清单02 一次方程组（考点清单，知识导图+14个考点清单&题型解读）七年级数学下学期新教材华东师大版

清单02 一次方程组（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 清单02 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 清单03 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 清单04 三元一次方程组的解及应用 1.定义：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。常用的未知数有x、y、Z。 2.三元一次方程组的解题思路：主要是应用消元法。 【考点题型一】二元一次方程(组)的定义（） 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若 是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为 （   ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-1】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下列选项是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-4】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）若是方程的解，则的值是（　　） A． B．1 C． D．3 【变式2-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）二元一次方程的正整数解共有（   ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【考点题型三】已知二元一次方程组的解求参数（） 【例3】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）方程组的解为，则“■”“★”表示的数分别是（   ） A．6，4 B．5，1 C．4，1 D．3，2 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）方程组的解为，则被遮盖和的两个数分别为（　　） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 【变式3-2】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的二元一次方程组的解为，则的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【变式3-3】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【考点题型四】解二元一次方程组（） 【例4】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）解下列方程组： (1)； (2)； 【变式4-1】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【变式4-2】（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【变式4-3】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【考点题型五】二元一次方程组的特殊解法（） 【例5】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）若方程组的解为则方程组的解是 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【考点题型六】解二元一次方程组的应用（） 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得乙看错了方程②中的，解得，试求的值． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【变式6-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组与方程组的解相同，求的值． 【考点题型七】二元一次方程组的应用-方案问题（） 【例7】（24-25八年级上·四川成都·期末）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 【变式7-1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． (1)每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 【变式7-2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）某中学为使学生进一步领会“社会主义是拼出来、干出来、拿命换来的，不仅过去如此，新时代也是如此．没有老一辈人拼命地干，没有他们付出的鲜血乃至生命，就没有今天的幸福生活，我们要永远铭记他们”的精神，组织该校七年级学生去参观红旗渠纪念馆，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问： (1)这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种车，要使每名学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【变式7-3】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）新年来临，爸爸想送小明一个书包和一双运动鞋作为新年礼物，爸爸对小明说，我在甲商场，乙商场发现同款的运动鞋的单价相同，书包单价也相同，运动鞋和书包单价之和是452元，且运动鞋的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求运动鞋和书包单价各是多少元？ (2)恰好两家商场都在搞促销活动，乙商场所有商品打八折销售，甲商场全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他们只带了400元，如果只在一家购买两样物品，你能帮助他们选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择在哪一家购买更省钱？ 【考点题型八】二元一次方程的实际应用-分配问题（） 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【变式8-1】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【变式8-2】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 【变式8-3】（23-24七年级下·山东淄博·期中）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【考点题型九】二元一次方程的实际应用-销售经济问题（） 【例9】（24-25七年级下·全国·阶段练习）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示． 【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元． 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 【变式9-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） (1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 【变式9-2】（24-25七年级下·全国·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 【变式9-3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【考点题型十】二元一次方程的实际应用-几何问题（） 【例10】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，则每块墙砖的面积是（   ） A． B． C． D． 【变式10-2】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）用10块相同的长方形地砖拼成一块地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，设每块地砖的长为，宽为，求所拼成的地面的周长． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【考点题型十一】二元一次方程的实际应用-古代问题（） 【例11】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A． B． C． D． 【变式11-1】（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式11-2】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，设合伙人数为人，物品价格为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式11-3】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）《孙子算经》中有这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意如下：有若干个人乘车，若每3人共乘一辆，则剩余2辆车；若每2人共乘一辆，则有9人无车可乘，问人数和车数各是多少？若设车数为，人数为，则可列方程组： ． 【考点题型十二】解三元一次方程组（） 【例12】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) 【变式12-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【变式12-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【变式12-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）解三元一次方程组： 【考点题型十三】三元一次方程组的实际应用（） 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量/（t/辆） 6 9 10 汽车运费/（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案； (3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？ 【变式13-1】（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【变式13-2】（23-24六年级下·全国·单元测试）2007—08NBA季后赛，湖人在主场以100比92逆转马刺，晋级总决赛．湖人队的队员科比在这场比赛中23投19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍．问：科比投中了几个三分球？几个两分球？罚中了几个球（罚球时，投进一个球得一分）？ 【变式13-3】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单02 一次方程组（13个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 二元一次方程（组） 1.二元一次方程 （1）概念：含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫做二元一次方程． （2）二元一次方程的解：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解． 2.二元一次方程组 （1）概念：方程组中含有两个未知数，含有每个未知数的项得次数都是 1，并且一共有两个方程，像这样的方程组叫做二元一次方程组． （2）二元一次方程的解：二元一次方程组的两个方程 ，叫做二元一次方程组的解． 清单02 解二元一次方程组 解二元一次方程组的方法： （1）消元思想 二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，那么就把二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们可以先求出一个未知数，然后再求另一个未知数．像这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的思想，叫做消元思想． （2）代入消元法 把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解．这种方法叫做代入消元法，简称代入法． （3）加减消元法 当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，把这两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程．这种方法叫做加减消元法，简称加减法. 清单03 二元一次方程组的应用 二元一次方程组的应用的解题步骤 步骤 1．审题：透彻理解题意，弄清问题中的已知量和未知量，找出问题给出和涉及的相等关系； 2．设元（未知数）：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数； 3．列代数式和方程组：用含所设未知数的代数式表示其他未知数，根据题中给出的等量关系列出方程组，一般情况下，未知数个数与方程个数是相同的； 4．解方程组； 5．检验：检验方程的根是否符合题意； 6．作答：检验后作出符合题目要求的答案． 清单04 三元一次方程组的解及应用 1.定义：如果方程组中含有三个未知数，每个方程中含有未知数的项的次数都是一，并且方程组中一共有两个或两个以上的方程，这样的方程组叫做三元一次方程组。常用的未知数有x、y、Z。 2.三元一次方程组的解题思路：主要是应用消元法。 【考点题型一】二元一次方程(组)的定义（） 【例1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）若 是关于x，y的二元一次方程，则m，n的值为 （   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的定义，得到关于m、n的方程是解题的关键； 二元一次方程中两个未知数的次数都是1，据此可得； 接下来求解方程，即可得到m、n的值． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 故选：A． 【变式1-1】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，把含有相同未知数的两个二元一次方程联立在一起所组成的方程组叫作二元一次方程组．根据二元一次方程组的定义逐个判断即可得出结果． 【详解】解：A、不是整式方程，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、是二元一次方程组，故本选项符合题意． C、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． D、含未知数项的次数是2次，不是二元一次方程组，故本选项不符合题意． 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）下列选项是二元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，只含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫做二元一次方程，据此可得答案． 【详解】解：A、未知数的次数不都是1，不是二元一次方程，不符合题意； B、是二元一次方程，符合题意； C、不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D、不是方程，不是二元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（24-25八年级上·广东佛山·期末）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查二元一次方程组的概念，熟练掌握二元一次方程满足的条件是解题关键． 二元一次方程满足的条件：为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1；两个二元一次方程组合成二元一次方程组．根据二元一次方程的形式及其特点逐一判断即可． 【详解】解：A、最高次项的次数是2，故A不符合题意； B、第二个方程不是整式方程，故B不符合题意； C、为整式方程；含有2个未知数；最高次项的次数是1，故C符合题意； D、整个方程组含有3个未知数，故D不符合题意． 故选：C． 【变式1-4】（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）下列是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义即可判断，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：A、符合二元一次方程的定义，故选项符合题意； B、含有未知数的项的次数是，不符合二元一次方程的定义，故选项不符合题意； C、只含有一个未知数，不符合二元一次方程的定义，故选项不符合题意； D、不整式方程，不符合二元一次方程的定义，故选项不符合题意； 故选：A． 【考点题型二】二元一次方程的解（） 【例2】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）若是方程的解，则的值是（　　） A． B．1 C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，把代入，进行求解即可． 【详解】解：把代入，得：， ∴； 故选D． 【变式2-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）若，是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程的解，将代入方程中得到关于的一元一次方程，求解即可．解题的关键是掌握二元一次方程解的定义：使方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， ∴， 解得：， 即的值是． 故选：D． 【变式2-2】（24-25七年级下·山东聊城·阶段练习）二元一次方程的正整数解共有（   ）组． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程的解．由，可得出，结合，均为正整数，即可求出二元一次方程的正整数解． 【详解】解：， ． 又，均为正整数， 或， 二元一次方程的正整数解共有2组． 故选：A． 【考点题型三】已知二元一次方程组的解求参数（） 【例3】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）方程组的解为，则“■”“★”表示的数分别是（   ） A．6，4 B．5，1 C．4，1 D．3，2 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 将代入方程组即可得到以“■”“★”为求知数的方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：将代入方程组得：， 解得：，． 故选：B． 【变式3-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）方程组的解为，则被遮盖和的两个数分别为（　　） A．9， B．9，1 C．7， D．5，1 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的概念，熟练掌握概念是解题的关键． 把代入求出值，将，代入即可得出答案． 【详解】解：由题意得： 将代入得：， 将，代入得：， ∴，． 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级下·浙江金华·阶段练习）已知关于的二元一次方程组的解为，则的值是（　　） A． B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，能得出关于、的方程组是解此题的关键．把代入方程组，得出关于、的方程组，然后求出即可． 【详解】解：把代入方程组得： ， 得：， 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则的值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】此题考查了二元一次方程组的解和求代数式的值．把二元一次方程组的解代入方程组求出，即可求出代数式的值． 【详解】解：把代入得到， ∴， 故选：D 【考点题型四】解二元一次方程组（） 【例4】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）解下列方程组： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组． （1）利用代入消元法解方程组即可． （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 把①代入②得：， 解得：， 把代入①得： 解得：， 则方程组的解为： （2）解： 由①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为： 【变式4-1】（24-25七年级下·吉林·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，根据方程的特点选取适当消元方法是解题的关键． （1）利用代入消元法，将方程①代入②，得，解得的值，进而求得的值即可； （2）利用加减消元法，将方程，得，然后将代入②，得，求得x的值即可． 【详解】（1）解： ， 将①代入②，得， 解得， 将代入①，得， ∴原方程组的解为； （2）解：， ，得， 将代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式4-2】（24-25七年级下·甘肃天水·阶段练习）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键； （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 由得：， 解得：， 将代入②得：， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解为； 【变式4-3】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，，掌握加减消元法和代入消元法是解题关键． （1）利用加减消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解： 由得：， 将代入①得：， 解得：， 不等式组的解集为； （2）解：方程组整理得： ， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 不等式组的解集为； 【考点题型五】二元一次方程组的特殊解法（） 【例5】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想： 在解方程组 时，可采用一种“整体换元”的解法．具体过程如下：解：把，看成一个整体， 设，， 则原方程组可化为        解得 即           解得 (1)已知方程组 的解为 则方程组 的解为 (2)仿照上述“整体换元”的解法，解方程组 (3)若 则的值为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组，已知数字的值求代数式的值等． （1）根据题意列式，计算出来即可； （2）根据题意利用换元法解方程即可； （3）先求出的值，继而求出本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，解得：， 故答案为：； （2）解：， 设，， ∴， 得：，即：， 将代入①得：，即：， ∴，解得：； （3）解：， 得：，即：， 将代入②得：，即：， ∴， 故答案为：． 【变式5-1】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知是二元一次方程组的解，则关于的方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解：一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解，熟练掌握以上知识是解题的关键． 把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组，利用关于的二元一次方程组的解为，得到，从而求出即可． 【详解】∵关于的二元一次方程组的解为， ∴可以把关于的二元一次方程看作关于和的二元一次方程组， ∴， ∴， ∴关于的二元一次方程的解为． 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·山东菏泽·阶段练习）若方程组的解为则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解；先把与看作一个整体，则与是已知方程组的解，于是可得，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意得：方程组的解为， 解得：． 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·全国·单元测试）定义：在解方程组时，我们可以先①＋②，得，再②－①，得，最后重新组成方程组这种解二元一次方程组的解法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)用轮换对称解法解方程组：解得______； (2)如图，小强和小红一起搭积木，小强所搭的“小塔”高度为，小红所搭的“小树”高度为，设每块型积木的高为，每块型积木的高为，求与的值（用轮换对称解法求解）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，理解材料提示方法是解题的关键． （1）根据材料提示方法计算即可； （2）根据题意列方程组，由材料提示方法计算即可． 【详解】（1）解：， ①②得，， ∴③， ①②得，④， ∴③④得，， 解得，， 把代入③得， 故答案为：； （2）解：根据题意，得 ①＋②，得， ． ②－①，得， 解方程组得． 【考点题型六】解二元一次方程组的应用（） 【例6】（2025七年级下·全国·专题练习）已知方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组同解问题，解二元一次方程组，理解题意掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． 根据题意得到方程组，解出x，y的值再代入可得出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：由题意可得： 解得 把代入，得 解得 ． 【变式6-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得乙看错了方程②中的，解得，试求的值． 【答案】0 【分析】本题考查的是二元一次方程组的错解问题，把代入②，把代入①，再进一步解题即可． 【详解】解：甲、乙两人同解方程组时， 甲看错了方程①中的，解得， 乙看错了方程②中的，解得， 把代入②，得，解得； 把代入①，得，解得， ． 【变式6-2】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（   ） A．1 B． C．0 D．2021 【答案】B 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，以及解二元一次方程组，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．联立不含a与b的方程组成方程组，求出方程组的解得到x与y的值，进而求出a与b的值，再代入计算即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 则有， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式6-3】（2025七年级下·全国·专题练习）已知关于的方程组与方程组的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是解二元一次方程组以及同解问题，掌握加减消元法是解题关键．先解方程组，再根据两个方程组同解，得到关于a、b的方程组，求解即可计算求值． 【详解】解： ，得 解得 把代入①，得 解得 把代入得 ，得，即 把代入③，得 解得 ． 【考点题型七】二元一次方程组的应用-方案问题（） 【例7】（24-25八年级上·四川成都·期末）“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高．某学校开展植树护林活动，据了解3棵A种树木、4棵B种树木的售价共计155元；4棵A种树木、3棵B种树木的售价共计160元． (1)求A、B两种树木每棵的售价分别为多少元？ (2)若该学校计划用400元购进以上两种树木（两种树木均要购买，且400元全部用完），问该学校有哪几种购买方案，请通过计算列举出来． 【答案】(1)A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元 (2)共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵 【分析】本题考查了二元一次方程整数解和二元一次方程组的应用，解题关键是根据题意设未知数，列出方程或方程组； （1）设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元，根据题意列出方程组求解即可； （2）设A，B两种树木分别购进a棵和b棵，列出方程，再求正整数解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种树木每棵的售价分别为x元，y元， 根据题意，得， 解得； 答：A，B两种树木每棵的售价分别为25元，20元． （2）解：设A，B两种树木分别购进a棵和b棵， 根据题意，得，即， ∵两种树木均要购买，且a，b均为正整数， ∴或或， 答：共有以下3种购买方案： 方案1：A种树木购进4棵，B种树木购进15棵； 方案2：A种树木购进8棵，B种树木购进10棵； 方案3：A种树木购进12棵，B种树木购进5棵． 【变式7-1】（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车进行销售．据了解，1辆A型汽车、2辆B型汽车的进价共计110万元；2辆A型汽车、3辆B型汽车的进价共计175万元． (1)每辆A，B两种型号的汽车进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用400万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），则该公司有哪几套方案？ 【答案】(1)每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元； (2)共两种购买方案，方案如下．方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆；方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆． 【分析】本题考查二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程（组）． （1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元，根据题意列二元一次方程组，即可求解； （2）设购买A型号的汽车m辆，B种型号的汽车n辆，根据总价为400万元列出二元一次方程，进而分析得出购买方案． 【详解】（1）设每辆型汽车的进价为万元，每辆型汽车的进价为万元． 依题意，得 解得 答：每辆型汽车的进价为20万元，每辆型汽车的进价为45万元； （2）设购进型汽车辆，型汽车辆． 依题意，得，所以． 因为，均为正整数， 所以或 所以共两种购买方案，方案如下． 方案一：购进型汽车11辆，型汽车4辆． 方案二：购进型汽车2辆，型汽车8辆． 【变式7-2】（24-25七年级上·湖南娄底·期末）某中学为使学生进一步领会“社会主义是拼出来、干出来、拿命换来的，不仅过去如此，新时代也是如此．没有老一辈人拼命地干，没有他们付出的鲜血乃至生命，就没有今天的幸福生活，我们要永远铭记他们”的精神，组织该校七年级学生去参观红旗渠纪念馆，原计划租用45座客车若干辆，但会有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出一辆车，且其余客车恰好坐满．已知45座客车租金为每辆220元，60座客车租金为每辆300元，问： (1)这批学生的人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ (2)若租用同一种车，要使每名学生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】(1)这批学生的人数是240人，原计划租用5辆45座客车 (2)应该租用60座客车4辆才合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，设这批学生的人数是x人，原计划租用y辆45座客车，列式计算，即可作答． （2）分别算出租用60座客车4辆的租金以及租用45座客车6辆的租金，再比较，即可作答． 【详解】（1）解：设这批学生的人数是x人，原计划租用y辆45座客车， 由题意得：， 解得：， 答：这批学生的人数是240人，原计划租用5辆45座客车； （2）解：由（1）可知，若租用同一种车，要使每名学生都有座位，租用60座客车4辆或租用45座客车6辆， ①租用60座客车4辆，租金为：（元）； ②租用45座客车6辆，租金为：（元）； ∵， ∴应该租用60座客车4辆才合算． 【变式7-3】（24-25七年级下·山东东营·阶段练习）新年来临，爸爸想送小明一个书包和一双运动鞋作为新年礼物，爸爸对小明说，我在甲商场，乙商场发现同款的运动鞋的单价相同，书包单价也相同，运动鞋和书包单价之和是452元，且运动鞋的单价比书包单价的4倍少8元． (1)求运动鞋和书包单价各是多少元？ (2)恰好两家商场都在搞促销活动，乙商场所有商品打八折销售，甲商场全场购物满100元返购物券30元（不足100元不返券，购物券全场通用），但他们只带了400元，如果只在一家购买两样物品，你能帮助他们选择在哪一家购买吗？若两家都可以选择在哪一家购买更省钱？ 【答案】(1)运动鞋的单价为360元，书包的单价为92元 (2)可以选择在甲商场或乙商场购买；两家都可以选择，在乙商场购买更省钱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，理解题意找准等量关系列出方程组是解题的关键． （1）设运动鞋的单价为元，书包的单价为元，根据题意列出方程组，即可求解； （2）根据题意，分别求出在甲商场和乙商场购买两样物品的金额，比较两种计算结果和400元三者的大小即可得出结论． 【详解】（1）解：设运动鞋的单价为元，书包的单价为元， 由题意得，， 解得：， 答：运动鞋的单价为360元，书包的单价为92元． （2）解：若在乙商场购买，则花费（元）， 若在甲商场购买，先购买运动鞋花费360元，返90元购物券，再加2元买书包， 则花费（元）， ， 如果只在一家购买两样物品，可以选择在甲商场或乙商场购买；两家都可以选择，在乙商场购买更省钱． 【考点题型八】二元一次方程的实际应用-分配问题（） 【例8】（24-25七年级下·全国·课后作业）（应用意识）用如图①所示的长方形和正方形纸板作为侧面和底面，做成如图②所示的竖式与横式两种无盖的长方体纸盒． (1)若有正方形纸板1460张，长方形纸板3440张，则当竖式纸盒、横式纸盒各加工多少个时，恰好能将这些纸板全部用完？ (2)若一共使用正方形纸板80张，长方形纸板a张，全部加工成上述两种纸盒，且，请求出a所有可能的值． 【答案】(1)当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完 (2)所有可能的值为155，160，165 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程或方程组求解． （1）设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板1460张、长方形纸板3440张，列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个，根据两种纸盒每个各需长方形和正方形纸板的张数结合共用正方形纸板80张、长方形纸板a张，列出m、n的二元一次方程组，解之即可用含a的代数式表示出n值，再根据n、a为正整数结合求出a的值，即可解决问题． 【详解】（1）解：设竖式纸盒加工x个，横式纸盒加工y个．根据题意，得： ， 解得， 故当竖式纸盒加工500个，横式纸盒加工480个时，恰好能将这些纸板全部用完． （2）解：设加工竖式纸盒m个，加工横式纸盒n个．根据题意，得： ， ，得 ， 均为正整数， 为5的倍数． 又， 所有可能的值为155，160，165． 【变式8-1】（24-25八年级上·陕西榆林·阶段练习）某网店用24000元的资金购进、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元． (1)网店本次购进、两种玩具的数量分别是多少？（请用二元一次方程组解答） (2)该网店的种玩具在“双十二”期间销售火爆，商家决定向厂家再次追加种玩具，厂家接到定单后，马上安排车间的68名工人加班生产种玩具．一个种玩具是由2个甲种配件和3个乙种配件组成的，每名工人每天可生产甲种配件16个或乙种配件10个，那么需要分别安排多少名工人加工甲、乙两种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套？（请用二元一次方程组解答） 【答案】(1)购进种玩具300件，购进种玩具400件 (2)需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件，因为、两种玩具共700件，准备在“双十二”期间销售，、两种玩具的进价分别为60元、15元，所以列式然后解出，即可作答． （2）设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人，依题意，列式然后解出，即可作答． 【详解】（1）解：设购进种玩具的数量为件，购进种玩具的数量是件， 根据题意得： 解得， ∴购进种玩具300件，购进种玩具400件． （2）解：设加工甲部件的有人，加工乙部件的有人， 根据题意得： 解得， 答：需要安排20名工人加工甲种配件，48名工人加工乙种配件，才能使每天加工的甲、乙两种配件刚好配套． 【变式8-2】（24-25七年级上·安徽淮北·期末）我校学生组织冬游活动，交通工具有两座车和五座车两种，两座车每人每次18元，五座车每人每次8元，共100名学生参与了活动，乘坐了两种车若干，且每辆车正好坐满． (1)若一共花去车费1300元，则两种车各租用了多少辆？（列二元一次方程组解决问题） (2)因场地停车位置有限，只能停靠24辆车．故新提供了大巴车可选择，每辆大巴车可乘坐7人．若每种车型必须都租用，请你设计符合要求的租车方案． (3)若每辆大巴车的租金为30元一次，请你通过计算，找出租金最低的租车方案． 【答案】(1)租用两座车共25辆，租用五座车共10辆 (2)租车方案有3种：方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆．方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆．方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． (3)方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、二元一次方程组的应用、有理数混合运算等知识点，正确列出方程组和二元一次方程成为解题的关键． （1）设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人，根据共100名学生参与了活动，一共花去车费1300元列方程组求解即可； （2）设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆，再根据共100名学生参与了活动，据此列二元一次方程求解即可； （3）分别求出三种方案的费用，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：设租用的两座车共能坐学生a人，租用的五座车共能坐学生b人， 根据题意；， 得：，解得：， 将代入①得：，解得：， 则（辆），（辆）． 答：租用两座车共25辆，租用五座车共10辆． （2）解：设租用两座车x辆，五座车y辆，则租用大巴车辆， 根据题意：，即， 为非负整数，且，解得：或或， 则大巴车租用的数量依次为：， 则租车方案有3种： 方案一：乘2人的车8辆，乘5人的车14辆，乘7人的车2辆． 方案二：乘2人的车10辆，乘5人的车9辆，乘7人的车5辆． 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆． （3）解：方案一：租金为（元）； 方案二：租金为（元）； 方案三：租金为（元）； ， 方案三：乘2人的车12辆，乘5人的车4辆，乘7人的车8辆，租金最低为832元． 【变式8-3】（23-24七年级下·山东淄博·期中）某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天元，两人间每人每天元，一个人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费元，两种客房各租住了多少间？ 【答案】三人间客房租了间，二人间客房租了间 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设三人间租住了间，两人间租住了间，根据人的旅游团共花费元的住宿费，即可得出关于，的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：设三人间客房有间，二人间客房有间，根据题意， 得： 解得：， 答：三人间客房租了间，二人间客房租了间． 【考点题型九】二元一次方程的实际应用-销售经济问题（） 【例9】（24-25七年级下·全国·阶段练习）【新情境】【背景】为了激励学习好的学生，班主任去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品．如图所示． 【素材1】若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元． 【素材2】为了满足市场的需求，奶茶店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料一份或者不加料． 【任务1】求A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ 【任务2】在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，请问有几种购买方案？ 【任务3】根据【素材2】小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，其中A款不加料的杯数是总杯数的．求B款加料的奶茶买了多少杯？ 【答案】任务1：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元；任务2：有3种购买方案；任务3：B款加料的奶茶买了11杯 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用．解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程；（3）找准等量关系，正确列出二元一次方程． 任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据若买3杯A款奶茶，2杯B款奶茶，共需54元；若买2杯A款奶茶，3杯B款奶茶，共需56元．列出二元一次方程组，解方程组即可； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据在不加料的情况下，购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），刚好花220元，列出二元一次方程，求出正整数解即可； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯，则B款加料的奶茶买了杯，根据小华恰好用了260元购买A、B两款奶茶，列出二元一次方程，求出正整数解即可． 【详解】解：任务1，设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； 任务2，设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，由题意得： ， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴有3种购买方案； 任务3：设小华购买的奶茶中，A款不加料的奶茶买了a杯，A款加料的奶茶和B款不加料的奶茶共买了b杯， 则B款加料的奶茶买了杯，即杯， 由题意得：， 整理得：， ∵a、b、均为正整数， ∴， ∴； 答：B款加料的奶茶买了11杯． 【变式9-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）某服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元（毛利润售价-进价），这两种服装的进价，标价如表所示． 类型价格 A B 进价（元／件） 标价（元／件） (1)请利用二元一次方程组求A，B两种新式服装各购进的件数； (2)如果A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，那么这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入多少元？ 【答案】(1)A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件 (2)服装店比按标价出售少收入1210元 【分析】此题考查了二元一次方程组和有理数的混合运算的应用． （1）设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件，服装店用元购进两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润元，据此列出方程组，解方程组即可得到答案； （2）A种服装按标价的9折出售，B种服装按标价的8折出售，据此列式计算即可得到答案． 【详解】（1）解：设A种新式服装购进件，B种新式服装购进件， 根据题意，得 解得 答：A种新式服装购进25件，B种新式服装购进30件． （2）（元）． 答：这批服装全部售完后，服装店比按标价出售少收入1210元． 【变式9-2】（24-25七年级下·全国·期末）请根据图中信息，回答下列问题： (1)一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？ (2)甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯，若某人想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商场购买更合算？并说明理由． 【答案】(1)一个暖瓶70元，一个水杯30元 (2)到乙商场购买更合算 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）分别求出到两商城购买所需费用． （1）设一个暖瓶x元，一个水杯y元，根据“购买一个暖瓶、一个水杯共需100元，购买两个暖瓶、三个水杯共需230元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）根据两商城的促销方案，分别求出到两商城购买所需费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个暖瓶元，一个水杯元，根据题意， 得 解得 答：一个暖瓶70元，一个水杯30元． （2）解：若到甲商场购买，则所需的钱数为（元）； 若到乙商场购买，则所需的钱数为（元）． ， 到乙商场购买更合算． 【变式9-3】（24-25八年级上·河南郑州·期末）年月日，神舟十九号载人飞船成功发射，三名航天员被送入中国天宫空间站，开启了中国航天事业的新篇章．二七区某中学为了培养学生科技创新意识，开设了“蓝天梦想家”航模兴趣社团，计划购进A、B两种航模．据了解购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元． (1)求A、B两种航模每件分别多少元？ (2)张老师欲同时购买两种航模，在采购时恰逢商家推出优惠活动，两种航模均打九折出售，这次采购预计共花费元，请问张老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每件A型航模元，每件B型航模元 (2)张老师共有2种购买方案：方案1：购买4件A型航模，1件B型航模；方案2：购买1件A型航模，3件B型航模 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组（或二元一次方程）是解题的关键． （1）设每件A型航模x元，每件B型航模y元，根据“购买1件A型航模和2件B型航模需元；购买2件A型航模和3件B型航模需元．”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m件A型航模，n件B型航模，利用总价单价数量，可列出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出各购买方案． 【详解】（1）解：设每件A型航模x元，每件B型航模y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件A型航模元，每件B型航模元． （2）解：设购买m件A型航模，n件B型航模， 根据题意得：， ． 又∵m，n均为正整数， 或． ∴张老师共有2种购买方案， 方案1：购买4件A型航模，1件B型航模； 方案2：购买1件A型航模，3件B型航模． 【考点题型十】二元一次方程的实际应用-几何问题（） 【例10】（24-25七年级下·浙江·阶段练习）在长方形中，放入六个形状、大小完全相同的小长方形，所标尺寸如图所示． (1)求小长方形的长和宽． (2)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)小长方形的长为，宽为 (2) 【分析】（）设小长方形的长为，宽为，观察图形即可列出关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值， （）根据阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积，即可求出结论． 此题考查了二元一次方程组的应用，观察图形列出关于、的二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：设小长方形的长为，宽为， 根据图形可知：， 解得：， 答：小长方形的长为，宽为； （2）解：由（）得：小长方形的长为，宽为； ∴ ∴长方形的宽为， 则阴影部分的面积大长方形的面积个小长方形的面积， ， ， 答：阴影部分的面积为． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图是由同一种长方形的墙砖粘贴的部分墙面，其中3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低，则每块墙砖的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键．设每块墙砖的长为，宽为，根据“3块横放的墙砖比1块竖放的墙砖高，2块横放的墙砖比2块竖放的墙砖低”，可得关于、的二元一次方程组，解之即可得出、的值，再根据长方形的面积公式即可求出每块墙砖的面积． 【详解】解：设每块墙砖的长为，宽为， 根据题意得：， 解得：， ． 故选：B． 【变式10-2】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）用10块相同的长方形地砖拼成一块地面，地砖的拼放方式及相关数据如图所示，设每块地砖的长为，宽为，求所拼成的地面的周长． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，通过理解题意和观察图示可知本题存在两个等量关系是解题的关键．根据图中关系可得，解方程组得出x、y的值，然在求出周长即可． 【详解】解：设每块地砖的长为，宽为，由题意得： ， 解得：， ∴每块地砖的长与宽分别为和， ∴所拼成的地面的周长． 【变式10-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）如图①，用A，B两种不同的积木搭成如图②所示的立体图形，则当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是多少厘米？ 【答案】当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A种积木的高度是，种积木的高度是，根据图②所示的立体图形列出方程组并解答，再由可得答案． 【详解】解：设A种积木的高度是，种积木的高度是． 根据题意，得， 解得， ． 故当10个A种积木整齐地搭在B种积木上时，高度是． 【考点题型十一】二元一次方程的实际应用-古代问题（） 【例11】（24-25七年级下·福建泉州·阶段练习）在《九章算术》的“方程”一章里，一次方程组是由算筹布置而成，如图，图中各行从左到右列出的算筹数分别表示未知数，的系数与相应的常数，图的算筹图用我们现在的所熟悉的方程组形式表达就是，则图所示的算筹图所表示的方程组为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理清题意，正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据图的算筹图知第一行为第一个方程，前两个数分别为、的系数，第三个数为方程右侧常数的十位，第四个数为方程右侧常数的个位，然后根据图所示的算筹图列出二元一次方程组即可． 【详解】解：图所示的算筹图所表示的方程组为， 故选：C． 【变式11-1】（23-24七年级下·重庆酉阳·期末）《算法统宗》是一本通俗实用的数学书，也是将数字入诗的代表作，这本书由明代程大位花了近20年完成，程大位还有一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名脑厚酒醇．醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多醨酒几多醇？”这首诗是说，好酒1瓶，可以醉倒3位客人；薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒，试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？设有好酒瓶，薄酒瓶，依题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键． 直接利用“好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒一位客人，33位客人醉倒了，他们总共饮下19瓶酒”，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意，可列方程组为： ， 故选：D． 【变式11-2】（23-24七年级下·湖南娄底·期中）《九章算术》是中国古代第一部数学专著，它对我国古代后世的数学家产生了深远的影响，该书中记载了一个问题，原文如下：“今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”大意是：有几个人一起去买一件物品，每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，求有几个人及该物品的价格，设合伙人数为人，物品价格为元，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系，正确列式是关键． 根据每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，物价保持不变，由此列式即可求解． 【详解】解：每人出8元，多3元；每人出7元，少4元，设合伙人数为人，物品价格为元，由物价保持不变， ∴， 故选：． 【变式11-3】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）《孙子算经》中有这样一道题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？大意如下：有若干个人乘车，若每3人共乘一辆，则剩余2辆车；若每2人共乘一辆，则有9人无车可乘，问人数和车数各是多少？若设车数为，人数为，则可列方程组： ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用关键题意正确列出方程组是解题的关键． 根据题意列出方程组即可． 【详解】解：根据题意列方程组得， 故答案为：． 【考点题型十二】解三元一次方程组（） 【例12】（2025七年级下·全国·专题练习）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和解三元一次方程组； （1）采用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）把三元转换成二元，再利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：，得，解得． 把代入①， 得， 解得． 故原方程组的解为 （2）解：，得④ ，得⑤ 联立④⑤，得 解得 把代入①，得， 解得． 故原方程组的解为 【变式12-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组及三元一次方程组，熟练掌握解方程组的方法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用代入消元法及加减消元法解此方程组即可． 【详解】（1）解： ，得．④ ，得，解得． 把代入③，得，解得． 把代入①，得． 故原方程组的解是； （2）解： 把①代入②，得， 即．④ ，得，解得． 把代入①，得． 把代入③，得，解得． 故原方程组的解为． 【变式12-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列三元一次方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三元一次方程组，掌握加减消元法是关键． 利用加减消元法解方程即可得答案． 【详解】（1）解： ③-①，得④， ②+④，得， ， 把代入④，得， ， 把代入①，得． 原方程组的解为． （2）解：原方程组可化为 ②-③，得④， ④-①，得， ， 把代入④，得， 把代入③，得． 原方程组的解为． 【变式12-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）解三元一次方程组： 【答案】 【分析】本题考查三元一次方程组，掌握加减消元法是关键．利用加减消元法解方程即可得答案． 【详解】解： ③-①，得④， ②+④，得， 解得． 把代入④，得， 解得． 把代入①，得 原方程组的解为． 【考点题型十三】三元一次方程组的实际应用（） 【例13】（24-25七年级下·全国·课后作业）一方有难八方支援，某市政府筹集了抗洪必需物资打算运往灾区．现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如下表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量/（t/辆） 6 9 10 汽车运费/（元/辆） 500 600 600 (1)若全部物资都用甲、乙两种车型来运送，需运费10000元，分别需要甲、乙两种车型各几辆？ (2)为了节约运费，该市政府可以调用甲、乙、丙三种车型参与运送，已知它们的总辆数为16，要求三种车型同时参与运货，请用列方程组的方法求出满足条件的所有运送方案； (3)在（2）的基础上，哪种方案的运费最省？最省的运费是多少元？ 【答案】(1)需要甲种车型8辆、乙种车型10辆 (2)共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆 (3)甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元 【分析】本题考查二元一次方程组和三元一次方程组的实际应用．找准等量关系，正确的列出方程组是解题的关键． （1）找准等量关系：甲运物资乙运物资，甲运费乙运费，列二元一次方程组求解即可． （2）找准等量关系：甲运物资乙运物资丙运物资，甲车数量乙车数量丙车数量辆，列三元一次方程组然后消元变成二元一次方程组，注意结合实际情况，甲乙丙车辆数均为非负整数，列出可行的方案． （3）分别计算各个方案需要的运费，对比得出最省运费． 【详解】（1）解：设需要甲种车型a辆，需要乙种车型b辆． 根据题意，得 解得 故需要甲种车型8辆、乙种车型10辆． （2）解：设三种车型同时参与时，需要甲种车型x辆，乙种车型y辆，丙种车型z辆． 根据题意，得 ，得，即． 均是非负整数，且三种车型共16辆，要求同时参与运货， ，且， 的取值可以为3，4，5， 解得或或 ∴共有三种方案：①甲种车型3辆，乙种车型10辆，丙种车型3辆；②甲种车型4辆，乙种车型6辆，丙种车型6辆；③甲种车型5辆，乙种车型2辆，丙种车型9辆． （3）解：三种方案的运费分别是①（元）； ②（元）； ③（元）． ， ∴第三种方案即甲种车型5辆、乙种车型2辆、丙种车型9辆时运费最省，最省的运费是9100元． 【变式13-1】（24-25八年级上·山东济南·期中）【阅读理解】 在求代数式的值时，有些题目可以用整体求值的方法，化难为易． 例：已知，求的值． 解：得：③ 得：，所以，的值为． 【类比迁移】（1）已知求的值； 【实际应用】（2）某班级班委准备把本学期卖废品的钱给同学们买期中奖品，根据商店的价格，若购买本笔记本、支签子笔、支记号笔需要元；若购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要元；本班共位同学，则购买本笔记本、支签字笔、支记号笔需要多少钱？ 【答案】（1）6；（2）450元． 【分析】此题考查三元一次方程组的应用以及解三元一次方程组，代数式求值，弄清题意是解本题的关键，寻找代数式之间的倍数关系是解本题的关键． （1）方程组两方程左右两边相加，即可求出原式的值； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元，根据题意列出方程组，求出按照原价1本笔记本、1支签字笔、1支记号笔花费总数，即可求出购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要的钱． 【详解】解：（1）依题意，， ∴得：， ∴； （2）设笔记本、签字笔、记号笔的单价分别为元，元，元， 根据题意得：， ∴得， ∴（元）， ∴购买45本笔记本、45支签字笔、45支记号笔需要450元． 【变式13-2】（23-24六年级下·全国·单元测试）2007—08NBA季后赛，湖人在主场以100比92逆转马刺，晋级总决赛．湖人队的队员科比在这场比赛中23投19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍．问：科比投中了几个三分球？几个两分球？罚中了几个球（罚球时，投进一个球得一分）？ 【答案】科比投中了5个三分球，10个两分球，罚中了4个球 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，正确理解题意，找到等量关系是关键；设科比投中个三分球，个两分球，罚中了个球，根据关系式：19中（包括罚球），共夺得39分，他投进两分球的个数是投进三分球个数的2倍，列出方程组即可求解． 【详解】解：设科比投中个三分球，个两分球，罚中了个球．根据题意，得 ， 解这个方程组，得； 答：科比投中了5个三分球，10个两分球，罚中了4个球． 【变式13-3】（23-24七年级下·江苏苏州·期末）阅读理解：已知实数，满足，，求和的值．仔细观察两个方程未知数的系数之间的关系，本题可以通过适当变形整体求得代数式的值，如由可得，由可得．这样的解题思想就是通常所说的“整体思想”．利用“整体思想”，解决下列问题： (1)已知二元一次方程组，则________，_______； (2)买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，求购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需多少元？ (3)对于实数，，定义新运算：，其中，，是常数，等式右边是实数运算．已知，，求的值． 【答案】(1)，． (2)购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． (3)该值为． 【分析】本题考查的知识点是加减消元法解二元一次方程组，加减消元法解三元一次方程组，解题关键是熟练掌握加减消元法． （1）根据题意列出二元一次方程组后利用加减消元法即可得解； （2）设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元，根据题意列出三元一次方程组，再用加减消元法求解； （3）根据题意列出三元一次方程组，用加减消元法即可求解． 【详解】（1）解：依题得， 则可得即， 可得即． 故答案为：，． （2）解：设铅笔为元，橡皮为元，日记本为元， 则依题得， 可得， 即， ． 答：购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． （3）解：依题得，由 可得， 即， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$