精品解析：河南省驻马店市泌阳县2024-2025 学年下学期九年级第一次模拟考试数学试卷

2024－2025学年度下期第一次质检测试题 九年级数学 （注：请在答题卷上答题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，数轴上点表示数是2025，，则点表示的数是（ ） A. B. 2025 C. D. 2. 据网络平台数据，截至2月27日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房已突破140亿元，这一数据不仅彰显了其商业成功，还推动我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．将140亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 8. 2月15日，泌阳县某地民俗文化盛会一活动现场设有一个幸运箱，里面放有代表王店大装、盘古神话、泌阳烙画三种非遗文化特色小礼品的道具，每位参与者从中随机抽取一次，放回打乱后，再从中随机抽取一次，两次都抽中同一特色小礼品道具的可领取对应礼品，则参与者能够领取礼品的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度 之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是(　　) 信息窗 1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 当温度为时，甲物质和乙物质的溶解度都小于 B. 当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大 C 当时，向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态 D. 甲、乙两种物质溶解度始终都不一样 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 写出一个含有因式的多项式______________． 12. 不等式组的解集为________． 13. 某电脑公司销售部为了制定下个月销售计划，对20位销售人员本月的销售量（单位：台）进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的众数是______台． 14. 如图，在半径为10的中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且．则的长为______． 15. 如图，中，，中，，，直线与直线交于点．现将绕点旋转1周，在旋转过程中，______，线段长度的最大值是______． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_______，______； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 18. 矩形纸片中，，，点M在边上，且，将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与，分别交于点E，F． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段的长． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A、C在坐标轴上，反比例函数的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数的图象相交于D、E两点，直接写出不等式的解集． 20. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角． （1）已知α，β两角和余弦公式为： ，请利用公式计算； （2）求风叶的长度． 21. 为增强体育锻炼，提高群众身体素质，阳光社区申请了专项资金，准备购买A，B两种体育锻炼器材，安装在后山公园，用于社区居民锻炼身体．已知每套A种器材价格比B种器材多200元，每套A种器材需占地，每套B种器材需占地，购买3套A种器材和5套B种器材共需15000元． （1）A，B两种体育锻炼器材的单价分别是多少元？ （2）阳光社区申请到专项资金50000元，购买20套A，B两种体育锻炼器材，经预算，安装前期准备工程的费用不少于专项资金的四分之一，安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是多少平方米？ 22. 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． （1）求抛物线的解析式； （2）某市男子实心球的得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； （3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 23. 定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形；如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上．若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3．已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接．若的面积为，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024－2025学年度下期第一次质检测试题 九年级数学 （注：请在答题卷上答题） 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1. 如图，数轴上点表示的数是2025，，则点表示的数是（ ） A. B. 2025 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查数轴上点表示数，根据可得点A、B表示的数是相反数解题即可． 【详解】解：∵，点表示的数是2025， ∴点表示的数是， 故选：A． 2. 据网络平台数据，截至2月27日，电影《哪吒之魔童闹海》全球票房已突破140亿元，这一数据不仅彰显了其商业成功，还推动我国国产动画电影发展，提升了中国文化影响力．将140亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】现将140亿写成14000000000，再根据科学记数法的要求，将14000000000变为，分别确定a和n的值即可． 本题考查了科学记数法，其表示形式为，正确确定a和n的值是解答本题的关键．n是整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数的绝对值大于等于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：140亿， 故选：B． 3. 鲁班锁起源于我国古代建筑中的卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，从前面看这个构件，可以得到的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．找到从前面看到的图形即可． 【详解】解：从前面看这个构件，可以得到的图形是， 故选：C． 4. 如图，两个平面镜平行放置，光线经过平面镜反射时，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用平行线的性质求角的度数，平角的定义求出的度数，再根据平行线的性质，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵两个平面镜平行放置， ∴经过两次反射后的光线与入射光线平行， ∴； 故选C． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据积的乘方，单项式与单项式的乘法，完全平方公式，合并同类项法则逐一判断即可． 【详解】解：，故A符合题意； ，故B不符合题意； ，故C不符合题意； ，故D不符合题意； 故选A 【点睛】本题考查的是单项式的乘法，完全平方公式的应用，合并同类项，积的乘方运算，掌握相应的运算法则是解本题的关键． 6. 如图，已知四边形是平行四边形，点E是的中点，连接，相交于点F，过F作的平行线交于点G，若，则的值是（　　） A. 6 B. 5 C. 8 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定及性质，由四边形是平行四边形，得，再证明，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：∵是的中点, ， ∵四边形是平行四边形， ， ， ， ， ∴，， ∴， 解得： 故选: A． 7. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程 (为常数)的根的判别式，理解根的判别式对应的根的三种情况是解题的关键．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．根据一元二次方程有两个相等的实数根，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴． 解得：． 故选：C． 8. 2月15日，泌阳县某地民俗文化盛会一活动现场设有一个幸运箱，里面放有代表王店大装、盘古神话、泌阳烙画三种非遗文化特色小礼品的道具，每位参与者从中随机抽取一次，放回打乱后，再从中随机抽取一次，两次都抽中同一特色小礼品道具的可领取对应礼品，则参与者能够领取礼品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意用表格列出所有可能出现的结果，找出两次都抽中同一特色小礼品道具的情况，再根据概率的计算公式进行计算即可． 概率=事件A发生的情况数所有情况数，熟练掌握概率的计算公式是解题的关键． 【详解】解：用A、B、C分别代表王店大装、盘古神话、泌阳烙画三种非遗文化特色小礼品的道具，用表格列出所有可能出现的结果如下： A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 共有9种等可能的结果，其中两次都抽中同一特色小礼品道具的有3种AA、BB、CC， ． 故选：B． 9. 把量角器和含角的三角板按如图方式摆放：零刻度线与长直角边重合，移动量角器使外圆弧与斜边相切时，发现中心恰好在刻度处，短直角边过量角器外沿刻度处（即，）．则阴影部分的面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出∠COF，进而求出OE＝OF＝4cm，再求出OB，进而求出BE，最后用三角形的面积减去扇形的面积，即可求出答案． 【详解】在中，， ∴， ， ， 连接，则， ∵外圆弧与斜边相切， ∴∠BEO＝90°， 在中，， ，， 根据勾股定理得，， ， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了切线的性质，含30°角的直角三角形的性质，三角形的面积公式和扇形的面积公式，求出圆的半径是解本题的关键． 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度 之间的对应关系如图所示，相关信息请见下表，则下列说法正确的是(　　) 信息窗 1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 当温度为时，甲物质和乙物质的溶解度都小于 B. 当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高而增大 C 当时，向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态 D. 甲、乙两种物质的溶解度始终都不一样 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用图象表示变量之间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据图象结合题目中给出的信息逐项进行判断即可． 【详解】解：A．由图象可知：当温度为时，乙物质的溶解度是，故选项A错误，不符合题意； B．由图象可知：当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度随着温度的升高，先减小后增大，故选项B错误，不符合题意； C．因为当时，乙物质的溶解度小于，故向水中添加乙，则乙溶液一定能达到饱和状态，故选项C正确，符合题意； D．当时，甲、乙两种物质的溶解度始终一样，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11. 写出一个含有因式的多项式______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解、多项式的定义，根据平方差公式，得出一个含有因式的多项式，即可作答． 【详解】解：依题意， ∴一个含有因式的多项式 故答案为：（答案不唯一） 12. 不等式组的解集为________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的解集，分别求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分即为不等式组的解集．正确的求出每一个不等式的解集，是解题的关键． 详解】解：， 由①，得：； 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 13. 某电脑公司销售部为了制定下个月的销售计划，对20位销售人员本月的销售量（单位：台）进行了统计，绘制成如图所示的统计图，则这20位销售人员本月销售量的众数是______台． 【答案】20 【解析】 【分析】众数是指一组数据中出现次数最多的数据．扇形统计图中，所占百分比最大的部分对应的数据即为该组数据的众数，据此解答即可．本题主要考查众数的定义及扇形统计图，掌握众数的定义及扇形统计图的意义是解题的关键． 【详解】解：由扇形统计图可知销售量为20台的人数占总人数的百分比最大为40%， 因此这20位销售人员本月销售量的众数是20台． 故答案为：20 14. 如图，在半径为10的中，、是互相垂直的两条弦，垂足为，且．则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】作于M，于N，连接，，，根据垂径定理可得，再根据勾股定理可得，再证明四边形是正方形 则，根据勾股定理即可求出长．本题主要考查了垂径定理，勾股定理和正方形的判定和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：作于M，于N，连接，，， ， ， ， ， ， 于M，于N， ， ∴四边形是矩形， ， ∴四边形是正方形， ， ． 故选：B． 15. 如图，中，，中，，，直线与直线交于点．现将绕点旋转1周，在旋转过程中，______，线段长度的最大值是______． 【答案】 ①. ②. 14 【解析】 【分析】先证明 ，推出，再结合以及即可解答；由可知点F在以为直径的圆上运动，由点C到的距离为，可知弦在直径的下方，当与相切于点E时，取最大值，求出的长即可 得解． 【详解】解：∵，， ∴， 即， 在 和中， ， ∴， ∴， 设、交于点O， ∵， ∴． 如图，∵, ∴点F在以为直径的圆上运动， ∵， 则， ∴由等腰直角三角形可知，点C到的距离为， 即弦在直径的下方，如图， ∵D、E两点在以C为圆心，以为半径的上， ∴当与相切于点E时，取最大值， 此时，， ∴四边形为正方形，， ∴， ∴的最大值为． 故答案为：；14． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、圆的内接四边形的性质等知识点，灵活运用相关性质是解答本题的关键． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）根据开立方运算法则、零指数幂的运算法则、负数指数幂的运算法则解答即可； （2）根据分式的混合运算法则解答即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【点睛】本题考查了开立方运算法则、零指数幂的运算法则、负数指数幂的运算法则，分式的混合运算法则，熟记对应法则是解题的关键． 17. 为了培养学生的体能素养，某校分别从七、八年级学生中各随机调查了100名学生，统计他们一周的运动时间，运动时间记为x分钟，将所得数据分为5个组别（A组：；B组：；C组：；D组：；E组： ），将数据进行分析，得到如下统计： ①八年级B组学生一周运动时间从高到低排列，排在最后的10个数据分别是：82，82，81，81，81，81，80，80，80，80． ②八年级100名学生一周运动时间频数分布统计表： 分组 A B C D E 频数 14 b 27 13 6 ③七、八年级各100名学生一周运动时间的平均数、中位数、众数如下表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 81.3 79.5 82 八年级 81.3 c 83 ④七年级100名学生一周运动时间分布扇形统计图 请你根据以上信息，回答下列问题： （1）_________，_______，______； （2）根据以上数据分析，你认为七、八年级哪个年级学生一周运动情况更好，请说明理由：（写出一条理由即可） （3）该校七年级有800名学生，八年级有600名学生，请估计该校七、八年级一周运动时间不低于80分钟的学生一共有多少人？ 【答案】（1）10，40，80.5 （2）八年级的较好，理由：八年级学生参加劳动的时间的中位数、众数均比七年级的大 （3）724 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图，频数分布表、中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解平均数、中位数、众数的定义，掌握平均数、中位数、众数的计算方法是正确解答的前提． （1）在扇形统计图中，先求出“B组”所占的百分比，再求出“A组”所占的百分比，确定a的值，根据八年级的频数之和等于100可求出b的值，再根据中位数的定义求出c的值； （2）从中位数、众数的大小比较得出答案； （3）求出七年级、八年级一周运动时间在80分钟以上（含80分钟）的学生数即可． 【小问1详解】 解：根据扇形统计图可知，“B组”所占的百分比为， 所以“A组”所占的百分比为， 即； ； 八年级的中位数在B组，将100名学生的运动时间从大到小排列，处在中间位置的两个数的平均数为， 即； 故答案为：10，40，80.5； 【小问2详解】 八年级的较好，理由：八年级学生一周运动的中位数、众数均比七年级的大； 【小问3详解】 （人）， 答：七、八年级一周运动在80分钟以上（含80分钟）的学生大约有724人． 18. 矩形纸片中，，，点M在边上，且，将矩形纸片折叠，使点B与点M重合，折痕与，分别交于点E，F． （1）请用无刻度的直尺和圆规作出折痕；（保留作图痕迹，不写作法）； （2）求线段的长． 【答案】（1）画图见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线画法和矩形中的翻折问题，熟练掌握画法和翻折中的计算方法是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线即可； （2）连接，设与交于点，先求出的长，利用求出，证明得出，即可得出． 【小问1详解】 解：连接，作线段的垂直平分线，分别交，于点E，F，连接， 即为所求，如图： 【小问2详解】 如图，连接，设与交于点， ∵矩形中，，，，， ∴， ∴， 由作图知，， ∴， ∴， 即， 解得：， ∵四边形矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点A、C在坐标轴上，反比例函数的图象分别与交于点和点E，且D为的中点． （1）求反比例函数的解析式和点E的坐标； （2）若一次函数与反比例函数的图象相交于D、E两点，直接写出不等式的解集． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与几何的综合应用，反比例函数与一次函数的交点问题： （1）待定系数法求出反比例函数解析式，矩形的性质加上中点坐标公式求出点坐标进而得到点纵坐标，代入函数解析式求出点坐标即可； （2）图象法解不等式即可． 【小问1详解】 解：把代入函数解析式，得：， ∴反比例函数的解析式为， ∵四边形是矩形，点为的中点， ∴轴，轴， ∴，， ∴点纵坐标为， 当时，， ∴； 【小问2详解】 由图象可知：不等式的解集为． 20. “一缕清风银叶转”，某市20台风机依次矗立在云遮雾绕的山脊之上，风叶转动，风能就能转换成电能，造福千家万户．某中学初三数学兴趣小组，为测量风叶的长度进行了实地测量．如图，三片风叶两两所成的角为，当其中一片风叶与塔干叠合时，在与塔底D水平距离为60米的E处，测得塔顶部O的仰角，风叶的视角． （1）已知α，β两角和的余弦公式为： ，请利用公式计算； （2）求风叶的长度． 【答案】（1） （2）风叶的长度为米 【解析】 【分析】（1）根据题中公式计算即可； （2）过点A作，连接，，先根据题意求出，再根据等腰对等边证明，结合第一问的结论用三角函数即可求，再证明四边形是矩形，即可求出． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴； 【小问2详解】 解：过点A作，连接，，如图所示， 由题意得：米，， ∴米，， ∵三片风叶两两所成的角为， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴米， ∵，， ∴， 由（1）得：， ∴米， ∴米， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴米， ∵三片风叶两两所成的角为，且三片风叶长度相等， ∴， ∴米， ∴风叶的长度为米． 【点睛】本题考查解直角三角形的实际应用，正确理解题意和作出辅助线是关键． 21. 为增强体育锻炼，提高群众身体素质，阳光社区申请了专项资金，准备购买A，B两种体育锻炼器材，安装在后山公园，用于社区居民锻炼身体．已知每套A种器材价格比B种器材多200元，每套A种器材需占地，每套B种器材需占地，购买3套A种器材和5套B种器材共需15000元． （1）A，B两种体育锻炼器材的单价分别是多少元？ （2）阳光社区申请到专项资金50000元，购买20套A，B两种体育锻炼器材，经预算，安装前期准备工程的费用不少于专项资金的四分之一，安装这20套体育锻炼器材占地的最大面积是多少平方米？ 【答案】（1）A种体育器材的单价为2000元，则B种体育器材的单价为1800元 （2） 【解析】 【分析】（1）设A种体育器材的单价为x元，则B种体育器材的单价为元，根据题意列一元一次方程求解即可； （2）设购买A种体育器材a套，则购买B种体育器材套，装这20套体育锻炼器材占地面积为，根据题意列一元一次不等式求得a的取值范围，再列出总面积关于A种体育器材的件数的一次函数，再根据一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种体育器材的单价为x元，则B种体育器材的单价为元， 由题意可得，， 解得，， ∴， 答：A种体育器材的单价为2000元，则B种体育器材的单价为1800元． 【小问2详解】 解：设购买A种体育器材a套，则购买B种体育器材套，装这20套体育锻炼器材占地面积为， 由题意可得，， 解得，， ， ∵S随着a的增大而增大， 又∵a为正整数， ∴当时，S取最大值，最大值为87， 答：装这20套体育锻炼器材占地面积为． 【点睛】本题考查一元一次方程的实际应用、一元一次不等式和一次函数的实际应用，理解题意列出方程是解题的关键． 22. 掷实心球是某市中考体育考试的选考项目．小强为了解自己实心球的训练情况，他尝试利用数学模型来研究实心球的运动情况，建立了如图所示的平面直角坐标系，在一次投掷中，实心球从轴上的点处出手，运动路径可看作抛物线的一部分，实心球在最高点的坐标为，落在轴上的点处． （1）求抛物线的解析式； （2）某市男子实心球得分标准如表： 得分 100 95 90 85 80 76 70 66 60 50 40 30 20 10 掷远（米） 12.4 11.2 9.6 9.1 8.4 7.8 7.0 6.5 5.3 5.0 4.6 4.2 3.6 3.0 请你求出小强在这次训练中的成绩，并根据得分标准给小强打分； （3）小强在练习实心球时，他的正前方距离投掷点9米处有一个身高1.2米的小朋友在玩耍，问该小朋友是否有危险（如果实心球在小孩头顶上方飞出为平安，否则视为危险），请说明理由． 【答案】（1） （2）小强在这次训练中的成绩为分 （3）小朋友有危险，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的运用， （1）根据题意，设二次函数解析式为顶点式，即为，把点代入，运用待定系数法即可求解； （2）令时，求出点的坐标，进行比较即可求解； （3）当时，代入计算即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意，设二次函数解析式为，把点代入得， ， 解得，， ∴抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：由（1）可知抛物线的解析式， 令，则，整理得， 解得，， ∵点在轴的正半轴上， ∴小强掷的距离为米， ∵， ∴小强在这次训练中的成绩为分； 【小问3详解】 解：小朋友有危险，理由如下， 当时，， ∵， ∴小朋友有危险． 23. 定义：四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形；如果这两个三角形相似（不全等），就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． 理解： （1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上．若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请用无刻度的直尺在网格中画出点（保留作图痕迹，找出2个即可）； （2）如图2，在四边形中，，，，对角线平分．那么是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由； 运用： （3）如图3．已知是四边形的“相似对角线”，，平分．连接．若的面积为，直接写出的长． 【答案】（1）见解析（答案不唯一）；（2）是；理由见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）根据“相似对角线”的定义，可知为的直角边，且两条直角边之比为，则可找出符合要求的点D； （2）由角平分线的定义得，则，从而得出，即可证明结论； （3）作于点M，根据相似三角形的性质可得，再利用锐角三角函数得，从而得出，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图1所示（答案不唯一）： （2）是四边形的“相似对角线”，理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是四边形的“相似对角线”； （3）如图3，作于点M， ∵，平分， ∴． 又∵是四边形的“相似对角线”， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了新定义，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，理解“相似对角线”的含义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$