培优重难点专题 离散型随机变量（4知识点+30题型+好题必刷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第三册）

重难点培优专题：离散型随机变量 离散型随机变量 1．离散型随机变量定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 4．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 题型一：求离散型随机变量的分布列 【例题1-1】．（2025高三·全国·专题练习）某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则 ． 【变式1-1】．（2024高三·全国·专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 【变式1-2】．（24-25高三下·天津·开学考试）大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是 ；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是 ． 【变式1-3】．（24-25高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【变式1-4】．（2025·贵州毕节·一模）甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为，乙每次射击命中目标的概率都为． (1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练．求第三次射击就结束训练的概率； (2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标就结束训练．若甲先射击，求： ①甲射击一次就结束训练的概率； ②求结束训练时甲射击次数的分布列． 题型二：离散型随机变量的均值求参数 【例题2-1】．（20-21高二下·广东珠海·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【变式】．（23-24高二下·福建宁德·期末）一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【变式2-1】．（23-24高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】．（2018高二·全国·竞赛）若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【变式2-3】．（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型三：由随机变量的分布求概率 【例题3-1】．（23-24高二下·重庆·阶段练习）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 【变式3-1】．（22-23高二下·河南郑州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量服从两点分布，且，则 C．若随机变量的分布列为，则 D．若随机变量，则的分布列中最大的只有 题型四：离散型随机变量的方差与标准差 【例题4-1】．（2024高三·全国·专题练习）某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 题型五：离散型随机变量方差的期望表示 【例题5-1】．（22-23高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】．（2023高二·安徽·竞赛）一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为 ． 题型六：离散型随机变量在医疗中的应用 【例题6-1】．（2025·湖北·模拟预测）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【变式6-1】．（22-23高三上·广东潮州·期末）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：四个样本混合在一起化验； 方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验. 在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？ (2)若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围. 题型七：离散型随机变量在摸球中的应用 【例题7-1】．（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【变式7-1】．（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量的概率分布. 【变式7-2】．（24-25高二下·全国·课堂例题）袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记，求的分布列． 【变式7-3】．（22-23高二下·浙江·期中）已知一个口袋中有3个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，6的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉. 1 2 3 4 5 6 (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P； (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号，求X的数学期望的值. 【变式7-4】．（23-24高二下·河北邢台·期中）一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列． 【变式7-5】．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入个小球，其中个黑球，个红球． 模型①为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入红球，使红球数为原来红球数的倍； 模型②为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中． (1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； (2)在模型②的前提下： （i）若取出一个红球就停止抽球，否则继续抽取，但取球的次数最多不超过次，记为抽球的次数，求的数学期望；结果用分数表示 （ii）求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率．结果保留三位小数 参考数据：；；；；；． 题型八：离散型随机变量在体育比赛中的应用 【例题8-1】．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分的分布列（用列表法表示）. 【变式8-1】．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有X的可能值及其发生的概率. (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【变式8-2】（23-24高二下·山东聊城·期中）乒乓球被称为中国的“国球”．20世纪60年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军．在2024年3月举行的乒乓球新加坡大满贯赛事中中国乒乓球选手获得了全部项目的冠军．乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10:10平后．发球权的次序仍然不变．但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立． (1)已知某局比赛甲先发球，求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率； (2)已知第一局目前比分为10:10． ①求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； ②求第一局比赛甲获胜的概率． 【变式8-3】．（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 题型九：离散型随机变量在知识竞赛中的应用 【例题9-1】．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【变式9-1】．（2024高三·全国·专题练习）某项团体比赛分为两轮，第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛，若挑战成功，则参加第二轮攻擂赛，与上任擂主争夺此次团体赛的擂主．现有甲队参加比赛，队中共有3名事先排好顺序的队员． (1)第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的分布列和期望． (2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1－3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知甲队三名队员每场比赛的胜率分别为，，，若要求甲队获得擂主的概率大于，问是否满足？请说明理由． 题型十：离散型随机变量在游戏中的应用 【例题10-1】．（2024·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. 【变式10-1】．（2024·浙江·模拟预测）现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为，若抛中的是正面，则收益的手中金额；否则亏损的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为元，记为抛硬币次数，为经历次抛硬币后手中的金额. (1)若，求的分布列； (2)如图，横坐标表示，纵坐标表示，在图中描出所有可能取值对应的，并求出当、1、2、3时盈利的概率； (3)综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）. 【变式10-2】．（23-24高二下·浙江·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌． (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率． (2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列． 题型十一：离散型随机变量和古知识相融合 【例题11-1】．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位､十位､百位､......，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.（例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.）现将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上. (1)设事件为“表示的三位数能被5整除”，为“表示的三位数能被3整除”.分别求事件，发生的概率； (2)求随机变量“表示的三位数除以3的余数（能整除时记余数为0）”的概率分布列及数学期望. 题型十二：离散型随机变量在学校生活实际中的应用 【例题12-1】．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． 题型十三：离散型随机变量在抽奖摸奖中的应用 【例题13-1】．（23-24高二下·广东茂名·期中）化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【变式13-1】．（22-23高二下·湖北十堰·阶段练习）袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数； (2)求随机变量的分布列； (3)求乙取到白球的概率. 【变式13-2】．（2024·江西·模拟预测）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，……，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张彩票只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为2的倍数且不为3的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖． (1)在一张彩票中奖的前提下，求这张彩票是一等奖的概率； (2)假设每张彩票售价为元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为2元，3元，10元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值． 题型十四：用离散型随机变量判断游戏规则是否公平 【例题14-1】．（23-24高二下·甘肃白银·期末）甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. 题型十五：离散型随机变量在考试中的应用 【例题15-1】．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有2次笔试的机会，最多有2次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若2次笔试均未通过，或通过了笔试但2次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率． (2)求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望． (3)已知参加首次面试的N名考生全都来自A，B两个地区，其中来自A地区的考生人数为．根据资格证考试要求：所有面试人员提前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长10分钟，面试完成后自行离场．记随机变量Y表示从面试的第一名考生开始面试到最后一名A地区考生完成面试所用的时间，忽略其他损耗的时间，用表示Y的数学期望，证明：． 【变式15-1】．（2024·安徽·一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中： (1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p； (2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 【变式15-2】．（2025高三·全国·专题练习）某学校为了推选一名羽毛球选手参加市级联赛，对成绩都非常优秀的甲、乙两名选手进行了五轮综合测试，测试成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 甲的分数 7.2 7.3 7.6 8 7.9 乙的分数 6 6.3 9.5 9.2 7 (1)根据以上信息，结合概率统计知识，你倾向于选派哪一名选手参加比赛？说明理由． (2)若甲、乙两名选手进行对抗赛，由于两人实力相当（即甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为），特制订如下规则：当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束．假设每局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望． 【变式15-3】．（24-25高三上·辽宁·期末）高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2分），有选错的得0分. (1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的概率； (2)考生乙有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望； (3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为；丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率. 题型十六：离散型随机变量和相关政策相融合 【例题16-1】．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． (1)求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率； (2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列； (3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由． 题型十七：离散型随机变量在检测工序上的应用 【例题17-1】．（2024·北京·三模）某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个. 表①：表示加工一个口罩的利润. 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 2 1 0.5 (1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率； (2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值. 题型十八：离散型随机变量在文旅中的应用 【例题18-1】．（2023·福建泉州·模拟预测）泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之路”起点.著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元寺祈福香包、小关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立. (1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率； (2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率. 【变式18-1】．（2023·河北邯郸·三模）邯郸是历史文化名城，被誉为“中国成语典故之都”．为了让广大市民更好的了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为，各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)记答题结束时答题个数为，当时，若，求的取值范围； (2)（i）记答题结束时答对个数为，求； （ii）当时，求使的的最小值． 参考数据：，. 题型十九：离散型随机变量在新定义中的应用 【例题19-1】．（2024·浙江杭州·一模）一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 【变式19-1】．（2024·湖南株洲·一模）品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列； (2)当时， ①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率； ②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由. 题型二十：离散型随机变量在规律中的应用 【例题20-1】．（23-24高二下·云南玉溪·期末）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. (1)求粒子在第2秒末移动到点的概率； (2)求第6秒末粒子回到原点的概率； (3)设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 题型二十一：离散型随机变量在药品检测中的应用 【例题21-1】．（2023·湖北孝感·模拟预测）为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议. (1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望. (2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X的估计值为k） 题型二十二：离散型随机变量在旅游门票购买中的应用 【例题22-1】．（24-25高三上·北京昌平·期末）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张. 为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下：     用户 平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人） 官方网站 短视频 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为元/人，其售票利润率分别是和．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取人，估计此人为购买景区门票用户的概率； (2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取人，用表示这人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为万人和万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按元/人的标准支付，向短视频平台按元/人的标准支付.为了获得最大的净利润（净利润=售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 题型二十三：离散型随机变量在学习调研中的应用 【例题23-1】．（24-25高三上·北京海淀·期末）某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 (1)从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； (2)对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分. ①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系. 【变式23-2】．（24-25高二上·广西桂林·期末）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. (1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 【变式23-3】．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 【变式23-4】．（24-25高三上·辽宁·期末）为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分. (1)已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望； (2)现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为. ①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列； ②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望. 题型二十四：离散型随机变量在数列中的应用 【例题24-1】．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 【变式24-1】．（24-25高三上·河北保定·期末）已知有穷数列共有项（其中且），集合且，其中、、均为小于等于的正整数. (1)若，数列的各项依次为、、、、，请写出集合中所有的元素； (2)若，且数列为单调递增数列，从集合中任取一个元素，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (3)若数列为公差大于的等差数列，从集合中任取一个元素，定义事件“”，求事件发生的概率（结果用表示）. 【变式24-2】．（2024高三·全国·专题练习）某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为． （ⅰ）请写出与的递推关系； （ⅱ）证明：数列为等比数列． 题型二十五：离散型随机变量在盲盒中的应用 【例题25-1】．（2025·广东肇庆·二模）购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢种款式中的一种. (1)若种款式的盲盒各有一个. （i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率. （ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为，求的数学期望. (2)若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前次未抽出指定款式，则第次必定抽出指定款式.设为小刘抽到某指定款式所需的次数，求的数学期望（参考数据：，结果保留整数）. 题型二十六：离散型随机变量在AI中的应用 【例题26-1】．（24-25高三上·浙江杭州·期末）阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙. (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程. (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值; （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： 【变式26-1】．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）元旦小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利. (1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的分布列； (2)记 为设定机器人一共行走2i步时游戏胜利的概率，求 并判断当i为何值时，游戏胜利的概率最大； (3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的姐姐，姐姐告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将n个0和n个1排成一排，若对任意的 在前k个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有 种，其中， 的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走2i步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2） 中的，有 题型二十七：离散型随机变量在集合中的应用 【例题27-1】．（2025高三·全国·专题练习）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族为集合的一个划分．已知集合． (1)若． ①写出集合的所有3划分； ②从集合的所有划分中任取一个，求这个划分恰好为3划分的概率． (2)设集合为集合的非空子集，随机变量表示子集中的最大元素．若，求随机变量的分布列和数学期望． 题型二十八：离散型随机变量在农业中的应用 【例题28-1】．（2024·陕西·一模）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投入到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示： 95 126 187 P 0.5 且的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示： 0 1 2 41.2 117.6 204.0 (1)求的值； (2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率） 【变式28-1】．（2023·上海黄浦·三模）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； (2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； (3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 题型二十九：离散型随机变量在移动质点中的应用 【例题29-1】．（2024·湖北·一模）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．      (1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率； (2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 题型三十：离散型随机变量在生活中的应用 【例题30-1】．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电价.过去居民用电实行的是阶梯电价，每月用电量不超过180度的部分，按照每度电0.45元收取，超过180度的部分，按照每度电0.6元收取.而新的分时电价则是将每日24小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰段每度电0.6元，谷段每度电0.4元，平段每度电0.5元收取.该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了以下工作：首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得出结论：开空调时的每日用电量为10度，不开空调时的每日用电量为5度.然后，他统计了一天中三个时段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：    假设下个月一共30天，每天他开空调的概率均为（）. (1)根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为度，求的分布列和期望（用表示）. (2)根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为a元，不开空调的每日平均用电费用为b元，分别求a，b；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为Y元，求Y的分布列和期望（用p表示）. (3)如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费用视为.要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则p的取值范围为多少? 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（    ）百元代金券 A．5.4 B．9 C．12 D．18 2．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 3．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 4．（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 5．（2024高三·全国·专题练习）体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的均值，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 二、多选题 8．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（   ） A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为 C．第3次检测后就可确定患病者的概率为 D．检测次数的期望为3 9．（24-25高三上·河南三门峡·期末）如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（    ） A． B． C． D． 10．（24-25高三上·江苏常州·期末）某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（    ） 表1 甲每股收益的分布列 收益元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2 乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C．此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D．此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小 三、填空题 11．（24-25高三上·天津滨海新·期中）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 12．（24-25高二下·全国·课后作业）“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 . 13．（2024·四川·一模）条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设表示第一次抽中奖品时的抽取次数，表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则 . 14．（2024高三·全国·专题练习）PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势．下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图．将每连续3个月的PMI值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测． (1)现从制造业的个观测组中任取一组， （i）求组内三个PMI值至少有一个低于的概率； （ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好．设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望； (2)用表示第j月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份． 15．（2024·山西吕梁·二模）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为. (1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； (2)若，求两个粒子经过2号门后都为上旋状态的概率； (3)求的分布列和数学期望. 16．（2024高三·全国·专题练习）一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为． (1)求； (2)设，求； 17．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）某芯片公司生产甲､乙､丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲､乙芯片第一次光刻的良品率分别为，丙芯片第一次光刻因为工艺先进成熟，其良品率为.只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，而甲､乙､丙第二次光刻的良品率分别为.第二次光刻的良品才是合格品. (1)从甲､乙､丙三种芯片的第一次光刻产品中各任取一件，若恰有两件是良品，求甲芯片是良品的概率； (2)甲､乙､丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润150元，每件不合格品使公司赔50元，现生产甲､乙､丙芯片各一枚，设这三枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望. 18．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． (1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； (2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望． 19．（2024·重庆·模拟预测）党的二十届三中全会提出“健全新型举国体制，提升国家创新体系整体效能”. 为让拔尖创新型人才脱颖而出，某地决定举行中学生高科技知识挑战赛，挑战赛分预赛和决赛两个阶段，每个参赛队由两名选手组成，每个选手只能参加一个阶段的挑战赛，每个阶段分别设置了 3 个问题；预赛阶段至少完整答对 1 个问题，该队才能进入决赛: 决赛阶段每完整答对 1 个问题， 该队决赛成绩记 3 分， 否则记 0 分， 未进入决赛的参赛队决赛成绩记 0 分. 已知华夏队的 两名选手每次完整答对 1 个问题的概率为 ，每次回答是独立的， 表示华夏队的决赛总成绩. (1)当 时，若 选手参加预赛，求 ； (2)当 最大时，决赛阶段应由哪个选手参加? (3)当 最大时，决赛阶段应由哪个选手参加? 10 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重难点培优专题：离散型随机变量 离散型随机变量 1．离散型随机变量定义 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及性质 (1)一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1,2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列． (2)离散型随机变量的分布列的性质： ①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1. 3．离散型随机变量均值 (1)一般地，若离散型随机变量X的分布列为： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)若Y＝aX＋b，其中a，b为常数，则Y也是随机变量，且E(aX＋b)＝aE(X)＋b. (3)①若X服从两点分布，则E(X)＝p； ②若X～B(n，p)，则E(X)＝np. 4．离散型随机变量方差 (1)设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则(xi－E(X))2描述了xi(i＝1,2，…，n)相对于均值E(X)的偏离程度．而D(X)＝ (xi－E(X))2pi为这些偏离程度的加权平均，刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，称D(X)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)． (3)若X服从两点分布，则D(X)＝p(1－p)． (4)若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)． 题型一：求离散型随机变量的分布列 【例题1-1】．（2025高三·全国·专题练习）某种儿童游戏每局的规则是：儿童先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其资金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量和分别表示儿童在一局游戏中的资金和奖金，则 ． 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】由随机变量的分布列求概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率 【分析】由已知分别得出资金和奖金的分布列，得出所需概率求解即可. 【详解】资金的分布列为 1 2 3 4 5 P 奖金的分布列为 1.4 2.8 4.2 5.6 P 则. 故答案为：. 【变式1-1】．（2024高三·全国·专题练习）某次乒乓球比赛的规则为：双方轮流发球，每人发一个球后交换发球权，先得11分的一方获胜，同时规定，双方比分达到（未达到时）后，先多得2分的一方获胜，双方比分达到后，先多得1分的一方获胜.甲、乙两人进行比赛，比分达到，下一次由甲发球，用表示结束比赛还需要发球的次数，已知甲、乙两人比赛时发球方得分的概率均为，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据题意先列出的所有可能取值，再分析各个取值的情况，求得和的值，由随机变量的分布列的概率和为1求得. 【详解】由题意知的所有可能取值为. 当时，甲的胜负情况为“胜胜”或“负负”，故. 当时，甲的胜负情况为“胜负胜胜”“胜负负负”“负胜胜胜”或“负胜负负”， 故. 则. 故答案为：. 【变式1-2】．（24-25高三下·天津·开学考试）大学生甲去某企业应聘，需要进行英语和专业技能两个项目的考核，先进行英语考核．每个项目有一次补考机会，补考不合格者被淘汰，不能进入下一个项目的考核．若每个学生英语考核合格和补考合格的概率都是，专业技能考核合格和补考合格的概率都是，每一次考试是否合格互不影响．则大学生甲不被淘汰的概率是 ；若大学生甲不放弃每次考试的机会，表示他参加补考的次数，则的数学期望是 ． 【答案】 / 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】首先分别求两个项目合格的概率，再求整体不被淘汰的概率；根据随机变量的意义，求概率，再求期望. 【详解】英语合格概率为，专业技能考核合格的概率为， 所以大学生甲不被淘汰的概率； 由题意可知，， ，, ， 所以. 故答案为：； 【变式1-3】．（24-25高二下·全国·课后作业）在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从此10张奖券中任抽2张，求： (1)该顾客中奖的概率； (2)该顾客获得的奖品总价值的分布列，并求出的值. 【答案】(1)； (2)分布列见解析，. 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）应用组合数及古典概型的概率、对立事件的概率求法求顾客中奖的概率； （2）由已知有的可能取值为0，10，20，50，60并求出对应概率，即得分布列，进而由求值. 【详解】（1）该顾客中奖的概率. （2）的可能取值为0，10，20，50，60. ，，， ，. 故随 机变量的分布列为 0 10 20 50 60 所以. 【变式1-4】．（2025·贵州毕节·一模）甲，乙两名射击运动员进行射击训练，无论之前射击命中情况如何，甲每次射击命中目标的概率都为，乙每次射击命中目标的概率都为． (1)甲先射击，若未命中目标则甲继续射击，若命中目标则换乙射击，直至乙命中目标就结束训练．求第三次射击就结束训练的概率； (2)如果甲，乙两名射击运动员轮流射击，有人命中目标就结束训练．若甲先射击，求： ①甲射击一次就结束训练的概率； ②求结束训练时甲射击次数的分布列． 【答案】(1) (2)①；②答案见解析. 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）利用独立事件和互斥事件的概率公式求解； （2）①利用独立事件和互斥事件的概率公式求解；②由题意可知，的可能取值为1，2，，，，利用独立事件和互斥事件的概率公式求出相应的概率，进而得到的分布列． 【详解】（1）设事件“甲第i次射击命中目标”，设事件“乙第i次射击命中目标”，设事件“第三次射击就结束训练”， 则，． 所以， 所以第三次射击就结束训练的概率为； （2）①设事件“甲射击一次就结束训练” 则， 所以甲射击运动员射击一次的概率， ②设结束训练时，甲射击运动员射击次数为X，则X的可能取值为 ， ， ， 故甲射击运动员射击次数的分布列为： X 1 2 3 … k … P … … 题型二：离散型随机变量的均值求参数 【例题2-1】．（20-21高二下·广东珠海·期末）已知随机变量的分布列为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】运用概率分布列的性质求出，再求即可. 【详解】依题意，分布列概率之和为1，则，解得. 即，所以.   故选：A. 【变式】．（23-24高二下·福建宁德·期末）一校园公用电话在某时刻恰有个学生正在使用或等待使用该电话的概率为，根据统计得到，其中为常数，则在该时刻没有学生正在使用或等待使用该电话的概率为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用概率之和为1求出，然后令，即可求解. 【详解】， ，即. 故选：B. 【变式2-1】．（23-24高二下·河北沧州·期中）已知离散型随机变量X的分布列为（，2，3），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题 【分析】利用离散型随机变量X的分布列的概率之和为1，代入计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以． 故选：B． 【变式2-2】．（2018高二·全国·竞赛）若离散型随机变量X的分布列为，则的值为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】由离散型随机变量X的分布列为，求出，由此能求出的值. 【详解】因为， 所以由， 可得：， 即，∴， 所以. 故选:B. 【变式2-3】．（24-25高二上·江西南昌·期末）若某科技小制作课的模型制作规则是：每位学生最多制作3次，一旦制作成功，则停止制作，否则可制作3次.设某学生一次制作成功的概率为，制作次数为，若的数学期望，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】根据题意计算的概率，再由期望列出不等式求解即可. 【详解】由题意，的取值可能为1，2，3， 则，，， 则， 解得或，又，所以 故选：C 题型三：由随机变量的分布求概率 【例题3-1】．（23-24高二下·重庆·阶段练习）围棋棋理博大精深，蕴含着中华文化的丰富内涵，被列为“琴棋书画”四大文化之一，是中华文化与文明的体现．在某次国际围棋比赛中，甲、乙两人进行最后的决赛，比赛采取五场三胜制，即先胜三场的一方获得冠军，比赛结束．假设每场比赛甲胜乙的概率都为，且没有和棋，每场比赛的结果互不影响，记决赛的比赛总场数为，则下列结论正确的是（    ） A．且甲获得冠军的概率是 B．有连续三场比赛都是乙胜的概率是 C． D．若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军 【答案】CD 【难度】0.65 【知识点】由随机变量的分布列求概率、独立事件的乘法公式 【分析】对ABCD，分析出满足各自选项的所有情况，再利用独立事件的乘法公式一一判断即可. 【详解】对于A，且甲获得冠军有两种情况:且甲获得冠军，且甲获得冠军， 且甲获得冠军表示甲连胜三场，且甲获得冠军表示第四场甲获胜且前三场中有两场甲获胜， 所以且甲获得冠军的概率为，故A错误; 对于B，有连续三场比赛都是乙胜包含三种情况：前三场比赛都是乙获胜， 第一场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜，前两场比赛甲获胜接下来三场比赛都是乙获胜， 所以有连续三场比赛都是乙胜的概率为，故B错误; 对于C，包含两种情况:比赛四场甲获得冠军，比赛四场乙获得冠军， 所以，故C正确； 对于D，甲赢了第一场，乙获得冠军包含两种情况： 第二至第四场都是乙获胜，第五场乙获胜且第二至第四场中有两场乙获胜， 所以甲赢了第一场，乙获得冠军的概率为， 因为为，所以若甲赢了第一场，则乙仍有超过的可能性获得冠军，故D正确. 故选：CD. 【变式3-1】．（22-23高二下·河南郑州·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．若随机变量，则 B．若随机变量服从两点分布，且，则 C．若随机变量的分布列为，则 D．若随机变量，则的分布列中最大的只有 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】A选项，根据正态分布的对称性得到，A正确；B选项，根据服从两点分布，且得到分布列，求出的分布列，求出期望值和方差；C选项，根据概率之和为1列出方程，求出；D选项，根据解出答案. 【详解】A选项，，由正态分布的对称性可知，A正确； B选项，若随机变量服从两点分布，且， 即分布列为： 0 1 所以 0 2 故，则，B正确； C选项，分布列中概率之和为1，即，解得，C正确； D选项，随机变量，令， 即，解得， 因为，所以或3， 则的分布列中最大的有或，D错误. 故选：ABC 题型四：离散型随机变量的方差与标准差 【例题4-1】．（2024高三·全国·专题练习）某公司计划派员工到甲、乙、丙、丁、戊这5个领头企业中的两个企业进行考察学习，记该公司员工所学习的企业中含甲、乙、丙的个数为，记的所有取值的平均数为，方差为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算几个数据的极差、方差、标准差、求离散型随机变量的均值、方差的性质 【分析】根据方差的计算即可求解，结合排列组合求解概率，即可根据期望和方差，结合选项即可逐一求解. 【详解】由题知的所有可能取值为，则，. 且，，， 所以，故A错误； 由于，故C错误； ，故B错误； ，则，故D正确． 故选：D 【变式4-1】．（23-24高二下·内蒙古通辽·阶段练习）一个课外兴趣小组共有5名成员，其中有3名女性成员，2名男性成员，现从中随机选取3名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为X，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据给定条件，求出X的分布列，再结合期望、方差的定义逐项计算判断即得. 【详解】女性成员人数X的可能值为， 则， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，，D正确. 故选：ACD 【变式4-2】．（24-25高二下·全国·课后作业）阿尔法围棋（AlphaGo）是第一个击败人类职业围棋选手的机器人，这是人工智能算法的重要突破．现某公司研发出了一款级3段围棋机器人，并开展了一项比赛，比赛规则为一人与机器人对弈三次，若获胜一次，则可以获得2千元奖金，若获胜两次，则可以获得5千元奖金，若获胜三次，则可以获得1万元奖金，若三次均未获胜，则无奖金，已知某围棋手每场比赛获胜的概率均为，记此人可获得的奖金为千元，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】独立重复试验的概率问题、离散型随机变量的方差与标准差 【分析】根据条件，可知的可能取值为，进而求出相应的概率，从而得到，，即可求出结果. 【详解】依题意可知，的可能取值为， 则，，，， 所以， 又， 所以， 故答案为：. 题型五：离散型随机变量方差的期望表示 【例题5-1】．（22-23高二下·福建厦门·期末）某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得等级相互独立，记为“该学生取得等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值、利用随机变量分布列的性质解题、方差的期望表示 【分析】利用方差的期望表示可得出，设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有，利用基本不等式可求得的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得的最大值. 【详解】由题意可得、的分布列如下表所示： 由分布列的性质可得，所以，， 所以，，， 所以，， 设该生物理、历史学考获得等级的概率分别为、，则有， 则， 当且仅当时取等号，所以，， 因为函数在上单调递减， 所以，． 故选：B. 【变式5-1】．（2023高二·安徽·竞赛）一离散型随机变量的分布列为： 0 1 2 3 0.1 其中为变数，为正常数，且当时方差有最大值，则的值为 ． 【答案】0.1/ 【难度】0.65 【知识点】利用随机变量分布列的性质解题、方差的性质、方差的期望表示 【分析】由题意得再利用期望、方差的性质计算可得答案. 【详解】由题意得，， ， 当时有最大值，此时，解得． 故答案为：． 题型六：离散型随机变量在医疗中的应用 【例题6-1】．（2025·湖北·模拟预测）某医院计划从急诊科、骨科中选调医生组建一支6人医疗救援队，该院骨科、急诊科各有5名医生报名加入医疗救援队． (1)小张是这次报名的骨科医生，求小张被选入医疗救援队的概率； (2)设被选入医疗救援队的骨科医生人数为X，求随机变量X的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析，3 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）利用组合数求得总情况数与符合题意的情况数，根据古典概型，可得答案； （2）利用离散型随机变量的计算步骤求得分布列，根据期望的计算公式，可得答案． 【详解】（1）解：设事件A为“小张被选入医疗救援队”， 则． （2）X的所有取值可能为1，2，3，4，5， ， ， ， ， ， X的分布列为 X 1 2 3 4 5 P 故． 【变式6-1】．（22-23高三上·广东潮州·期末）核酸检测是诊断新冠肺炎的重要依据，首先取病人的唾液或咽拭子的样本，再提取唾液或咽扰子样本里的遗传物质，如果有病毒，样本检测会呈现阳性，否则为阴性.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为，现有4例疑似病例，分别对其取样､检测，多个样本检测时，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则混合样本化验结果就会呈阳性，若混合样本呈阳性，则将该组中备份的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再检验.现有以下三种方案： 方案一：逐个化验； 方案二：四个样本混合在一起化验； 方案三：平均分成两组，每组两个样本混合在一起，再分组化验. 在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”. (1)若，现将该4例疑似病例样本进行化验，请问：方案一､二､三中哪个最“优”？ (2)若对4例疑似病例样本进行化验，且想让“方案二”比“方案一”更“优”，求p的取值范围. 【答案】(1)方案一最优 (2) 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）求得三个方案的检测次数的期望值，由此判断出最优的方案； （2）记方案二的检测次数为，求出对于随机变量的概率，从而求出数学期望，由方案二检测次数的期望值，即可求得的取值范围. 【详解】（1）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5， 所以，， 所以方案二检测次数的数学期望为； 方案三：每组两个样本检测时，若呈阴性则检测次数为1次，其概率为， 若呈阳性则检测次数为3次，其概率为， 设方案三的检测次数为随机变量，则的可能取值为2，4，6， 所以，，， 所以方案三检测次数Y的期望为， 因为， 所以方案一最优； （2）方案二：记检测次数为，则随机变量的可能取值为1，5， 所以，， 所以随机变量的数学期望为， 由于“方案二”比“方案一”更“优”，则， 可得，即，解得， 所以当时，方案二比方案一更“优”. 题型七：离散型随机变量在摸球中的应用 【例题7-1】．（24-25高二上·河南·阶段练习）一个袋中装有2个红球和4个白球，这些球除了颜色以外完全相同.每次从袋中随机取出一个球，取出的球不放回. (1)求第二次取出的是红球的概率； (2)若第三次取球时发现取出的是红球，求此时袋中没有红球的概率； (3)设2个红球都被取出时，已经取出的白球个数为，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据古典概型及互斥事件的概率和公式求解； （2）由题意化为两个互斥事件的和，利用概率公式得解； （3）由题意得出的可能取值，分别求出对应的概率，列出分布列得解. 【详解】（1）第二次取出的是红球是两个互斥事件的和事件， 分别为第一次取出红球，第二次取出红球；第一次取出白球，第二次取出红球； 所以概率. （2）记第三次取球时发现取出的是红球为事件A，第三次取球后袋中无红球为事件B, 则, ， 所以. （3）由题意，的可能取值为， 则， ， ， ， , 所以分布列为： 0 1 2 3 4 【变式7-1】．（24-25高三上·江苏泰州·开学考试）袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为，现在甲､乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球时即止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止时所需要的取球次数.求： (1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量的概率分布. 【答案】(1)3 (2)见解析 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、有放回与无放回问题的概率、计算古典概型问题的概率 【分析】（1）设出袋中原有个白球，利用古典概型得到关于的方程，求解即可； （2）根据题意分析可知，随机变量的可能取值为，计算出随机变量在不同取值下的概率，即可得出随机变量的概率分布列. 【详解】（1）设袋中原有个白球，由题意知：，所以， 解得（舍去），即袋中原有3个白球. （2）由题意，的可能取值为. ； ； ； ； ； 所以，取球次数的分布列为： 1 2 3 4 5 【变式7-2】．（24-25高二下·全国·课堂例题）袋内有10个白球，5个红球，从中摸出2个球，记，求的分布列． 【答案】答案见解析 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列 【分析】由题意可知服从两点分布，求出对应概率，即可求出的分布列． 【详解】由题设可知服从两点分布， ， ， 所以的分布列为： 0 1 【变式7-3】．（22-23高二下·浙江·期中）已知一个口袋中有3个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1，2，3，…，6的抽屉内，其中第次取出的球放入编号为的抽屉. 1 2 3 4 5 6 (1)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率P； (2)随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号，求X的数学期望的值. 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、利用全概率公式求概率 【分析】（1）利用古典概型概率公式求解即可；或者利用全概率公式求解， （2）随机变量的取值有：3，4，5，6，求出对应的概率，从而可得分布列及数学期望 【详解】（1）（方法一）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率 （方法二）编号为2的抽屉内放的是黑球的概率 （2）（方法一）随机变量X的取值有：3，4，5，6 又，， ， 所以随机变量X的分布列为 3 4 5 6 所以随机变量的数学期望为. （方法二）随机变量X的取值有：3，4，5，6 又，， ， 3 4 5 6 所以随机变量的数学期望为. 【变式7-4】．（23-24高二下·河北邢台·期中）一个不透明盒子里装有7个大小相同、质地均匀的小球，其中白色小球3个（分别标有数字1，2，3），黑色小球4个（分别标有数字2，3，4，5）．现从盒子中—次性随机取出3个小球． (1)求取出的3个小球上的数字之和等于10的概率； (2)在取出的3个小球中有黑色小球的情况下，黑色小球上的数字的最大值为X（当只取到1个黑色小球时，该球上的数字即为X），求随机变量X的分布列． 【答案】(1) (2)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）列出所有满足题意的情况，再利用古典概型即可求出答案； （2）首先分析出X可能的值有5，4，3，2，再分别写出其对应概率即可. 【详解】（1）7个球里取3个共有种， 3个小球上的数字之和等于10的含有4，5，1；3，5，2；3，4，3， 其中4，5，1只有一种，而3，5，2有种，即从两个3，两个2里各取一个，3，4，3也只有一种， 所以总共有种， 所以取出的3个小球上的数字之和等于10的概率为. （2）由题意可知，X可能的值有5，4，3，2， ， ， ， . 所以X的分布列为： 2 3 4 5 【变式7-5】．（24-25高三上·宁夏银川·阶段练习）某学校数学小组建立了如下的数学模型：将一个小盒里放入个小球，其中个黑球，个红球． 模型①为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则放回小盒并再往小盒里加入红球，使红球数为原来红球数的倍； 模型②为：若取出黑球，则放回小盒中，不作任何改变；若取出红球，则用黑球替换该红球重新放回小盒中． (1)分别计算在两种模型下，抽两次球，第二次取到的球是红球的概率； (2)在模型②的前提下： （i）若取出一个红球就停止抽球，否则继续抽取，但取球的次数最多不超过次，记为抽球的次数，求的数学期望；结果用分数表示 （ii）求在第次抽球时，抽到的球恰好是第二个红球的概率．结果保留三位小数 参考数据：；；；；；． 【答案】(1)模型①下取到红球的概率为，在模型②下取到红球的概率为． (2)，（ii） 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）应用全概率公式分模型计算即可； （2）（i）应用独立事件的乘法公式得出随机变量的分布列进而得出数学期望；（ii）应用独立事件概率乘积的公式计算概率再结合等比数列求和公式即可求解. 【详解】（1）记在模型①下，取到红球的概率为，则 记在模型②下，取到红球的概率为，则． （2）由题意可知，的取值依次是、、、， ， ， ， ． 所以； （ii）若第次是第一次取到红球，第次是第二次取到红球， 则． 所以第次抽到第二个红球的概率为： ， 利用等比数列求和公式即可得： ． 题型八：离散型随机变量在体育比赛中的应用 【例题8-1】．（23-24高二上·辽宁沈阳·阶段练习）学校举行定点投篮比赛，规定每人投篮4次，投中一球得2分，没有投中得0分，假设每次投篮投中与否是相互独立的，已知小明每次投篮投中的概率都是. (1)求小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率； (2)求小明在4次投篮后的总得分的分布列（用列表法表示）. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据题意结合独立事件的概率公式求解即可； （2）由题意得的可能取值为0，2，4，6，8，然后求出相应的概率，从而可求出的分布列. 【详解】（1）由题意得小明在投篮过程中直到第三次才投中的概率为 ； （2）由题意得的可能取值为0，2，4，6，8，则 ，， ， ， ， 所以的分布列为 0 2 4 6 8 【变式8-1】．（24-25高二上·上海松江·阶段练习）在校运动会上，只有甲、乙、丙三名同学参加铅球比赛，比赛成绩达到9.50m以上（含9.50m）的同学将获得优秀奖.为预测获得优秀奖的人数及冠军得主，收集了甲、乙、丙以往的比赛成绩，并整理得到如下数据（单位：m）： 甲：9.80，9.70，9.55，9.54，9.48，9.42，9.40，9.35，9.30，9.25； 乙：9.78，9.56，9.51，9.36，9.32，9.23； 丙：9.85，9.65，9.20，9.16. 假设用频率估计概率，且甲、乙、丙的比赛成绩相互独立. (1)估计甲在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的概率； (2)设X是甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖的总人数，求所有X的可能值及其发生的概率. (3)在校运动会铅球比赛中，甲、乙、丙谁获得冠军的概率估计值最大？（结论不要求证明） 【答案】(1)； (2)答案见解析； (3)丙 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、分步乘法计数原理及简单应用 【分析】（1）确定出甲优秀的成绩个数及成绩总的个数，由概率公式计算； （2）再求出乙、丙成绩优秀的概率，三个人优秀的人数可能为0，1，2，3，即为的可能值，然后由独立事件概率公式和对立事件事件公式计算出各概率； （3）根据已知成绩，确定三人比赛的总的情况数，再确定三人分别得冠军的情况数，比较可知． 【详解】（1）由题意甲共有10个成绩，其中优秀的有4个，优秀的概率是； （2）设甲、乙、丙在校运动会铅球比赛中获得优秀奖分别为事件， 由题意乙优秀的概率是，丙优秀的概率是， 的可能值是， ， ， ， ； （3）丙．理由如下： 由题意可知，甲、乙、丙三人参赛结果有种， 其中丙获得冠军的情况有种， 乙获得冠军的情况有种， 甲获得情况有种， 所以丙获得冠军的概率估计值最大． 【变式8-2】（23-24高二下·山东聊城·期中）乒乓球被称为中国的“国球”．20世纪60年代以来，中国乒乓球选手取得世界乒乓球比赛的大部分冠军．在2024年3月举行的乒乓球新加坡大满贯赛事中中国乒乓球选手获得了全部项目的冠军．乒乓球比赛每局采用11分制，每赢一球得1分，一局比赛开始后，先由一方发2球，再由另一方发2球，依次每2球交换发球权，若其中一方先得11分且至少领先2分即为胜方，该局比赛结束；若双方比分打成10:10平后．发球权的次序仍然不变．但实行每球交换发球权，先连续多得2分的一方为胜方，该局比赛结束．现有甲、乙两人进行乒乓球单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立． (1)已知某局比赛甲先发球，求该局比赛中，打完前4个球时甲得3分的概率； (2)已知第一局目前比分为10:10． ①求再打两个球甲新增的得分X的分布列和均值； ②求第一局比赛甲获胜的概率． 【答案】(1) (2)①分布列见解析，；② 【难度】0.65 【知识点】利用全概率公式求概率、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）前4个球时甲得3分，甲失一球，这球有可能是甲发球也可能是乙发球，分两类讨论，前两个球得1分或前两个球得2分，结合独立事件概率乘法公式分析运算； （2）①随机变量的所有可能取值为，逐一计算每个可能取值的概率即可； ②由①得到的结论并结合全概率公式，即可求第一局比赛甲获胜的概率. 【详解】（1）若打完前4个球时甲得3分，则甲失一球， 这球有可能是甲发球也可能是乙发球， 若前两个球得1分，； 若前两个球得2分， 所以打完前4个球时甲得3分的概率为 （2）①依题意，的所有可能取值为 设打成后甲先发球为事件，则乙先发球为事件，且， 所以， 所以的分布列为 0 1 2 故的均值为. ②设第一局比赛甲获胜为事件，平局后甲新增得分为， 则，， 由①知，，，， 由全概率公式，得 ， 解得，即第一局比赛甲获胜的概率为. 【变式8-3】．（24-25高二下·全国·课后作业）为了锻炼学生身体，丰富高中生活，减轻高三毕业生的压力，某体育老师在课上带领同学们做了一组投篮活动：选出4人进行定点投篮，4人都投篮一次为一轮活动，已知选出的4位同学中有两位同学进球的概率为，另外两位同学进球的概率为． (1)记一轮活动结束后，进球个数为，求的分布列与方差； (2)若随机变量，其中，求． 【答案】(1)分布列见解析， (2) 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质、离散型随机变量的方差与标准差、方差的性质 【分析】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，求分布列，进而可得方差； （2）由（1）可知：，，根据期望和方差的性质列式求解即可. 【详解】（1）由题意可知：进球个数的可能取值为，则有： ， ， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 所以． ． （2）由（1）可知：，， 若随机变量，且， 可得，解得. 题型九：离散型随机变量在知识竞赛中的应用 【例题9-1】．（24-25高二上·黑龙江齐齐哈尔·期中）某中学举办“数学知识竞赛”，初赛采用“两轮制”方式进行，要求每个班级派出两个小组，且每个小组都要参加两轮比赛，两轮比赛都通过的小组才具备参与决赛的资格.高三（6）班派出甲､乙两个小组参赛，在初赛中，若甲､乙两组通过第一轮比赛的概率分别是，通过第二轮比赛的概率分别是，且各个小组所有轮次比赛的结果互不影响. (1)若高三（6）班获得决赛资格的小组个数为，求的分布列； (2)已知甲､乙两个小组在决赛中相遇，决赛以三道抢答题形式进行，抢到并答对一题得100分，答错一题扣100分，得分高的获胜.假设这两组在决赛中对每个问题回答正确的概率恰好是各自获得决赛资格的概率，且甲､乙两个小组抢到该题的可能性分别是，假设每道题抢与答的结果均互不影响，求乙已在第一道题中得100分的情况下甲获胜的概率. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【难度】0.65 【知识点】独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）先算出甲乙通过两轮制的初赛的概率，的取值有0，1，2分三种情况解决． （2）先分别算出甲，乙抢到并答对一题的概率，然后再算出乙已得100分，甲若想获胜的3种情况，最后由分类加法计数原理求解即可． 【详解】（1）设甲､乙通过两轮制的初赛分别为事件， 则， 由题意可得，X的取值有， ， ， ， 分布列如下： 0 1 2 （2）依题意甲､乙抢到并答对一题的概率分别为，， 乙已得100分，甲若想获胜情况有： 甲得200分：其概率为； ②甲得100分，乙再得分，其概率为； ③甲得0分，乙再得分，其概率为； 故乙先得100分后甲获胜的概率为. 【变式9-1】．（2024高三·全国·专题练习）某项团体比赛分为两轮，第一轮由团队队员轮流与AI人工智能进行比赛，若挑战成功，则参加第二轮攻擂赛，与上任擂主争夺此次团体赛的擂主．现有甲队参加比赛，队中共有3名事先排好顺序的队员． (1)第一轮与AI对战，比赛的规则如下：若某队员第一关闯关成功，则该队员继续闯第二关，否则该队员结束闯关并由下一位队员接力去闯第一关，若某队员第二关闯关成功，则该团队接力闯关活动结束，否则该成员结束闯关并由下一位队员接力去闯第二关；当第二关闯关成功或所有队员全部上场参加了闯关，该队挑战活动结束．已知甲队每位成员闯过第一关和第二关的概率分别为，，且每位成员闯关是否成功互不影响，每关结果也互不影响.用表示甲队闯关活动结束时上场闯关的成员人数，求的分布列和期望． (2)甲队已经顺利进入第二轮，现和擂主乙队1－3号队员进行比赛，规则为：双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛……直到有一方队员全被淘汰，另一方获得胜利．已知甲队三名队员每场比赛的胜率分别为，，，若要求甲队获得擂主的概率大于，问是否满足？请说明理由． 【答案】(1)分布列见解析， (2)满足，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）求出的可能取值和对应的概率，得到分布列，计算出期望值； （2）分三种情况：①一人参赛全胜获得擂主，②两人参赛获得擂主，③三人参赛获得擂主，求出相应的概率，从而得到，得到不等式，得到结论. 【详解】（1）由题意知，的所有可能取值为1，2，3， 则， ， ， 所以的分布列为 1 2 3 所以． （2）满足题意，理由如下： 分三种情况： ①一人参赛全胜获得擂主，该事件发生的概率设为，则， ②两人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为， 则， ③三人参赛获得擂主，该事件发生的概率设为， 若在第一局被淘汰，淘汰掉乙队三人，概率为， 若在第二局被淘汰，淘汰掉乙队两人， 概率为， 若在第三局被淘汰，淘汰掉乙队一人， 概率为 ， 故， 因为， 所以要使甲队获胜的概率大于，即，则， 即，化简得， 当时，代入可得，满足题意． 题型十：离散型随机变量在游戏中的应用 【例题10-1】．（2024·广东佛山·一模）密室逃脱是当下非常流行的解压放松游戏，现有含甲在内的7名成员参加密室逃脱游戏，其中3名资深玩家，4名新手玩家，甲为新手玩家. (1)在某个游戏环节中，需随机选择两名玩家进行对抗，若是同级的玩家对抗，双方获胜的概率均为；若是资深玩家与新手玩家对抗，新手玩家获胜的概率为，求在该游戏环节中，获胜者为甲的概率； (2)甲作为上一轮的获胜者参加新一轮游戏：如图，有两间相连的密室，设两间密室的编号分别为①和②.密室①有2个门，密室②有3个门（每个门都可以双向开），甲在每个密室随机选择1个门出去，若走出密室则挑战成功.若甲的初始位置为密室①，设其挑战成功所出的密室号为，求的分布列. 【答案】(1) (2)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）先求出7人中随机选择2人的情况数和包含甲的情况数，分析得到6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种，分两种情况，求出甲获胜的概率，相加即可； （2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率，分析得到两个方程，求出，从而得到和，得到分布列. 【详解】（1）7人中随机选择2人，共有种情况，其中含甲的情况有种， 6种情况中，甲和资深玩家对抗的情况有3种，和同级的玩家对抗情况有3种， 则甲和资深玩家对抗并获胜的概率为， 和同级的玩家对抗并获胜的概率为， 故在该游戏环节中，获胜者为甲的概率为； （2）设为甲在密室①，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 为甲在密室②，且最终从密室①走出密室，挑战成功的概率， 考虑，需考虑甲直接从号门走出密室或者进入密室②且最终从密室①走出密室， 故①， 考虑，则甲从号门进行密室①，且从密室①走出密室， 故②， 联立①②，可得， 所以，故， 故分布列如下： 1 2 【变式10-1】．（2024·浙江·模拟预测）现有一抛硬币游戏机制：假设抛中正、反面可能性均为，若抛中的是正面，则收益的手中金额；否则亏损的手中金额.甲同学按此规则进行多组模拟，抛硬币次，发现最终亏损的次数多于盈利的次数.假设初始金额为元，记为抛硬币次数，为经历次抛硬币后手中的金额. (1)若，求的分布列； (2)如图，横坐标表示，纵坐标表示，在图中描出所有可能取值对应的，并求出当、1、2、3时盈利的概率； (3)综合（1）（2）数据，简要说明形成甲同学的实验现象的原因（直接写结论）. 【答案】(1)分布列见解析 (2)图象见解析，，，， (3)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立事件的实际应用 【分析】（1）根据条件知的可能取值为，再求出相应的概率，即可求出结果； （2）通过取一些特殊值，即可得到部分图象，再根据条件，即可求出、1、2、3时盈利的概率； （3）根据题设条件，即可写出结果. 【详解】（1）易知的可能取值为， ，， ， 所以的分布列为 25 90 324 （2）当时，，当时，或， 当时，的可能取值为，，所以图象如下图 易知，，，. （3）越大，最终手中金额大于初始金额的概率会越小，则最终亏损的可能性越大，最后亏损的组数多于盈利的组数，即甲同学实验现象（答案不唯一） 【变式10-2】．（23-24高二下·浙江·期中）小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：红桃、黑桃、方块、梅花各2张．逐次从9张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加入一张新的大王牌． (1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率． (2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束：若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否则游戏继续．用X表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求X的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】分步乘法计数原理及简单应用、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率 【分析】（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”,利用条件概率公式能求出小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下,第三次抽牌抽到红桃牌的概率 (2)X的可能所有取值为:1,2,3,4,5分别求出相应的概率,由此能求出的分布列即可. 【详解】（1）设事件A表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”,设事件B表示“第三次抽到红桃牌”. 则 ．则小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为 . （2）X的可能所有取值为:1,2,3,4,5． ， ， ， ， ， 则X的分布列为： X 1 2 3 4 5 P 题型十一：离散型随机变量和古知识相融合 【例题11-1】．（24-25高三上·江苏常州·阶段练习）算盘是我国古代一项伟大的发明，是一类重要的计算工具.如图，算盘多为木制，内嵌有九至十五根直杆（简称档），自右向左分别表示个位､十位､百位､......，梁上面一粒珠子（简称上珠）代表5，梁下面一粒珠子（简称下珠）代表1，五粒下珠的大小等于同组一粒上珠的大小.（例如，个位拨动一粒上珠､十位拨动一粒下珠至梁上，表示数字15.）现将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上. (1)设事件为“表示的三位数能被5整除”，为“表示的三位数能被3整除”.分别求事件，发生的概率； (2)求随机变量“表示的三位数除以3的余数（能整除时记余数为0）”的概率分布列及数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据古典概型概率计算公式求得事件，发生的概率. （2）结合（1）求得分布列并求得数学期望. 【详解】（1）将算盘的个位､十位､百位分别随机拨动一粒或两粒珠子至梁上， 因此各位上数字可以是1､2､5､6，三位数的个数是， 要使得组成的三位数能被5整除，则只需个位数是5即可， 而这些数中个位数是5的数的个数为， 所以事件发生的概率 要使得组成的三位数能被3整除， 则数字组合有共8种， 因此满足条件的三位数有个， 所以事件发生的概率. 故. （2）记三位数除以的余数为，则的可能取值为， 由（1）知时数字组合有共6种， 因此被整除余1的三位数有个，所以， ， X的概率分布列为： 0 1 2 数学期望. 题型十二：离散型随机变量在学校生活实际中的应用 【例题12-1】．（2024·广东佛山·三模）随着春季学期开学，某市市场监管局加强了对学校食堂食品安全管理，助力推广校园文明餐桌行动，培养广大师生文明餐桌新理念，以“小餐桌”带动“大文明”，同时践行绿色发展理念．该市某中学有A，B两个餐厅为老师与学生们提供午餐与晚餐服务，王同学、张老师两人每天午餐和晚餐都在学校就餐，近一个月（30天）选择餐厅就餐情况统计如下： 选择餐厅情况（午餐，晚餐） 王同学 9天 6天 12天 3天 张老师 6天 6天 6天 12天 假设王同学、张老师选择餐厅相互独立，用频率估计概率． (1)估计一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的概率； (2)记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，求X的分布列和数学期望； (3)假设M表示事件“A餐厅推出优惠套餐”，N表示事件“某学生去A餐厅就餐”，，已知推出优惠套餐的情况下学生去该餐厅就餐的概率会比不推出优惠套餐的情况下去该餐厅就餐的概率要大，证明：． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、独立事件的乘法公式 【分析】（1）运用古典概型求概率即可． （2）根据已知条件计算简单离散型随机变量的分布列及期望． （3）运用条件概率及概率加法公式计算可证明结果． 【详解】（1）设事件C为“一天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐”， 因为30天中王同学午餐和晚餐选择不同餐厅就餐的天数为， 所以． （2）由题意知，王同学午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.3， 王同学午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.1， 张老师午餐和晚餐都选择A餐厅就餐的概率为0.2， 张老师午餐和晚餐都选择B餐厅就餐的概率为0.4， 记X为王同学、张老师在一天中就餐餐厅的个数，则X的所有可能取值为1、2， 所以，， 所以X的分布列为 X 1 2 P 0.1 0.9 所以X的数学期望 （3）证明：由题知， 所以， 所以， 所以， 即：， 所以， 即. 题型十三：离散型随机变量在抽奖摸奖中的应用 【例题13-1】．（23-24高二下·广东茂名·期中）化州市宏达广场的惠客多超市准备在2024年五一假期举办了一场有奖销售活动，并且设置一等奖、二等奖和三等奖，其中三等奖有4种奖品供选择，每种奖品都有若干个，凡是在该商场消费的人均可参与抽奖，消费者抽中三等奖后可从4种奖品中随机选择一种，每种奖品被选中的可能性相同，且每位消费者抽中三等奖的概率均为． (1)求甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样的概率； (2)若有4位消费者均抽中三等奖，记三等奖的4种奖品中无人挑选的奖品种数为，求随机变量的分布列． 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）由题知甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种），进而根据古典概型与独立事件的概率乘法公式求解即可； （2）依次求得离散型随机变量的分布列取值对应的概率，进而求出随机变量的分布列. 【详解】（1）设事件为“甲、乙2位消费者均抽中三等奖且2人最终选择的奖品不一样”， 由三等奖有4种奖品供选择，故甲、乙2位消费者的选择情况共有（种），其中2人最终选择的奖品不一样的情况有（种）， 因为每位消费者抽中三等奖的概率均为， 所以，． （2）由题，的所有可能取值为0，1，2，3， 由题知，4个人挑选了4种奖品，共有种情况， 表示4个人挑选了4种奖品，所以； 表示4个人挑选了3种奖品，故有2个人选中同一种奖品， 所以； 当表示4个人挑选了2种奖品，从4种奖品中选2种奖品的方法有（种）， 对于被选中的2种奖品，4个人不同的选择方法有（种）， 所以有2种奖品被选中的方法有（种）， 所以，； 当表示4个人挑选了同一种奖品， 所以． 所以的分布列为 0 1 2 3 【变式13-1】．（22-23高二下·湖北十堰·阶段练习）袋中装有黑球和白球共个，从中任取个球都是白球的概率为，现有甲、乙两人从袋中轮流摸取球，甲先取，乙后取，然后甲再取取后不放回，直到两人中有一人取到白球时终止，每个球在每一次被取出的机会是等可能的，用表示取球终止所需要的取球次数. (1)求袋中所有的白球的个数； (2)求随机变量的分布列； (3)求乙取到白球的概率. 【答案】(1) (2)分布列答案见解析 (3) 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、利用概率的加法公式计算古典概型的概率、写出简单离散型随机变量分布列、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）设袋中的白球个数为，由组合计数原理结合古典概型的概率公式可得出关于的等式，结合的取值范围可求得的值； （2）分析可知，随机变量的可能取值有、、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列； （3）记事件乙取到白球，可得出，结合（2）中的分布列可求得结果. 【详解】（1）解：设袋中的白球个数为，由题意可得， 整理可得，又因为且，解得， 因此，袋中白球的个数为. （2）解：由题意可知，随机变量的可能取值有、、、、， 则，，， ，， 所以，随机变量的分布列如下表所示： （3）解：由题意可知，记事件乙取到白球，则事件即为“第二次或第四次取到白球”， 所以，. 【变式13-2】．（2024·江西·模拟预测）某数学兴趣小组模拟“刮刮乐”彩票游戏，每张彩票的刮奖区印有从10个数字1，2，3，……，10中随机抽取的3个不同数字，刮开涂层即可兑奖，中奖规则为：每张彩票只能中奖一次（按照最高奖励算）若3个数的积为2的倍数且不为3的倍数时，中三等奖；若3个数的积为5的倍数且不为3的倍数时，中二等奖；若3个数的积既为3的倍数，又为4的倍数，又为7的倍数时，中一等奖；其他情况不中奖． (1)在一张彩票中奖的前提下，求这张彩票是一等奖的概率； (2)假设每张彩票售价为元，且获得三、二、一等奖的奖金分别为2元，3元，10元，从出售该彩票可获利的角度考虑，求的最小值． 【答案】(1)； (2)2． 【难度】0.65 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、求离散型随机变量的均值、计算条件概率、实际问题中的组合计数问题 【分析】（1）分析题目，分别得到三等奖项发生的情况：三等奖需要至少1个偶数，不包含5，10，且3个数都不是3的倍数；二等奖需要至少一个5的倍数，且三个数都不为3的倍数；一等奖需要1个7、一个3的倍数，且当3的倍数为6时，只需要再有一个2的倍数，当3的倍数为3或9时，需要再有一个4的倍数. 计算得到三等奖项中奖的概率，利用条件概率公式得到结果. （2）根据（1）奖金分别为2元，3元，10元对应获得三、二、一等奖的概率，计算得到获奖期望为元，为了盈利售价应当高于获奖期望，因此单价正整数，所以的最小值为2. 【详解】（1）若获得三等奖则可能是出现：①2，4，8中出现3个；②2，4，8中出现2个，1， 7出现1个；③2，4，8中出现1个，1，7出现2个；则获得三等奖的概率； 若获得二等奖则可能是出现：①5、10中出现1个， 1、2、4、7、8出现2个；②5、10中出现2个，1、2、4、7、8出现1个；则获得二等奖的概率； 若获得一等奖则可能是出现：①一个7，3、9中出现1个，4、8出现1个；②一个7，一个6，2、4、8、10 中出现1个，则获得一等奖的概率； 所以随机抽取一张彩票，则这张彩票中奖的概率． 所以已知一张彩票中奖，且是一等奖的概率为. （2）一张彩票的奖金的取值可能为0、2、3、10元， 由题可知不中奖的概率为， ，，. 其分布列为： 0 2 3 10 所以，所以要盈利，则；又， 所以的最小值为2． 题型十四：用离散型随机变量判断游戏规则是否公平 【例题14-1】．（23-24高二下·甘肃白银·期末）甲､乙两人报名参加由某网络科技公司举办的“技能闯关”双人电子竞技比赛，比赛规则如下：每一轮“闯关”结果都采取计分制，若在一轮闯关中，一人过关另一人未过关，过关者得1分，未过关者得-1分；若两人都过关或都未过关，则两人均得0分.甲､乙过关的概率分别为和，在一轮闯关中，甲的得分记为. (1)求的分布列. (2)为了增加趣味性，系统给每位报名者基础分3分，并且规定出现一方比另一方多过关三轮者获胜，此二人比赛结束.表示“当甲的累积得分为时，最终认为甲获胜”的概率，则，其中，令.证明：点的中点的横坐标为. (3)在第（2）问的条件下求，并尝试解释游戏规则的公平性. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 (3)0.12，答案见解析 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、利用随机变量分布列的性质解题、由随机变量的分布列求概率 【分析】（1）由题意得：分别求出相应的概率，由此能求出的分布列； （2）由题意得，计算出的值，推导出，根据中点公式能证明点的中点横坐标为； （3）由及，求出，由此推导出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 【详解】（1），，， 的分布列为 -1 0 1 （2）由题意得 ， ， . 于是有，整理可得， 根据中点公式有， 故的中点的横坐标为. （3）由（2）可知，于是， 又，所以， 表示最终认为甲获胜的概率， 由计算结果可以看出，当甲过关的概率为0.5，乙过关的概率为0.6时， 当甲的累计得分为分时，认为甲获胜的概率为， 此时得出甲获胜的概率非常小，说明这种游戏规则是公平的. 题型十五：离散型随机变量在考试中的应用 【例题15-1】．（23-24高二下·河北秦皇岛·阶段练习）某种资格证考试分为笔试和面试两部分，考试流程如下：每位考生一年内最多有2次笔试的机会，最多有2次面试的机会．考生先参加笔试，一旦某次笔试通过，不再参加以后的笔试，转而参加面试；一旦某次面试通过，不再参加以后的面试，便可领取资格证书，否则就继续参加考试．若2次笔试均未通过，或通过了笔试但2次面试均未通过，则考试失败．甲决定参加考试，直至领取资格证书或考试失败，他每次参加笔试通过的概率均为，每次参加面试通过的概率均为，且每次考试是否通过相互独立． (1)求甲在一年内考试失败的概率． (2)求甲在一年内参加考试次数X的分布列及期望． (3)已知参加首次面试的N名考生全都来自A，B两个地区，其中来自A地区的考生人数为．根据资格证考试要求：所有面试人员提前到场，并随机给每人安排一个面试号码，按面试号码k由小到大依次进行面试，每人面试时长10分钟，面试完成后自行离场．记随机变量Y表示从面试的第一名考生开始面试到最后一名A地区考生完成面试所用的时间，忽略其他损耗的时间，用表示Y的数学期望，证明：． 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3)证明见解析 【难度】0.65 【知识点】二项展开式的应用、互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）应用独立事件乘法公式及互斥事件概率和计算即可； （2）按照步骤求离散型随机变量的分布列及期望； （3）结合组合数性质计算证明. 【详解】（1）甲每次参加笔试未通过的概率均为，每次参加面试未通过的概率均为． 甲2次笔试均未通过的概率为， 甲通过了第一次笔试，但2次面试均未通过的概率为， 甲未通过第一次笔试，通过了第二次笔试，但2次面试均未通过的概率为， 所以甲在一年内考试失败的概率为． （2）由题意得X的可能取值为2，3，4， ， ， ， X的分布列为 X 2 3 4 P 故． （3）由题意得Y的可能取值为，，…，10N， 则Y的分布列为，其中， 所以 ． 故． 【变式15-1】．（2024·安徽·一模）高三联考数学试卷的多项选择题每小题满分6分，每小题有4个选项，其中只有2个或者3个选项是正确的.若正确选项有2个，则选对其中1个得3分；若正确选项有3个，则选对其中1个得2分，选对其中2个得4分，答案中有错误选项的得0分.设一套数学试卷的多项选择题中有2个选项正确的概率为，有3个选项正确的概率为.在一次模拟考试中： (1)小明可以确认一道多项选择题的选项A是错误的，从其余的三个选项中随机选择2个作为答案，若小明该题得分X的数学期望为3，求p； (2)小明可以确认另一道多项选择题的选项A是正确的，其余的选项只能随机选择.小明有三种方案：①只选A不再选择其他答案；②从另外三个选项中再随机选择1个.共选2个；③从另外三个选项中再随机选择2个，共选3个.若，以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择哪个方案？ 【答案】(1) (2)② 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据离散型随机变量的分布列及期望公式计算即可， （2）分别求解三种情况下的期望，即可比较期望大小求解. 【详解】（1）根据题意可知，， 若该题有2个选项正确，则， 若该题有3个选项正确，则， 则分布列如下： X 0 4 6 P 所以， 解之得； （2）不妨记一道多选题“有2个选项正确”为事件， “有3个选项正确”为事件， 若小明选择方案①， 记小明该题得分为，则的可能取值为2，3，对应概率为： ， 故； 若小明选择方案②， 记小明该题得分为，则的可能取值为，对应概率为： ， ， 故， 若小明选择方案③， 记小明该题得分为Z，则Z的可能取值为，对应概率为： ， . 故， ， 故以最后得分的数学期望为决策依据，小明应该选择方案②. 【变式15-2】．（2025高三·全国·专题练习）某学校为了推选一名羽毛球选手参加市级联赛，对成绩都非常优秀的甲、乙两名选手进行了五轮综合测试，测试成绩如下（分数越高，代表打球水平越好）． 第一轮 第二轮 第三轮 第四轮 第五轮 甲的分数 7.2 7.3 7.6 8 7.9 乙的分数 6 6.3 9.5 9.2 7 (1)根据以上信息，结合概率统计知识，你倾向于选派哪一名选手参加比赛？说明理由． (2)若甲、乙两名选手进行对抗赛，由于两人实力相当（即甲、乙在每一局比赛中获胜的概率均为），特制订如下规则：当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束．假设每局比赛互不影响，求比赛结束时比赛局数的数学期望． 【答案】(1)选择甲，理由见解析； (2). 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、计算几个数据的极差、方差、标准差、计算几个数的平均数、错位相减法求和 【分析】（1）利用表格中数据求出甲、乙得分的平均数和方差，再比较得答案. （2）设比赛局数为随机变量X，求出X的所有可能取值及对应的概率，列出分布列并求出数学期望. 【详解】（1）设甲、乙两名选手的平均成绩分别为，，方差分别为，， ，． ， ， 显然，，所以倾向于选派甲参加比赛. （2）设比赛结束时比赛局数为随机变量X， 由比赛结束的条件“当其中一人比另一人多胜两局或比赛局数达到20局时，比赛结束”， 得比赛局数X的取值只能为偶数，即X的可能值为：2，4，6，…，20， ， 当时，说明前两局二人各胜一局，然后第三局和第四局均为甲胜或均为乙胜， 前两局二人各胜一局的概率为，则， 当时，双方前两局，前四局，…，前局的胜负局数均相同，且第局，第X局均为甲胜或乙胜， 设，则， 显然也满足上式， 当时，说明双方前两局、前四局、一直到前十八局的胜负局数均相同， 因此， 于是X的分布列为 X 2 4 6 8 … 18 20 P … 数学期望， 即， 因此， 两式相减得， 所以. 【变式15-3】．（24-25高三上·辽宁·期末）高中数学标准化考试选择题分为单项选择和多项选择两种题型，按照现行评分标准，多项选择题一般从四个选项中选出所有正确的选项（四个选项中有两个或三个选项是正确的），其评分标准为全部选对的得6分，部分选对的得部分分（两个正确选项的每个正确选项3分，三个正确选项的每个正确选项2分），有选错的得0分. (1)考生甲有一道正确选项为两个选项的多项选择题不会做，他随机挑选两个选项，求他猜对本题得6分的概率； (2)考生乙有一道答案为的多项选择题不会做，他随机选择两个或三个选项，求他得到分数的分布列和期望； (3)现有2道两个正确答案的多项选择题，根据训练经验，每道题考生丙得6分的概率为，得3分的概率为；考生丁得6分的概率为，得3分的概率为；丙，丁二人答题互不影响，且两题答对与否也互不影响，求这2道多项选择题丙丁两位考生总分刚好得18分的概率. 【答案】(1) (2)分布列见解析， (3) 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、实际问题中的组合计数问题、实际问题中的计数问题 【分析】（1）利用组合数的性质结合古典概型求解概率即可. （2）利用给定条件求出每种情况对应的概率，再求解分布列和数学期望即可. （3）合理进行分类讨论，利用分类加法计数原理和分步乘法计数原理求解即可. 【详解】（1）由题意得甲同学所有可能的选择答案有种， 而其中正确选项只有一个，设符合条件的事件为，故. （2）乙同学所有可能的选择答案有种，即共有10个样本点， 设乙同学本题可能得分为，则的可能取值为， ，，， 所以乙同学可能得分的分布列为 0 4 6 所以数学期望为. （3）由题意得丙得0分的概率为， 丁得0分的概率为， 丙丁总分刚好得分的情况包含： 事件：丙得分有一种情况，丁得分有三种情况， 则； 事件：丙得分有两种情况，丁得分有两种情况， 则； 事件：丙得分有三种情况，丁得分有一种情况， 则； 所以丙丁总分刚好得分的概率. 题型十六：离散型随机变量和相关政策相融合 【例题16-1】．（23-24高二下·甘肃兰州·阶段练习）教育是阻断贫困代际传递的根本之策．补齐贫困地区义务教育发展的短板，让贫困家庭子女都能接受公平而有质量的教育，是夯实脱贫攻坚根基之所在．治贫先治愚，扶贫先扶智．为了解决某贫困地区教师资源匮乏的问题，某市教育局拟从5名优秀教师中抽选人员分批次参与支教活动．支教活动共分3批次进行，每次支教需要同时派送2名教师，且每次派送人员均从这5人中随机抽选．已知这5名优秀教师中，2人有支教经验，3人没有支教经验． (1)求5名优秀教师中的“甲”，在第一批次支教活动中就被抽选到的概率； (2)求第一次抽取到无支教经验的教师人数的分布列； (3)求第二次抽选时，选到没有支教经验的教师的人数最有可能是几人？请说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析 (3)1，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）由古典概率公式求解即可； （2）求出的可能取值及其对应的概率，即可求出的分布列； （3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，求出的可能取值及其对应的概率，即可得出答案. 【详解】（1）5名优秀教师中的“甲”在第一批次支教活动中就被抽选到的概率： ． （2）表示第一次抽取到的无支教经验的教师人数，的可能取值有0，1，2． ；；． 所以分布列为： 0 1 2 0.1 0.6 0.3 （3）设表示第二次抽取到的无支教经验的教师人数，可能的取值有，则有： 因为， 故第二次抽取到的无支教经验的教师人数最有可能是1人． 题型十七：离散型随机变量在检测工序上的应用 【例题17-1】．（2024·北京·三模）某口罩加工厂加工口罩由A，B，C三道工序组成，每道工序之间相互独立，且每道工序加工质量分为高和低两种层次级别，A，B，C三道工序加工的质量层次决定口罩的过滤等级；A，B，C工序加工质量层次均为高时，口罩过滤等级为100等级（表示最低过滤效率为）；C工序的加工质量层次为高，A，B工序至少有一个质量层次为低时，口罩过滤等级为99等级（表示最低过滤效率为）；其余均为95级（表示最低过滤效率为）.现从A，B，C三道工序的流水线上分别随机抽取100个口罩进行检测，其中A工序加工质量层次为高的个数为50个，B工序加工质量层次高的个数为75个，C工序加工质量层次为高的个数为80个. 表①：表示加工一个口罩的利润. 口罩等级 100等级 99等级 95等级 利润/元 2 1 0.5 (1)用样本估计总体，估计该厂生产的口罩过滤等级为100等级的概率； (2)X表示一个口罩的利润，求X的分布列和数学期望； (3)用频率估计概率，由于工厂中A工序加工质量层次为高的概率较低，工厂计划通过增加检测环节对A工序进行升级.在升级过程中，每个口罩检测成本增加了0.2元时，相应的A工序加工层次为高的概率在原来的基础上增加了b.试问：若工厂升级方案后对一个口罩利润的期望有所提高，写出一个满足条件的b的值. 【答案】(1)0.3 (2)分布列见详解；元 (3)（答案不唯一，满足即可） 【难度】0.65 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数、均值的实际应用、求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】（1）根据可得A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率，结合独立事件概率乘法公式分析求解； （2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，求相应的概率，进而可得分布列和期望； （3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为，由题意可知：Y的可能取值为，求相应的概率，进而可得期望，令运算求解即可. 【详解】（1）设A，B，C三道工序加工的质量层次高的概率分别为， 用频率估计概率可得：， 记“该厂生产的口罩过滤等级为100等级”为事件， 所以. （2）由题意可知：X的可能取值为2，1，0.5，则有： ， ， 所以X的分布列为 X 2 1 0.5 P 0.3 0.5 0.2 X的期望（元）. （3）由题意可知：工厂升级方案后A道工序加工的质量层次高的概率为， 设工厂升级方案后一个口罩利润的期望为， 由题意可知：Y的可能取值为，则有： ， ， ， 所以Y的期望（元）， 令，即，解得， 例如符合题意. 题型十八：离散型随机变量在文旅中的应用 【例题18-1】．（2023·福建泉州·模拟预测）泉州是历史文化名城、东亚文化之都，是联合国认定的“海上丝绸之路”起点.著名的“泉州十八景”是游客的争相打卡点，泉州文旅局调查打卡十八景游客，发现90%的人至少打卡两个景点.为提升城市形象，泉州文旅局为大家准备了4种礼物，分别是世遗泉州金属书签、闽南古厝徽章、开元寺祈福香包、小关公陶瓷摆件.若打卡十八景游客至少打卡两个景点，则有两次抽奖机会；若只打卡一个景点，则有一次抽奖机会.每次抽奖可随机获得4种礼物中的1种礼物.假设打卡十八景游客打卡景点情况相互独立. (1)从全体打卡十八景游客中随机抽取3人，求3人抽奖总次数不低于4次的概率； (2)任选一位打卡十八景游客，求此游客抽中开元寺祈福香包的概率. 【答案】(1)0.999 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、由随机变量的分布列求概率、独立事件的乘法公式、利用全概率公式求概率 【分析】（1）用间接法，先求其对立事件“3人抽奖总次数低于4次”的概率即可； （2）应用全概率公式求解. 【详解】（1）设3人抽奖总次数为，则的可能取值为3，4，5，6. 由题意知，每位打卡十八景游客至少打卡两个景点的概率为，只打卡一个景点的概率为，随机抽取3人，3人打卡景点情况相互独立. 表示抽奖总次数为3次，即3人都只打卡一个景点. 依题意可得，， 所以. （2）记事件“每位打卡十八景游客至少打卡两个景点”， 则“每位打卡十八景游客只打卡一个景点”， 事件“一位打卡十八景游客抽中开元寺祈福香包”， 则，，，， 由全概率公式得， . 【变式18-1】．（2023·河北邯郸·三模）邯郸是历史文化名城，被誉为“中国成语典故之都”．为了让广大市民更好的了解并传承成语文化，当地文旅局拟举办猜成语大赛.比赛共设置道题，参加比赛的选手从第一题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设某选手答对每道题的概率均为，各题回答正确与否相互之间没有影响． (1)记答题结束时答题个数为，当时，若，求的取值范围； (2)（i）记答题结束时答对个数为，求； （ii）当时，求使的的最小值． 参考数据：，. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）9 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）时求出，解不等式即可； （2）求出的分布列，按照求数学期望的公列式计算即可. 【详解】（1）根据题意，可取1，2，3， ，，， 所以， 由得，又， 所以的取值范围是. （2）（ⅰ），其中，， 所以的数学期望为 ， 设， 利用错位相减可得， 所以. 另解： . （ⅱ）依题意，，即， 即， 所以，又， 故的最小值为9. 题型十九：离散型随机变量在新定义中的应用 【例题19-1】．（2024·浙江杭州·一模）一设随机变量所有可能的取值为，且.定义事件的信息量为，称的平均信息量为信息熵. (1)若，求此时的信息熵; (2)最大熵原理:对一个随机事件的概率分布进行预测时，要使得信息熵最大.信息熵最大就是事物可能的状态数最多，复杂程度最大，概率分布最均匀，这才是风险最小（最合理）的决定.证明:，并解释等号成立时的实际意义. （参考不等式:若，则） 【答案】(1) (2)证明见详解. 【难度】0.65 【知识点】对数的运算性质的应用、利用随机变量分布列的性质解题 【分析】（1）通过条件求出的值，代入信息熵的公式化简得到结果； （2）由参考不等式及题意得到不等式，取出最大对应的的值，即可证明，由题意可以分析得到取等号时的实际意义. 【详解】（1）当时，，且， ∴， ∴ （2）令，则， ∴ 有题意可知当时，风险最小（最合理）的决定， ∴ 当随机变量中每个变量发生的概率相同的时候，这时事物中每一个结果发生的可能性相同，情况分析是最复杂的，也是最合理的. 【变式19-1】．（2024·湖南株洲·一模）品酒师需要定期接受品酒鉴别能力测试，测试方法如下：拿出n瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等他等记忆淡忘之后，再让他品尝这n瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.设在第一次排序时被排为1，2，3，…，n的n种酒，在第二次排序时的序号为，并令，称X是两次排序的偏离度.评委根据一轮测试中的两次排序的偏离度的高低为其评分. (1)当时，若等可能地为1，2，3的各种排列，求X的分布列； (2)当时， ①若等可能地为1，2，3，4的各种排列，计算的概率； ②假设某品酒师在连续三轮测试中，都有（各轮测试相互独立），你认为该品酒师的鉴别能力如何，请说明理由. 【答案】(1)答案见解析 (2)①；②答案见解析 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、由随机变量的分布列求概率、独立事件的实际应用 【分析】（1）计算每种排序的值以及对应概率，由此可得的分布列； （2）①先计算出的值，然后可求；②先分析续三轮测试中，都有的概率，然后根据概率值的大小进行分析即可. 【详解】（1）的排序共有种，且每种排序等可能， 此时可取， 又时，的排序为， ， 时，的排序为或，， 时，的排序为或或，， 所以的分布列为： （2）①的排序共有种，且每种排序等可能， 而，故中有偶数个奇数，故必为偶数， 当时， 的排序与第一次排序无变化时， 此时仅有种排序：，则， 当时， 的排序与第一次排序相比仅有相邻两个位置变化时， 此时有种排序：、、，， 所以； ②因为各轮测试相互独立， 所以“连续三轮测试中，都有”的概率为， 所以是一个小概率，这表明仅凭随机猜测得到三轮测试都有的结果的可能性很小， 所以我们认为该品酒师有良好的鉴别能力，不是靠随机猜测. 【点睛】关键点点睛：本题考查离散型随机变量与概率的综合运用，着重考查学生理解问题与分析问题的能力，难度较大.解答第三问的关键在于，能通过独立事件的概率计算公式求解出目标事件的概率并能对概率值的大小进行分析，一般认为小于的概率为小概率. 题型二十：离散型随机变量在规律中的应用 【例题20-1】．（23-24高二下·云南玉溪·期末）随机游走在空气中的烟雾扩散、股票市场的价格波动等动态随机现象中有重要应用.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，向四个方向移动的概率均为，且每秒的移动方向彼此独立互不影响，例如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处. (1)求粒子在第2秒末移动到点的概率； (2)求第6秒末粒子回到原点的概率； (3)设粒子在第3秒末移动到点，记的取值为随机变量，求的分布列. 【答案】(1) (2) (3)分布列见解析 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式 【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式运算求解； （2）分类讨论回到原点的可能性情况，结合古典概型分析求解； （3）分析可知的可能取值为，，1，3，结合题意求分布列. 【详解】（1）由题意得，粒子在第2秒末移动到点的概率. （2）粒子在第6秒后回到原点，分四种情况考虑： ①两上两下一左一右，共有种情形； ②两左两右一上一下，共有种情形； ③三上三下，共有种情形； ④三左三右，共有种情形； 所以. （3）粒子向右或向上则X的取值加1，粒子向左或向下则X的取值减1， 的可能取值为，，1，3，对应的概率分别为： ，，，， 所以X的分布列为： 1 3 题型二十一：离散型随机变量在药品检测中的应用 【例题21-1】．（2023·湖北孝感·模拟预测）为落实食品安全的“两个责任”，某市的食品药品监督管理部门和卫生监督管理部门在市人民代表大会召开之际特别邀请相关代表建言献策.为保证政策制定的公平合理性，两个部门将首先征求相关专家的意见和建议，已知专家库中共有5位成员，两个部门分别独立地发出批建邀请的名单从专家库中随机产生，两个部门均邀请2位专家，收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，专家如约参加会议. (1)设参加会议的专家代表共X名，求X的分布列与数学期望. (2)为增强政策的普适性及可行性，在征求专家建议后，这两个部门从网络评选出的100位热心市民中抽取部分市民作为群众代表开展座谈会，以便为政策提供支持和补充意见.已知这两个部门的邀请相互独立，邀请的名单从这100名热心市民中随机产生，食品药品监督管理部门邀请了名代表，卫生监督管理部门邀请了名代表，假设收到食品药品监督管理部门或卫生监督管理部门的邀请后，群众代表如约参加座谈会，且，请利用最大似然估计法估计参加会议的群众代表的人数.（备注:最大似然估计即最大概率估计，即当P（X=k）取值最大时，X的估计值为k） 【答案】(1)分布列见解析，3.2 (2)详见解析. 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、由随机变量的分布列求概率、计数原理与概率综合 【分析】(1)根据离散型随机变量的概率公式计算得分布列及期望； (2)设收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B，人数，，设参加会议的群众代表的人数为Y，则由离散型随机变量的概率公式可得， 设， 由组合数公式计算得， 分类讨论是否为整数即可得出结果. 【详解】（1）X的可能取值为2，3，4，则， ，， 则X的分布列为 X 2 3 4 P 0.1 0.6 0.3 （2）设食品药品监督管理部门邀请的代表记为集合A，人数为，卫生监督管理部门邀请的代表为集合B，人数为，则收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B.人数为Card（A∪B）. 设参加会议的群众代表的人数为Y，则. 若，则， 则， ， ， 令，得，解得， 以代替k，得， 令，得，解得， 所以， 若为整数，则当 或时，取得最大值， 所以估计参加会议的群众代表的人数为或， 若不是整数，则当时， 取得最大值，所以估计参加会议的群众代表的人数为， 其中，表示不超过的最大整数. 【点睛】思路点睛：第二问设收到两个部门邀请的代表的集合为A∪B，人数，，设参加会议的群众代表的人数为Y，则由离散型随机变量的概率公式可得， 设， 由组合数公式化简计算得， 关键在于分类讨论是否为整数即可得出结果. 题型二十二：离散型随机变量在旅游门票购买中的应用 【例题22-1】．（24-25高三上·北京昌平·期末）某旅游景区为吸引更多游客，计划在官方网站平台和短视频平台同时进行广告宣传，两平台的浏览用户均可通过手机扫描景区提供的二维码，网上购买该景区门票，每人限购一张. 为了解两平台的售票情况，从两平台的浏览用户中各随机抽取了1000人，对其是否购买了该景区门票进行统计，获得数据如下：     用户 平台 购买景区门票用户（人） 未购买景区门票用户（人） 官方网站 短视频 景区门票在官方网站平台和短视频平台的售价均为元/人，其售票利润率分别是和．假设所有浏览用户是否购买景区门票相互独立．用频率估计概率． (1)从短视频平台浏览用户中随机选取人，估计此人为购买景区门票用户的概率； (2)从官方网站平台浏览用户中，随机选取人，用表示这人的购票费用总和，求随机变量的分布列和期望； (3)经统计，官方网站平台和短视频平台的浏览用户分别为万人和万人左右．该景区按浏览用户的人数向两平台支付广告宣传费用，向官方网站平台按元/人的标准支付，向短视频平台按元/人的标准支付.为了获得最大的净利润（净利润=售票利润-广告宣传费用），试分析该景区应选择在哪个平台继续加大广告宣传费用投入力度，并说明理由． 【答案】(1) (2)分布列见解析，75 (3)该景区应选择官方网站平台，理由见解析 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、写出简单离散型随机变量分布列、用频率估计概率 【分析】（1）根据条件，利用频率来表示概率，即可求解； （2）由题知的所有可能取值为，利用独立重复事件的概率公式，求出相应的概率，即可出分布列；再利用期望的计算公式，即可求解； （3）分别求出两个平台的净利润，即可求解. 【详解】（1）设 “从短视频平台浏览用户中随机选取人，此人为购买景区门票用户”为事件，则． （2）设 “从官方网站浏览平台用户中随机选取1人，此人为购买景区门票用户”为事件， 则用频率估计概率，． 由题意，的所有可能取值为， 则，， ，． 所以随机变量的分布列为 期望为． （3）官方网站平台的净利润为（元）， 短视频平台的净利润为（元）． 所以该景区应选择官方网站平台继续加大广告宣传费用的投入力度． 题型二十三：离散型随机变量在学习调研中的应用 【例题23-1】．（24-25高三上·北京海淀·期末）某校为评价学生参加选修课的学习效果，组织了选修课学习的过程性评价测试. 选修课程甲的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 8.75 8.25 8.25 6.75 6.75 6.5 6 5.5 5.25 4.25 3.75 3.25 排名 1 2 2 4 4 6 7 8 9 10 11 12 (1)从这12名学生中随机抽取2人，求这2人原始成绩不同的概率； (2)对课程甲采取“四分位数赋分法”进行赋分，记选修该课程的总人数为，规定原始成绩排名为的学生赋分成绩如下： 当时，赋分成绩为100分；当，赋分成绩为85分； 当时，赋分成绩为70分；当时，赋分成绩为60分. ①从课程甲的原始成绩不低于的学生中随机抽取人，记为这人赋分成绩之和，求的分布列和数学期望； ②选修课程乙的所有学生的原始成绩统计如下： 原始成绩 9.75 8 8 7.5 7.5 6 5.75 5.75 排名 1 2 2 4 4 6 7 7 原始成绩 5 4.75 4.5 4.5 4.25 4 3.75 3.5 排名 9 10 11 11 13 14 15 16 对课程乙也采取“四分位数赋分法”进行赋分. 现从课程甲、课程乙的学生中分别随机抽取1人，记这2人的赋分成绩分别为，直接写出数学期望和的大小关系. 【答案】(1)； (2)①分布列见解析，数学期望为185；②. 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据给定条件，利用古典概率公式，结合组合计数问题列式计算. （2）①根据表格中数据，原始成绩不低于的学生赋分成绩，再求出的可能值及对应的概率，列出分布列求出期望；②求出课程甲、乙的赋分成绩，再求出期望北比较大小. 【详解】（1）设“从这12名学生中随机抽取2人，且2人原始成绩不同”为事件， 依据题中数据，仅有排名为2和4的两对学生原始成绩相同， 由古典概型，得. （2）①根据题中数据，课程甲中原始成绩不低于的学生共有6人， 赋分依次为100，100，100，85，85，85，则的所有可能值为170，185，200， ， 所以的分布列如下： 170 185 200 . ②对课程甲进行赋分，赋分依次为：100,100,100,85,85,85,70,70,70,60,60,60， 对课程乙进行赋分，赋分依次为：100,100,100,100,100,85,85,85,70,70,70,70,60,60,60,60， 因此， ； ， ， 所以. 【变式23-2】．（24-25高二上·广西桂林·期末）设新能源车性能测试分为实验室检测和路面检测两个阶段.实验室检测合格后才能进入路面检测，路面检测合格后该车才可投入量产，这两个检测阶段是否合格相互独立.其中实验室检测阶段包括环节I和环节II，两个环节至少通过一个才算实验室检测合格，且这两个环节检测结果相互独立.某公司汽车研发出甲､乙两款车型，现对其进行性能检测.实验室检测阶段中甲车通过I､II环节的概率分别为，乙车通过I､II环节的概率分别为，路面测试环节中甲､乙款车合格的概率分别为. (1)求甲，乙两款车型中恰有一款车进入路面检测的概率； (2)设甲，乙两款车型可投入量产的种数为，求的分布列与均值. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试，求出、，求出甲、乙中恰有一款车通过实验室测试的概率； （2）求出随机变量可能的取值，分别求出概率，求出数学期望. 【详解】（1）设事件A表示甲车通过实验室测试，事件B表示乙车通过实验室测试， 则，， 则甲、乙中恰有一款车进入路面测试的概率为： ； （2）随机变量可能的取值为：， 由题意，甲、乙车投产的概率分别为， 所以， ， ， X 0 1 2 P 所以数学期望． 【变式23-3】．（24-25高三下·湖北武汉·开学考试）为了合理配置旅游资源，管理部门对首次来武汉旅游的游客进行了问卷调查，据统计，其中的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼，则记1分；若既参观黄鹤楼又游览晴川阁，则记2分．假设每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X，求X的分布列和数学期望； (2)从游客中随机抽取n人，记这n人的合计得分恰为分的概率为，求； (3)从游客中随机抽取若干人逐个统计，记这些人的合计得分出现n分的概率为，求数列的通项公式． 【答案】(1)分布列见解析； (2) (3) 【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、错位相减法求和、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据题意得到变量X的可能取值为2，3，4，结合独立事件的概率乘法公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，求得期望； （2）由这n人的合计得分为分，则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，得到，结合乘公比错位相减法求和，即可求解； （3）记“合计得分恰为”为事件A，“合计得分”为事件B，得到，结合数列的递推关系式构造等比数列，进而求得数列的通项公式，得到答案 【详解】（1）的人计划只参观黄鹤楼，另外的人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁，每位游客若只参观黄鹤楼记1分； 既参观黄鹤楼又游览晴川阁记2分．每位首次来武汉旅游的游客计划是否游览晴川阁相互独立，视频率为概率． 随机变量 的可能取值为 2，3，4， 可得 ， 的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为 ； （2）由这 人的合计得分为 分， 则其中只有1人计划既参观黄鹤楼又游览晴川阁， 则 ， 由两式相减， 可得 ； （3）在随机抽取的若干人的合计得分为 分的基础上再抽取1人， 则这些人的合计得分可能为 分或 分， 记“合计得 分”为事件 ，“合计得 分”为事件 ， 与 是对立事件， ， ，即 ，则数列 是首项为 ，公比为 的等比数列， ，. 【点睛】方法点睛：如果数列是等差数列，是等比数列，求数列的前项和时，可采用“错位相减法”求和，一般是和式两边同乘以等比数列的公比，然后作差求解， 在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式. 【变式23-4】．（24-25高三上·辽宁·期末）为培养青少年航天科学素养，某航天科技馆组织中学生航天科技大赛，每个地区选派5名学生组队参赛，比赛分为二人组笔试航天知识问答和三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛两场.在笔试知识问答中每队有两名同学，只需抽一名选手参加，该选手答一道程序逻辑推理题目，若答对可以进入第二环节，在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中，规则是每组三个选手，先选派一人进行一次编程设计试验，若能运行成功记为通过.第一位选手通过，第二位选手则有三次上场机会，否则该组结束比赛.如果第二位选手通过一次及以上测试，则每次通过后得4分，并为第三位选手争取到两次上场机会，否则第二位选手不加分并结束该组比赛.第三位选手每次通过试验均加10分，不通过不加分.两位选手得分之和计为本场比赛总得分. (1)已知在二人组笔试航天知识问答中，某地区A、B两人组队，A、B第一环节答对问题的概率分别是、，第二环节中共有6个题目，选手抽出三道题作答，答对一题得4分.已知6个题目中有4个题目A同学熟悉并能答对，有3个题目B同学熟悉并能答对.设选派A同学和B同学参赛得分分别为X和Y，求X的分布列和期望，并求出Y的期望； (2)现某组决定选派甲、乙、丙三位选手参加“编程调试与仿真设计”实操测试比赛，先后进入三个环节，甲选手在第一个环节中通过测试的概率为，乙选手在第二个环节中通过每一次测试的概率均为，丙选手在第三个环节中通过每一次测试的概率均为. ①在甲选手通过测试的条件下，求该组乙选手得分的分布列； ②求该队在三人组“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中的总得分期望. 【答案】(1)分布列见解析，6，4 (2)①分布列见解析；② 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）求出的可能值及对应的概率，列出分布列并求出的期望. （2）①求出选手乙得分的可能值，进而求出各个值对应的概率并列出分布列；②求出总得分为的可能值，进而求出各个值对应的概率并列出分布列，再求出总得分的期望. 【详解】（1）同学参赛得分所有取值为0，4，8，12， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 . （2）①设乙选手在三次测试中得分为，则所有取值为0，4，8，12， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 ②设该队在“编程调试与仿真设计”实操测试比赛中总得分为， 则所有取值为0，4，8，12，14，18，22，24，28，32， 在甲选手已通过测试的条件下概率如下： ，， ，， ，， ，， ，， 所以的分布列为 0 4 8 12 14 18 22 24 28 32 由于甲选手通过测试的概率为，所以总得分的期望为. 【点睛】关键点点睛：第3问求总得分的期望，先求出在甲选手通过测试的条件下，乙丙得分的期望是求解的关键. 题型二十四：离散型随机变量在数列中的应用 【例题24-1】．（24-25高三上·甘肃白银·阶段练习）甲、乙两名小朋友每人手中各有3张龙年纪念卡片，其中甲的3张卡片的颜色为1张金色和2张银色，乙手中的3张卡片的颜色都是金色．现在两人各从自己的卡片中随机抽取1张，去与对方交换，重复n次这样的操作，记甲手中有银色纪念卡片张，恰有2张银色纪念卡片的概率为，恰有1张银色纪念卡片的概率为． (1)分别求，的值，求操作几次后甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，并求首次出现这种情况的概率p． (2)记． （ⅰ）证明数列是等比数列； （ⅱ）求的数学期望．（用n表示） 【答案】(1)，， (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【难度】0.4 【知识点】写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）分析出包含两种情况，把两种情况的概率相加得到，同理也包含两种情况，求出相应的概率，相加可得，由，故交换一次不合要求，而，故操作两次满足要求，并求出概率为； （2）（ⅰ）先求出，，，，判断出数列是等比数列； （ⅱ）由（ⅰ）求出，的所有可能取值为0，1，2，并得到对应的概率，得到分布列，求出数学期望. 【详解】（1）根据题意，表示“重复2次操作，甲手中恰有2张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲还交换金色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换金色卡片，乙交换银色卡片， 则，，， 表示“重复2次操作，甲手中恰有1张银色纪念卡片”的概率，包含两种情况： 第一次甲交换金色卡片，第二次甲交换银色卡片； 第一次甲交换银色卡片，第二次甲交换银色卡片，乙交换银色卡片或第二次甲交换金色卡片， 乙交换金色卡片，则． 其中，故交换一次不会出现的情况，而， 操作两次甲手中的银色纪念卡片就可能首次出现0张，其概率为． （2）（ⅰ）由题意可得， ， 则，， 所以，， 所以数列是首项为，公比为的等比数列， （ⅱ）由（ⅰ）知，所以． 的所有可能取值为0，1，2， 其分布列为 0 1 2 P 从而． 【点睛】关键点点睛：分析出，，，从而得到数列是首项为，公比为的等比数列，再进行下一步的求解. 【变式24-1】．（24-25高三上·河北保定·期末）已知有穷数列共有项（其中且），集合且，其中、、均为小于等于的正整数. (1)若，数列的各项依次为、、、、，请写出集合中所有的元素； (2)若，且数列为单调递增数列，从集合中任取一个元素，设随机变量，求随机变量的分布列和数学期望； (3)若数列为公差大于的等差数列，从集合中任取一个元素，定义事件“”，求事件发生的概率（结果用表示）. 【答案】(1)、、、、 (2)分布列答案见解析，数学期望 (3) 【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、计算古典概型问题的概率、列举法表示集合 【分析】（1）根据集合中元素的特征可得集合中的所有元素； （2）由题意可知集合中元素个数为个，随机变量的可能取值为、、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进而可求得的值； （3）由题意知事件可等价于其角标成等差即满足，集合中元素个数为个，且，分为奇数、为偶数，求出集合中的元素个数，进而可得出事件所包含的基本事件总数，结合古典概型的概率公式可求得事件的概率. 【详解】（1）根据题意，集合中所有的元素为：、、、、. （2）由题意可知集合中元素个数为个， 随机变量的可能取值为、、、， ，，， ， 所以随机变量的分布列为 期望. （3）由题意知事件可等价于其角标成等差即满足， 集合中元素个数为个，且. ①为偶数时，、、、、时， 集合中满足的元素个数依次为、、、、个， 、、、、时， 集合中满足的元素个数依次为、、、、个， 所以此时事件包含的基本事件个数总共有个， 所以； ②为奇数时，、、、、时， 集合中满足的元素个数依次为、、、、个， 、、、、时， 集合中满足的元素个数依次为、、、、个， 所以此时事件包含的基本事件个数总共有 个 所以. 综上. 【点睛】思路点睛：求解随机变量分布列的基本步骤如下： （1）明确随机变量的可能取值，并确定随机变量服从何种概率分布； （2）求出每一个随机变量取值的概率； （3）列成表格，对于抽样问题，要特别注意放回与不放回的区别，一般地，不放回抽样由排列、组合数公式求随机变量在不同取值下的概率，放回抽样由分步乘法计数原理求随机变量在不同取值下的概率. 【变式24-2】．（2024高三·全国·专题练习）某公园有两条散步路线，分别记为路线和路线．公园附近的居民经常来此散步，经过一段时间的统计发现，前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率均为；前一天选择路线的居民第二天选择路线和路线的概率分别为和．已知居民第一天选择路线的概率为，选择路线的概率为． (1)若有4位居民连续两天去公园散步，记第二天选择路线散步的人数为，求的分布列及期望； (2)若某居民每天都去公园散步，记第天选择路线的概率为． （ⅰ）请写出与的递推关系； （ⅱ）证明：数列为等比数列． 【答案】(1)分布列见解析， (2)（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】由递推关系证明等比数列、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）先求居民第二天路线的概率，然后根据二项分布的概率公式求出概率，可得分布列，利用二项分布期望公式可得期望； （2）（ⅰ）通过分析第天选择路线，和路线情况下第天选择路线的概率，再根据全概率公式即可求解，（ⅱ）观察递推关系，考虑利用待定系数法直接构造等比数列关系进行求解. 【详解】（1）记附近居民第天选择路线分别为事件， 则由题可知，， ，， ， 则由全概率公式可知居民第二天选择路线散步的概率． 记第二天选择路线散步的人数为，则， 则，， ， ， ， 则的分布列为： 0 1 2 3 4 故的数学期望． （2）（ⅰ）当第天选择路线时，第天选择路线的概率； 当第天选择路线时，第天选择路线的概率， 故有． （ⅱ）由（ⅰ）知，设， 解得，则，由（1）知， 故数列是首项为，公比为的等比数列. 题型二十五：离散型随机变量在盲盒中的应用 【例题25-1】．（2025·广东肇庆·二模）购买盲盒成为当下年轻人的潮流之一､其最吸引人的地方是因为盒子上没有标注物品具体信息，买家只有打开才会知道自己买到了什么.某商店推出种款式不同的盲盒，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式的盲盒是等可能的.小刘特别喜欢种款式中的一种. (1)若种款式的盲盒各有一个. （i）求小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率. （ii）设小刘抽到特别喜欢的款式所需次数为，求的数学期望. (2)若每种款式的盲盒数量足够多，每次盲盒被买后老板都会补充被买走的款式.商店为了满足客户的需求，引进了保底机制：在抽取前指定一个款式，若前次未抽出指定款式，则第次必定抽出指定款式.设为小刘抽到某指定款式所需的次数，求的数学期望（参考数据：，结果保留整数）. 【答案】(1)（i）；（ii） (2) 【难度】0.4 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）（i）根据条件，利用全概率公式，即可求解；（ii）由题知的可能取值为，利用古典概率公式求出相应取值对应的概率，即可求出分布列，再利用期望的计算公式，即可求解； （2）根据条件，求出的分布列，进而求出，再利用错位相减法，即可求解. 【详解】（1）（i）设小刘第次抽到特别喜欢的款式为事件. 则小刘第二次才抽到特别喜欢的款式的概率为. （也可以用） （ii）的可能取值为， 则， 所以的分布列为 1 2 19 20 则. （2）记的可能取值为. 因为前9次（包含第9次）没有保底， 则，其中， ， 所以的分布列为 1 2 9 10 则. 记， 则， 两式相减，得， 所以. 【点睛】关键点点晴，本题的关键在于第（2）问，求得后，利用错位相减法求解. 题型二十六：离散型随机变量在AI中的应用 【例题26-1】．（24-25高三上·浙江杭州·期末）阿尔法狗是谷歌公司开发的人工智能程序，它第一个战胜了围棋世界冠军.它可以借助计算机，通过深度神经网络模拟人脑的机制来学习、判断、决策.工程师分别用人类围棋对弈的近100万、500万、1000万种不同走法三个阶段来训练阿尔法狗，三个阶段的阿尔法狗依次简记为甲、乙、丙. (1)测试阶段，让某围棋手与甲、乙、丙三个阿尔法狗各比赛一局，各局比赛结果相互独立.已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，记该棋手连胜两局的概率为p，试判断该棋手在第二局与谁比赛p最大，并写出判断过程. (2)工程师让甲和乙进行围棋比赛，规定每局比赛胜者得1分，负者得0分，没有平局，比赛进行到一方比另一方多两分为止，多得两分的一方赢得比赛.已知每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且每局比赛结果相互独立. （ⅰ）若比赛最多进行5局，求比赛结束时比赛局数X的分布列及期望的最大值; （ⅱ）若比赛不限制局数，记“甲赢得比赛”为事M，证明： 【答案】(1)在第二局与甲比赛 p最大，判断过程见解析 (2)（i）分布列见解析，；（ii）证明见解析 【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列、互斥事件的概率加法公式 【分析】（1）棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘，记，，，分别求得在第二盘与甲、乙、丙比赛连胜两局的概率，即可求解. （2）（ⅰ）求出X所有可能值，利用相互独立事件与互斥事件概率运算求得相应的概率，列出分布列并求得期望，再利用基本不等式并结合二次函数性质即可求得期望的最大值；（ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”，则，利用相互独立事件概率运算即可求解. 【详解】（1）该棋手在第二局与甲比赛p最大， 该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为，，，记，，， 该棋手连胜两盘，则第二盘为必胜盘， 记该棋手在第二盘与甲比赛连胜两局的概率为，比赛顺序为乙甲丙及丙甲乙的概率均为， 则， 同理，该棋手在第二盘与乙比赛连胜两局的概率， 该棋手在第二盘与丙比赛连胜两局的概率， 因为，所以该棋手在第二局与甲比赛 p最大. （2）（ⅰ）因为没有平局，所以每局比赛结果仅有“甲获胜”或者“乙获胜”，则， 由题意得X的所有可能取值为：2，4，5， ， ， ， 所以X的分布列为： 2 4 5 所以X的期望为： ， 由，得，当且仅当取等号，则， 因此， 所以的最大值为 （ⅱ）设事件A，B分别表示每局比赛“甲获胜”，“乙获胜”. 由题知甲最后赢得比赛的局数是偶数， 由题设可知前两局比赛结果可能是AA，BB，AB，BA，其中事件AA表示“甲赢得比赛”，事件BB表示“乙赢得比赛”，事件AB，BA表示“甲、乙各得1分”，当甲、乙得分总数相同时，甲最后赢得比赛的概率与比赛一开始甲赢得比赛的概率相同， 所以 ， 因此，得，而， 所以 【点睛】关键点点睛：本题第2问第2小问，根据题意结合相互独立事件的概率公式分析得到是求解的关键. 【变式26-1】．（24-25高二上·江西南昌·阶段练习）元旦小长假到来，多地迎来旅游高峰期，各大旅游景点都推出了种种新奇活动以吸引游客，小明去成都某熊猫基地游玩时，发现了一个趣味游戏，游戏规则为：在一个足够长的直线轨道的中心处有一个会走路的机器人，游客可以设定机器人总共行走的步数，机器人每一步会随机选择向前行走或向后行走，且每一步的距离均相等，若机器人走完这些步数后，恰好回到初始位置，则视为胜利. (1)若小明设定机器人一共行走4步，记机器人的最终位置与初始位置的距离为X步，求X的分布列； (2)记 为设定机器人一共行走2i步时游戏胜利的概率，求 并判断当i为何值时，游戏胜利的概率最大； (3)该基地临时修改了游戏规则，要求机器人走完设定的步数后，恰好第一次回到初始位置，才视为胜利.小明发现，利用现有的知识无法推断设定多少步时获得胜利的概率最大，于是求助正在读大学的姐姐，姐姐告诉他，“卡特兰数”可以帮助他解决上面的疑惑：将n个0和n个1排成一排，若对任意的 在前k个数中，0的个数都不少于1的个数，则满足条件的排列方式共有 种，其中， 的结果被称为卡特兰数.若记为设定机器人行走2i步时恰好第一次回到初始位置的概率，证明：对（2） 中的，有 【答案】(1)分布列见解析，； (2)时，游戏胜利的概率最大； (3)证明见解析． 【难度】0.4 【知识点】求离散型随机变量的均值、写出简单离散型随机变量分布列、利用组合数公式证明、利用函数单调性求最值或值域 【分析】（1）根据向前或向后行走的步数分类可知，的可能取值为，再分别计算出对应的概率，即可得到的分布列和数学期望； （2）根据题意可知，，再由的单调性即可判断； （3）根据机器人第一步以及最后第步的行走方向讨论，即可得出的表达式，从而将所证等式转化为，再根据组合数公式即可证出． 【详解】（1）依题可知，的可能取值为. ，，， 所以，的分布列如下： 0 2 4 所以，． （2）依题可知，时，，所以时胜利的概率最大. （3）记事件“机器人行走步时恰好第一次回到初始位置”，“机器人第一步向前行走”，则“机器人第一步向后行走”. 下面我们对事件进行分析. 发生时，假设机器人第步是向前行走，则之前的步机器人向前走的步数比向后走少一步，而因为机器人第一步为向前行走， 这说明存在使得机器人走了步时回到了初始位置，这与的发生矛盾，所以假设不成立.即机器人第步为向后行走， 从而机器人第2步到第步向前和向后行走的步数均为，且从第2步开始，到第步的这步，任意时刻机器人向前走的步数均不少于向后走的步数(否则在这过程中机器人会回到初始位置). 根据卡特兰数，从第2步到第步共有种行走方式.通过上述分析知，， 所以． 由于， ，故等式成立． 【点睛】本题的解题关键是根据机器人第一步和最后一步的行走方向讨论，利用“卡特兰数”得出的表达式，再利用组合数公式运算即可得证. 题型二十七：离散型随机变量在集合中的应用 【例题27-1】．（2025高三·全国·专题练习）定义：如果集合存在一组两两不交（两个集合的交集为空集时，称为不交）的非空真子集，，且，那么称子集族为集合的一个划分．已知集合． (1)若． ①写出集合的所有3划分； ②从集合的所有划分中任取一个，求这个划分恰好为3划分的概率． (2)设集合为集合的非空子集，随机变量表示子集中的最大元素．若，求随机变量的分布列和数学期望． 【答案】(1)①答案见解析；② (2)分布列见解析， 【难度】0.4 【知识点】计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、集合新定义 【分析】（1）①按集合划分的定义写出所有3划分即可；②分别计算2划分、3划分和4划分的个数，再用古典概型的概率计算公式求概率． （2）根据题意，利用集合子集的个数得，根据已知得，再写出分布列，计算数学期望即可． 【详解】（1）当时， ①集合的所有3划分为；；； ；；． ②集合的2划分的个数为；3划分的个数为6；4划分只有1个， 所以集合的所有划分共有14个． 设从集合的所有划分中任取一个，这个划分恰好为3划分为事件，则． （2）集合的非空子集的个数为，所以集合共有种可能． 当时，最大元素为的子集可视为集合的子集与集合的并集， 而集合的子集个数为，所以， 所以，可得，解得． 所以随机变量的所有可能取值为， 则，，， ，， 随机变量的分布列为 1 2 3 4 5 故． 【点睛】方法点睛：解新定义题型的步骤： （1）理解“新定义”——明确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论. （2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的解题方法.归纳“举例”提供的分类情况. （3）类比新定义中的概念、原理、方法，解决题中需要解决的问题. 题型二十八：离散型随机变量在农业中的应用 【例题28-1】．（2024·陕西·一模）有机蔬菜是一类真正源于自然、富营养、高品质的环保型安全食品；绿色蔬菜是无机的．有机与无机主要标准是：有无使用化肥、农药、生长激素和转基因技术四个标准．有机蔬菜种植过程中不使用任何的人工合成的农药和化肥，但是绿色蔬菜在操作规程上是允许限量使用一些低毒，低残留的农药．种植有机蔬菜的土地一般来说都需要有三年或者三年以上的转换期，这就导致了种植有机蔬菜的时间成本高．某公司准备将M万元资金投入到该市蔬菜种植中，现有绿色蔬菜、有机蔬菜两个项目可供选择．若投资绿色蔬菜一年后可获得的利润（万元）的概率分布列如下表所示： 95 126 187 P 0.5 且的期望；若投资有机蔬菜一年后可获得的利润（万元）与种植成本有关，在生产的过程中，公司将根据种植成本情况决定是否在第二和第三季度进行产品的价格调整，两次调整相互独立且调整的概率分别为（）和．若有机蔬菜产品价格一年内调整次数n（次）与的关系如下表所示： 0 1 2 41.2 117.6 204.0 (1)求的值； (2)根据投资回报率的大小，现在公司需要决策：当的在什么范围取值时，公司可以获得最大投资回报率．（投资回报率） 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）利用概率和为1及期望值列出方程组求解即可; （2）结合题意可知的可能取值为41.2，117.6，204，分别计算概率，得到的分布列，并计算期望值，由，整理计算即可. 【详解】（1）由题意得， 解得． （2）的可能取值为41.2，117.6，204， ， ， ， 所以Y的分布列为 Y 41.2 117.6 204 P 可得， 由，得， , 解得， 即当选择投资有机蔬菜项目时，p的取值范围是，投资回报率最大． 【变式28-1】．（2023·上海黄浦·三模）某超市每天以4元/千克购进某种有机蔬菜，然后以7元/千克出售.若每天下午6点以前所购进的有机蔬菜没有全部销售完，则对未售出的有机蔬菜降价处理，以2元/千克出售，并且降价后能够把剩余所有的有机蔬菜全部处理完毕，且当天不再进货.该超市整理了过去两个月（按60天计算）每天下午6点前这种有机蔬菜的日销售量（单位：千克），得到如下统计数据.（注：视频率为概率，）. 每天下午6点前的销售量/千克 250 300 350 400 450 天数 10 10 5 (1)求1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率； (2)在接下来的2天中，设为下午6点前的销售量不少于350千克的天数，求的分布列和数学期望； (3)若该超市以当天的利润期望值为决策依据，当购进350千克的期望值比购进400千克的期望值大时，求的最小值. 【答案】(1) (2)分布答案见解析， (3) 【难度】0.65 【知识点】利用对立事件的概率公式求概率、独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）由表格中的数据，结合对立事件的概率公式，即可求解； （2）根据题意，得到随机变量的可能值为，结合独立重复试验的概率计算公式，求得相应的概率，列出分布列，利用期望公式，即可求解； （3）分别求得购进350千克和400千克时利润的期望值，列出不等式，求得，再由且，得到，即可求解. 【详解】（1）解：由表格中的数据，可得1天下午6点前的销售量不小于350千克的概率为. （2）解：依题意，1天下午6点前的销售量不少于350千克的概率， 随机变量的可能值为， 可得， 所以随机变量的分布为： 0 1 2 所以的数学期望. （3）解：购进350千克时利润的期望值：， 购进400千克时利润的期望值：， 由，解得， 因为且，因此， 所以的最小值是. 题型二十九：离散型随机变量在移动质点中的应用 【例题29-1】．（2024·湖北·一模）如图，一个质点在随机外力的作用下，从数轴点1的位置出发，每隔向左或向右移动一个单位，设每次向右移动的概率为．      (1)当时，求后质点移动到点0的位置的概率； (2)记后质点的位置对应的数为，若随机变量的期望，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、独立重复试验的概率问题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）利用独立重复实验的概率求解 （2）写出随机变量可能值，利用期望大于0解不等式求解. 【详解】（1）后质点移动到点0的位置，则质点向左移动了3次，向右移动了2次， 所求概率为：． （2）所有可能的取值为，且 ， ， ， ， 由，解得， 又因为，故的取值范围为． 题型三十：离散型随机变量在生活中的应用 【例题30-1】．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）为了带动节能减排的社会风尚，引导居民错峰用电，某地区下个月开始将实行分时电价.过去居民用电实行的是阶梯电价，每月用电量不超过180度的部分，按照每度电0.45元收取，超过180度的部分，按照每度电0.6元收取.而新的分时电价则是将每日24小时分为峰段、谷段、平段三个时段，按照峰段每度电0.6元，谷段每度电0.4元，平段每度电0.5元收取.该地区一位居民为了预估自己下个月的用电费用变化，他做了以下工作：首先，为了估计开空调与不开空调的用电量，他统计了过去一些天自己家的日均用电情况后得出结论：开空调时的每日用电量为10度，不开空调时的每日用电量为5度.然后，他统计了一天中三个时段的用电量比例，在开和不开空调的情况下分别如下图：    假设下个月一共30天，每天他开空调的概率均为（）. (1)根据他统计的每日用电量数据，若下个月的某一天用电量为度，求的分布列和期望（用表示）. (2)根据他统计的各时段用电量比例，使用分时电价计价时，若开空调时的每日平均用电费用为a元，不开空调的每日平均用电费用为b元，分别求a，b；若使用分时电价计价时下个月某一天他的用电费用为Y元，求Y的分布列和期望（用p表示）. (3)如果用阶梯电价计算全月电费时，将每日用电量视为；用分时电价计算全月电费时，将每日用电费用视为.要使该居民下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用，则p的取值范围为多少? 【答案】(1)分布列见解析， (2)，，分布列见解析， (3) 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】（1）依题意的可能取值为、，即可得到其概率与分布列，从而求出其期望； （2）求出峰段、谷段、平段的点量，即可求出、的值，从而得到分布列与数学期望； （3）求出分时电价总电费与阶梯电价总电费，再作差求出参数的取值范围，即可得解. 【详解】（1）依题意的可能取值为、， 且，， 所以的分布列为： 5 10 p 所以. （2）开空调时每日用电量：峰段度，谷段度，平段度， 则元， 不开空调时每日用电量：峰段度，谷段度，平段度， 则元， 所以的分布列为： 2.7 4.9 p 则. （3）分时电价总电费为（元）， 30天总用电量度， 由，解得， 当时，阶梯电价总电费为（元）， 当时，阶梯电价总电费为（元）， 所以当时，，解得，不成立； 当时，，解得， 综上，时，下个月使用分时电价计价的费用不超过使用阶梯电价的计价方式的费用. 一、单选题 1．（24-25高三上·重庆·阶段练习）为迎接中秋佳节，某公司开展抽奖活动，规则如下：在不透明的容器中有除颜色外完全相同的2个红球和3个白球，每位员工从中摸出2个小球.若摸到一红球一白球，可获得价值百元代金券；摸到两白球，可获得价值百元代金券；摸到两红球，可获得价值百元代金券（均为整数）.已知每位员工平均可得5.4百元代金券，则运气最好者获得至多（    ）百元代金券 A．5.4 B．9 C．12 D．18 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】根据题意可知代金券的取值，再根据随机变量的意义求概率，即可求分布列，再求期望可知，根据条件，结合基本不等式求的最大值，即可求解. 【详解】若摸到一红球一白球的概率， 若摸到2白球的概率，若摸到2红球的概率， 设可获得百元代金券为变量分布列如下， a b ab P , 手气最好者获得百元代金券 即，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 估计手气最好者至多获得18个百元代金券. 故选：D. 2．（23-24高二下·安徽淮南·期中）如图，某考古队在挖掘一古墓群，古墓外面是一个正方形复杂空间，且有4个形状、大小均相同的入口1，2，3，4，其中只有1个入口可以打开，其他的是关闭的．现让一个机器狗从点出发探路，从4条路线中任选一条寻找打开的入口，找到后直接进入古墓，若未找到，则沿原路返回到出发点，继续重新寻找．若该机器狗是有记忆的，它在出发点选择各条路线的尝试均不多于1次，且每次选哪条路线是等可能的，则它能够进入古墓的总尝试次数的数学期望是（    ）    A． B．2 C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4，利用古典概型的概率公式求出相应的概率，再结合期望公式求解即可． 【详解】设机器狗能够进入古墓的总尝试次数为，则的所有可能取值为1，2，3，4， 所以，，，， 所以． 故选：D. 3．（24-25高三上·浙江·开学考试）已知随机变量的分布列如下表所示，则（    ） 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由随机变量的分布列求概率、求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】根据分布列的性质可得，进而可得，再根据期望的性质分析求解. 【详解】由分布列可得，解得， 则， 所以. 故选：C． 4．（23-24高二下·安徽·期末）从一批含有8件正品，2件次品的产品中不放回地抽3次，每次抽取1件，设抽取的次品数为，则（    ） A．2 B．1 C．3 D．4 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、均值的性质 【分析】根据题意，得到变量的取值分别为，求得相应的概率，得到,再结合，即可求解. 【详解】由题意，随机变量的取值分别为， 可得； ， 所以,可得. 故选：D. 5．（2024高三·全国·专题练习）体育课的排球发球项目考试的规则是每名学生最多可发球3次，一旦发球成功，则停止发球，否则一直发到3次为止．设学生一次发球成功的概率为，发球次数为X，若X的均值，则p的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由离散型随机变量的均值求参数 【分析】由题可得关于的表达式，然后由可得答案. 【详解】由题意，X的所有取值为1，2，3． ， ， 即，解得或（舍）， 所以p的取值范围是． 故选：A 6．（23-24高二下·辽宁·阶段练习）某次国际象棋比赛规定，胜一局得3分，平一局得1分，负一局得0分，某参赛队员比赛一局胜的概率为a，平局的概率为b，负的概率为，已知他比赛两局得分的数学期望为2，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】基本不等式求积的最大值、利用随机变量分布列的性质解题、由离散型随机变量的均值求参数 【分析】分析两局得分的可能取值，求出相应的概率，由数学期望公式和已知数学期望得，通过基本不等式求的最大值. 【详解】比赛两局的得分可能的取值为0，1，2，3，4，6， ，，，，，， 则， 则有，得，当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 故选：B. 7．（24-25高二下·全国·课后作业）若随机变量满足，且，则的值为（   ） A． B． C． D．10 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】方差的性质、二项分布的方差 【分析】根据题意，利用二项分布的方差公式，求得，由，得到，结合，即可求解. 【详解】由随机变量，可得， 因为，可得，所以， 所以． 故选：D. 二、多选题 8．（24-25高二上·内蒙古呼和浩特·期末）一种疾病需要通过核酸检测来确定是否患病，检测结果呈阴性即没患病，呈阳性即为患病，已知7人中有1人患有这种疾病，先任取4人，将他们的核酸采样混在一起检测．若结果呈阳性，则表明患病者为这4人中的1人，然后再逐个检测，直到能确定患病者为止；若结果呈阴性，则在另外3人中逐个检测，直到能确定患病者为止．则（   ） A．最多需要检测4次可确定患病者 B．第2次检测后就可确定患病者的概率为 C．第3次检测后就可确定患病者的概率为 D．检测次数的期望为3 【答案】ABD 【难度】0.65 【知识点】计算古典概型问题的概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值 【分析】对于A，分患病者在混检的4人中和患病者不在混检的4人中两种情况分析判断即可，对于B，分患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他两种情况求解，对于C，分患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他和患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他两种情况求解即可，对于D，设检测次数为随机变量，则可能取2，3，4，求出相应的概率，从而可求出期望. 【详解】对于A中，当患病者在混检的4人中时，第2次和第3次都未检测出患病者，则需要进行第4次检测，第4次可能检测到患者， 若第4次还是阴性，则剩下未测者为患者，所以最多要检测4次可确定患病者， 若患病者不在混检的4人中时，最多再检测2次就可确定患者，所以A正确； 对于B中，第2次检测后就可确定患病者有两种情况： （1）患者在混检中并在逐个检测时第1次抽到他； （2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次抽到他， 所以其概率为，所以B正确； 对于C中，第3次检测后可确定患病者有两种情况： （1）患者在混检中并在逐个检测时第2次抽到他； （2）患者不在混检中并在逐个检测时第1次未抽到他， 其概率为，所以C错误； 对于D中，设检测次数为随机变量，则其分布列为 2 3 4 所以，故D正确． 故选：ABD 9．（24-25高三上·河南三门峡·期末）如图所示的钟表中，时针初始指向“12”，每次掷一枚均匀的硬币，若出现正面则时针按顺时针方向旋转，若出现反面则时针按逆时针方向旋转，用表示次后时针指向的数字，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】独立重复试验的概率问题、求离散型随机变量的均值 【分析】A选项，的可能取值为，求出相应的概率，得到期望；B选项，2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，得到概率；C选项，设硬币正面朝上的次数为，列出方程，求出，求出；D选项，求出的可能取值及对应的概率，得到数学期望，得到答案. 【详解】A选项，的可能取值为，且，故，A正确； B选项，，即2次旋转中，1次顺时针方向旋转，1次逆时针方向旋转，故，B错误； C选项，，即3次顺时针旋转，4次逆时针旋转，故，C正确； D选项，若硬币8次均正面朝上，此时，故， 若硬币7次正面朝上，1次反面朝上，此时，故， 若硬币6次正面朝上，2次反面朝上，此时，故， 若硬币5次正面朝上，3次反面朝上，此时，故， 若硬币4次正面朝上，4次反面朝上，此时，故， 若硬币3次正面朝上，5次反面朝上，此时，故， 若硬币2次正面朝上，6次反面朝上，此时，故， 若硬币1次正面朝上，7次反面朝上，此时，故， 若硬币8次均反面朝上，此时，故， 故，D错误. 故选：AC. 10．（24-25高三上·江苏常州·期末）某人有10000元全部用于投资，现有甲，乙两种股票可供选择．已知每股收益的分布列分别如表1和表2所示，且两种股票的收益相互独立，假设两种股票的买入价都是每股1元．则下列说法正确的有（    ） 表1 甲每股收益的分布列 收益元 0 2 概率 0.1 0.3 0.6 表2 乙每股收益的分布列 收益元 0 1 2 概率 0.3 0.3 0.4 A．甲每股收益的数学期望大于乙每股收益的数学期望 B．相对于投资甲种股票，投资乙种股票更稳妥（方差小） C．此人投资甲，乙两种股票，收益的数学期望之和为11000元 D．此人按照的资金分配方式投资甲，乙两种股票时，收益的方差之和最小 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】方差的实际应用、离散型随机变量的方差与标准差、均值的实际应用、求离散型随机变量的均值 【分析】应用期望、方差公式求甲乙的期望和方差判断A、B；根据所得期望，求收益的期望之和判断C；设投资甲元，投资乙元，结合所得方差得到关于m的二次函数，判断对称轴是否为5000，即可判断D. 【详解】A：，，错误； B：， ，正确； C：因为，所以总期望元，正确； D：设投资甲元，投资乙元， 方差和， 对称轴，错误. 故选：BC 三、填空题 11．（24-25高三上·天津滨海新·期中）为培养学生体育锻炼的习惯，以及强化科学健身的理念，某校创建了田径类、球类、烹武术类三个体育社团，甲、乙、丙三位同学各自参加其中一个社团，每位同学参加各个社团的可能性相同，则三位同学参加的社团各不相同的概率为 ，记三位同学所参加的社团种类的个数为X，则 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】实际问题中的组合计数问题、计算古典概型问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】求出单位同学选择社团的总数，再求得三位同学选择不相同的社团数，作比值即可；三位同学选择社团种类数可能取值为，分别求得概率，用数学期望的公式计算即可. 【详解】三位同学选择社团的总数为种，三位同学参加的社团各不相同的种类数是种， 所以三位同学参加的社团各不相同的概率为； 由题意可知，X的所有可能取值为，则 ；；， 则. 故答案为：； 12．（24-25高二下·全国·课后作业）“镜子迷宫”的原理主要是重复反射成像，当参与者进入迷宫时，身体经过多重镜面的反射，形成无数镜像，导致很难分清楚哪里是道路，哪里是镜面某大型商场有一“镜子迷宫”场地，每位参与者进入迷宫时都会经过红外线感应区，导致系统随机开启一个出路，若打开是A，B出路，则分别需要2小时和3小时才能走出迷宫，若打开是C，D出路，则分别会经过1小时和2小时再次重回红外线感应区，此时系统会重新打开一个未进入的通道，直到走出迷宫为止.则走出迷宫所需时间的数学期望为 . 【答案】/ 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立事件的乘法公式、写出简单离散型随机变量分布列 【分析】根据已知条件先设的可能取值，再根据独立事件乘积公式得出概率，列出分布列再结合数学期望公式计算即可. 【详解】设为走出迷宫所需时间，则的可能取值为2，3，4，5，6， ，， ，， ， 所以的分布列为： 2 3 4 5 6 则. 故答案为：. 13．（2024·四川·一模）条件概率与条件期望是现代概率体系中的重要概念，近年来，条件概率和条件期望已被广泛的应用到日常生产生活中.定义：设，是离散型随机变量，则在给定事件条件下的期望为，其中为的所有可能取值集合，表示事件“”与事件“”都发生的概率.某商场进行促销活动，凡在该商场每消费500元，可有2次抽奖机会，每次获奖的概率均为，某人在该商场消费了1000元，共获得4次抽奖机会.设表示第一次抽中奖品时的抽取次数，表示第二次抽中奖品时的抽取次数.则 . 【答案】2 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题 【分析】根据题意可知可取，然后再分别算出相应的概率值，再结合从而可求解. 【详解】由题意可知可取， 所以，， ， 又因为， 所以 . 故答案为：. 【点睛】方法点睛：对于本题主要是根据题中所给条件分别求出不同情况下的概率，然后再结合定义中的公式求出其期望值. 14．（2024高三·全国·专题练习）PMI值是国际上通行的宏观经济监测指标之一，能够反映经济的变化趋势．下图是国家统计局发布的某年12个月的制造业和非制造业PMI值趋势图．将每连续3个月的PMI值作为一个观测组，对国家经济活动进行监测和预测． (1)现从制造业的个观测组中任取一组， （i）求组内三个PMI值至少有一个低于的概率； （ii）若当月的PMI值大于上一个月的PMI值，则称该月的经济向好．设表示抽取的观测组中经济向好的月份的个数（由已有数据知1月份的PMI值低于去年12月份的PMI值），求的分布列与数学期望； (2)用表示第j月非制造业所对应的PMI值，表示非制造业12个月PMI值的平均数，请直接写出取得最大值所对应的月份． 【答案】(1)（i）；（ii）分布列见解析； (2)8月份 【难度】0.65 【知识点】根据折线统计图解决实际问题、计算古典概型问题的概率、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）（ⅰ）根据已知条件写出基本事件的个数，再利用古典概型的计算公式即可求解；（ii）根据已知条件写出随机变量的取值求出对应的概率，进而得出分布列，根据分布列及数学期望的公式即可求解； （2）根据已知条件求出，结合某年12个月的非制造业PMI值趋势图即可求解. 【详解】（1）（i）从制造业的10个观测组中任取一组的基本事件有： ，，，， ，，，， ，，共有10个， 设“组内三个PMI值至少有一个低于50.0”为事件，则事件包含的结果有： ，，，共4个， 由古典概型的计算公式，得． （ii）的可能取值为：，，， ，， 的分布列为： 所以随机变量的数学期望. （2）8月份，理由如下： 由某年12个月的非制造业PMI值趋势图中的数据，得： ． 根据某年12个月的非制造业PMI值趋势图，可知： 当时，取得最大值为． 15．（2024·山西吕梁·二模）如图所示，在研究某种粒子的实验装置中，有三个腔室，粒子只能从室出发经室到达室.粒子在室不旋转，在室､室都旋转，且只有上旋和下旋两种状态，粒子间的旋转状态相互独立.粒子从室经过1号门进入室后，等可能的变为上旋或下旋状态，粒子从室经过2号门进入室后，粒子的旋转状态发生改变的概率为.现有两个粒子从室出发，先后经过1号门，2号门进入室，记室两个粒子中，上旋状态粒子的个数为. (1)已知两个粒子通过1号门后，恰有1个上旋状态1个下旋状态.若这两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态的概率为，求； (2)若，求两个粒子经过2号门后都为上旋状态的概率； (3)求的分布列和数学期望. 【答案】(1)或. (2) (3)分布列见解析，1 【难度】0.65 【知识点】计算条件概率、独立事件的乘法公式、求离散型随机变量的均值、利用全概率公式求概率 【分析】（1）根据已知条件列方程，从而求得p. （2）根据全概率公式以及条件概率计算公式求得正确答案. （3）根据独立事件概率计算求得的分布列，并求得数学期望. 【详解】（1）设“两个粒子通过2号门后仍然恰有1个上旋状态1个下旋状态”. 事件A发生即通过2号门时，两个粒子都不改变或都改变旋转状态， 故，解得或. （2）设“两个粒子通过1号门后处于上旋状态粒子个数为个”，， “两个粒子通过2号门后处于上旋状态的粒子个数为2个”， 则， 则. （3）由题知， 时分3类情形， ①两个粒子通过1号门后均处上旋状态，通过2号门后均不改变状态； ②两个粒子通过1号门后一个上旋状态一个下旋状态，通过2号门后上旋状态粒子不改变状态，下旋状态粒子改变状态； ③两个粒子通过1号门后两个均为下旋状态，通过2号门后均改变状态， 所以， 同理， 所以所求的分布列为 X 0 1 2 P 所以所求数学期望. 16．（2024高三·全国·专题练习）一袋中有大小、形状相同的2个白球和10个黑球，从中任取一球．如果取出白球，则把它放回袋中；如果取出黑球，则该球不再放回，另补一个白球放到袋中．在重复次这样的操作后，记袋中的白球个数为． (1)求； (2)设，求； 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】有放回与无放回问题的概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）写出随机变量的所有可能取值，求出对应概率，再根据期望公式求期望即可； （2）分和两种情况讨论，当时，再分第次袋中有个白球，和第次袋中有个白球两种情况讨论，即可得解. 【详解】（1）∵或， ∴，， ∴； （2）∵当时，， 当时，第次取出来有个白球的可能性有两种： 第次袋中有个白球，显然每次取出球后，球的总数保持不变， 即袋中有个白球，个黑球，第次取出来的也是白球的概率为； 第次袋中有个白球，第次取出来的是黑球，由于每次总数为12个， 故此时黑球数为个，这种情况发生的概率为； ∴， ∴综上可知，. 17．（24-25高三上·河北沧州·阶段练习）某芯片公司生产甲､乙､丙三种型号的芯片，每种芯片均需要两次光刻才能成型，甲､乙芯片第一次光刻的良品率分别为，丙芯片第一次光刻因为工艺先进成熟，其良品率为.只有第一次光刻为良品，才能进行第二次光刻，否则为废品被淘汰，而甲､乙､丙第二次光刻的良品率分别为.第二次光刻的良品才是合格品. (1)从甲､乙､丙三种芯片的第一次光刻产品中各任取一件，若恰有两件是良品，求甲芯片是良品的概率； (2)甲､乙､丙三种芯片的每件合格品可为公司赚取利润150元，每件不合格品使公司赔50元，现生产甲､乙､丙芯片各一枚，设这三枚芯片为公司赚取的利润为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析， 【难度】0.65 【知识点】写出简单离散型随机变量分布列、计算条件概率、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）根据条件概率的思想求相应的概率，即可解出； （2）先确定的值，求出对应概率，可得的分布列，再根据期望的概念求的数学期望. 【详解】（1）设分别为甲､乙､丙三种芯片第次光刻为良品， 则，；，； ，. 第一次光刻丙芯片肯定是良品，故恰有两件良品是甲丙或乙丙， 所以甲芯片是良品的概率是： （2）甲芯片是合格品的概率为， 同理，乙芯片是合格品的概率为，内芯片是合格品的概率为. 的可能取值为， ， ， 其分布列为 50 250 450 数学期望. 18．（24-25高三上·河北邢台·阶段练习）某商场为了吸引顾客，邀请顾客凭借消费金额参与抽奖活动．若抽中金奖，则可获得15元现金；若抽中银奖，则可获得5元现金．已知每位顾客每次抽中金奖和银奖的概率分别为和，且每次中奖情况相互独立．现有甲、乙两位顾客参与该商场的抽奖活动，其中甲有2次抽奖机会，乙有1次抽奖机会． (1)求甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率； (2)记甲、乙两人抽奖获得的现金总金额为，求的分布列与期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【难度】0.65 【知识点】互斥事件的概率加法公式、写出简单离散型随机变量分布列、求离散型随机变量的均值 【分析】（1）通过互斥事件的概率加法公式可求得答案； （2）的所有可能取值为15，25，35，45，进而通过独立事件与互斥事件的概率公式求出相应的概率，进而得到分布列，最后求出期望. 【详解】（1）若甲抽中2次银奖，则由甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额，可知乙也得抽中银奖，此时概率． 若甲至少抽中1次金奖，则甲抽奖获得的现金金额一定大于乙抽奖获得的现金金额，此时概率． 故甲抽奖获得的现金金额大于乙抽奖获得的现金金额的概率． （2）记甲、乙两人抽奖获得的现金金额分别为，则． 由题可知，，， ，， 则，，，． 的分布列为 15 25 35 45 ． 19．（2024·重庆·模拟预测）党的二十届三中全会提出“健全新型举国体制，提升国家创新体系整体效能”. 为让拔尖创新型人才脱颖而出，某地决定举行中学生高科技知识挑战赛，挑战赛分预赛和决赛两个阶段，每个参赛队由两名选手组成，每个选手只能参加一个阶段的挑战赛，每个阶段分别设置了 3 个问题；预赛阶段至少完整答对 1 个问题，该队才能进入决赛: 决赛阶段每完整答对 1 个问题， 该队决赛成绩记 3 分， 否则记 0 分， 未进入决赛的参赛队决赛成绩记 0 分. 已知华夏队的 两名选手每次完整答对 1 个问题的概率为 ，每次回答是独立的， 表示华夏队的决赛总成绩. (1)当 时，若 选手参加预赛，求 ； (2)当 最大时，决赛阶段应由哪个选手参加? (3)当 最大时，决赛阶段应由哪个选手参加? 【答案】(1)0.819 (2)选手参加 (3)选手参加 【难度】0.65 【知识点】求离散型随机变量的均值、独立重复试验的概率问题、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据独立事件概率乘积公式及对立事件概率公式计算即可 （2）根据独立重复实验概率及对立事件概率公式计算，再做差比较即可判断； （3）根据独立重复实验概率及对立事件概率公式计算，再求出数学期望做差比较即可判断； 【详解】（1）由题意选手至少完整答对了1个问题，在决赛阶段选手也至少完整答对了1个问题， 故所求概率； （2）若选手参加预赛，则， 若选手参加预赛，则， 所以 ， 因为， 所以， 所以， 所以， 故预赛阶段应由选手参加，B参加决赛； （3）若选手参加预赛，则的所有可能取值为， 则， ， 所以， 若选手参加预赛，同理可得， 则， 因为， 所以， 故预赛阶段应由选手参加，B参加决赛. 10 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $$