第1章 6 利用三角函数测高（作业课件）-100分闯关2023-2024学年九年级数学下册（北师大版）河南

6　利用三角函数测高 第一章 直角三角形的边角关系 数学 九年级下册 北师版 100分闯关 B 3 4 5 6 7 8 C 10 11 14 知识点1　测量底部可以到达的物体的高度 1．(2023·日照)日照灯塔是日照海滨港口城市的标志性建筑之一，主要为日照近海及进出日照港的船舶提供导航服务．数学小组的同学要测量灯塔的高度，如图所示，在点B处测得灯塔最高点A的仰角∠ABD＝45°，再沿BD方向前进至C处测得最高点A的仰角∠ACD＝60°，BC＝15.3 m，则灯塔的高度AD大约是(结果精确到1 m，参考数据： eq \r(2) ≈1.41， eq \r(3) ≈1.73)( ) A.31 m B．36 m C．42 m D．53 m 2．(2023·河南)综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪ABCD为正方形，AB＝30 cm，顶点A处挂了一个铅锤M.如图是测量树高的示意图，测高仪上的点D，A与树顶E在一条直线上，铅垂线AM交BC于点H.经测量，点A距地面1.8 m，到树EG的距离AF＝11 m，BH＝20 cm.求树EG的高度．(结果精确到0.1 m) 解：由题意可知，∠BAE＝∠MAF＝∠BAD＝90°，FG＝1.8 m，则∠EAF＋∠BAF＝∠BAF＋∠BAH＝90°，∴∠EAF＝∠BAH.∵AB＝30 cm，BH＝20 cm，则tan ∠BAH＝ eq \f(BH,AB) ＝ eq \f(2,3) ，∴tan ∠EAF＝ eq \f(EF,AF) ＝tan ∠BAH＝ eq \f(2,3) ，∵AF＝11 m，则 eq \f(EF,11) ＝ eq \f(2,3) ，∴EF＝ eq \f(22,3) ，∴EG＝EF＋FG＝ eq \f(22,3) ＋1.8≈9.1(m).答：树EG的高度约为9.1 m 知识点2　测量底部不能到达的物体的高度 3．如图，从楼顶A处看楼下荷塘C处的俯角为45°，看楼下荷塘D处的俯角为60°，已知楼高AB为30米，则荷塘的宽CD为______________米(结果保留根号). (30－10 eq \r(3) ) 4．(2023·陕西)一天晚上，小明和爸爸带着测角仪和皮尺去公园测量一景观灯(灯杆底部不可到达)的高AB.如图所示，当小明爸爸站在点D处时，他在该景观灯照射下的影子长为DF，测得DF＝2.4 m；当小明站在爸爸影子的顶端F处时，测得点A的仰角α为26.6°.已知爸爸的身高CD＝1.8 m，小明眼睛到地面的距离EF＝1.6 m，点F，D，B在同一条直线上，EF⊥FB，CD⊥FB，AB⊥FB.求该景观灯的高AB.(参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50) 解：过点E作EH⊥AB，垂足为H，由题意得EH＝FB，EF＝BH＝1.6 m，设EH＝FB＝x m，在Rt△AEH中，∠AEH＝26.6°，∴AH＝EH·tan 26.6°≈0.5x(m)，∴AB＝AH＋BH＝(0.5x＋1.6) m，∵CD⊥FB，AB⊥FB，∴∠CDF＝∠ABF＝90°，∵∠CFD＝∠AFB，∴△CDF∽△ABF，∴ eq \f(CD,AB) ＝ eq \f(DF,BF) ，∴ eq \f(1.8,AB) ＝ eq \f(2.4,x) ，∴AB＝ eq \f(3,4) x，∴ eq \f(3,4) x＝0.5x＋1.6，解得x＝6.4，∴AB＝ eq \f(3,4) x＝4.8 (m)，∴该景观灯的高AB约为4.8 m 5．如图，A，B，C表示修建在一座山上的三个缆车站的位置，线段AB，BC表示连接缆车站的钢缆．已知A，B，C所处位置的海拔AA1，BB1，CC1分别为130米，400米，1000米．由点A测得点B的仰角为30°，由点B测得点C的仰角为45°，那么AB和BC的总长度是( ) A．(1200＋270 eq \r(2) )米 B．(800＋270 eq \r(2) )米 C．(540＋600 eq \r(2) )米 D．(800＋600 eq \r(2) )米 6．(2023·烟台)风电项目对于调整能源结构和转变经济发展方式具有重要意义．某电力部门在一处坡角为30°的坡地新安装了一架风力发电机，如图1.某校实践活动小组对该坡地上的这架风力发电机的塔杆高度进行了测量，图2为测量示意图．已知斜坡CD长16米，在地面点A处测得风力发电机塔杆顶端P点的仰角为45°，利用无人机在点A的正上方53米的点B处测得P点的俯角为18°，求该风力发电机塔杆PD的高度．(参考数据：sin18°≈0.309，cos18°≈0.951，tan18°≈0.325) 解：延长PD交AC于点F，延长DP交BE于点G，由题意得PF⊥AF，DG⊥BE，AB＝FG＝53米，AF＝BG，设AF＝BG＝x米，在Rt△CDF中，∠DCF＝30°，CD＝16米，∴DF＝ eq \f(1,2) CD＝8米，在Rt△PAF中，∠PAF＝45°，∴PF＝AF·tan 45°＝x米，在Rt△BPG中，∠GBP＝18°，∴GP＝BG·tan 18°≈0.325x(米)，∴FG＝PF＋PG＝x＋0.325x＝1.325x(米)，∴1.325x＝53，解得x＝40，∴PF＝40米，∴PD＝PF－DF＝40－8＝32(米)，答：该风力发电机塔杆PD的高度约为32米 7．(2023·天津)综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔AB前有一座高为DE的观景台，已知CD＝6 m，∠DCE＝30°，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为45°，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为27°. (1)求DE的长； (2)设塔AB的高度为h(单位：m)； ①用含有h的式子表示线段EA的长(结果保留根号)； ②求塔AB的高度(tan 27°取0.5， eq \r(3) 取1.7，结果取整数). 解：(1)由题意得DE⊥EC，在Rt△DEC中，CD＝6 m，∠DCE＝30°，∴DE＝ eq \f(1,2) CD＝3 m，∴DE的长为3 m　 ①由题意得BA⊥EA，在Rt△DEC中，DE＝3 m，∠DCE＝30°，∴CE＝ eq \r(3) DE＝3 eq \r(3) m，在Rt△ABC中，AB＝h m，∠BCA＝45°，∴AC＝ eq \f(AB,tan 45°) ＝h (m)，∴AE＝EC＋AC＝(3 eq \r(3) ＋h) m，∴线段EA的长为(3 eq \r(3) ＋h) m　 ②过点D作DF⊥AB，垂足为F，由题意得DF＝EA＝(3 eq \r(3) ＋h) m，DE＝FA＝3 m，∵AB＝h m，∴BF＝AB－AF＝(h－3) m，在Rt△BDF中，∠BDF＝27°，∴BF＝DF·tan 27°≈0.5(3 eq \r(3) ＋h)m，∴h－3＝0.5(3 eq \r(3) ＋h)，解得h＝3 eq \r(3) ＋6≈11，∴AB＝11 m，答：塔AB的高度约为11 m $$