8.6.3 课时1 二面角与面面垂直的判定定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3 课时1 二面角与面面垂直的判定定理 作者编号：32100 1.理解二面角及其相关概念. 2.掌握平面与平面垂直的定义及判定定理. 3.运用平面与平面垂直的判定定理证明平面与平面垂直问题. 学习目标 作者编号：32100 复习导入 线线角 平面 立体 线面角 立体 平面与平面能成角吗？你能举出生活中的例子吗 作者编号：32100 水坝在修建的时候，为了坚固耐用，水坝的坡面与水平面要成一个适当的角度. 虚掩的门和墙面之间也形成一定的角度 新知讲授 作者编号：32100 l A B β α ·P ·Q 如图，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 平面的一条直线把平面分为两部分，其中的每一部分都叫做一个半平面. ①棱为AB，面分别为α，β的二面角记作α-AB-β. ②为了方便，也可在α，β内（棱以外的半平面部分）分别取点P,Q，将这个二面角记作P-AB-Q. ③如果将棱记作l,那么这个二面角记作α-l-β或P-l-Q. 一、二面角 新知讲授 作者编号：32100 在日常生活中，有很多平面与平面相交的例子．比如折纸，笔记本电脑打开过程中，屏幕和键盘所在的平面相交并形成了一定的角度. 新知讲授 作者编号：32100 二、二面角的平面角 如图 ，在日常生活中，我们常说"把门开大一些"，是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样刻画二面角的大小呢? 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． β α l O A B ∠AOB的大小与点O在l上的位置有关吗？ 为什么？ 由等角定理可知，∠AOB的大小与点O在l上的位置无关. 新知讲授 作者编号：32100 二面角的平面角的特征： ①角的顶点在棱上； ②角的两边分别在两个半平面内； ③角的边都要垂直于二面角的棱； ④∠AOB的大小与点O在棱上的位置无关.   l O A B   A O B 新知讲授 作者编号：32100 β α l O A B 二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 图1 平面角θ为锐角 图2 平面角θ为直角 图3 平面角θ为0° 图4 平面角θ为180° 平面角是直角的二面角叫做直二面角． 二面角的平面角θ的取值范围是0°≤ θ ≤180°． 新知讲授 作者编号：32100 教室的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上. 一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β． 如图 ，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直． 在明确了两个平面相互垂直的定义的基础上，我们先研究平面与平面垂直的判定. 三、两个平面互相垂直的定义 教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角？分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数. 说一说 新知讲授 作者编号：32100 观察：如图，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？ 这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直. 类似的结论也可以在长方体中发现.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，平面ABB′A′经过平面ABCD的一条垂线AA′，此时，平面ABB′A′垂直于平面ABCD. 新知讲授 作者编号：32100 一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理： 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 图形语言表示 符号语言表示 a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 四、两个平面互相垂直的判定定理 新知讲授 作者编号：32100 已知：a⊥β，a⊂α，a∩α=O. 求证：α⊥β. 证明： 设α∩β=l，则O∈l. ∴a⊥b， 则直线a与直线b所成角是二面角α-l-β的平面角. ∴α⊥β. 在平面内过点O作直线b⊥l．． ∴a⊥l． O l ∵a⊥β，l⊂β b 又∵a⊥β，b⊂β 即二面角α-l-β的平面角是直二面角. 新知讲授 作者编号：32100 【例1】如图，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，求证：平面A'BD⊥平面ACC'A'． 证明： ∴AA'⊥BD， ∵ABCD-A'B'C'D'是正方体 分析：要证平面A'BD⊥平面ACC'A'，根据两个平面垂直的判定定理，只要证明平面A'BD经过平面ACC'A'的一条垂线即可.这需要利用AC、BD是正方形ABCD的对角线. ∴AA'⊥平面ABCD. 又BD⊥AC，AA'∩AC=AC， ∴平面A'BD⊥平面ACC'A'． ∴BD⊥平面ACC'A'. ①直棱柱侧棱垂直于底面的任一条直线； ②正方形的对角线互相垂直. 注 意 新知讲授 作者编号：32100 【例2】如图所示，AB是圆O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC． 分析：要证两个平面垂直，根据两个平面垂直的判定定理， 只需证明其中一个平面中的一条直线垂直于另一个平面，而 由直线与平面垂直的判定定理，还需证明这条直线与另一个平面内的两条相交直线垂直. 在本题中，由题意可知，BC⊥AC，BC⊥PA，AC∩PA=A，从而BC⊥平面PAC，进而平面PAC⊥平面PBC. 新知讲授 作者编号：32100 【例2】如图所示，AB是⨀O的直径，PA垂直于圆O所在的平面，C是圆周上不同于A，B的任意一点．求证：平面PAC⊥平面PBC． 证明： 又PA∩AC=A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC， ∴PA⊥BC. ∵PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC， ∴∠BCA=90°，即BC⊥AC. ∵C是圆周上不同于A，B的任意一点，AB是⨀O的直径， ∴BC⊥平面PAC， ∴平面PAC⊥平面PBC. 新知讲授 作者编号：32100 【例3】如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AD=2AC，二面角A­BD­C的大小为 ． 解： ∵AC⊥平面BCD，BD⊂平面BCD， ∴AC⊥BD. 又BD⊥CD，AC∩CD＝C， ∴BD⊥平面ACD， ∴∠ADC即为二面角A­BD­C的平面角. ∵AD⊥BD， 在Rt△ACD中，AD=2AC， ∴∠ADC=30°，即二面角A­BD­C为30°. 30° 新知讲授 作者编号：32100 1.如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°， 又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC. ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴△ASB和△ASC都是等边三角形， 令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形． ∴∠ADS=90°,即二面角A－BC－S为直二面角， 则AD⊥BC，SD⊥BC， SD＝，BD＝＝. 则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC， ∴∠ADS为二面角A-BC-S的平面角. 在Rt△BSC中，SB＝SC＝a， 如图所示，取BC的中点D，连接AD，SD， 在Rt△ABD中，AD＝，在△ADS中，∵SD2＋AD2＝SA2， 故平面ABC⊥平面SBC. D 证明： 方法1：（利用定义） 练一练 作者编号：32100 证明： 方法2：（利用判定定理） ∵∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC， ∴点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心． ∴SA＝AB＝AC， ∴点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点， ∴AD⊥平面SBC. ∵△SBC为直角三角形， 又∵AD⊂平面ABC， ∴平面ABC⊥平面SBC. 1.如图所示，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°， 又SA＝SB＝SC. 求证：平面ABC⊥平面SBC. D 练一练 作者编号：32100 证明： ⑵∵E,F分别为AC,AB的中点， ⑴∵E,P分别为AC，A'C的中点， ∵BC⊥AC, ∴EP∥平面AA'B，即EP∥平面A'FB. ∴EF∥BC. 2.如图，E,F分别为Rt△ABC的直角边AC和斜边AB的中点，沿EF将△AEF折起到△A'EF的位置,连接A'B,A'C,P为A'C的中点. ⑴求证：EP∥平面A'FB； ⑵求证：平面A'EC⊥平面A'BC. ∴EP∥AA'， 又AA'⊂平面AA'B，EP⊄平面AA'B， ∴EF⊥AC. ∴EF⊥A'E， ∴BC⊥A'E， 又A'E∩AC=E， ∴BC⊥平面A'EC， ∵BC⊂平面A'BC， ∴平面A'EC⊥平面A'BC. 练一练 作者编号：32100 3.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,二面角D1-AB-C的大小是 . ∵AB⊥平面BB1C1C，且BC1⊂平面BB1C1C， 又∵AB⊥BC， 而∠C1BC=45°， 解：在正方体ABCD -A1B1C1D1中, ∴二面角D1-AB-C的大小为45°. ∴AB⊥BC1， ∴∠C1BC为二面角D1-AB-C的平面角， 45° 练一练 作者编号：32100 1.二面角及其相关概念 2.两个平面互相垂直的定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． 在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角． β α l O A B 平面角是直角的二面角叫做直二面角． 二面角的平面角θ的取值范围是0°≤θ≤180°． 一般地， 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面α与β垂直，记作α⊥β． 课堂小结 作者编号：32100 3.两个平面互相垂直的判定定理 定理 如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直. 图形语言表示 符号语言表示 a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直. 线面垂直 线线垂直 面面垂直 课堂小结 作者编号：32100 $$