清单03 一元一次不等式和一元一次不等式（组）（考点清单，知识导图+9个考点清单&题型解读）七年级数学下学期新教材华东师大版

清单03 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（2025七年级下·上海·专题练习）下列数学表达式中，不等式有（   ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）我校男子跑的原记录是，在去年的校田径运动会上小刚的跑的成绩是，打破了该项记录，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）x与4的和的一半是正数，表示为 ． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（24-25七年级下·广西梧州·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025七年级下·全国·专题练习）根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【考点题型三】一元一次不等式(组)的定义（） 【例3】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式3-4】（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）下列选项中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【考点题型四】解一元一次不等式(组)（） 【例4】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组，并且把解集表示在数轴上：． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组． 【变式4-2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【变式4-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）解下列不等式（组）： (1) (2) 【考点题型五】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例5】（24-25七年级下·上海·阶段练习）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）若关于的不等式组的解集只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 【变式5-4】（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【变式5-5】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 【考点题型六】不等式组与方程组的结合问题（） 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【变式6-1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【变式6-4】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【考点题型七】一元一次不等式组的实际应用（） 【例7】（22-23八年级下·四川成都·期中）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 【变式7-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【变式7-2】（24-25七年级下·全国·期末）某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元． (1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价； (2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？ 【变式7-3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【变式7-4】（2025七年级下·全国·专题练习）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 清单03 一元一次不等式和一元一次不等式（组） （9个考点梳理+题型解读+提升训练） 清单01 不等式 （1）不等式：用不等号表示不相等关系的式子，叫做不等式，例如： 等都是不等式． （2） 常见的不等号有５种：“≠”、“＞”、“＜”、“≥”、“≤”． 清单02 不等式的性质 基本性质１：不等式两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号方向不变． 如果，那么 如果，那么 基本性质２：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 基本性质３：不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 如果，并且，那么(或) 如果，并且，那么(或) 不等式的互逆性：如果，那么；如果，那么． 不等式的传递性：如果，，那么． 易错点：①不等式两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． ②在计算的时候符号方向容易忘记改变． 清单03 一元一次不等式（组） （1）只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． （2）一元一次不等式组：由几个同一未知数的一元一次不等式所组成的一组不等式。 清单04 解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的步骤： （1）求分解，分别解不等式组中的每一个不等式，并求出它们的解； （2）画公解，将每一个不等式的解集画在同一数轴上，并找出它们的公共部分； （3）写组解，将（2）步中所确定的公共部分用不等式表示出来，就是原不等式组的解集。 清单05 含参数类不等式组的问题 方法步骤总结： ① 解出不等式（组）的解集——用含参数的表达式表示； ② 根据题目要求，借助数轴，确定参数表达式的范围，必在两个相邻整数之间； ③ 由空心、实心判断参数两边边界哪边可以取“=”，哪边不能取“=”。（不等式组则由解集的判断口诀来决定哪边界可以取“=”）； ④ 解出参数所在不等式（组）的解集，得参数字母的值或范围。 清单06 一元一次不等式组的应用 步骤如下： （1）审：审清题意，找出已知量和未知量； （2）设：设出适当的未知数（只能设一个未知数）； （3）找：找出反映题目数量关系的不等关系； （4）列：用代数式表示不等关系中的量，列不等式组； （5）解：解不等式组，并用数轴上表示它的解集； （6）写出答案（包括单位名称）。 【考点题型一】不等式的定义（） 【例1】（2025七年级下·上海·专题练习）下列数学表达式中，不等式有（   ）． ①； ②； ③； ④； ⑤； ⑥． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了不等式的定义，解题的关键熟练掌握用不等号连接的式子是不等式．据此逐个判定即可． 【详解】解：不等式有①⑤⑥，共3个． 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式中，不是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查不等式的识别，一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．根据不等式概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、是不等式，不符合题意； B、是不等式，不符合题意； C、是等式，不是不等式，符合题意； D、是不等式，不符合题意； 故选：C． 【变式1-2】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）我校男子跑的原记录是，在去年的校田径运动会上小刚的跑的成绩是，打破了该项记录，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是明确题中的不等量关系．根据小刚的跑的成绩打破了该项记录，即可列出不等式． 【详解】由题意得，． 故选：A． 【变式1-3】（24-25七年级下·全国·课后作业）x与4的和的一半是正数，表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据正数大于0列出不等式即可． 【详解】解：x与4的和的一半是正数，表示为． 故答案为：． 【考点题型二】不等式的性质（） 【例2】（24-25七年级下·广西梧州·阶段练习）已知，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．不等式的性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号方向不变；不等式的性质2：不等式两边同时乘（或除）以同一个正数，不等号方向不变；不等式的性质3：不等式两边同时乘（或除）以同一个负数，不等号方向改变． 根据不等式的基本性质进行判断即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； B、∵，∴，故该选项不正确，不符合题意； C、∵，∴，该选项正确，符合题意； D、，与大小不确定，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2-1】（24-25七年级下·安徽滁州·阶段练习）已知实数满足，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键． 不等式的两边同时加上（或减去）同一个数，不等号的方向不变．不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，依据不等式的基本性质进行判断． 【详解】解：A、由，两边都减1，不等号的方向不变，即，故A不符合题意； B、由，两边都乘以2，不等号的方向不变，即，故B不符合题意； C、由，两边乘，不等号变向，得到，两边都减1可得，故C符合题意； D、两边都乘以，若时，不等号的方向改变，不成立，故D不符合题意． 故选：C． 【变式2-2】（2025七年级下·全国·专题练习）根据不等式的性质，下列变形中正确的是（   ） A．由，得 B．由，得 C．由，得 D．由，得 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，注意等式两边同除以或乘同一个负数，不等号方向发生改变．根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴，故A错误； B．∵， ∴，故B错误； C．∵，当时，成立，故C错误； D．∵，而， ∴， ∴，故D正确． 故选：D． 【变式2-3】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）若，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质即可判断，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：A、若，则，故选项不符合题意； B、若，，正确，故选项符合题意； C、若，，故选项不符合题意； D、若，，故选项不符合题意； 故选：B． 【考点题型三】一元一次不等式(组)的定义（） 【例3】（24-25七年级下·安徽淮北·阶段练习）下列不等式中，属于一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是次，不等式的左右两边都是整式，这样的不等式叫一元一次不等式，据此判断即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：A. 不是一元一次不等式； B. 不是一元一次不等式； C. 是一元一次不等式； D. 不是一元一次不等式； 故选：C． 【变式3-1】（2025七年级下·全国·专题练习）现有下列不等式组：①，②，③，④，⑤，其中是一元一次不等式组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断即可．本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【变式3-2】（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式3-3】（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）下列是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的判断，根据只含有1个未知数，且含有未知数的项的最高次数为1的不等式，叫做一元一次不等式，进行判断即可． 【详解】解：A、是一元一次不等式，符合题意； B、不含未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； C、含有2个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； D、含有2次项，不是一元一次不等式，不符合题意； 故选A． 【变式3-4】（24-25七年级下·安徽淮南·阶段练习）下列选项中，是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，根据一元一次不等式的定义逐项分析即可得解，熟练掌握一元一次不等式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，不含有未知数，故不是一元一次不等式，不符合题意； B、是方程，故不是一元一次不等式，不符合题意； C、，未知数的次数为2，故不是一元一次不等式，不符合题意； D、，是一元一次不等式，符合题意； 故选：D． 【考点题型四】解一元一次不等式(组)（） 【例4】（23-24七年级下·安徽六安·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组，并且把解集表示在数轴上：． 【答案】（1）；（2），数轴见解析 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）不等式去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后在数轴上表示即可． 【详解】解：（1） 去分母得：， 移项、合并同类项得：， 系数化1得：． （2）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为 解集在数轴上表示如图所示． 【变式4-1】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）（1）解不等式； （2）解不等式组． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤计算即可得解； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： 去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 两边都除以5，得． （2）解：解不等式①，得， 解不等式②，得， 所以不等式的解集为． 【变式4-2】（23-24七年级下·湖南衡阳·期末）解不等式组并把解集在数轴上表示出来． 【答案】见解析， 【分析】本题考查解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解题关键．先解出每个不等式的解集，再取公共解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解得， 解得， 在数轴上表示为： ∴不等式组的解集为． 【变式4-3】（24-25七年级下·重庆·阶段练习）解下列不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）移项合并同类项，化系数为即可； （）先求出两个不等式的解集，再求其公共解即可； 本题考查解一元一次不等式和解一元一次不等式组，解题的关键是掌握一元一次不等式或不等式组的求解方法． 【详解】（1）解： ； （2）解： 解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为． 【考点题型五】由一元一次不等式组的解集求参数（） 【例5】（24-25七年级下·上海·阶段练习）若关于x的不等式组无解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是不等式的解集，能使不等式成立的未知数的取值范围，叫做不等式的解的集合，简称解集．根据不等式组的解集的定义可知，不等式组中两个不等式的解集没有公共部分，进而得出m的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得，， ∵不等式组无解， ∴， 解得， 故选：C． 【变式5-1】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．不等式组中第一个不等式求出解集，根据已知不等式组的解集确定出m的范围即可． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组的解集是， ∴， 故答案为：． 【变式5-2】（24-25七年级下·上海宝山·阶段练习）若关于的不等式组的解集只有3个整数解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根据不等式组的解集求参数的范围，先求出不等式组的解集，根据不等式组的解集只有3个整数解，列出关于的不等式组，进行求解即可． 【详解】解：解，得：， ∵不等式组的解集只有3个整数解， ∴，3个整数解为：， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式5-3】（24-25七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）若不等式的解集为，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的基本性质以及根据不等式的解集求参数的取值范围，解题的关键是根据不等式两边同除以一个数后不等号方向的变化，判断这个数的正负性．观察不等式及其解集，发现不等号方向发生了改变．根据不等式的基本性质，判断的正负性，进而求出的取值范围． 【详解】解：∵不等式的解集为， 解得：， 的取值范围是， 故答案为：。 【变式5-4】（2025七年级下·全国·专题练习）若不等式组恰好有4个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． 先解不等式组用a表示出解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，得到关于a的不等式组求解即可． 【详解】 解： 解不等式①，得 解不等式②，得 由题意可知原不等式组有解 ∴原不等式组的解集为 ∵不等式有4个整数解 ∴整数解为：9，10，11，12 ∴，解得：． 故答案为：． 【变式5-5】（2025七年级下·全国·专题练习）若关于的不等式组有解，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是根据不等式组的解集情况求解参数的取值范围，熟练解一元一次不等式组是解本题的关键． 先解不等式组可得解集，再结合解集的情况求解即可． 【详解】解：， 由①得：， 由②得：， ∵关于的不等式组有解， ， ， 故答案为：． 【考点题型六】不等式组与方程组的结合问题（） 【例6】（24-25八年级上·湖南长沙·开学考试）若存在一个整数，使得关于的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A．12 B．6 C．—14 D．—15 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 【详解】解：， ，得：， ∴， ∵， ∴， 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是： ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【变式6-1】（23-24七年级下·山东临沂·期末）如果关于，的方程组的解是正数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程组与不等式组结合的问题，先利用加减消元法解方程组得到，再根据方程组的解为正数得到，解不等式组即可得到答案． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴方程组的解为， ∵方程组的解为正数， ∴， ∴， 故选：D． 【变式6-2】（23-24七年级下·江苏无锡·期末）若关于x，y的方程组的解满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了解二元一次不等式组，解一元一次不等式，熟练掌握解二元一次方程组的方法和解一元一次不等式的方法是解答本题的关键．首先应用加减法，求出，然后根据解一元一次不等式的方法，求出的取值范围即可． 【详解】解：， ，可得， 解得：， ∵， ， 解得：， 故选：A． 【变式6-3】（23-24七年级下·四川乐山·期末）已知关于x，y的方程组的解都为整数，且关于x的不等式组，恰有3个整数解，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和一元一次不等式组的能力，解题的关键是根据题意得出关于a的不等式组．根据不等式组求出a的范围，然后再根据方程组求出a的取值，从而确定的a的可能值即可得出答案． 【详解】解：解方程组得：， ∵方程组的解为整数， ∴、、， 解得：或0或1或或3或， 解不等式组，得：， ∵不等式组有且仅有3个整数解，即整数解为：， ∴， 解得：，满足条件的整数a有1、2、3、4， 综上所述：满足条件的整数a的值是1、3， ∴所有满足条件的整数a的值之和是． 故选：D． 【变式6-4】（23-24七年级下·山东威海·期末）已知关于x，y的方程组的解满足，求m的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程组的解集的情况求参数的范围，求不等式组的解集，根据方程组的解集的情况，得到关于的不等式组，求解即可． 【详解】解：， 得：，即， 得：， ∵， ∴ ∴， 故答案为：． 【考点题型七】一元一次不等式组的实际应用（） 【例7】（22-23八年级下·四川成都·期中）某电器经营业主计划购进一批同种型号的挂式空调和电风扇，若购进8台空调和20台电风扇，需要资金18000元，若购进4台空调和30台电风扇，需要资金11000元． (1)求挂式空调和电风扇每台的采购价各是多少元？ (2)该经营业主计划购进这两种电器共50台，而可用于购买这两种电器的资金不超过43000元，根据市场行情，销售一台这样的空调可获利200元，销售一台这样的电风扇可获利30元．该业主希望当这两种电器销售完时，所获得的利润不少于3200元．试问该经营业主有多少种进货方案？ 【答案】(1)挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元 (2)11种 【分析】本题考查了方程组，不等式的应用，不等式组的应用，熟练掌握方程组，不等式组的解法是解题的关键． （1）设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得，求解符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元，根据题意，得， 解得． 答：挂式空调的进价为元，电风扇的进价为元． （2）解：设购进挂式空调件，则购进电风扇件，根据题意，得， 解得 ， 为整数， 取10，11，12，13，14，15，16，17，18，19，20共11种． 答：一共有11种进货方案． 【变式7-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）小红家开了一家糕点店，现有面粉，鸡蛋，计划加工一般糕点和精制糕点两种产品共盒．已知加工盒一般糕点需面粉和鸡蛋；加工盒精制糕点需面粉和鸡蛋． (1)有哪几种加工方案？ (2)如果销售盒一般糕点和盒精制糕点的利润分别为元和元，那么按哪一种方案加工小红家可获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】(1)因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 加工一般糕点盒，精制糕点盒 (2)元 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出不等式组是解答本题的关键． （1）根据“现有面粉，鸡蛋”列出不等式组，求出自变量的取值范围，判断出符合条件的方案即可； （2）根据一盒一般糕点和精制糕点的利润，可以看出，制作的精制糕点越多，利润越大，因此找出（1）中精制糕点最多的方案，计算出这个方案的利润即可． 【详解】（1）解：设加工一般糕点盒，则加工精制糕点盒， 根据题意，得， 解得：， 为整数， 可取，，， 因此加工方案有三种：加工一般糕点盒，精制糕点盒； 加工一般糕点盒，精制糕点盒 ； 加工一般糕点盒，精制糕点盒； （2）解：由题意知，精制糕点数量越多利润越大，故当加工一般糕点盒、精制糕点盒时，可获得最大利润，最大利润为（元）． 【变式7-2】（24-25七年级下·全国·期末）某玩具店销售甲、乙两种型号的玩具汽车，已知卖出甲、乙两种型号的玩具汽车各2辆，收款共88元；卖出3辆甲型号玩具汽车和1辆乙型号玩具汽车，共收款84元． (1)求每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价； (2)某人想在该店购买甲、乙两种型号的玩具汽车共6辆，花费不少于130元，且不超过140元，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元 (2)共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆 【分析】（1）设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元．由题意，得，解方程组即可； （2）设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆，依题意，得，求整数解即可. 本题主要考查列二元一次方程组解应用题，以及列一元一次不等式组解应用题，并设计方案. 读懂题意，正确的列出方程组和不等式组是解题的关键. 【详解】（1）解：设每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别为元，元． 根据题意得, 解得， 答：每辆甲型号和乙型号玩具汽车的单价分别是20元和24元； （2）解：设购买甲型号玩具汽车辆，则购买乙型号玩具汽车辆， 根据题意得， 解得． 为正整数， 取1、2、3． 答：共有三种购买方案，分别为甲型号1辆，乙型号5辆；甲型号2辆，乙型号4辆；甲型号3辆，乙型号3辆． 【变式7-3】（24-25七年级上·吉林长春·阶段练习）高尔基说：“书籍是人类进步的阶梯”．为提高学生的阅读水平，某中学购买了“科普类”和“文学类”两种书籍，其中“科普类”图书的单价比“文学类”图书的单价多4元，购买30本“科普类”图书和40本“文学类”图书共花费1240元． (1)求这两种图书的单价分别是多少元？ (2)学校决定再次购买这两种图书共100本，总费用超过1790元但不超过1800元，则学校有哪几种购买方案． 【答案】(1)“科普类”图书的单价为20元，“文学类”图书的单价为16元 (2)①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本；②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本；③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及不等式组的应用，找准数量关系，正确列出一元一次方程和一元一次不等式是解题的关键． （1）设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，根据共花费1240元，即可得出关于x的方程，解之即可得出结论； （2）设“文学类”书购a本，根据总价单价数量，结合总费用超过1790元且不超过1800元，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设“科普类”图书的单价为x元，则“文学类”图书的单价为元，                         由题意得：， 解得：， 则，                        答：“科普类”图书的单价为20元，则“文学类”图书的单价为16元； （2）解：设“文学类”书购买a本，则“科普类”书购买本， 依题意得：， 解得：． 因为a是正整数，所以． ∴学校有3种购买方案：                         ①购买“科普类”图书48本，“文学类”图书52本； ②购买“科普类”图书49本，“文学类”图书51本； ③购买“科普类”图书50本，“文学类”图书50本． 【变式7-4】（2025七年级下·全国·专题练习）为了增强学生的体质，某学校倡导学生在大课间开展踢毽子活动，需购买甲、乙两种品牌的毽子．已知购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元． (1)购买1个甲种品牌毽子和1个乙种品牌毽子各需要多少元？ (2)若购买甲、乙两种品牌毽子共花费1000元，甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，则共有几种购买方案？ 【答案】(1)购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． (2)学校共有以下3种购买方案：方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子；方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子；方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元，根据购买10个甲种品牌毽子和5个乙种品牌毽子共需200元；购买15个甲种品牌毽子和10个乙种品牌毽子共需325元，列出方程组进行求解即可； （2）设购买个甲种品牌毽子，根据甲种品牌毽子数量不低于乙种品牌毽子数量的5倍且不超过乙种品牌毽子数量的16倍，列出不等式组进行求解即可． 【详解】（1）解：设购买1个甲种品牌毽子需要元，1个乙种品牌毽子需要元． 根据题意，得 解得 答：购买1个甲种品牌毽子需要15元，1个乙种品牌毽子需要10元． （2）设购买个甲种品牌毽子，则购买个乙种品牌毽子． 根据题意，得 解得． 又因为均为正整数， 所以可以为60，62，64， 所以学校共有以下3种购买方案： 方案1：购买60个甲种品牌毽子，10个乙种品牌毽子； 方案2：购买62个甲种品牌毽子，7个乙种品牌毽子； 方案3：购买64个甲种品牌毽子，4个乙种品牌毽子． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$