清单01 一元一次方程（考点清单，知识导图+14个考点清单&题型解读）七年级数学下学期新教材华东师大版

清单01 一元一次方程（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 2. 含参一元一次方程 （1）次数含参：主要考察一元一次方程定义 （2）常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 （3）解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 清单02 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 清单03 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1.去分母：两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 清单03 一元一次方程的应用 解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下： ①审题；②设未知数:设未知数(通常为x)，并注明单位；③列方程；④解方程；⑤检验答案：将解代入原方程或实际问题，验证是否合理；⑥.写答句:完整写出答案，并注明单位。 【考点题型一】识别方程和一元一次方程（） 【例1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查方程的定义，即含有未知数的等式叫做方程，既要注意含有未知数，又不要忽视是等式这个条件．含有未知数的等式叫做方程，根据此定义可判断出选项的正确性． 【详解】解：根据方程的特点：（1）含有未知数；（2）是等式， 由此可得出B选项不含有未知数．不是方程， 故选：B． 【例1-2】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据一元一次方程的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解∶A、是一元一次方程，故A符合题意； B、是分式方程，不是一元一次方程，故B不符合题意； C、是二元一次方程，故C不符合题意；z=0， D、是一元二次方程，故D不符合题意； 故选∶A． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列各式：①；②；③；④ ；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】此题考查方程的概念，解题关键在于掌握含有未知数的等式叫做方程． 由方程的概念可知，是方程则需满足以下条件：①方程中必须含有未知数；②是等式． 依据方程的概念对所给式子逐一进行判断，从而得出正确答案的． 【详解】解：①不含未知数，故①不是方程； ③④不是等式，故③④不是方程； ②⑤⑥⑦中含有未知数且是等式，符合方程的概念，故②⑤⑥⑦是方程． 综上所述，所给式子中是方程的有②⑤⑥⑦，共4个． 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：A、不是整式方程，不符合题意，选项错误； B、是一元一次方程，符合题意，选项正确； C、未知数的最高次数为2，不符合题意，选项错误； D、含有两个未知数，不符合题意，选项错误； 故选：B 【变式1-3】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的判断，根据一元一次方程的定义：“只含有一个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程，叫做一元一次方程”，进行判断即可． 【详解】解：A、有2个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； D、含有2次项，不是一元一次方程，不符合题意； 故选：B． 【考点题型二】根据一元一次方程的定义求参数（） 【例2】（24-25七年级上·四川成都·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解题的关键．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：由题意得，，， ，， 解得：． 故选：A． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的定义及其解法，根据定义可得且，再进一步求解即可. 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， 且， 且， ． 故选A． 【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）若是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0．根据一元一次方程的定义可得出关于k的方程，继而可求出k的值． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）已知方程是关于的一元一次方程，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得且，进而可求解，熟练掌握一元一次方程的定义：“只含有一个未知数（元），未知数的次数都是，等号两边都是整式，这样的方程叫做一元一次方程”是解题的关键． 【详解】解：依题意得：且， 解得：， 故答案为：1． 【考点题型三】方程的解（） 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解：满足一元一次方程的未知数的值叫一元一次方程的解． 把代入方程计算即可求出a的值． 【详解】解：把代入，得， 解得：， 故选B． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的适合方程． 将分别代入四个选项中求解判断即可． 【详解】解：A、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； B、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意； C、将代入， 得， 故选项正确，符合题意； D、将代入， 得， 故选项错误，不符合题意． 故选：C． 【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）已知是关于的方程的解，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解、代数式求值，掌握一元一次方程的解是解答本题的关键． 将代入，求出代数式的值即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， 故选：B． 【变式3-3】（24-25七年级上·广东惠州·期末）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查了解一元一次方程以及一元一次方程的解，先根据解的定义得出，然后解关于m的一元一次方程即可得出答案． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：， 故答案为：3． 【变式3-4】（24-25七年级上·福建漳州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【答案】11 【分析】此题考查了一元一次方程的解的含义以及解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的含义； 根据方程解的定义得到，然后代入代数式求解即可； 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴把代入， 即得， ∴； 故答案为： 【考点题型四】等式的性质（） 【例4】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】C 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键；因此此题可根据等式的性质1、2进行排除选项． 【详解】解：A、如果，那么，原变形错误，故不符合题意； B、如果，那么，原变形错误，故不符合题意； C、如果，那么，原变形正确，故符合题意； D、如果，且，那么，原变形错误，故不符合题意； 故选C． 【变式4-1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查等式的性质，熟练掌握等式的性质是解题的关键； 由题意可根据等式的性质进行排除选项． 【详解】解：A、若，则，原变形错误，故不符合题意； B、若，则或，原变形错误，故不符合题意； C、若，则，原变形错误，故不符合题意； D、若，则，该变形正确，符合题意； 故选：D． 【变式4-2】（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）下列方程中移项正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题考查了等式性质：①等式的两边同时加上或减去同一个数或整式，等式仍成立；②等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或整式，等式仍成立．根据等式的性质逐一进行判断即可得答案． 【详解】解：A．由的两边同时加上3得：，故该选项错误， B．由的两边同时减去得：，故该选项错误， C．由的两边同时乘以得：，故该选项错误， D．由的两边同时加上，得：，故该选项正确， 故选：D． 【变式4-3】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】A 【分析】本题主要考查了等式的性质：等式的左、右两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；等式的左、右两边同时乘上或除以同一个数（0除外），等式仍然成立．根据等式的基本性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、如果，那么，故本选项正确，符合题意； B、如果，那么，故本选项错误，不符合题意； C、如果，那么，故本选项错误，不符合题意； D、如果，那么，故本选项错误，不符合题意； 故选：A 【考点题型五】解一元一次方程（） 【例5】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题关键． （1）依次去括号、移项、合并同类项、系数化去1，即可解方程； （2）依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化去1，即可解方程． 【详解】（1）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：； （2）解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化1得：． 【变式5-1】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解； （2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1即可求解． 【详解】（1）解： 去括号，得．     移项，得．     合并同类项，得．     系数化为1，得． （2）解： 去分母，得．     去括号，得．     移项，得．     合并同类项，得．     系数化为1，得． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握解法步骤是解本题的关键； （1）先移项，再合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； （2）先去括号，移项，合并同类项，最后把未知数的系数化为1即可； 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并得：， 解得：； （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并得：， 解得：. 【变式5-3】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数的系数化为． （1）先移项合并同类项，把的系数化为即可； （2）按照解一元一次方程的步骤解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ． 【考点题型六】已知一元一次方程的解，求参数（） 【例6】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程与的解相同，则的值为（   ） A． B．30 C． D．7 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）是解题关键．先解方程可得，再将代入方程可得一个关于的方程，解方程即可得． 【详解】解：， ， ， ， 将代入方程得：， 解得， 故选：A． 【变式6-1】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若是方程的解，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次方程的解，熟练掌握方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键． 把代入方程计算即可求出的值． 【详解】解：把代入方程得：， 解得：， 故选：A． 【考点题型七】一元一次方程的错解问题（） 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境错解问题 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为，试求a的值，并正确地求出原方程的解． 【答案】， 【分析】本题主要考查了方程的解的定义，解一元一次方程等知识点，熟练掌握方程的解的定义以及解一元一次方程的一般步骤是解题的关键． 先按题意方式去分母，把代入计算，得到，再还原到原方程，然后按照解一元一次方程的一般步骤去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1解方程即可． 【详解】解：按方程左边的1没有乘以10，去分母，得：， 把代入，得：， 解得：， 把代入原方程，得：， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：． 【变式7-1】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·错解问题  佳佳同学在解关于的方程时，去分母过程中忘记给右边的乘以6，最终解得方程为，则的值为（   ） A． B． C．7 D．19 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，先根据题意得是方程的解，再将代入即可得出根的值． 【详解】解：去分母过程中忘记给右边的乘以6得到： ，则是该方程的解， ∴将代入中得， 故选：D． 【变式7-2】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小明在解关于的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则原方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 将代入得到，得到，继而得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：根据题意得， ， ， 解得， 故选：B． 【变式7-3】（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）某同学在解方程去分母时，忘记了把1乘以最小公倍数，结果求得的解为，现请你帮他求出正确的解． 【答案】 【分析】本题考查的是一元一次方程的解法，掌握“解一元一次方程的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数的系数化1”是解本题的关键. 按照该同学去分母的方法得到，把代入方程，再去括号，移项，合并同类项，把系数化“1”，即可得到；把代入原方程，再按照解一元一次方程的步骤解方程即可. 【详解】解：该同学去分母时方程右边的1忘记乘12， 则原方程变为， 此时方程的解为， 代入得   整理得： ， 解得； 将代入方程， 去分母：， 去括号：， 解得， 即原方程的解为. 【变式7-4】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小艺在解关于x的方程时，误将看作，得出方程的解为． (1)请帮小艺求出c的值． (2)请帮小艺求出方程正确的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查方程的解． （1）把代入错误方程中计算即可求出c的值； （2）把c的值代入方程，求出解即可． 【详解】（1）解：把代入看错的方程中， 得， 解得； （2）解：把代入原方程，得． 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 解得． 【考点题型八】一元一次方程的实际应用-销售问题（） 【例8】（24-25七年级下·河南·自主招生）十一期间，某商场打出促销广告，如下表所示．某人两次购物分别用了134元和466元． 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠方法 没有优惠 按九折优惠 其中的500元仍按照九折优惠，超过500元部分按八折优惠 (1)此人两次购物，若物品不打折，一共值多少钱？ (2)此人两次购物共节省多少钱？ (3)若将两次购物合起来，一次性购买相同的商品，则比分开购买节省多少钱？ 【答案】(1)654元 (2)54元 (3)26.8元 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，有理数的混合运算，正确理解题意是解题的关键． （1）先确定第一次支付134元，不享受折扣，再确定第二次支付466元属于第三档优惠，则设第二次购物实际价值x元，由题意得：，求解，即可得到一共值多少钱； （2）第一次支付134元，没有折扣，没节省，再计算第二次支付节省的即可； （3）分别计算两次购物合起来的费用和分开购买的费用即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴第一次不打折； ∵ ∴设第二次购物实际价值x元，由题意得：， 解得：， ∴一共值（元）， 答：两次购物，若物品不打折，一共值654元； （2）解：由题意得，（元）， 答：两次购物共节省54元； （3）解：（元）， 答：若将两次购物合起来，一次性购买相同的商品，则比分开购买节省26.8元． 【变式8-1】（24-25七年级上·山西晋中·期末）国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 【答案】(1)A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个 (2)七五折 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个，根据“A款和B款冰箱贴总成本为1380元”列方程求解即可； （2）设B款冰箱贴按标价的m折出售，根据“共获利252元”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款冰箱贴定制了x个，则B款冰箱贴定制了个． 根据题意，得 解这个方程，得 ． 答：A款冰箱贴定制了60个，B款冰箱贴定制了40个． （2）解：设B款冰箱贴按标价的m折出售． 根据题意，得 ． 解这个方程，得． 答：B款冰箱贴按标价的七五折出售． 【变式8-2】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）增强青少年体质，是关系国家和民族未来的大事，学校体育是教育的重要组成部分，是促进青少年健康成长、全面发展、终身发展的奠基性工程．某中学为了增强学生的体质，计划从商场购买一些篮球和足球，商场的价格为篮球每个80元，足球每个60元． (1)若第一次购买篮球的总费用和购买足球的总费用相同，且购买篮球和足球共70个，求第一次购买篮球和足球各多少个？ (2)第二次购买时，适逢商场促销，篮球打八折，足球每个便宜10元钱．经统计，该校购买篮球的个数比购买足球的个数少50个，共花费了8200元，则第二次购买篮球和足球各多少个？ 【答案】(1)篮球30个，足球40个 (2)足球个，篮球个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用， （1）设购进篮球个，则购进足球个，根据购买篮球的总费用和购买足球的总费用相同，列一元一次方程，即可求解； （2）设第二次买足球个，则买篮球个，根据“单价数量总价”以及优惠规则，列出一元一次方程，即可求解． 【详解】（1）解：设购进篮球个，则购进足球个， 由题意知：， 解得， （个）． 答：第一次购进篮球30个，购进足球40个． （2）解：设第二次购买足球个，则购买篮球个． ， 解得， （个）． 答：第二次购买足球个，购买篮球个． 【变式8-3】（24-25七年级上·山东菏泽·期末）2024年巴黎奥运会，跳水小将全红婵表现出色，收获了2枚金牌．某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米台跳水比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次购买了10个绿龟玩偶和10个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米台跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了a元，玩偶单价优惠了5a元．已知购买总费用不变，挂件的个数也不变，玩偶比挂件多了3个，请求出a的值． 【答案】(1)绿龟玩偶的单价为95元，则绿龟挂件的单价为45元 (2) 【分析】本题考查一元一次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关键是解题的关键． （1）设绿龟玩偶的单价为x元，则绿龟挂件的单价为元，根据“第一次购买了10个绿龟玩偶和10个绿龟挂件，共花费了1400元”即可列出方程，求解即可． （2）根据题意得到第二次购买时，玩偶的单价为元，挂件的单价为元，购买挂件10个，玩偶13个，根据“购买总费用不变”即可列出方程，求解即可． 【详解】（1）解：设绿龟玩偶的单价为x元，则绿龟挂件的单价为元，根据题意，得 ， 解得， ∴， 答：绿龟玩偶的单价为95元，则绿龟挂件的单价为45元． （2）解：根据题意，得 ， 解得． 【考点题型九】一元一次方程的实际应用-配套问题（） 【例9】（23-24七年级下·河南南阳·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【答案】(1)12；20 (2)100张裁剪A型， 30张裁剪B型；300个 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，列出算式计算即可； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，根据1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：12，20； （2）设用x张原材料板材裁剪A型纸板，则用张原材料板材裁剪B型纸板， 根据题意得：， 解得， ∴， 答：用100张原材料板材裁剪A型纸板，用30张原材料板材裁剪B型纸板，能做300个纸盒． 【变式9-1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）某工厂需要生产一批三人扭腰器(如图)，每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成；工厂共有工人42名，工厂每人每天可生产扶手架60个，或每人每天生产扭腰盘72个，若工厂每人每天只能生产同一种部件．问：应如何分配工人，才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘正好配套？    【答案】12名工人生产扶手架，30人生产扭腰盘 【分析】本题考查了一元一次方程的应用的知识．设每天有人生产扶手架，则每天有人生产扭腰盘，根据“每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成”列一元一次方程，即可求解． 【详解】解：设每天有人生产扶手架，则每天有人生产扭腰盘， 根据题意得：， 解得：， ， 答：每天有人生产扶手架，人生产扭腰盘才能使扶手架和扭腰盘配套． 【变式9-2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）为迎接新春蛇年的到来，重庆某工厂决定打造新春限定的2025蛇年布鲁克玩具盲盒系列．该工厂将这批新春限定盲盒分为A、B两种包装，工厂共有800名工人．请用一元一次方程解答下列问题： (1)若该工厂生产A种盲盒的人数比生产B种盲盒的人数的2倍少100人，分别求出该工厂生产A种盲盒和B种盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包，该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20种个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒，多少名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【答案】(1)生产B种盲盒的工人300人，则生产A种盲盒500人 (2)工厂应该安排200名工人生产A种盲盒，则600名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意，找到等量关系是解题的关键． （1）设生产B种盲盒的工人人，则生产A种盲盒人，根据工厂共有800名工人建立方程求解； （2）设工厂应该安排名工人生产A种盲盒，则名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套，由该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20种个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒，建立方程求解． 【详解】（1）解：设生产B种盲盒的工人人，则生产A种盲盒人， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：生产B种盲盒的工人300人，则生产A种盲盒500人； （2）解：设工厂应该安排名工人生产A种盲盒，则名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套， 由题意得：， 解得：， ∴， 答：工厂应该安排200名工人生产A种盲盒，600名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套． 【变式9-3】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工25人，有女工65人 (2)应该安排50人制作盒身，40人制作盒底，才能使每天生产的产品刚好配套 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，根据“男工人数女工人数”列出方程并解答； （2）设y人制作盒身，则人制作盒底，根据题意可得等量关系：盒身数量盒底数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工25人，有女工65人； （2）解：设y人制作盒身，则人制作盒底， 由题意得：， 解得：， 答：应该安排50人制作盒身，40人制作盒底，才能使每天生产的产品刚好配套． 【考点题型十】一元一次方程的实际应用-比赛积分问题（） 【例10】（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）某校举行足球比赛，共有8个球队参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场）．计分规则为胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分．已知甲队负4场，乙队平8场，甲队的胜场数比乙队胜场数的2倍少2场，且甲队比乙队多得2分． (1)每支球队比赛几场？ (2)请求出甲队和乙队各胜几场？ 【答案】(1)每支队伍比赛14场 (2)甲队胜6场乙队胜4场 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程． （1）根据题意列出算式进行计算即可； （2）设乙队胜场数场为x 场，则甲队胜场数为场，则甲队的平场数为，乙队的负场数为场，根据甲队比乙队多得2分，列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：“任意两队之间比赛两场”可以理解为每支队伍需要与其他队伍分别比赛两场，由题意（场）． 答：每支队伍比赛14场． （2）解：设乙队胜场数场为x  则甲队胜场数为：， 所以甲队的平场数为， 乙队的负场数为， 由题意列方程， 解得， 则， 答：甲队胜6场乙队胜4场． 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某学校组织安全知识竞赛，共设20道分值相同的选择题，每题必答，下表中记录了5位参赛选手的竞赛得分情况． 参赛选手 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 … … … 10 10 40 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)用方程知识解答：若选手得64分，则他答对了几道题？ (3)参赛选手说他得了78分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5；1 (2)14道 (3)不可能，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）由选手可计算出答对一题的得分，由选手可计算出答错一题的扣分； （2）设他答对了道题，则答错道题，根据题意列出方程，解方程即可得到答案； （3）设答对道题，则答错道题，根据题意列出方程，求解并进行判断即可． 【详解】（1）解：根据表格中数据分析可得： 答对一题的得分是：（分）， 答错一题的扣分是：（分）， 答对1题得5分，答错1题扣1分； （2）设他答对了道题，则答错道题． 根据题意，可列方程， 解得． 答：他答对了14道题． （3）不可能． 理由：假设他得了78分，设答对道题，则答错道题． 根据题意，得， 解得． 因为为整数， 所以参赛选手得78分是不可能的． 【变式10-2】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）2024年7月到8月，某市举办足球联赛，共有20支足球队参赛，经过前三轮（每个足球队比赛三场）比赛之后，A、B、C三支足球队积分如下表： 足球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 A 3 3 0 0 9 B 3 2 1 0 7 C 3 1 1 1 4 思考：根据上表，我们可以得到本次足球联赛积分规则：胜利一场积 分；平一场积 分，负一场积 分； 探究： （1）若一支足球队共进行了场比赛，胜利场，负的场数比胜利场数少5场，用含，的代数式表示这支足球队的总积分； （2）列方程解决问题：东方足球队是20支足球队中的一员，经过18轮激战，保持连续不败，共积分48分，那么东方足球队共胜利了多少场? 拓展：雄鹰足球队共进行了16场比赛，其中负了1场，那么雄鹰足球队的胜场总积分能等于它的平场总积分吗?为什么? 【答案】思考：3，1，0；探究：（1）；（2）胜利了15场；拓展：雄鹰足球队的胜场总积分不能等于它的平场总积分 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，解答本题的关键是根据表格得出胜一场、负一场各自所得的积分，进一步利用题目蕴含的数量关系解决问题． 思考：由A队胜3场，积9分，设出未知数列出方程解答即可求出胜一场的得分；从B队胜 2场，平1场，一共积7分，设出未知数列出方程解答求出平一场的得分；从C队胜1场，平1场，负1场，一共积4分，而平一场积1分，胜一场积3分，即可求出负一场的得分； 探究：（1）根据题意可求出负的场数为和平的场数，再求积分即可； （2）设东方足球队共胜利了a场，根据题意得平场，由总积分48分列方程求解即可； 拓展：设一个球队胜b场，胜场总积分等于它的平场总积分列出方程，解方程求出b的值即可判断． 【详解】解：思考：设胜一场积x分，从A队积分得出 ， 解得， 即胜一场积3分； 设平一场积y分，从B队积分得出 ，解得， 即平一场积1分； 设负一场积z分，从C队积分得出 ， 解得，， 即负一场积0分； 故答案为3，1，0； 探究：（1）∵胜利场，负的场数比胜利场数少5场， ∴负的场数为， ∴平的场数为， ∴积分为： ； （2）设东方足球队共胜利了a场，则平场，根据题意得， ， 解得，， 答：东方足球队共胜利了15场； 拓展：设雄鹰足球队胜b场，则平了场，由题意，得 ， 解得，， 由于场数是整数，故不合题意， 所以雄鹰足球队的胜场总积分不能等于它的平场总积分． 【考点题型十一】一元一次方程的实际应用-水费电费问题（） 【例11】（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 【答案】任务一：；任务二：小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月份各用水吨，吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． 任务一：根据题意列式计算即可； 任务二：设1月实际用水吨，列方程得，解方程即可； 任务三：设设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨，分两种情况讨论：当时，当时，分别列方程求解即可． 【详解】解：任务一：（元）， 故答案为：； 任务二：设1月实际用水吨， 根据题意得：， 解得：， （元）， 小实家1月缴纳污水处理费元； 任务三：小实家7，8月实际用水费用为（元） 吨， 8月份用水量超过吨， 设月份用水量为吨，则8月份用水量为吨， 当时， 根据题意得：， 解得：， ， 舍去， 当时， 根据题意得， 解得：， （吨）， 小实家7，8月份各用水吨，吨． 【变式11-1】（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【答案】(1)元 (2) (3)立方米 【分析】本题主要考查有理数的混合运算，用代数式表示数量关系， （1）根据题意，不超过部分的费用加上超过部分的费用即可； （2）根据不超过部分费用加上超过部分的费用进行计算即可； （3）根据题意，可得小丽家4月份的煤气超过立方米，把代入（2）的式子计算即可． 【详解】（1）解：不超过50立方米，按每立方米0.8元收费，则此部分的费用为：（元），超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费， ∵小丽家某月用煤气量为80立方米， ∴超过部分的费用为（元）， ∴丽家该月应交煤气费为（元）； （2）解：∵每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元， ∴； （3）解：∵， ∴小丽家4月份的煤气超过立方米， 把代入（2）中的式子得，， 解得，， ∴她家4月份所用煤气为立方米． 【变式11-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 北京 a b 上海 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 北京 2 9 上海 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 【答案】(1)，； (2)64元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据小丽分别寄快递到上海和北京的快递质量和费用，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）由题意列式计算即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：． 答：的值为7，的值为2． （2）解：由（1）得，，． （元）， 答：小丽需要付64元的快递费． 【变式11-3】（23-24七年级下·重庆·开学考试）为增强市民节水意识，依据重庆市物价局《关于建立主城区居民用电阶梯价格制度的通知》，自2016年1月1日起，我市居民使用自来水实施阶梯水价，具体标准如下表： 阶梯 户年用水量（） 水价（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 360以上 例如，某户家庭年使用自来水，应缴纳：元； 某户家庭年使用自来水，应缴纳：元． (1)小刚家2021年使用自来水，应缴纳______元；小刚家2022年共使用自来水，应缴纳______元． (2)小强家2022年使用自来水的平均水费为3.62元/，求小强家2022年共使用了多少自来水？ 【答案】(1)700，1332 (2) 【分析】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，准确理解题意，找出数量关系是解题的关键． （1）利用总价单价数量，结合阶梯水费收费标列式求解即可； （2）设小强家2022年使用自来水，分别假设和，列出对应的方程，求解即可． 【详解】（1）解：小刚家2021年使用自来水，应缴纳水费：（元）； 小刚家2022年共使用自来水，应缴纳水费：（元）； 故答案为：700，1332． （2）设小强家2022年使用自来水， 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）； 综上，小强家2022年使用自来水． 【考点题型十二】一元一次方程的实际应用-工程问题（） 【例12】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）徒骇河开展清淤工程，计划租用甲、乙两车队清理淤泥，已知甲车队单独运完需要20天，乙车队单独运完需要30天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的淤泥．甲、乙两车队合作还需要多少天运完？ 【答案】10天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设甲、乙两车合作还需要x天运完，根据甲车完成的工作量+乙车完成的工作量=总工程量，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设甲、乙两车合作还需要x天运完， ， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要10天运完． 【变式12-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【答案】(1)30天； (2)分配给甲队万元，分配给乙队万元，理由见解答 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天，利用甲队完成的工程量乙队完成的工程量总工程量，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）求出甲、乙两队的工程量，按完成工程的比例来分配即可． 【详解】（1）解∶甲队单独完成这项工程需40天，且甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的． 乙队单独完成这项工程需 (天)． 设完成这项工程总共用了x天，则甲队工作了天，乙队工作了x天， 根据题意得∶， 解得∶． 答∶完成这项工程总共用了30天； （2）分配给甲队万元，分配给乙队万元， 理由如下∶甲队完成的工程量为，乙队完成的工程量为． 该企业为了这项工程一共支付a万元的费用， 按照完成工程量的比例来分配，应该分配给甲队万元，乙队万元． 【变式12-2】（24-25七年级上·广东清远·期末）思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 【答案】(1)思行中学一共有个教室 (2)甲工程队共粉刷天 (3)选择方案一是最省钱的粉刷方案 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）设乙工程队要刷天，根据题意房间数量列出方程，再解即可； （2）设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天，根据两队共粉刷间教室列出方程，再解即可； （3）分别计算出三种方案的费用，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设乙工程队要刷天，则思行中学一共有个教室， 由题意得：， 解得：， ， 答：思行中学一共有个教室； （2）解：设乙工程队的工作时间为天，则甲工程队的工作时间天， 由题意得：， 解得：， ， 答：甲工程队共粉刷天； （3）解：方案一：由甲工程队单独完成需（天）， 费用为（元）； 方案二：由乙工程队单独完成需要天， 费用为（元）； 方案三：按（2）方式完成， 费用为（元）， ， 方案一最合适， 答：选择方案一是最省钱的粉刷方案． 【变式12-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【答案】(1)天 (2)元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系并列出方程是解题关键； （1）根据题意首先可以得知甲车效率为每天运送，乙车效率为每天运送，据此设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾，然后进一步列出方程求解即可； （2）根据甲车队每天的租金元，比乙车队少元，计算求解即可； 【详解】（1）解：设甲、乙两车合作还需要天运完垃圾， 根据题意得：， 解得：， 答：甲、乙两车合作还需要天运完垃圾． （2）解：乙队一共工作了天，甲队一共工作了天， ， 答：运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金元． 【考点题型十三】一元一次方程的实际应用-古代问题（） 【例13】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎（jìn），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何?译文：今有人合伙买斑石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少?设人数为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，由钱数不变，根据“每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱”即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：依题意得：， 故选：D． 【变式13-1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，也称为三阶幻方．如图是一个幻方，则的值是（  ） 0 1 A． B．1 C．5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意列出方程是解题的关键． 根据题意列方程解答即可． 【详解】解：由题意得：，， 解得：， 把代入， 解得：， ∴， 故选：B． 【变式13-2】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题，理解数量关系，正确列式是解题的关键．根据总人数不变，分别表示出每3人乘一车，每2人共乘一车时的总人数即可求解． 【详解】解：设有x辆车，当每3人乘一车，最终剩余2辆车时，则人数为，当每2人共乘一车，最终剩 余9个人无车可乘时，则人数为， ∵总人数不变， ∴， 故选：D ． 【变式13-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）《九章算术》是中国古代一部重要的数学典籍．其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱．问人数，金价各是多少？如果设有x个人，根据题意所列方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意、找准相等关系是解题的关键． 设有x个人，根据题意列出方程即可． 【详解】设有x个人， 根据题意得，． 故答案为：． 【考点题型十四】一元一次方程与几何问题（） 【例14】（24-25七年级下·四川宜宾·开学考试）如图，数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母表示，比如，点A与点C之间的距离记作AC． (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，求D点表示的数为多少？ (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，，求t的值． 【答案】(1)，30， (2)，， (3)8 【分析】（1）根据多项式与单项式的概念即可求解； （2）根据题意可知，点D有两种情况，在A的左边或者之间，进行讨论求解点表示的数； （3）根据两点间距离公式和绝对值的定义求解即可． 【详解】（1）解：由题意可知：，． （2）解：由题意可知点D分两种情况讨论（舍去在点C右边）： 当点D在点A的左边时： ∵， ∴， ∴点D表示的数为：； 当点D在之间时： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点D表示的数为： ． 综上可知，点D表示的数为或． （3）解：如下图所示： 由题意可知：点表示的数为， 点表示的数为， 点表示的数为， ∴， ∵， ∴， 即． 故当时，． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，数轴以及绝对值的化简等知识点，解决此题的关键是根据点在数轴上的运动能用t表示数，列出方程． 【变式14-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【答案】(1) (2)①7.5；② 或30 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，一元一次方程的应用，解题的关键在于利用方程思想解决问题． （1）利用平行线的性质，以及角平分线的定义求解，即可解题． （2）①首先证明，由此构建方程求解，即可解题． ②分两种情形：当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题．当时，延长交于R．根据构建方程即可解决问题． 【详解】（1）解：如图， ， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）解：①如图， ， ， ， ， ， ， 在旋转过程中，若边，t的值为； ②如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ； 如图，当时，延长交于R， ， ， ，， ， ， ． 综上所述，满足条件的t的值为 或30． 【变式14-2】（24-25七年级下·河北保定·开学考试）如图，已知点A，B在数轴上对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若，则点P对应的数为______； (2)数轴的原点右侧有一点P，若点P到点A，B的距离之和为8，请求出x的值； (3)现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右匀速运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点开始向左匀速运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数． 【答案】(1)或 (2)x的值为5 (3)点P在数轴上所对应的数为或 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及数轴，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）根据，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）根据点到点，的距离之和为8，可列出关于的一元一次方程，结合及点在原点的右侧，即可求出结论； （3）当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，根据，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， ， 即或， 解得：或， 点对应的数为或． 故答案为：或； （2）解：根据题意得：， 又，，且点在原点的右侧， ， ， 解得：． 答：的值为5； （3）解：当运动时间为秒时，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为，点在数轴上对应的数为， 根据题意得：， 即或， 解得：或， 当时，； 当时，． 答：点在数轴上所对应的数为或． 【变式14-3】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点所需的时间是______秒； (2)、两点相遇时，求出相遇的时间和点所对应的数是多少； (3)若、两点相遇，则两点均停止运动，求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【答案】(1)； (2)相遇时间为秒，相遇点所对应的数是； (3)的值为或或． 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程在数轴上的应用等知识点，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由路程、速度、时间三者关系分三段求出各段时间，再相加求出总时间为秒； （）由题可知，，两点相遇在线段上于处，设， 则， 求出即可； （）分动点在上，动点在上，动点在上，动点在上，  动点在上，动点在上，三种情况再根据与的长度相等，可得方程，解方程可得答案． 【详解】（1）解：由图可知：动点从点运动至分成三段, 分别为，，， ∴段时间为（秒）， 段时间为（秒）， 段时间为（秒）， ∴动点从点运动至点所需的时间是（秒）， 故答案为：； （2）解：由题可知，，两点相遇在线段上于处， 设，则， 解得， 相遇时间为：（秒）， ∴， ∴表示，两点相遇点所对应的数是； （3）解：动点在上，动点在上， 则：， 解得：； 动点在上，动点在上， 则：， 解得：； 动点在上，动点在上， 则：， 解得：； 综上所述：的值为或或． 【变式14-4】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）为美化我市夜景，在两栋楼体上安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒．假定两栋楼的墙面是平行的，即，且． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，求A灯转动几秒，两灯的光束互相平行． (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，在灯B射线第一次到达BQ之前，直接写出转动的时间为多少秒时，． 【答案】(1)60； (2)A灯转动30秒，两灯的光束互相平行； (3)转动时间为90秒，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用补角的定义，即可求解； （2）根据两光束平行，利用平行线的性质列方程，求解即可； （3），即两光束垂直，再结合平行线的性质列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：由（1）知， 设A灯转动时间为t秒，由两光束平行，得内错角相等，可知， 解得：， ∴A灯转动30秒，两灯的光束互相平行； （3）解：转动时间为90秒，理由： ∵，即两光束垂直， ∴， 解得：， ∴转动时间为90秒时，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单01 一元一次方程（14个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 一元一次方程 1.概念：只含一个未知数（元）且未知数的次数都是1的方程； 标准式：ax+b=0（x是未知数，a、b是已知数，且a≠0）； 方程的解：使方程等号左右两边相等的未知数的值 2. 含参一元一次方程 （1）次数含参：主要考察一元一次方程定义 （2）常数项含参：求解一个常数项含参的一元一次方程，依然采用常规的五步法解题 （3）解已知或可求：将解代入参数方程，求出参数 清单02 等式的性质 等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等； 如果a=b，那么a±c=b±c; 等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等； 如果a=b，那么ac=bc; 如果a=b，c0，那么； 清单03 解一元一次方程 解一元一次方程的步骤： 1.去分母：两边同乘最简公分母 2.去括号 （1）先去小括号，再去 中括号，最后去大括号 （2）乘法分配律应满足分配到每一项 3.移项 （1）定义： 把含有未知数的项移到方程的一边，不含有未知数的项移到另一边； （2）注意： ①移项要变符号 ； ②一般把含有未知数的项移到左边 ，其余项移到右边 ． 4. 合并同类项 （1）定义： 把方程中的同类项分别合并，化成“ ax b ”的形式（ a  0 ）； （2）注意：合并同类项时，把同类项的系数相加，字母不变． 5. 系数化为 1 （1）定义： 方程两边同除以未知数的系数 a ，得 ； （2）注意：分子、分母不能颠倒 清单03 一元一次方程的应用 解一元一次方程应用题，遵循5个步骤，其各个步骤的注意事项如下： ①审题；②设未知数:设未知数(通常为x)，并注明单位；③列方程；④解方程；⑤检验答案：将解代入原方程或实际问题，验证是否合理；⑥.写答句:完整写出答案，并注明单位。 【考点题型一】识别方程和一元一次方程（） 【例1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）下列方程中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）下列各式：①；②；③；④ ；⑤；⑥；⑦，其中是方程的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）下列方程中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型二】根据一元一次方程的定义求参数（） 【例2】（24-25七年级上·四川成都·期末）若是关于的一元一次方程，则的值为（   ） A． B． C．或 D． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的一元一次方程，则的值为（   ） A．2 B．3 C． D． 【变式2-2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）若是关于的一元一次方程，则 ． 【变式2-3】（24-25七年级下·吉林长春·开学考试）已知方程是关于的一元一次方程，则 ． 【考点题型三】方程的解（） 【例3】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知是关于的方程的解，则的值是（   ） A． B． C．1 D． 【变式3-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）下列方程的解是的方程是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25七年级下·甘肃武威·开学考试）已知是关于的方程的解，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·广东惠州·期末）已知关于的方程的解是，则的值为 ． 【变式3-4】（24-25七年级上·福建漳州·期末）若是关于的一元一次方程的解，则代数式的值是 ． 【考点题型四】等式的性质（） 【例4】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【变式4-1】（24-25七年级上·湖南长沙·期末）运用等式的性质进行变形，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式4-2】（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）下列方程中移项正确的是（    ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式4-3】（24-25七年级下·广西南宁·开学考试）根据等式的性质，下列变形正确的是（   ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【考点题型五】解一元一次方程（） 【例5】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）解方程： (1)； (2)． 【变式5-1】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【变式5-2】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）解下列方程： (1) (2) 【变式5-3】（24-25七年级下·山西临汾·阶段练习）解方程： (1)． (2)． 【考点题型六】已知一元一次方程的解，求参数（） 【例6】（24-25七年级下·全国·单元测试）已知关于的方程与的解相同，则的值为（   ） A． B．30 C． D．7 【变式6-1】（24-25七年级上·四川成都·阶段练习）若是方程的解，则的值是（　　） A． B． C． D． 【考点题型七】一元一次方程的错解问题（） 【例7】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境错解问题 小明解方程时，由于粗心大意，在去分母时，方程左边的1没有乘以10，由此得到方程的解为，试求a的值，并正确地求出原方程的解． 【变式7-1】（2024七年级上·全国·专题练习）学习情境·错解问题  佳佳同学在解关于的方程时，去分母过程中忘记给右边的乘以6，最终解得方程为，则的值为（   ） A． B． C．7 D．19 【变式7-2】（24-25七年级下·山西晋城·阶段练习）小明在解关于的方程时，误将看成了，得到方程的解为，则原方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）某同学在解方程去分母时，忘记了把1乘以最小公倍数，结果求得的解为，现请你帮他求出正确的解． 【变式7-4】（24-25七年级下·河南南阳·阶段练习）小艺在解关于x的方程时，误将看作，得出方程的解为． (1)请帮小艺求出c的值． (2)请帮小艺求出方程正确的解． 【考点题型八】一元一次方程的实际应用-销售问题（） 【例8】（24-25七年级下·河南·自主招生）十一期间，某商场打出促销广告，如下表所示．某人两次购物分别用了134元和466元． 优惠条件 一次性购物不超过200元 一次性购物超过200元，但不超过500元 一次性购物超过500元 优惠方法 没有优惠 按九折优惠 其中的500元仍按照九折优惠，超过500元部分按八折优惠 (1)此人两次购物，若物品不打折，一共值多少钱？ (2)此人两次购物共节省多少钱？ (3)若将两次购物合起来，一次性购买相同的商品，则比分开购买节省多少钱？ 【变式8-1】（24-25七年级上·山西晋中·期末）国产单机游戏《黑神话：悟空》的爆火，带火了山西文旅，为山西吸引了大量来自世界各地的游客，某景区为吸引外地游客，推出了两款精致的古建筑冰箱贴，该景区用1380元定制了A款和B款冰箱贴共100个，这两款冰箱贴的成本、标价如下表所示： 有关量 A款 B款 成本/（元/个） 13 15 标价/（元/个） 18 22 (1)A款冰箱贴和B款冰箱贴各定制了多少个？ (2)该景区将这两款冰箱贴打折出售，全部售出后，共获利252元，已知A款冰箱贴按标价的九折出售，则B款冰箱贴按标价的几折出售？ 【变式8-2】（24-25七年级上·陕西渭南·期末）增强青少年体质，是关系国家和民族未来的大事，学校体育是教育的重要组成部分，是促进青少年健康成长、全面发展、终身发展的奠基性工程．某中学为了增强学生的体质，计划从商场购买一些篮球和足球，商场的价格为篮球每个80元，足球每个60元． (1)若第一次购买篮球的总费用和购买足球的总费用相同，且购买篮球和足球共70个，求第一次购买篮球和足球各多少个？ (2)第二次购买时，适逢商场促销，篮球打八折，足球每个便宜10元钱．经统计，该校购买篮球的个数比购买足球的个数少50个，共花费了8200元，则第二次购买篮球和足球各多少个？ 【变式8-3】（24-25七年级上·山东菏泽·期末）2024年巴黎奥运会，跳水小将全红婵表现出色，收获了2枚金牌．某跳水爱好粉丝团，在女子双人10米台跳水比赛前准备给全红婵送绿龟礼物，第一次购买了10个绿龟玩偶和10个绿龟挂件，共花费了1400元，已知玩偶的单价比挂件贵50元． (1)第一次购买时，绿龟玩偶和绿龟挂件的单价分别是多少元？ (2)在第二场女子10米台跳水比赛时，跳水爱好粉丝团又组织了一次购买，第二次购买在第一次购买的基础上，挂件单价优惠了a元，玩偶单价优惠了5a元．已知购买总费用不变，挂件的个数也不变，玩偶比挂件多了3个，请求出a的值． 【考点题型九】一元一次方程的实际应用-配套问题（） 【例9】（23-24七年级下·河南南阳·期末）在纸盒制作的劳动实践课上，对规格是的原材料板材进行裁剪得到A型长方形纸板和B型正方形纸板．为了避免材料浪费，每张原材料板材先裁得4张的纸板条，每张纸板条又恰好可以裁得3张A型长方形纸板或5张B型正方形纸板，如图1所示．（单位：） (1)每张原材料板材可以裁得A型纸板________张或裁得B型纸板________张； (2)现有130张原材料板材全部裁剪（每张原材料板材只能一种裁法）得到A型与B型纸板当侧面和底面，做成如图2所示的竖式有盖长方体纸盒（1个长方体纸盒需要4个侧面和2个底面，接缝忽略不计）．问：怎样裁剪才能使剪出的A、B型纸板恰好用完？能做多少个纸盒？ 【变式9-1】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）某工厂需要生产一批三人扭腰器(如图)，每套设备由一个扶手架和3个扭腰盘组装而成；工厂共有工人42名，工厂每人每天可生产扶手架60个，或每人每天生产扭腰盘72个，若工厂每人每天只能生产同一种部件．问：应如何分配工人，才能使每天的生产的扶手架和扭腰盘正好配套？    【变式9-2】（24-25七年级下·重庆·开学考试）为迎接新春蛇年的到来，重庆某工厂决定打造新春限定的2025蛇年布鲁克玩具盲盒系列．该工厂将这批新春限定盲盒分为A、B两种包装，工厂共有800名工人．请用一元一次方程解答下列问题： (1)若该工厂生产A种盲盒的人数比生产B种盲盒的人数的2倍少100人，分别求出该工厂生产A种盲盒和B种盲盒的工人人数； (2)为了促销，工厂按商家要求生产新春限定盲盒大礼包，该大礼包由2个A种盲盒和3个B种盲盒组成．已知每个工人平均每天可以生产20种个A种盲盒或10个B种盲盒，且每天只能生产一种包装的盲盒．该工厂应该安排多少名工人生产A种盲盒，多少名工人生产B种盲盒才能使每天生产的盲盒正好配套？ 【变式9-3】（24-25七年级上·贵州遵义·期末）2024年12月4日，联合国教科文组织决定将“春节——中国人庆祝传统新年的社会实践”列入人类非物质文化遗产代表作名录．而春节期间带一份包装精美的礼品走亲访友更是一种传统，因此市场上对礼品盒的需求量也随之激增．为了满足市场的需求，遵义市某工厂计划制作一批圆柱形礼品盒，已知该工厂共有90名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少10名，并且每名工人平均每天可以制作这种礼品盒的盒身400个或盒底1000个． (1)该工厂有男工、女工各多少名？ (2)该工厂计划安排一部分工人负责制作盒身，另一部分工人负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么应安排制作盒身和盒底的工人各多少名，才能使每天生产的产品刚好配套？ 【考点题型十】一元一次方程的实际应用-比赛积分问题（） 【例10】（24-25七年级上·内蒙古通辽·期末）某校举行足球比赛，共有8个球队参加比赛，赛制为双循环赛（任意两队之间比赛两场）．计分规则为胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分．已知甲队负4场，乙队平8场，甲队的胜场数比乙队胜场数的2倍少2场，且甲队比乙队多得2分． (1)每支球队比赛几场？ (2)请求出甲队和乙队各胜几场？ 【变式10-1】（24-25七年级下·全国·随堂练习）某学校组织安全知识竞赛，共设20道分值相同的选择题，每题必答，下表中记录了5位参赛选手的竞赛得分情况． 参赛选手 答对题数 答错题数 得分 20 0 100 19 1 94 18 2 88 … … … 10 10 40 (1)由表格知，答对一题得______分，答错一题扣______分； (2)用方程知识解答：若选手得64分，则他答对了几道题？ (3)参赛选手说他得了78分，你认为可能吗？为什么？ 【变式10-2】（24-25七年级上·河北沧州·阶段练习）2024年7月到8月，某市举办足球联赛，共有20支足球队参赛，经过前三轮（每个足球队比赛三场）比赛之后，A、B、C三支足球队积分如下表： 足球队 比赛场数 胜场 平场 负场 积分 A 3 3 0 0 9 B 3 2 1 0 7 C 3 1 1 1 4 思考：根据上表，我们可以得到本次足球联赛积分规则：胜利一场积 分；平一场积 分，负一场积 分； 探究： （1）若一支足球队共进行了场比赛，胜利场，负的场数比胜利场数少5场，用含，的代数式表示这支足球队的总积分； （2）列方程解决问题：东方足球队是20支足球队中的一员，经过18轮激战，保持连续不败，共积分48分，那么东方足球队共胜利了多少场? 拓展：雄鹰足球队共进行了16场比赛，其中负了1场，那么雄鹰足球队的胜场总积分能等于它的平场总积分吗?为什么? 【考点题型十一】一元一次方程的实际应用-水费电费问题（） 【例11】（24-25七年级下·重庆九龙坡·阶段练习）阅读下列素材，解决水费及用水量问题： 素材1 为增强居民节水意识，某地城市居民同水收费实行“阶梯收费”机制，即根据家庭每月用水量的不同，将水价分为三个档次，用水量越多，水价越高． 素材2 该地城市居民应缴纳水费由两部分组成，第一部分为实际用水费用，第二部分为污水处理费：按实际用水量每吨收取1元． 素材3 实际用水费用收费标准 等级 用水量 单价（元/吨） 第一阶梯 不超过22吨的部分 3.5 第二阶梯 超过22吨，不超过30吨的部分 4.5 第三阶梯 超过30吨的部分 6 任务一 确定水费 小实家2024年12月用水24吨，则小实家2024年12月应缴纳水费______元． 任务二 确定污水处理费 小实家2025年1月应缴纳水费中，实际用水费用为104元，求小实家1月缴纳污水处理费多少元？ 任务三 确定用水量 如果小实家2024年7，8月份共用水60吨（8月份用水量比7月份用水量多），应缴纳水费共290.5元，则小实家7，8月份各用水多少吨？ 【变式11-1】（23-24七年级下·贵州贵阳·阶段练习）某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每月煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米1.2元收费．设小丽家每月用气量为x立方米，应交煤气费为y元． (1)若小丽家某月用煤气量为80立方米，则小丽家该月应交煤气费多少元？ (2)试写出y与间的表达式； (3)若小丽家4月份的煤气费为88元，那么她家4月份所用煤气为多少立方米？ 【变式11-2】（23-24七年级下·河北保定·期末）某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克的部分按千克计费．小丽分别寄快递到北京和上海，收费标准及实际收费如下表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 北京 a b 上海 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 北京 2 9 上海 3 22 (1)求a，b的值； (2)若小丽寄10千克的快递到上海，则小丽需要付多少钱的快递费？ 【变式11-3】（23-24七年级下·重庆·开学考试）为增强市民节水意识，依据重庆市物价局《关于建立主城区居民用电阶梯价格制度的通知》，自2016年1月1日起，我市居民使用自来水实施阶梯水价，具体标准如下表： 阶梯 户年用水量（） 水价（元） 第一阶梯 （含） 第二阶梯 （含） 第三阶梯 360以上 例如，某户家庭年使用自来水，应缴纳：元； 某户家庭年使用自来水，应缴纳：元． (1)小刚家2021年使用自来水，应缴纳______元；小刚家2022年共使用自来水，应缴纳______元． (2)小强家2022年使用自来水的平均水费为3.62元/，求小强家2022年共使用了多少自来水？ 【考点题型十二】一元一次方程的实际应用-工程问题（） 【例12】（24-25七年级上·山东聊城·阶段练习）徒骇河开展清淤工程，计划租用甲、乙两车队清理淤泥，已知甲车队单独运完需要20天，乙车队单独运完需要30天．乙车队先运了5天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的淤泥．甲、乙两车队合作还需要多少天运完？ 【变式12-1】（24-25六年级上·上海杨浦·期末）某企业聘用甲、乙两队完成一项工程，甲队单独完成所需天数是乙队单独完成所需天数的．已知甲队单独完成这项工程需40天，如果甲、乙两队先合作10天，接着甲队因故停工10天（乙队不停工），后继续与乙队合作完成剩下的工程． (1)完成这项工程总共用了多少天？ (2)该企业为了这项工程一共支付万元的费用．如果你是决策者，你会将这笔费用如何分配给甲、乙两队？请设计一个分配的方案，并说明分配的依据． 【变式12-2】（24-25七年级上·广东清远·期末）思行中学利用寒假期间对教室内墙进行粉刷，现有甲，乙两个工程队都想承包这项工程，已知甲工程队每天能粉刷3间教室，乙工程队每天能粉刷2间教室，若单独粉刷所有教室，甲工程队比乙工程队要少用10天，在粉刷过程中，该学校要付甲工程队每天费用2500元，付乙工程队每天费用2000元． (1)求思行中学一共有多少间教室？ (2)若先由甲，乙两个工程队合作一段时间后，乙工程队停工了，甲工程队单独完成剩余部分．且甲工程队的全部工作时间是乙工程队的工作时间的2倍还多4天，求甲工程队共粉刷多少天？ (3)经学校研究，制定如下方案：方案一：由甲工程队单独完成；方案二：由乙工程队单独完成；方案三：按（2）的方式完成；请你通过计算帮学校看看哪种粉刷方案最省钱． 【变式12-3】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）哈尔滨亚冬会的某个比赛场馆正在装修，装修后产生的建筑垃圾需要清理．计划租用甲、乙两车队清理建筑垃圾，已知甲车队单独运完需要天，乙车队单独运完需要天．乙车队先运了天，然后甲、乙两车队合作运完剩下的垃圾． (1)甲、乙两车队合作还需要多少天运完垃圾？ (2)已知甲车队每天的租金元，比乙车队少元，运完垃圾后共需支付甲、乙两车队租金多少元？ 【考点题型十三】一元一次方程的实际应用-古代问题（） 【例13】（24-25七年级上·河南驻马店·期末）《九章算术》“盈不足”中有如下记载：今有共买琎（jìn），人出半，盈四；人出少半，不足三．问人数、进价各几何?译文：今有人合伙买斑石，每人出钱，会多4钱；每人出钱，又差3钱．问人数和琎石的价格各是多少?设人数为x，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式13-1】（24-25七年级上·辽宁大连·期末）幻方起源于中国，是我国古代数学的杰作之一．“洛书”即三阶幻方，它的每行、每列、每条对角线上三个数之和均相等，也称为三阶幻方．如图是一个幻方，则的值是（  ） 0 1 A． B．1 C．5 D．9 【变式13-2】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式13-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）《九章算术》是中国古代一部重要的数学典籍．其中有这样一个问题：今有共买金，人出四百，盈三千四百；人出三百，盈一百．问人数，金价各几何？其大意是假设合伙买金，每人出400钱，还剩余3400钱；每人出300钱，还剩余100钱．问人数，金价各是多少？如果设有x个人，根据题意所列方程为 ． 【考点题型十四】一元一次方程与几何问题（） 【例14】（24-25七年级下·四川宜宾·开学考试）如图，数轴上点A表示数a，点C表示数c，且多项式的常数项是a，次数是c．我们把数轴上两点之间的距离用表示两点的大写字母表示，比如，点A与点C之间的距离记作AC． (1)求a，c的值； (2)若数轴上有一点D满足，求D点表示的数为多少？ (3)动点B从数1对应的点开始向右运动，速度为每秒1个单位长度，同时点A，C在数轴上运动，点A，C的速度分别为每秒2个单位长度，每秒3个单位长度，运动时间为t秒．若点A向左运动，点C向右运动，，求t的值． 【变式14-1】（2025七年级下·全国·专题练习）如图，直线，一副三角尺（，，，）按如图①放置，其中点E在直线上，点B，C均在直线上，且平分． (1)求的度数． (2)如图②，若将三角形ABC绕点B以每秒4度的速度逆时针方向旋转（A，C的对应点分别为F，G），设旋转时间为t（）（）． ①在旋转过程中，若边，求t的值． ②若在三角形绕点B旋转的同时，三角形绕点E以每秒3度的速度顺时针方向旋转（C，D的对应点为H，K）．请求出当边时t的值． 【变式14-2】（24-25七年级下·河北保定·开学考试）如图，已知点A，B在数轴上对应的数分别为，3，点P为数轴上一动点，其对应的数为． (1)若，则点P对应的数为______； (2)数轴的原点右侧有一点P，若点P到点A，B的距离之和为8，请求出x的值； (3)现在点A、点B分别以每秒2个单位长度和每秒个单位长度的速度同时向右匀速运动，同时点P以每秒6个单位长度的速度从表示数1的点开始向左匀速运动.当点A与点B之间的距离为3个单位长度时，求点P所对应的数． 【变式14-3】（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）如图，将一条数轴在原点和点处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点表示，点表示，点表示，我们称点和点在数轴上相距个长度单位．动点从点出发，以单位秒的速度沿着“折线数轴”的正方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的一半，之后立刻恢复原速；同时，动点从点出发，以单位秒的速度沿着数轴的负方向运动，从点运动到点期间速度变为原来的两倍，之后也立刻恢复原速．设运动的时间为秒．问： (1)动点从点运动至点所需的时间是______秒； (2)、两点相遇时，求出相遇的时间和点所对应的数是多少； (3)若、两点相遇，则两点均停止运动，求当为何值时，、两点在数轴上相距的长度与、两点在数轴上相距的长度相等． 【变式14-4】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）为美化我市夜景，在两栋楼体上安置了两座可旋转探照灯．如图所示，灯A射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯B射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射，若灯A转动的速度是每秒2°，灯B转动的速度是每秒．假定两栋楼的墙面是平行的，即，且． (1)填空： ； (2)若灯B射线先转动30秒，灯A射线才开始转动，在灯B射线第一次到达之前，求A灯转动几秒，两灯的光束互相平行． (3)若两灯同时开始转动，两灯射出的光束交于点C，在灯B射线第一次到达BQ之前，直接写出转动的时间为多少秒时，． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$