以， 于是，， 所以，当，且时，取得最大值1． （3）对于给定的正整数t，任给数表如下， … … 任意改变A的行次序或列次序，或把A中的每一个数换成它的相反数，所得数表 ，并且，因此，不妨设， 且． 由得定义知，， 又因为 所以 所以， 对数表： 1 1 … 1 … … … 则且， 综上，对于所有的，的最大值为 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京35中高二数学3月月考试卷 2025.03 班级______姓名______学号______成绩______ 一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项） 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列命题中，正确的是（ ） A. 的虚部是4 B. 是纯虚数 C. D. 3. 下列函数中，值域为的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列求导运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设为两个随机事件，且，，，则（ ） A. B. C D. 6. 已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 有3张奖券，其中2张可中奖，现3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中红球1个、黑球2个，现随机等可能取出小球，当有放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为；当无放回依次取出两个小球时，记取出的红球数为，则 A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，假设甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，且甲、乙每次投壶投中的概率分别为，每人每次投壶相互独立．若约定甲投壶2次，乙投壶3次，投中次数多者胜，则甲最后获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数与的图象如图所示，则函数（ ） A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上是减函数 D. 在区间上是减函数 二、填空题 11. 曲线在点处的切线方程是 __________． 12. 函数的单调递减区间是____ 13. 在的展开式中，的系数为______，各项系数之和为______． 14. 已知甲盒中有个白球，个黑球；乙盒中有个白球，个黑球.现从这个球中随机选取一球，该球是白球的概率是__________，若选出的球是白球，则该球选自甲盒的概率是______________. 15. 设集合，，分别从集合和中随机取一个数和，确定平面上的一个点，记“点落在上”为事件，若的概率最大，则的所有可能值为______． 16. 已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，，，则按从小到大排列为______． 三、解答题（共4小题，共50分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程） 17. 已知函数． （1）求曲线在点处切线方程； （2）求的单调区间． 18. 如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，.再从条件①､条件②､条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并作答. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 条件①：；条件②：；条件③：平面平面. 19. 某学校体育课进行投篮练习，投篮地点分为区和区，每一个球可以选择在区投篮也可以选择在区投篮，在区每投进一球得2分，没有投进得0分；在区每投进一球得3分，没有投进得0分．学生甲在两区的投篮练习情况统计如下表： 甲 区 区 投篮次数 30 20 得分 40 30 假设用频率估计概率，且学生甲每次投篮相互独立． （1）试分别估计甲在区，区投篮命中的概率； （2）若甲区投3个球，在区投2个球， （ⅰ）记甲在区投篮得分为，求的分布列及期望； （ⅱ）求甲在区投篮得分高于在区投篮得分的概率； （3）若甲在区，区一共投篮5次，投篮得分的期望值不低于7分，直接写出甲选择在区投篮的最多次数．（结论不要求证明） 20. 设A是由个实数组成的m行n列的数表，满足：每个数的绝对值不大于1，且所有数的和为零，记为所有这样的数表构成的集合． 对于,记为A的第ⅰ行各数之和（1≤ⅰ≤m），为A的第j列各数之和（1≤j≤n）： 记为,,…, ,,,…, 中的最小值． 对如下数表A，求值； 1 1 0.1 （2）设数表形如 1 1 c a b 求最大值； （3）给定正整数t，对于所有的，求的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$