第1章 5 三角函数的应用 第3课时 坡度问题（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

5　三角函数的应用 第一章 直角三角形的边角关系 第3课时　坡度问题 数学 九年级下册 北师版 100分闯关 A 3 A 4 60 5 26 6 7 8 9 10 A 12 知识点　坡度问题 1．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，斜坡的倾斜角是∠BAC.若tan ∠BAC＝ eq \f(2,5) ，则此斜坡的水平距离AC为( ) A．75 m B．50 m C．30 m D．12 m 2．(金华中考)如图是一架人字梯，已知AB＝AC＝2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为( ) A．4cosα米 B．4sinα米 C．4tanα米 D． eq \f(4,cosα) 米 3．如图，有一斜坡AB，坡顶B离地面的高度BC为30 m，若坡面AB的坡比为1∶2，则此斜坡的水平宽度AC的长为________m. 4．已知传送带与水平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，则物体所经过的路程为__________米． 5．自开展“全民健身运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来越多，为方便群众步行健身，某地政府决定对一段如图1所示的坡路进行改造．如图2所示，改造前的斜坡AB＝200米，坡度为1∶ eq \r(3) .将斜坡AB的高度AE降低AC＝20米后，斜坡AB改造为斜坡CD，其坡度为1∶4.求斜坡CD的长．(结果保留根号) 解：∵∠AEB＝90°，AB＝200米，斜坡AB的坡度为1∶ eq \r(3) ，∴tan ∠ABE＝ eq \f(1,\r(3)) ＝ eq \f(\r(3),3) . ∴∠ABE＝30°.∴AE＝ eq \f(1,2) AB＝100.∵AC＝20米，∴CE＝80米．∵∠CED＝90°，斜坡CD的坡度为1∶4，∴ eq \f(CE,DE) ＝ eq \f(1,4) ，即 eq \f(80,ED) ＝ eq \f(1,4) ，解得ED＝320.∴CD＝ eq \r(802＋3202) ＝80 eq \r(17) (米).答：斜坡CD的长是80 eq \r(17) 米 6．(株洲中考)如图1所示，某登山运动爱好者由山坡①的山顶点A处沿线段AC至山谷点C处，再从点C处沿线段CB至山坡②的山顶点B处．如图2所示，将直线l视为水平面，山坡①的坡角∠ACM＝30°，其高度AM为0.6千米，山坡②的坡度i＝1∶1，BN⊥l于N，且CN＝ eq \r(2) 千米． (1)求∠ACB的度数； (2)求在此过程中该登山运动爱好者走过的路程． 解：(1)∵山坡②的坡度i＝1∶1，∴CN＝BN，∴∠BCN＝45°，∴∠ACB＝180°－30°－45°＝105°　 (2)在Rt△ACM中，∠AMC＝90°，∠ACM＝30°，AM＝0.6千米，∴AC＝2AM＝1.2千米，在Rt△BCN中，∠BNC＝90°，∠BCN＝45°，CN＝ eq \r(2) 千米，则BC＝ eq \f(CN,cos ∠BCN) ＝2(千米)，∴AC＋BC＝1.2＋2＝3.2(千米)，答：该登山运动爱好者走过的路程为3.2千米 7．如图，为了测量某建筑物BC的高度，小颖采用了如下的方法：先从与建筑物底端B在同一水平线上的A点出发，沿斜坡AD行走130米至坡顶D处，再从D处沿水平方向继续前行若干米后至点E处，在E点测得该建筑物顶端C的仰角为60°，建筑物底端B的俯角为45°，点A，B，C，D，E在同一平面内，斜坡AD的坡度i＝1∶2.4.根据小颖的测量数据，计算出建筑物BC的高度约为(参考数据： eq \r(3) ≈1.732)( ) A．136.6米 B．86.7米 C．186.7米 D．86.6米 8．某镇为创建特色小镇，助力乡村振兴，决定在辖区的一条河上修建一座步行观光桥．如图，该河旁有一座小山，山高BC＝80 m，坡面AB的坡度i＝1∶0.7(注：坡度i是指坡面的铅直高度与水平宽度的比)，点C，A与河岸E，F在同一水平线上，从山顶B处测得河岸E和对岸F的俯角分别为∠DBE＝45°，∠DBF＝31°. (1)求山脚A到河岸E的距离； (2)若在此处建桥，试求河宽EF的长度．(结果精确到0.1 m．参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60) 解：(1)在Rt△ABC中，BC＝80 m，∵AB的坡度i＝1∶0.7，∴ eq \f(BC,AC) ＝ eq \f(1,0.7) ，即 eq \f(80,AC) ＝ eq \f(1,0.7) ，∴AC＝56 m，在Rt△BCE中，∠BEC＝∠DBE＝45°，∴∠CBE＝∠BEC＝45°，∴CE＝BC＝80 m，∴AE＝CE－AC＝80－56＝24(m)，答：山脚A到河岸E的距离为24 m (2)在Rt△BCF中，BC＝80 m，∠BFC＝∠DBF＝31°，tan ∠BFC＝ eq \f(BC,CF) ，即 eq \f(80,CF) ≈0.6，∴CF≈133.33，∴EF＝CF－CE≈133.33－80≈53.3(m)，答：河宽EF的长度约为53.3 m 9．(凉山州中考)王刚同学在学习了解直角三角形及其应用的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树AB的高度，他在点C处测得大树顶端A的仰角为45°，再从C点出发沿斜坡走2 eq \r(10) 米到达斜坡上D点，在点D处测得树顶端A的仰角为30°，若斜坡CF的坡比为i＝1∶3(点E，C，B在同一水平线上). (1)求王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度； (2)求大树AB的高度(结果保留根号). 解：(1)过点D作DH⊥CE于点H，由题意知CD＝2 eq \r(10) 米，∵斜坡CF的坡比为i＝1∶3，∴ eq \f(DH,CH) ＝ eq \f(1,3) ，设DH＝x米，CH＝3x米，∵DH2＋CH2＝DC2，∴x2＋(3x)2＝(2 eq \r(10) )2，∴x＝2，∴DH＝2米，CH＝6米，答：王刚同学从点C到点D的过程中上升的高度为2米 (2)过点D作DG⊥AB于点G，∵∠DHB＝∠DGB＝∠ABC＝90°，∴四边形DHBG为矩形，∴DH＝BG＝2米，设BC＝y米，则DG＝BH＝(y＋6)米，∵∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝y(米)，∴AG＝(y－2)米，∵∠ADG＝30°，∴ eq \f(AG,DG) ＝tan30°＝ eq \f(\r(3),3) ，∴ eq \f(y－2,y＋6) ＝ eq \f(\r(3),3) ，∴y＝6＋4 eq \r(3) ，∴AB＝(6＋4 eq \r(3) )米．答：大树AB的高度是(6＋4 eq \r(3) )米 $$