2024年广东省湛江市霞山区崇文实验学校中考数学一模试卷

2024年霞山区崇文实验学校中考数学一模试卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列实数中，无理数是（　　） A．﹣2 B．0 C． D． 2．（3分）我国的北斗卫星导航系统中有一颗中高轨道卫星高度大约是21500000米．将数字21500000用科学记数法表示为（　　） A．2.15×107 B．0.215×108 C．2.15×106 D．21.5×106 3．（3分）下列计算正确的是（　　） A．x3+x3＝x6 B．x3•x3＝x6 C．（x3）3＝x6 D．（xy）3＝xy3 4．（3分）不等式组的解集是（　　） A．﹣3＜x≤2 B．﹣3≤x＜2 C．x≥2 D．x＜﹣3 5．（3分）如图，A、B、C、D是⊙O上四点，且点D是弧AB的中点，CD交OB于E，∠AOB＝100°，∠OBC＝55°，则∠OEC的度数为（　　） A．90° B．80° C．70° D．60° 6．（3分）在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：Pa）与它的受力面积（单位：m2）是反比例函数关系，平平记录了几次测量所得的数据，由于疏忽，其中有一次记录的数据有误，观察表格，有误的那一次是（　　） 第1次 第2次 第3次 第4次 … 受力面积（m2） 0.1 0.2 0.3 0.4 … 压强（Pa） 1000 500 300 250 … A．第1次 B．第2次 C．第3次 D．第4次 7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，2），B（3，1），以点O为位似中心，相似比为3，将△OAB放大，则点A的对应点A′的坐标为（　　） A．（3，6） B．（3，6）或（﹣3，﹣6） C．（9，3） D．（3，6）或（﹣6，﹣3） 8．（3分）⊙P经过坐标原点O，分别与x轴、y轴交于点A、点B，点C是⊙P位于第一象限部分上的一点，如图，若点A坐标为（4，0），点B坐标为（0，3），则cos∠OCA的值为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，∠BAC为120°的等腰△ABC中，底边BC为，DE垂直平分AB于点D，则AE的长为（　　） A．2 B．2 C． D．3 10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB，BC＝1，动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动，过点E，F作直线l，过点A作直线l的垂线，垂足为G，则AG的最大值为（　　） A． B． C．2 D．1 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．（3分）若点M（2m﹣1，1+m）关于y轴的对称点M'在第二象限，则m的取值范围是 　 　 ． 12．（3分）已知（m﹣n）2＝36，（m+n）2＝400，则m2+n2的值为 　 　 ． 13．（3分）若不等式组只有两个整数解，则a的取值范围是 　 　 ． 14．（3分）如图．已知A（2，0），B（0，1），AB是半圆的直径，C是半圆弧的中点．若反比例函数的图象经过点C，则k＝ 　 　 ． 15．（3分）如图，D是△ABC中BC上的中点，连接AD，BE是△ABD的中线，BE的延长线与AC交于点F，则 　 　 ． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．（8分）计算：． 17．（8分）先化简，再求值：，其中． 18．（8分）如图，四边形ABCD是矩形，连接AC，∠ACB＝60°． （1）实践操作：利用尺规作∠DAC的平分线AM，交CD于点M．（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母） （2）猜想证明：在所作的图中，猜想线段AM与CM的数量关系，并证明你的猜想． 19．（9分）小明从家A步行前往公园E，已知点E在点A的正东方向，但是由于AE道路施工，小明先沿正北方向走了400米到达B处，再从B处沿北偏东60°方向行走400米到达C处，从C处沿正东方向走了300米到达D处，在D处休息了6分钟，最终沿D﹣E方向到达E处，已知点E在点D的南偏东45°方向．小明从家出发的同时，爷爷从家选择另一路线A﹣F﹣E步行前往E处，已知点F在点A的南偏东60°方向，且点F在点E的正南方向．（参考数据：，） （1）求AE的长度（结果精确到1米）； （2）已知小明步行速度为80米/分钟，爷爷步行速度为70米/分钟，小明和爷爷始终保持匀速行驶，请计算说明小明和爷爷谁先到达公园？ 20．（9分）如图，△ABC内接于⊙O，过点C作射线CP，使得∠ACP＝∠B，CP与BA的延长线交于点P，D是BC的中点，PD与AC交于点E． （1）判断直线PC与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）若PC＝mPA，求证：CE＝m2AE． 21．（9分）按要求解答． （1）某市计划修建一条隧道，已知隧道全长2000米，一工程队在修了1400米后，加快了工作进度，每天比原计划多修5米，结果提前10天完成，求原计划每天修多长？ （2）隧道建成后的截面图如图所示，它可以抽象成如图所示的抛物线．已知两个车道宽度OC＝OD＝4米，人行道地基AC，BD宽均为2米，拱高OM＝10.8米．建立如图所示的直角坐标系．①求此抛物线的函数表达式（函数表达式用一般式表示） ②已知人行道台阶CE，DF高均为0.3米，按照国家标准，人行道宽度不得低于1.25米，该隧道的人行道宽度设计是否达标？请说明理由．（参考值：5.92） 22．（12分）已知，△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝30°，AD⊥BC于点D，点E为直线BC上一动点，将线段ED绕点E顺时针旋转60°得到线段EF，点G在直线BC上，EG＝EC（点G与点C不重合）． （1）如图1，点F在AC边上，连接DF．若BC＝4，求DF的长； （2）如图2，点E在线段BD上，连接AF，GF，求证：AF⊥GF； （3）连接BF，当△ABF是以AF为底边的等腰三角形时，直接写出的值． 23．（12分）在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线yx2+bx+c经过点O（0，0），与x轴正半轴交于点A，点A坐标（3，0）． （1）求b．c的值； （2）如图1，点P为第二象限内抛物线上一点，连接PA，PO，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S与t的函数解析式（不要求写出自变量t的取值范围）； （3）如图2，在（2）的条件下，t＝﹣2，点D在OA上，DF⊥OA，交PA于点C，CF＝CD，点E在第二象限，连接EC，EC⊥CD，连接ED，过点E作ED的垂线，交过点F且平行AC的直线于点G，连接DG交AC于点M，过点A作x轴的垂线，交EC的延长线于点B，交DG的延长线于点R，CMRB，连接RE并延长交抛物线于点N，RA＝RN，点T在△ADM内，连接AT，CT，∠ATC＝135°，DH⊥AT，交AT的延长线于点H，HT＝2DH，求直线CT的解析式． 参考答案与试题解析 一．选择题（共10小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D A B B B C B B C D 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．解：A．﹣2是有理数，不符合题意； B．0是有理数，不符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是无理数，符合题意． 故选：D． 2．解：将21500000用科学记数法表示为：2.15×107． 故选：A． 3．解：A、x3+x3＝2x3，故A不符合题意； B、x3•x3＝x6，故B符合题意； C、（x3）3＝x9，故C不符合题意； D、（xy）3＝x3y3，故D不符合题意； 故选：B． 4．解：解不等式x﹣2＜0，得：x＜2， 解不等式x+3≥0，得：x≥﹣3， 则不等式组的解集为﹣3≤x＜2， 故选：B． 5．解：连接OD， ∵点D是弧AB的中点， ∴， ∵∠AOB＝100°， ∴∠BOD∠AOB＝50°， ∴∠BCD∠BOD＝25°， ∴∠OEC＝∠OBC+∠C＝55°+25°＝80°． 故选：B． 6．解：∵0.1×1000＝0.2×500＝0.4×250≠0.3×300， ∴第3次记录的数据有误， 故选：C． 7．解：∵以点O为位似中心，相似比为3，将△OAB放大，点A的坐标为（1，2）， ∴点A的对应点A′的坐标为（1×3，2×3）或（1×（﹣3），2×（﹣3）），即（3，6）或（﹣3，﹣6）， 故选：B． 8．解：连接AB， ∵点A坐标为（4，0），点B坐标为（0，3）， ∴AB5， ∵∠ABO＝∠OCA，∠AOB＝90°， ∴cos∠OCA＝cos∠ABO． 故选：B． 9．解：∵∠BAC＝120°，△ABC为等腰三角形， ∴∠B＝∠C（180°﹣∠BAC）＝30°， ∵DE垂直平分AB， ∴AE＝BE， ∴∠EAB＝∠B＝30°， ∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝120°﹣30°＝90°， 在Rt△ACE中，∠C＝30°， ∴CE＝2AE， ∴BC＝BE+CE＝AE+2AE＝3AE， ∵底边BC为， ∴3AE， ∴AE． 故选：C． 10．解：连接AC，交EF于O， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，∠B＝90°， ∵AB，BC＝1， ∴AC2， ∵动点E，F分别从点A，C同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB，CD向终点B，D运动， ∴CF＝AE， ∵AB∥CD， ∴∠ACD＝∠CAB， 又∵∠COF＝∠AOE， ∴△COF≌△AOE（AAS）， ∴AO＝CO＝1， ∵AG⊥EF， ∴点G在以AO为直径的圆上运动， ∴AG为直径时，AG有最大值为1， 故选：D． 二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分） 11．解：∵点M（2m﹣1，1+m）关于y轴的对称点M'， ∴点M'（﹣2m+1，1+m）， 又∵点M'（﹣2m+1，1+m）在第二象限， ∴﹣2m+1＜0且1+m＞0， 解得m， 故答案为：m． 12．解：（m﹣n）2＝36， m2﹣2mn+n2＝36 ①， （m+n）2＝400， m2+2mn+n2＝400 ②， ①+②得：2m2+2n2＝436， m2+n2＝218． 故答案为：218． 13．解：， 解不等式①得：x＞a； 解不等式②得：x＜1， ∴原不等式组的解集为a＜x＜1． 又∵不等式组只有两个整数解， ∴﹣2≤a＜﹣1． 故答案为：﹣2≤a＜﹣1． 14．解：设半圆圆心为D，连接DC，过C作CG⊥OA于G，交AB于E，如图： ∵A（2，0），B（0，1）， ∴AB，DA＝DC， ∴cos∠BAO，sin∠BAO， ∵C为半圆的中点， ∴∠CDE＝∠EGA＝90°， 又∠CED＝∠AEG， ∴∠DCE＝∠BAO， Rt△CDE中，cos∠DCE， ∴， ∴CE， ∴DE， ∴AE＝AD﹣DE， Rt△AGE中，cos∠BAO， ∴， ∴AG， ∴OG＝OA﹣AG， ∴EG， ∴CG＝CE+GE， ∴C（，）， 把C（，）代入y得k． 15．解：作DH∥BF交AC于H， ∵DH∥BF，D是△ABC中BC上的中点， ∴CD＝BD， ∴， ∴CH＝HF， ∵DH∥BF，BE是△ABD的中线， ∴AE＝DE， 且， ∴AF＝FH， ∴AF＝FH＝HC， ∴AF：FC＝1：2， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分75分） 16．解： ． 17．解：原式•a+a＝2a， 当a时，原式＝2a＝2． 18．解：（1）如图，AM即为所求． （2）AM＝CM． 理由：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，∠DCB＝90°， ∴∠DAC＝∠ACB＝60°，∠ACD＝90°﹣60°＝30°． ∵AM是∠DAC的平分线， ∴， ∴∠CAM＝∠ACM， ∴AM＝CM． 19．解：（1）如图，由题意可知，AB＝BC＝400米，CD＝300米，∠PBC＝60°，∠FAE＝90°﹣30°＝60°，∠NDE＝45°， 在Rt△PBC中，BC＝400米，∠PBC＝60°， ∴PBBC＝200（米），PCBC＝200（米）， ∴AP＝CM＝DN＝400+200＝600（米）， 在Rt△DEN中，∠NDE＝45°， ∴DN＝NE＝600米， ∴AE＝AM+MN+NE ＝200300+600 ＝200900 ≈1246（米）， 答：AE的长约为1246米； （2）在Rt△DEN中，∠NDE＝45°，DN＝NE＝600米， ∴DEDN＝600（米）， 在Rt△AEF中，∠EAF＝30°，AE＝（200900）米， ∴EFAE＝（200+300）米，AF＝2EF＝（400+600）米， 所以小明所走的总路程为AB+BC+CD+DE＝400+400+300+6001948.4（米），所用的时间为1948.4÷80+6≈30.4（分）， 爷爷所走的总路程为AF+EF＝600+9002158.8（米），所用的时间为2158.8÷70≈30.84（分）， 由于30.4＜30.84， 所以小明先到公园． 20．（1）解：直线PC与⊙O相切． 证明：连接CO并延长，交⊙O于点F，连接AF，如图， 则CF为⊙O的直径， ∴∠CAF＝90°， ∴∠F+∠ACF＝90°， ∵∠F＝∠B， ∴∠B+∠ACF＝90°． ∵ACP＝∠B， ∴∠ACP+∠ACF＝90°， ∴∠PCF＝90°， ∴OC⊥PC． ∵OC为⊙O的直径， ∴直线PC与⊙O相切； （2）证明：∵∠ACP＝∠B，∠APC＝∠CPB， ∴△PAC∽△PCB， ∴， ∴PC2＝PA•PB． ∵PC＝mPA， ∴m2PA2＝PA•PB， ∴． 延长ED至点H，使DH＝DE，连接HB，如图， 在△CDE和△BDH中， ， ∴△CDE≌△BDH（SAS）， ∴CE＝BH，∠ECD＝∠HBD， ∴AC∥BH， ∴△PAE∽△PBH， ∴， ∴， ∴CE＝m2AE． 21．解：（1）设原计划每天修x米， 则根据题意可得：， 解得：x＝﹣15或x＝20， 经检验，x＝20是分式方程的解． 答：原计划每天修20米． （2）①根据题意可得：C（﹣4，0），D（4，0），A（﹣6，0），B（6，0），M（0，10.8）， 设抛物线的函数表达式为y＝ax2+bx+c， 由题意可得：， 解得：， 所以抛物线的函数表达式为y＝﹣0.3x2+10.8， ②∵车的宽度为4米，车从正中通过， 如图：由CE，DF高均为0.3米，则点G的纵坐标为0.3， 令y＝0.3，则有：0.3＝﹣0.3x2+10.8， 解得：（舍弃负值）， ∴人行道台阶的宽度为：， ∴人行道宽度设计达标． 22．（1）解：∵线段ED绕点E顺时针旋转60°得到线段EF， ∴ED＝EF，∠DEF＝60°， ∴△DEF是等边三角形， ∴∠EDF＝60°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠ABC＝30°， ∴∠CFD＝90°， ∵AD⊥BC， ∴CD＝BDBC＝2， ∴DFCD＝1； （2）证明：如图1， 延长FE至H，使EH＝EF，连接CH，DH，设AF和CH交于Q，DH和AF交于点O， ∵EG＝EC，∠FEG＝∠CEH， ∴△ECH≌△EGF（SAS）， ∴∠ECH＝∠EGF， ∴FG∥CH， 由（1）知：△DEF是等边三角形， ∴∠DFE＝60°，DE＝EF＝EH， ∴∠EDH＝∠EHD， ∵∠EDH+∠EHD＝∠DEF＝60°， ∴∠EDH＝∠EHD＝30°， ∴∠HDG＝90°， ∴∠HDG＝∠ADC＝90°， ∴∠HDG+ADH＝∠ADC+∠ADH， ∴∠ADF＝∠CDH， ∵， ∴△ADF∽△CDH， ∴∠AFD＝∠CHD， ∵∠AOH＝∠DOF， ∴∠HQO＝∠FDH＝90°， ∴CH⊥AF， ∴AF⊥GF； （3）解：不妨设AB＝2，如图2， 当点E在DB的延长线上时， 作BH⊥DF于H，设AB＝2， ∴∠BHD＝90°，BD＝2•cos∠ABC＝2， ∵∠BDF＝60°，BD， ∴DH， ∵BF＝AB＝2， ∴FH， ∴DE＝DF＝DH+FH， ∴CE＝DE+CD， ∴CG＝2CE＝3， ∴DG＝CG﹣CD， ∴， 如图3， 当点E在CD上时，延长FD交AB于H， ∴∠BDH＝∠EDF＝60°， ∵∠ABC＝30°， ∴∠DHB＝90°， 由上可知：FH， ∴DE＝DF， ∴CE＝CD﹣DE， ∴CG＝2CE＝3， ∴DG＝CG﹣CD＝3， ∴， 综上所述：． 23．解：（1）将点O（0，0）和点A（3，0）代入抛物线yx2+bx+c得， ， ∴， ∴； （2）SyP； （3）如图1， 作PJ⊥x轴于J，连接BF，连接BD，作MW⊥BE于W，作GV⊥BE于，作NS⊥x轴于S，延长BE，交SN于Q， 则∠Q＝∠NSD＝∠MWC＝∠MWB＝∠RBC＝90°， 把t＝﹣2代入y得，y， ∵AJ＝3﹣（﹣2）＝5， ∴AJ＝PJ， ∴∠PAJ＝45°， ∵∠ADC＝90°， ∴∠ACD＝90°﹣∠PAJ＝45°， ∴∠PAJ＝∠ACD， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴可得四边形ABCD是正方形， ∴∠ACD＝∠DBC＝45°，∠FCB＝∠BCD＝90°， ∵CF＝CD＝BC， ∴∠CFB＝∠CBF＝45°， ∵FG∥AC， ∴∠CFG＝∠ACD＝45°， ∴点F、G、B共线， ∵∠FBD＝∠FBC+∠DBC＝90°，∠GED＝90°， ∴∠FBD+∠DEG＝180°， ∴点G、E、D、B共圆， ∴∠EGD＝∠DBC＝45°，∠EDG＝∠FBC＝45°， ∴∠EGD＝∠EDG， ∴EG＝ED， ∵∠EVG＝∠DCE＝90°， ∴∠EGV+∠VEG＝90°， ∵∠DEG＝90°， ∴∠DCE+∠VEG＝90°， ∴∠DEC＝∠EGV， ∴△EGV≌△DEG（AAS）， ∴EV＝CD，CE＝GV， 设CMx，WI＝a， ∴∠ACB＝45°，CMRB， ∴WM＝CW＝x，RB＝3x， ∵MW∥BR， ∴△MWI∽△RBI， ∴， ∴BI＝3WI＝3a， ∴AB＝BC＝CW+WI+BI＝x+4a， ∵BC∥AD， ∴△RBI∽△RAD， ∴， ∴， ∴x＝2a， ∴BC＝AB＝x+4a＝6a，RB＝3x＝6a， ∴BFBC＝6a，DF＝2CD＝12a， ∵DF∥RB， ∴△GFD∽△GBR， ∴， ∴BGBF＝2， ∴GV＝BVBG＝2a， ∴CE＝GV＝2a， ∵BE＝BC+CE＝6a+2a＝8a， ∴ER， ∵RN＝RA＝12a， ∴EN＝RN﹣RE＝2a， ∴CE＝EN＝2a， 作IK⊥RN于K， 由S△RBE＝S△RBI+S△RIE得， ∴， ∴IK＝3a， ∴∠NRD＝∠ARD， ∵RD＝RD， ∴△ARD≌△NRD（SAS）， ∴∠RND＝∠RAD＝90°， ∴∠RND＝∠ECD＝90°， ∵DE＝DE， ∴Rt△DCE≌Rt△DNE（HL）， ∴DN＝CD＝6a， ∵∠Q＝∠NSO＝90°， ∴∠QEN+∠QNE＝90°， ∵∠EDN＝90°， ∴∠QNE+∠DNS＝90°， ∴∠DNS＝∠QEN， ∴△EQN∽△NEO， ∴， ∴NS＝3EQ，QNDS， 设N（x，y）， ∵E（3﹣8a，6a），D（3﹣6a，0）， ∴EQ＝3﹣8a﹣x，DS＝3﹣6a﹣x， ∴NS＝3（3﹣8a﹣x），NQ（3﹣6a﹣x）， ∵NQ+NS＝QS＝CD＝6a， ∴3（3﹣8a﹣x）（3﹣6a﹣x）＝6a， ∴x＝3， ∴y＝NS＝3（3﹣8a﹣x）a， ∴a， ∴a， ∴6a， ∴C（，）， 如图2， 延长DH，交CT于X，作DL⊥CT于L，交AH于Z，设CT交x轴于Y， ∵∠DHT＝90°，∠ATC＝135°， ∴∠XHT＝90°，∠XTH＝45°， ∴∠TXH＝45°， ∴∠XDL＝90°﹣∠TXH＝45°， ∴∠HZD＝90°﹣∠XDL＝45°， ∴DH＝HZ， 设HZ＝DH＝m，则XH＝2DH＝2m，DZDH， ∵∠XDL＝45°，∠ADC＝90°， ∴∠CDX+∠ADZ＝45°， ∵∠CDX+∠DCX＝∠DXL＝45°， ∴∠ADZ＝∠DCX， ∵∠DXC＝∠AZD＝135°，AD＝CD， ∴△ADZ≌△CDX（AAS）， ∴CX＝DZ， ∵DX＝DH+XH＝m+2m＝3m， ∴DL＝XL， ∴CL＝CX+XL， ∴tan∠DCL， ∴DY， ∴Y（2，0）， 设直线CT的解析式为：y＝kx+b， ∴， ∴， ∴y． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$