第二章平面向量及其应用练习-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

第二章 平面向量及其应用练习题 一、选择题 1．已知向量，，，则( ) A.6 B. C. D. 2．已知向量，，若，则（    ） A． B． C．2 D．2 3. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 4．在矩形ABCD中,,,圆M为矩形内恒与AB,BC相切的动圆,则的最小值为( ) A. B. C. D. 5. 已知非零向量，满足，，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ） A B. C. D. 6. 已知平面向量与的夹角是，且，则（ ） A. B. C. D. 7．对称美是数学美的重要组成部分,他普遍存在于初等数学和高等数学的各个分支中,在数学史上,数学美是数学发展的动力.如图,在等边中,,以三条边为直径向外作三个半圆,M是三个半圆弧上的一动点,若,则的最大值为( ) A. B. C.1 D. 8．已知向量,满足,且,则在上的投影向量为( ) A. B. C. D. 二、多项选择题 9．向量,满足:,,,则向量在向量上的投影向量的模的可能值是( ) A.1 B. C. D.2 10．设点D是所在平面内一点,则下列说法正确的有( ) A.若,则点D是边的中点 B.若,则点D是的重心 C.若,则点D在边的延长线上 D.若,且,则是面积的一半 11．已知向量，的夹角为，，，，则（    ） A．在方向上的投影向量的模为 B．在方向上的投影向量的模为 C．的最小值为 D．取得最小值时， 三、填空题 12．已知以O为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则______. 13．设，是不共线的两个向量，，，.若A，B，D三点共线，则k的值为________. 14．△ABC中，D为AB的中点，，则___． 四、解答题 15．在中，分别是角A、B、C的对边，，且． (1）求角A的大小； 16. 已知向量与满足，，与的夹角为. （1）求； （2）求； （3）若，求实数的值. 17．已知向量，. （Ⅰ）若，求的值； （Ⅱ）若，求向量与夹角的大小. 18.已知，，且. (1)求与的夹角； (2)若，求实数的值. 19．设，是不共线的两个向量. （1）若，，，求证：A，B，C三点共线； （2）若与共线，求实数k的值. 参考答案 1．答案：D 解析：，，即，解得， 故选：D. 2.【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标表示求，再由向量的模的坐标表示求. 【解析】由，，，得，则， 所以，所以．选项D正确， 故选：D. 3．【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出． 【详解】因为，所以，， 由可得，， 即，整理得：． 故选：D． 4．答案：D 解析：建立以B为原点,为正交基底平面直角坐标系,设,,,,, ,,,, 所以, 又,所以其最小值在时取得,即为. 故选:D. 5．【答案】A 【解析】 【分析】依题意可得，根据数量积的定义及运算律求出，即可求出，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， ∴，又，所以，∴或（舍去）， 所以， 所以在方向上的投影向量为. 故选：A. 6．【答案】C 【解析】 【分析】利用模的公式可得到，然后利用数量积的运算律即可得到答案 【详解】由可得， 因为平面向量与的夹角是，且 所以 故选：C 7．答案：B 解析： 如图,过点M作,交直线,于点P,Q, 则,. 设,.则. ,. 由图可知,当与半圆相切时,k最大,易求得, 即k最大为.的最大值为. 故选：B. 8．答案：C 解析:因为,且,所以在上的投影向量, , 故选:C. 9．答案：ACD 解析：由题意,向量,满足,且, 所以向量在向量上的投影向量的模为. 故选:ACD 10．答案：ABD 解析：对A,,即, 即, 即点D是边的中点,故A正确; 对B,设的中点为M,, 即点D是的重心,故B正确; 对C,, 即, 即, 即点D在边的延长线上,故C错误; 对D,,且, 故,且, 设, 则,且, 故M,B,C三点共线,且, 即是面积的一半,故D正确. 11．【答案】AD 【分析】AB选项，利用投影的定义求解判断；CD选项，利用数量积的运算律求解判断. 【解析】因为在方向上的投影向量的模为，故A正确； 因为在方向上的投影向量的模为，故B错误； ，当时，取得最小值，此时，所以，故C错误，D正确． 故选：AD 12．答案：2 解析：以O为坐标原点建立如图所示直角坐标系， 设一小格为1单位，则，，， 则， 故答案为：2. 13．答案：-4 解析：因为，，， 所以， 由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数λ，使得. 所以， 又因为与不共线， 所以，解得. 故答案为：-4 14.【答案】0 【分析】取为基底，表示出即可求解. 【解析】在中，D为AB的中点，，取为基底，如图， 所以, . 所以 . 因为，，所以. 即. 故答案为： 15．【答案】（1）由得 由正弦定理得 .16．【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据数量积的定义计算可得； （2）根据及数量积的运算律计算可得； （3）依题意可得，根据数量积的运算律计算可得. 【小问1详解】 因为，，与的夹角为， 所以. 【小问2详解】 . 【小问3详解】 因为，则， 即， 所以，即，解得 17．答案：（I）； （II）. 解析：（I）因为，，所以， 由，可得， 即，解得，即， 所以； （II）依题意， 可得，即， 所以， 因为， 所以与的夹角大小是． 18．【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据数量积的运算律得到，再根据数量积的定义求出夹角的余弦值，即可得解； （2）依题意可得，根据数量积的运算律得到方程，再求出k的值. 【解析】（1）因为， 所以. 设与的夹角为， 则，又，所以， 故与的夹角为. （2）因为，所以， 即，即， 所以，即，解得. 19．答案：（1）证明见解析； （2）±4. 解析：（1）由，，， 得， ， 因此，且有公共点 所以A，B，C三点共线， （2）由于与共线，则存在实数，使得， 即，而，不共线， 因此，解得，或，， 所以实数k的值是. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$