26.2.3 求二次函数的表达式（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（华东师大版）河南

26.2　二次函数的图象与性质 26.2.3　求二次函数的表达式 数学 九年级下册 华师版 100分闯关 D y＝－2x2－12x－13 C y＝－2(x－3)2－1(或y＝－2x2＋12x－19) B y＝－x2－4x＋5 A C 知识点1：用一般式(三点式)求二次函数表达式 1．已知抛物线y＝ax2＋bx＋c过(－1，2)，(0，1)，(2，－7)三点，则抛物线的表达式为( ) A．y＝x2＋2x＋1 B．y＝x2－2x＋1 C．y＝－x2＋2x＋1 D．y＝－x2－2x＋1 若二次函数y＝ax2＋bx＋c的x与y的部分对应值如下表： x －7 －6 －5 －4 －3 y －27 －13 －3 3 5 则此二次函数的表达式为____________________________． 抛物线y＝x2＋bx＋c经过点A(－2，0)，B(1，0)两点，则该抛物线的顶点坐 标是________________________． (－ eq \f(1,2) ，－ eq \f(9,4) ) 4．已知y是关于x的二次函数，且x与y的部分对应值如下表所示： x … －2 0 2 4 … y … 4 －2 0 m … (1)求y关于x的二次函数表达式； (2)求m的值． 解：(1)设此二次函数表达式为y＝ax2＋bx＋c，将表中数据代入，得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4a－2b＋c＝4，,4a＋2b＋c＝0，,c＝－2，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝－1，,c＝－2.)) ∴二次函数表达式为y＝x2－x－2 (2)将x＝4代入表达式，得m＝10 知识点2：用顶点式求二次函数表达式 5．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( ) A.y＝2(x＋1)2＋8 B．y＝18(x＋1)2－8 C．y＝ eq \f(2,9) (x－1)2＋8 D．y＝2(x－1)2－8 6．二次函数的图象经过点(4，－3)，且当x＝3时，有最大值－1，则该二次函数表达式为 ． 知识点3：用交点式求二次函数表达式 7．如图，抛物线的表达式为( ) A.y＝x2－2x＋3 B．y＝x2－2x－3 C．y＝x2＋2x－3 D．y＝x2＋2x＋3 8．抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点(－5，0)和(－1，8)，且以直线x＝－2为对称轴，则它的表达式为__________________________． 9．已知一个二次函数的图象与x轴的两个交点的坐标分别为(－1，0)和(2，0)，与y轴的交点坐标为(0，－2)，求这个二次函数的表达式． 解：由题意设二次函数表达式为y＝a(x＋1)(x－2)，把(0，－2)代入，得－2＝－2a，解得a＝1，∴y＝(x＋1)(x－2)，即y＝x2－x－2 10．已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为( ) A.y＝－3(x－1)2＋3 B．y＝3(x－1)2＋3 C．y＝－3(x＋1)2＋3 D．y＝3(x＋1)2＋3 11．某抛物线的形状、开口方向与抛物线y＝ eq \f(1,2) x2－4x＋3相同，顶点坐标为(－2，1)，则该抛物线的函数关系式为( ) A．y＝ eq \f(1,2) (x－2)2＋1 B．y＝ eq \f(1,2) (x＋2)2－1 C．y＝ eq \f(1,2) (x＋2)2＋1 D．y＝－ eq \f(1,2) (x＋2)2＋1 12.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过原点及点(－2，－2)，且图象与x轴的另一个交点到原点的距离为4，那么该二次函数的表达式为 _____________________________________． y＝－ eq \f(1,6) x2＋ eq \f(2,3) x或y＝ eq \f(1,2) x2＋2x 13.(2023·牡丹江)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，与y轴交于点C. (1)求抛物线对应的函数表达式，并直接写出顶点P的坐标； (2)求△BCP的面积． 注：注抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是直线x＝－ eq \f(b,2a) ，顶点坐标是(－ eq \f(b,2a) ， eq \f(4ac－b2,4a) ). 解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(4，0)，∴ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－b＋c＝0，,16＋4b＋c＝0，)) 解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－3，,c＝－4，)) ∴抛物线的表达式为y＝x2－3x－4，∴P( eq \f(3,2) ，－ eq \f(25,4) ) (2)连接OP，∵A(－1，0)，B(4，0)，C(0，－4)，P( eq \f(3,2) ，－ eq \f(25,4) )，∴S△OPC＝ eq \f(1,2) ×4× eq \f(3,2) ＝3，S△BOP＝ eq \f(1,2) ×4× eq \f(25,4) ＝ eq \f(25,2) ，S△BOC＝ eq \f(1,2) ×4×4＝8，∴S△BPC＝S△OPC＋S△BOP－S△BOC＝3＋ eq \f(25,2) －8＝ eq \f(15,2) 14.(2023·达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c过点A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3). (1)求抛物线的表达式； (2)设点P是直线BC上方抛物线上一点，求出△PBC的最大面积及此时点P的坐标； (3)若点M是抛物线对称轴上一动点，点N为坐标平面内一点，是否存在以BC为边，点B，C，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)由题意得，抛物线的表达式为：y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，则－3a＝3，解得a＝－1，故抛物线的表达式为：y＝－x2＋2x＋3　 由点B，C的坐标得，直线BC的表达式为：y＝－x＋3，过点P作y轴的平行线交CB于点H，设点P(x，－x2＋2x＋3)，则点H(x，－x＋3)，则△PBC的面积＝S△PHC＋S△PHB＝ eq \f(1,2) ·PH·OB＝ eq \f(3,2) (－x2＋2x＋3＋x－3)＝－ eq \f(3,2) (x－ eq \f(3,2) )2＋ eq \f(27,8) ≤ eq \f(27,8) ，即△PBC的面积的最大值为 eq \f(27,8) ，此时点P( eq \f(3,2) ， eq \f(15,4) )　 (3)存在，理由：∵抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3，∴对称轴为直线x＝1，设点M(1，t)，N(x，y)，若BC为菱形的边长，菱形BCMN，则BC2＝CM2，即18＝12＋(t－3)2，解得t1＝ eq \r(17) ＋3，t2＝－ eq \r(17) ＋3，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋1＝0＋x，,0＋t＝3＋y，)) ∴x＝4，y＝t－3，∴N1(4， eq \r(17) )，N2(4，－ eq \r(17) )；若BC为菱形的边长，菱形BCNM，则BC2＝BM2，即18＝(3－1)2＋t2，解得t3＝ eq \r(14) ，t4＝－ eq \r(14) ，∵ eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3＋x＝0＋1，,0＋y＝3＋t，)) ∴x＝－2，y＝3＋t，∴N3(－2， eq \r(14) ＋3)，N4(－2，－ eq \r(14) ＋3)；即点N的坐标为：(4，－ eq \r(17) )或(4， eq \r(17) )或(－2， eq \r(14) ＋3)或(－2，－ eq \r(14) ＋3) $$