第26章 专题(五) 二次函数的实际应用（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（华东师大版）河南

专题(五)　二次函数的实际应用 数学 九年级下册 华师版 100分闯关 类型一：以利润问题为背景 1.(2023·无锡)某景区旅游商店以20元/kg的价格采购一款旅游食品加工后出售，销售价格不低于22元/kg，不高于45元/kg.经市场调查发现每天的销售量y(kg)与销售价格x(元/kg)之间的函数关系如图所示． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当销售价格定为多少时，该商店销售这款食品 每天获得的销售利润最大？最大销售利润是多少？ 【销售利润＝(销售价格－采购价格)×销售量】 解：(1)当22≤x≤30时，设函数表达式为y＝kx＋b，将(22，48)，(30，40)代入表达式得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22k＋b＝48，,30k＋b＝40，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－1，,b＝70，)) ∴函数表达式为：y＝－x＋70；当30<x≤45时，设函数表达式为：y＝mx＋n，将(30，40)，(45，10)代入表达式得， eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(30m＋n＝40，,45m＋n＝10，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m＝－2，,n＝100，)) ∴函数表达式为：y＝－2x＋100，综上，y与x的函数表达式为：y＝ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋70（22≤x≤30），,－2x＋100（30<x≤45）)) 　 　(2)设利润为w元，当22≤x≤30时，w＝(x－20)(－x＋70)＝－x2＋90x－1400＝－(x－45)2＋625，∵在22≤x≤30范围内，w随着x的增大而增大，∴当x＝30时，w取得最大值为400；当30<x≤45时，w＝(x－20)(－2x＋100)＝－2x2＋140x－2000＝－2(x－35)2＋450，当x＝35时，w取得最大值为450；∵450>400，∴当销售价格为35元/kg时，利润最大为450元 类型二：以面积问题为背景 2．(湘潭中考)为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙(墙长12 m)和21 m长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案(除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙)，请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1 m的水池，且需保证总种植面积为32 m2，试分别确定CG，DG的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？ 解：(1)∵(21－12)÷3＝3(m)，∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36(m2)，∵总种植面积为32 m2，∴水池的面积为36－32＝4 (m2)∵AE＝1 m，∴DG＝4 m，∴CG＝CD－DG＝12－4＝8(m)，即CG的长为8 m，DG的长为4 m　 (2)设BC长为x m，则CD长度为(21－3x)m，∴总种植面积为(21－3x)·x＝－3(x2－7x)＝－3(x－ eq \f(7,2) )2＋ eq \f(147,4) ，∵21－3x≤12，∴x≥3，∵－3＜0，∴当x＝ eq \f(7,2) 时，总种植面积有最大值为 eq \f(147,4) m2，答：BC设计为 eq \f(7,2) m时总种植面积最大，此时最大面积为 eq \f(147,4) m2 类型三：以桥、隧道为背景 3．如图，隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长是12 m，宽是4 m．按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y＝－ eq \f(1,6) x2＋bx＋c表示，且抛物线上的点C到墙面OB的水平距离为3 m时，到地面OA的距离为 eq \f(17,2) m. (1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D到地面OA的距离； (2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m，宽为4 m，如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？ (3)在抛物线形拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？ 解：(1)将点B(0，4)，C(3， eq \f(17,2) )代入y＝－ eq \f(1,6) x2＋bx＋c，可得b＝2，c＝4，∴y＝－ eq \f(1,6) x2＋2x＋4＝－ eq \f(1,6) (x－6)2＋10，∴拱顶D到地面OA的距离为10 m　 由题意得货车最外侧与地面OA的交点为(2，0)或(10，0)，当x＝2或x＝10时，y＝ eq \f(22,3) ＞6，所以这辆货车能安全通过　 (3)令y＝8，则－ eq \f(1,6) (x－6)2＋10＝8，解得x1＝6＋2 eq \r(3) ，x2＝6－2 eq \r(3) ，则x1－x2＝4 eq \r(3) ，所以两排灯的水平距离最小是4 eq \r(3) m 类型四：以球类运动为背景 4.(2023·温州)一次足球训练中，小明从球门正前方8 m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6 m时，球达到最高点，此时球离地面3 m．已知球门高OB为2.44 m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系. (1)求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门(忽略其他因素)； (2)对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处？ 解：(1)∵8－6＝2，∴抛物线的顶点坐标为(2，3)，设抛物线为y＝a(x－2)2＋3，把点A(8，0)代入得：36a＋3＝0，解得a＝－ eq \f(1,12) ，∴抛物线的函数表达式为y＝－ eq \f(1,12) (x－2)2＋3；当x＝0时，y＝－ eq \f(1,12) ×4＋3＝ eq \f(8,3) >2.44，∴球不能射进球门　 (2)设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y＝－ eq \f(1,12) (x－2－m)2＋3，把点(0，2.25)代入得：2.25＝－ eq \f(1,12) (0－2－m)2＋3，解得m＝－5(舍去)或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25 m处 $$