第1章 2 30°，45°，60°角的三角函数值（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

2　30°，45°，60°角的三角函数值 第一章 直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 100分闯关 C B 3 B 4 5 A 6 80° 25° 7 D 8 9 10 B 12 105° 60° 13 14 1 1 1 1 17 知识点1　30°，45°，60°角的三角函数值 1．tan 45°的值等于( ) A． eq \f(\r(3),3) B． eq \f(\r(2),2) C．1 D．2 2．计算sin60°＋cos45°的值为( ) A． eq \f(1＋\r(2),2) B． eq \f(\r(2)＋\r(3),2) C． eq \f(1＋\r(3),2) D． eq \r(3) 3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，若∠B＝2∠A，则tan A等于( ) A． eq \r(3) B． eq \f(\r(3),3) C． eq \f(\r(3),2) D． eq \f(1,2) 4．计算： (1)3sin60°－2cos30°＋tan60°； (2) eq \r(2) (2cos45°－ eq \f(3,2) tan30°)＋ eq \f(\r(6),2) . 解：原式＝ eq \f(3\r(3),2) 解：原式＝2 知识点2　由特殊角的三角函数值求角度 5．已知α为锐角，且sin α＝ eq \f(1,2) ，则α的度数为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 6．已知α为锐角，若sin α＝ eq \f(\r(3),2) ，则tan α的值为________. eq \r(3) 7．已知20°＜α＜90°，且sin (α－20°)＝ eq \f(\r(3),2) ，则α的值为________． 8．已知锐角α满足 eq \r(2) cos (α＋20°)＝1，则锐角α的度数是________． 知识点3　特殊角的三角函数值的实际应用 9．(2023·十堰)如图所示，有一天桥高AB为5米，BC是通向天桥的斜坡，∠ACB＝45°，市政部门启动“陡改缓”工程，决定将斜坡的底端C延伸到D处，使∠D＝30°，则CD的长度约为(参考数据： eq \r(2) ≈1.414， eq \r(3) ≈1.732)( ) A.1.59米 B．2.07米 C．3.55米 D．3.66米 10．(2023·丽水)如图，某工厂为了提升生产过程中所产生废气的净化效率，需在气体净化设备上增加一条管道A－D－C，已知DC⊥BC，AB⊥BC，∠A＝60°，AB＝11 m，CD＝4 m，求管道A－D－C的总长． 解：如图，过点D作DE⊥AB于点E，则∠AED＝90°，四边形BCDE是矩形，∴BE＝CD＝4 m，∴AE＝AB－BE＝11－4＝7 (m)，∵∠A＝60°，∴cos A＝ eq \f(AE,AD) ＝cos 60°＝ eq \f(1,2) ，∴AD＝2AE＝2×7＝14 (m)，∴AD＋CD＝14＋4＝18 (m)，即管道A－D－C的总长为18 m 11．如图，在平面直角坐标系中，点B在第一象限，点A在x轴的正半轴上，∠AOB＝∠B＝30°，OA＝2，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，点B的对应点B′的坐标是( ) A．(－1，2＋ eq \r(3) ) B．(－ eq \r(3) ，3) C．(－ eq \r(3) ，2＋ eq \r(3) ) D．(－3， eq \r(3) ) 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝2，BC＝ eq \r(3) ，则sin A的值为________． 13．在△ABC中，∠A，∠B均为锐角，且满足(1－tan A)2＋|cos B－ eq \f(\r(3),2) |＝0，则∠C的度数为________． 14．若关于x的方程x2－ eq \r(2) x＋cos α＝0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为________． eq \f(\r(3),2) 15．数学拓展课程《玩转学具》课堂中，小陆同学发现：一副三角板中，含45°角的三角板的斜边与含30°角的三角板的长直角边相等，于是，小陆同学提出一个问题：如图，将一副三角板的直角顶点重合拼在一起，点B，C，E在同一直线上，若BC＝2，求AF的长．请你运用本节所学的数学知识解决这个问题． 解：在Rt△ABC中，∵BC＝2，∠A＝30°，∴AC＝ eq \f(BC,tan A) ＝ eq \f(2,\f(\r(3),3)) ＝2 eq \r(3) .∴EF＝AC＝2 eq \r(3) .在Rt△ECF中，∵∠E＝45°，∴FC＝EF·sin E＝2 eq \r(3) × eq \f(\r(2),2) ＝ eq \r(6) .∴AF＝AC－FC＝2 eq \r(3) － eq \r(6) 16．阅读下面的材料，先完成填空，再按要求答题． sin30°＝ eq \f(1,2) ，cos30°＝ eq \f(\r(3),2) ， 则 sin230°＋cos230°＝________； sin45°＝ eq \f(\r(2),2) ，cos45°＝ eq \f(\r(2),2) ， 则sin245°＋cos245°＝________； sin60°＝ eq \f(\r(3),2) ，cos60°＝ eq \f(1,2) ， 则sin260°＋cos260°＝________； …… 观察上述等式，猜想：对任意锐角A，都有sin2A＋cos2A＝________． (1)如图，在锐角三角形ABC中，利用三角函数的定义及勾股定理证明你的猜想； (2)已知∠A为锐角(cosA＞0)，且sin A＝ eq \f(3,5) ，求cos A的值． 解：(1)过点B作BD⊥AC于点D，则∠ADB＝90°.∵sin A＝ eq \f(BD,AB) ，cos A＝ eq \f(AD,AB) ，∴sin2A＋cos2A＝( eq \f(BD,AB) )2＋( eq \f(AD,AB) )2＝ eq \f(BD2＋AD2,AB2) .∵∠ADB＝90°，∴BD2＋AD2＝AB2.∴sin2A＋cos2A＝1 (2)∵sinA＝ eq \f(3,5) ，sin2A＋cos2A＝1，cosA>0，∴cos A＝ eq \r(1－（\f(3,5)）2) ＝ eq \f(4,5) $$