第26章 专题(六) 二次函数与几何图形的简单综合（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（华东师大版）河南

数学 九年级下册 华师版 100分闯关 专题(六)　二次函数与几何图形的简单综合 类型一：与线段长、角度有关的二次函数问题 1．(常德中考)如图，已知抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2. (1)求此抛物线的表达式； (2)若点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， 当△OAB的面积为15时，求点B的坐标； 在(2)的条件下，P是抛物线上的动点，当PA－PB的值 最大时，求P的坐标以及PA－PB的最大值． 解：(1) ∵抛物线过点O(0，0)，A(5，5)，且它的对称轴为直线x＝2，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)，设抛物线表达式为y＝ax(x－4)，把A(5，5)代入，得5a＝5，解得a＝1，∴y＝x(x－4)＝x2－4x，故此抛物线的表达式为y＝x2－4x　 (2)∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限，∴设B(2，m)(m＞0)，设直线OA的表达式为y＝kx，则5k＝5，解得k＝1，∴直线OA的表达式为y＝x，设直线OA与抛物线对称轴交于点H，则H(2，2)，∴BH＝m－2，∵S△OAB＝15，∴ eq \f(1,2) (m－2)×5＝15，解得m＝8，∴点B的坐标为(2，8)　 (3)设直线AB的表达式为y＝cx＋d，把A(5，5)，B(2，8)代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(5c＋d＝5，,2c＋d＝8，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(c＝－1，,d＝10，)) ∴直线AB的表达式为y＝－x＋10，当PA－PB的值最大时，点A，B，P在同一条直线上，∵P是抛物线上的动点， ∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－x＋10，,y＝x2－4x，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＝－2，,y1＝12，)) eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝5，,y2＝5)) (舍去)，∴P(－2，12)，此时，PA－PB＝AB＝ eq \r(（5－2）2＋（5－8）2) ＝3 eq \r(2) 类型二：与面积有关的二次函数问题 2.(2023·黑龙江)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点．交y轴于点C. (1)求抛物线的表达式； (2)抛物线上是否存在一点P，使得S△PBC＝ eq \f(1,2) S△ABC？ 若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由抛物线与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点，代入抛物线y＝ax2＋bx＋3得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（－3）2a－3b＋3＝0，,a＋b＋3＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－2，)) ∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3　(2)存在．∵A(－3，0)，B(1，0)，∴AB＝4，抛物线y＝ax2＋bx＋3与y轴交于点C，令x＝0，则y＝3，∴C点坐标为(0，3)，OC＝3，∴S△ABC＝ eq \f(1,2) AB·OC＝ eq \f(1,2) ×4×3＝6，∴S△PBC＝ eq \f(1,2) S△ABC＝3；作PE∥x轴交BC于E，如图， 设BC的表达式为：y＝kx＋b，将B，C两点坐标代入得： eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＋b＝0，,b＝3，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－3，,b＝3，)) ∴BC的表达式为：y＝－3x＋3；设点P的横坐标为t，则P(t，－t2－2t＋3)，则E的纵坐标为：－3x＋3＝－t2－2t＋3，解得x＝ eq \f(t2＋2t,3) ，∴E( eq \f(t2＋2t,3) ，－t2－2t＋3)，∴PE＝ eq \f(t2＋2t,3) －t＝ eq \f(t2－t,3) ，∴S△PBC＝ eq \f(1,2) × eq \f(t2－t,3) ×3＝3，解得t＝－2或3，∴P点纵坐标为：－(－2)2－2×(－2)＋3＝3或－32－2×3＋3＝－12，∴点P的坐标为(－2，3)或(3，－12) 类型三：与特殊三角形有关的二次函数问题 3.(2023·娄底)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－1，0)、点B(5，0)，交y轴于点C. (1)求b，c的值； (2)点P(x0，y0)(0<x0<5)是抛物线上的动点． ①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； ②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c过点A(－1，0)、点B(5，0)，∴抛物线的表达式为：y＝(x＋1)(x－5)＝x2－4x－5，∴b＝－4，c＝－5 (2)由(1)得，抛物线的表达式为：y＝x2－4x－5，令x＝0，则y＝－5；∴C(0，－5)，∴直线BC的表达式为：y＝x－5，P(x0，x02－4x0－5)，①过点P作x轴的垂线，交线段BC于点D，则D(x0，x0－5)，∴S△PBC＝ eq \f(1,2) OB·PD＝ eq \f(1,2) ×5×(x0－5－x02＋4x0＋5)＝－ eq \f(5,2) x02＋ eq \f(25,2) x0＝－ eq \f(5,2) (x0－2.5)2＋ eq \f(125,8) ，∴当x0＝2.5时，S的值取最大，最大值为 eq \f(125,8) 　②存在．由题意可知，PE⊥PF，若△PEF是等腰直角三角形，则PE＝PF，由①可得，PE＝x0－5－x02＋4x0＋5＝－x02＋5x0，∵PF∥x轴，∴F(4－x0，x02－4x0－5)，∴PF＝|2x0－4|，∴|2x0－4|＝－x02＋5x0，解得x0＝－1(舍去)或x0＝4或x0＝ eq \f(7,2) － eq \f(\r(33),2) 或x0＝ eq \f(7,2) ＋ eq \f(\r(33),2) (舍去)，∴当△PEF是等腰直角三角形时，点P的坐标为(4，－5)或( eq \f(7,2) － eq \f(\r(33),2) ， eq \f(3,2) － eq \f(3\r(33),2) ) 类型四：与特殊四边形有关的二次函数问题 4.(2023·东营)如图，抛物线过点O(0，0)，E(10，0)，矩形ABCD的边AB在线段OE上(点B在点A的左侧)，点C，D在抛物线上．设B(t，0)，当t＝2时，BC＝4. (1)求抛物线的函数表达式； (2)当t为何值时，矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？ (3)保持t＝2时的矩形ABCD不动，向右平移抛物 线，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G，H， 且直线GH平分矩形ABCD的面积时，求抛物线平移 的距离． 解：(1)设抛物线表达式为y＝ax(x－10)，∵当t＝2时，BC＝4，∴点C的坐标为(2，－4)，∴将点C坐标代入表达式得2a(2－10)＝－4，解得a＝ eq \f(1,4) ，∴抛物线的函数表达式为y＝ eq \f(1,4) x2－ eq \f(5,2) x　 (2)由抛物线的对称性得AE＝OB＝t，∴AB＝10－2t，当x＝t时，BC＝－ eq \f(1,4) t2＋ eq \f(5,2) t，∴矩形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2[(10－2t)＋(－ eq \f(1,4) t2＋ eq \f(5,2) t)]＝－ eq \f(1,2) t2＋t＋20＝－ eq \f(1,2) (t－1)2＋ eq \f(41,2) ，∵－ eq \f(1,2) <0，∴当t＝1时，矩形ABCD的周长有最大值，最大值为 eq \f(41,2) 　 (3)如图，连接AC，BD相交于点P，连结OC，取OC的中点Q，连结PQ，∵直线GH平分矩形ABCD的面积，∴直线GH过点P，由平移的性质可知，四边形OCHG是平行四边形，∴PQ＝CH，∵四边形ABCD是矩形，∴点P是AC的中点，∴PQ＝ eq \f(1,2) OA，∴抛物线向右平移了4个单位长度 $$