期中复习（易错题60题14个考点）范围：第一章～第三章-2024-2025学年七年级数学下学期期中考点大串讲（北师大版2024）

期中复习（易错题60题14个考点） 范围：第一章-第三章 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 二．幂的乘方与积的乘方（共8小题） 2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 3．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 4．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　） A．1 B．6 C．7 D．12 5．已知mx＝2，my＝5，则m2x+y值为（　　） A．9 B．20 C．45 D．m9 6．已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（　　） A．35 B．19 C．12 D．10 7．计算（﹣1）2021×（）2023的结果等于（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 8．（﹣2x3y4）3的值是（　　） A．﹣6x6y7 B．﹣8x27y64 C．﹣8x9y12 D．﹣6xy10 9．若am＝2，an＝3，则a2m+n＝　 　 ． 三．多项式乘多项式（共6小题） 10．观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4 11．若（x﹣3）（x+5）＝x2+px+q，则p为（　　） A．﹣15 B．2 C．8 D．﹣2 12．若x+m与x﹣3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 13．要使多项式（2x+p）（x﹣2）不含x的一次项，则p的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1 14．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片张数为 　 　 ． 15．[知识回顾] 有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3． [理解应用] （1）若关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值； （3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 四．完全平方公式（共9小题） 16．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 17．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　） A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67 18．已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（　　） A．24 B．48 C．12 D．2 19．“杨辉三角”揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将（a+b）5展开后，各项的系数和为　 　 ． （2）将（a+b）n展开后，各项的系数和为　 　 ． （3）（a+b）6＝　 　 ． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若（m，n）表示第m行，从左到右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是，则（6，2）表示的数是　 　 ，（8，3）表示的数是　 　 ． 20．阅读理解： 已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25． ∵ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19． 参考上述过程解答： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2． ①x2+y2＝　 　 ； ②求（x+y）2的值； （2） 已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值． 21．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b， 则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（x﹣2004）2+（x﹣2007）2＝31，求（x﹣2004）（x﹣2007）的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积． 22．已知a+b＝3，ab＝﹣4，求下列各式的值． （1）（a﹣b）2； （2）a2﹣5ab+b2． 23．【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方 形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 24．【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差与完全平方公式就利用了数形结合的方法． 【类比探究】对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图，若将图1中的阴影部分（四个全等的小正方形）移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，请回答下列问题： （1）请写出图中所表示的数学等式 　 　 ； 【解决问题】 （2）利用（1）中得到的结论，计算：若（4+x）x＝5，求（4+x）2+x2的值； 【拓展应用】 （3）将图2阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子（无盖），若长方体盒子的底面积为1cm2，表面积为9cm2，试求这个长方体的高． 五．平方差公式（共3小题） 25．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（x﹣y） D．（x+y）（2x﹣2y） 26．已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 27．设M＝20212﹣2020×2022，N＝20212﹣4042×2022+20222，则M与N的关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M＝±N 六．相交线（共1小题） 28．观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 七．平行线的判定（共3小题） 29．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 30．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　 　 时，CD∥AB． 31．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝　 　 时，道路CE才能恰好与AD平行． 八．平行线的性质（共16小题） 32．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 33．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 34．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 35．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（　　） A．x+y+z＝180° B．x﹣z＝y C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z 36．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 37．如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝60° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β+γ＝180° 38．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　 　 ． 39．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝　 　 ．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝　 　 ．（用含x的代数式表示）． 40．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　 　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　 　 度． 41．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　 　 °． 42．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 43．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 44．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． （1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC； （2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC∠EFC，求∠AEP的度数； （3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为　 　 ． 45．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB． 猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 　 　 度． 探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 46．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 47．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点， （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 九．平行线的判定与性质（共4小题） 48．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 49．如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG． （1）说明：DC∥AB； （2）求∠PFH的度数． 50．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 51．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 一十．随机事件（共1小题） 52．下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　） A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆 一十一．概率的意义（共1小题） 53．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（　　） A． B． C． D． 一十二．概率公式（共1小题） 54．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　） A． B． C． D． 一十三．列表法与树状图法（共1小题） 55．在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题： （1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求m的值； （3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率． 一十四．利用频率估计概率（共5小题） 56．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（　　） A．频率等于概率 B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．实验得到的频率与概率不可能相等 57．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 58．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则该运动员“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）（　　） A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9 59．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　 　 只A种候鸟． 60．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　 ；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中复习（易错题60题14个考点） 范围：第一章-第三章 一．同底数幂的乘法（共1小题） 1．已知x+y﹣3＝0，则2y•2x的值是（　　） A．6 B．﹣6 C． D．8 【答案】D 【解答】解：∵x+y﹣3＝0， ∴x+y＝3， ∴2y•2x＝2x+y＝23＝8， 故选：D． 二．幂的乘方与积的乘方（共8小题） 2．已知a＝8131，b＝2741，c＝961，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．a＜b＜c D．b＞c＞a 【答案】A 【解答】解：∵a＝8131＝（34）31＝3124 b＝2741＝（33）41＝3123； c＝961＝（32）61＝3122． 则a＞b＞c． 故选：A． 3．若（ambn）3＝a9b15，则m、n的值分别为（　　） A．9；5 B．3；5 C．5；3 D．6；12 【答案】B 【解答】解：∵（ambn）3＝a9b15， ∴a3mb3n＝a9b15， ∴3m＝9，3n＝15， ∴m＝3，n＝5， 故选：B． 4．已知9m＝3，27n＝4，则32m+3n＝（　　） A．1 B．6 C．7 D．12 【答案】D 【解答】解：∵9m＝32m＝3，27n＝33n＝4， ∴32m+3n＝32m×33n＝3×4＝12． 故选：D． 5．已知mx＝2，my＝5，则m2x+y值为（　　） A．9 B．20 C．45 D．m9 【答案】B 【解答】解：∵mx＝2，my＝5， ∴m2x+y＝m2x•my ＝（mx）2•my ＝22×5 ＝4×5 ＝20， 故选：B． 6．已知2a＝5，4b＝7，则2a+2b的值是（　　） A．35 B．19 C．12 D．10 【答案】A 【解答】解：∵2a＝5，4b＝7， ∴2a+2b＝2a•22b ＝2a•（22）b ＝2a•4b ＝5×7 ＝35， 故选：A． 7．计算（﹣1）2021×（）2023的结果等于（　　） A．1 B．﹣1 C． D． 【答案】D 【解答】解：（﹣1）2021×（）2023 ＝（）2021×（）2021×（）2 ＝[（）×（）]2021×（）2 ＝（﹣1）2021×（）2 ＝﹣1 ， 故选：D． 8．（﹣2x3y4）3的值是（　　） A．﹣6x6y7 B．﹣8x27y64 C．﹣8x9y12 D．﹣6xy10 【答案】C 【解答】解：（﹣2x3y4）3＝﹣8x9y12． 故选：C． 9．若am＝2，an＝3，则a2m+n＝　12　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵am＝2，an＝3， ∴a2m+n＝a2m•an＝（am）2•an＝22×3＝12． 故答案为：12． 三．多项式乘多项式（共6小题） 10．观察下列两个多项式相乘的运算过程： 根据你发现的规律，若（x+a）（x+b）＝x2﹣7x+12，则a，b的值可能分别是（　　） A．﹣3，﹣4 B．﹣3，4 C．3，﹣4 D．3，4 【答案】A 【解答】解：根据题意，知：a+b＝﹣7，ab＝12， ∴a，b的值可能分别是﹣3，﹣4， 故选：A． 11．若（x﹣3）（x+5）＝x2+px+q，则p为（　　） A．﹣15 B．2 C．8 D．﹣2 【答案】B 【解答】解：（x﹣3）（x+5）＝x2+5x﹣3x﹣15 ＝x2+2x﹣15 ∴p＝2． 故选：B． 12．若x+m与x﹣3的乘积中不含x的一次项，则m的值为（　　） A．﹣3 B．3 C．0 D．1 【答案】B 【解答】解：（x+m）（x﹣3）＝x2+（m﹣3）x﹣3m， ∵乘积中不含x的一次项， ∴m﹣3＝0， ∴m＝3． 故选：B． 13．要使多项式（2x+p）（x﹣2）不含x的一次项，则p的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣1 D．1 【答案】B 【解答】解：（2x+p）（x﹣2） ＝2x•x﹣2x•2+px﹣2p ＝2x2+（p﹣4）x﹣2p， 由题意得p﹣4＝0， 解得p＝4， 故选：B． 14．如图，正方形卡片A类，B类和长方形卡片C类若干张，如果要拼一个长为（3a+b），宽为（a+3b）的大长方形，则需要C类卡片张数为 　10　 ． 【答案】10． 【解答】解：由题意得， （3a+b）（a+3b） ＝3a2+9ab+ab+3b2 ＝3a2+10ab+3b2， ∴需要C类卡片张数为10， 故答案为：10． 15．[知识回顾] 有这样一类题：代数式ax﹣y+6+3x﹣5y﹣1的值与x的取值无关，求a的值； 通常的解题方法；把x，y看作字母，a看作系数合并同类项，因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0，即原式＝（a+3）x﹣6y+5，所以a+3＝0，即a＝﹣3． [理解应用] （1）若关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关，求m的值； （2）已知3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关，求y的值； （3）（能力提升）如图1，小长方形纸片的长为a、宽为b，有7张图1中的纸片按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中有两个部分（图中阴影部分）未被覆盖，设右上角的面积为S1，左下角的面积为S2，当AB的长变化时，S1﹣S2的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）a＝2b． 【解答】解：（1）∵关于x的多项式（2m﹣3）x+2m2﹣3m的值与x的取值无关， ∴2m﹣3＝0， ∴m． （2）3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1） ＝3[2x2﹣x﹣1﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1） ＝﹣3（2﹣5y）x﹣9． ∵3[（2x+1）（x﹣1）﹣x（1﹣3y）]+6（﹣x2+xy﹣1）的值与x无关， ∴2﹣5y＝0， ∴y． （3）设AB＝x，由图形得S1＝a（x﹣3b），S2＝2b（x﹣2a）， ∴S1﹣S2＝a（x﹣3b）﹣2b（x﹣2a）＝（a﹣2b）x+ab． ∵S1﹣S2的值始终保持不变， ∴（a﹣2b）x+ab与x无关， ∴a﹣2b＝0， ∴a＝2b． 四．完全平方公式（共9小题） 16．已知x＝3y+5，且x2﹣7xy+9y2＝24，则x2y﹣3xy2的值为（　　） A．0 B．1 C．5 D．12 【答案】C 【解答】解：∵x＝3y+5， ∴x﹣3y＝5， 两边平方，可得x2﹣6xy+9y2＝25， 又∵x2﹣7xy+9y2＝24， 两式相减，可得xy＝1， ∴x2y﹣3xy2＝xy（x﹣3y）＝1×5＝5， 故选：C． 17．若a+b＝10，ab＝11，则代数式a2﹣ab+b2的值是（　　） A．89 B．﹣89 C．67 D．﹣67 【答案】C 【解答】解：把a+b＝10两边平方得： （a+b）2＝a2+b2+2ab＝100， 把ab＝11代入得： a2+b2＝78， ∴原式＝78﹣11＝67， 故选：C． 18．已知（a+b）2＝49，a2+b2＝25，则ab＝（　　） A．24 B．48 C．12 D．2 【答案】C 【解答】解：（a+b）2＝a2+2ab+b2，将a2+b2＝25，（a+b）2＝49代入，可得 2ab+25＝49， 则2ab＝24， 所以ab＝12， 故选：C． 19．“杨辉三角”揭示了（a+b）n（n为非负数）展开式的各项系数的规律．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡是在1654年发现这一规律的，比杨辉要迟393年，比贾宪迟600年，请仔细观察“杨辉三角”中每个数字与上一行的左右两个数字之和的关系： 根据上述规律，完成下列各题： （1）将（a+b）5展开后，各项的系数和为　32　 ． （2）将（a+b）n展开后，各项的系数和为　2n　 ． （3）（a+b）6＝　a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6　 ． 下图是世界上著名的“莱布尼茨三角形”，类比“杨辉三角”，根据你发现的规律，回答下列问题： （4）若（m，n）表示第m行，从左到右数第n个数，如（4，2）表示第四行第二个数是，则（6，2）表示的数是　　 ，（8，3）表示的数是　　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）（a+b）5＝a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5， 1+5+10+10+5+1＝32， 故答案为：32； （2）第二行：（a+b）1＝a+b，1+1＝2，各项系数和为2＝21， 第三行：（a+b）2＝a2+2ab+b2，各项系数和为4＝22， … 第n+1行：（a+b）n展开后各项系数和为2n； 故答案为：2n； （3）由（2）得：（a+b）6＝a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6， 故答案为：a6+6a5b+15a4b2+20a3b3+15a2b4+6ab5+b6； （4）由题意得：这个三角的规律就是下一行的第1和第2个数相加就等于上一行的第1个数，下一行的第2和第3个数相加就等于上一行的第2个数，以此类推，还发现每一行的第一个数都是， ∴（6，2）表示第六行第二个数，是， 按规律计算：第六行：，，，，，， 第七行：，，，，，，， 第八行：，，… ∴（8，3）表示第八行第三个数，是； 故答案为：，． 20．阅读理解： 已知a+b＝5，ab＝3，求a2+b2的值． 解：∵a+b＝5， ∴（a+b）2＝52，即a2+2ab+b2＝25． ∵ab＝3， ∴a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝19． 参考上述过程解答： （1）若x﹣y＝﹣3，xy＝﹣2． ①x2+y2＝　5　 ； ②求（x+y）2的值； （2）已知x+y＝7，x2+y2＝25，求（x﹣y）2的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）①∵x﹣y＝﹣3， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝9， ∵xy＝﹣2， ∴x2+y2＝5； 故答案为：5． ②∵x2+y2＝5，xy＝﹣2， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝1． （2）∵x+y＝7， ∴（x+y）2＝x2+2xy+y2＝49， ∵x2+y2＝25， ∴xy＝12， ∴（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2＝1． 21．若x满足（9﹣x）（x﹣4）＝4，求（4﹣x）2+（x﹣9）2的值． 解：设9﹣x＝a，x﹣4＝b， 则（9﹣x）（x﹣4）＝ab＝4，a+b＝（9﹣x）+（x﹣4）＝5， ∴（9﹣x）2+（x﹣4）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×4＝17． 请仿照上面的方法求解下面问题： （1）若x满足（x﹣2004）2+（x﹣2007）2＝31，求（x﹣2004）（x﹣2007）的值； （2）已知正方形ABCD的边长为x，E，F分别是AD、DC上的点，且AE＝1，CF＝3，长方形EMFD的面积是48，分别以MF、DF作正方形MFRN和正方形GFDH，求阴影部分的面积． 【答案】（1）（x﹣2004）（x﹣2007）＝11； （2）阴影部分的面积是28． 【解答】解：（1）设x﹣2004＝a，x﹣2007＝b， ∴a2+b2＝31，a﹣b＝3， ∴﹣2（x﹣2004）（x﹣2007）＝﹣2ab＝（a﹣b）2﹣（a2+b2）＝9﹣31＝﹣22， ∴（x﹣2004）（x﹣2007）＝11； （2）∵正方形ABCD的边长为x，AE＝1，CF＝3， ∴FM＝DE＝x﹣1，DF＝x﹣3， ∴（x﹣1）•（x﹣3）＝48， ∴（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴阴影部分的面积＝FM2﹣DF2＝（x﹣1）2﹣（x﹣3）2． 设（x﹣1）＝a，（x﹣3）＝b，则（x﹣1）（x﹣3）＝ab＝48，a﹣b＝（x﹣1）﹣（x﹣3）＝2， ∴（a+b）2＝（a﹣b）2+4ab＝4+192＝196， ∵a＞0，b＞0， ∴a+b＞0， ∴a+b＝14， ∴（x﹣1）2﹣（x﹣3）2＝a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）＝14×2＝28． 即阴影部分的面积是28． 22．已知a+b＝3，ab＝﹣4，求下列各式的值． （1）（a﹣b）2； （2）a2﹣5ab+b2． 【答案】（1）25． （2）37． 【解答】解；（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab ＝32﹣4×（﹣4） ＝25． （2）a2﹣5ab+b2＝a2+2ab+b2﹣7ab ＝（a+b）2﹣7ab ＝9﹣（﹣28） ＝37． 23．【阅读材料】众所周知，图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能表现一些代数中的数量关系，运用代数思想也能巧妙地解决一些图形问题．在某次数学活动课上，王老师准备了若干张如图1所示的甲，乙两种纸片，其中甲种纸片是边长为x的正方 形，乙种纸片是边长为y的正方形，现用甲种纸片一张，乙种纸片一张，将甲种纸片放置在乙种纸片内部右下角，如图所示． 【理解应用】（1）观察图2，用两种不同方式表示阴影部分的面积可得到一个等式，请你直接写出这个等式； 【拓展升华】（2）利用（1）中的等式解决下列问题． ①已知（a﹣b）2＝4，b2＝9，且a＞b，求a2的值； ②已知（4044x﹣2）•2022x＝2021，求（1﹣2022x）2+20222x2的值． 【答案】（1）（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2； （2）①25． ②2022． 【解答】解：（1）图2中阴影部分的面积为：（y﹣x）2， 还可以表示为：y2﹣x2﹣2x（y﹣x）， ∴（y﹣x）2＝y2﹣x2﹣2x（y﹣x）， ∴（y﹣x）2＝y2﹣2xy+x2． （2）①∵（a﹣b）2＝4， ∴a﹣b＝±2， ∵a＞b， ∴a﹣b＝2， ∵b2＝9， ∴b＝±3， ∴a＝b+2＝5或﹣1， ∴a2＝25或1． ②设a＝1﹣2022x，b＝2022x， 则a+b＝1，2ab＝﹣2021， ∴原式＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝1+2021 ＝2022． 24．【阅读材料】我国著名数学家华罗庚教授曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休”，数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形结合起来，可以使复杂、难懂的问题具体化，从而把握数学问题的本质，实现优化解题的目的．例如，教材在探究平方差与完全平方公式就利用了数形结合的方法． 【类比探究】对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图，若将图1中的阴影部分（四个全等的小正方形）移动成图2，根据两个图形中阴影部分的关系，请回答下列问题： （1）请写出图中所表示的数学等式 　（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2　 ； 【解决问题】 （2）利用（1）中得到的结论，计算：若（4+x）x＝5，求（4+x）2+x2的值； 【拓展应用】 （3）将图2阴影部分用剪刀剪去，剩下部分围成一个长方体盒子（无盖），若长方体盒子的底面积为1cm2，表面积为9cm2，试求这个长方体的高． 【答案】（1）（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （2）（4+x）2+x2的值为26； （3）这个长方体的高为2cm． 【解答】解：（1）图中所表示的数学等式：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2， 故答案为：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2； （2）设4+x＝a，x＝b， ∴a﹣b＝4+x﹣x＝4， ∵（4+x）x＝5， ∴ab＝5， ∴（4+x）2+x2＝a2+b2＝（a﹣b）2+2ab＝42+2×5＝16+10＝26， ∴（4+x）2+x2的值为26； （3）∵长方体盒子的底面积为1cm2， ∴b2＝1， ∴b＝1或b＝﹣1（舍去）， ∵长方体盒子的表面积为9cm2， ∴a2﹣（a﹣b）2＝9， ∴a2﹣a2+2ab﹣b2＝9， ∴a＝5cm， ∴这个长方体的高2（cm）， ∴这个长方体的高为2cm． 五．平方差公式（共3小题） 25．下列运算中，不能用平方差公式运算的是（　　） A．（﹣b﹣c）（﹣b+c） B．﹣（x+y）（﹣x﹣y） C．（x+y）（x﹣y） D．（x+y）（2x﹣2y） 【答案】B 【解答】解：A、（﹣b﹣c）（﹣b+c）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； B、﹣（x+y）（﹣x﹣y）＝（x+y）（x+y），不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； C、（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意； D、（x+y）（2x﹣2y）＝2（x+y）（x﹣y）符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不符合题意． 故选：B． 26．已知a+b＝6，则a2﹣b2+12b的值为（　　） A．6 B．12 C．24 D．36 【答案】D 【解答】解：∵a+b＝6， ∴a2﹣b2+12b ＝（a+b）（a﹣b）+12b ＝6（a﹣b）+12b ＝6a﹣6b+12b ＝6a+6b ＝6（a+b） ＝6×6 ＝36， 故选：D． 27．设M＝20212﹣2020×2022，N＝20212﹣4042×2022+20222，则M与N的关系是（　　） A．M＞N B．M＝N C．M＜N D．M＝±N 【答案】B 【解答】解：M＝20212﹣2020×2022 ＝20212﹣（2021﹣1）（2021+1） ＝20212﹣（20212﹣1） ＝20212﹣20212+1 ＝1， N＝20212﹣4042×2022+20222 ＝20212﹣2×2021×2022+20222 ＝（2021﹣2022）2 ＝1， ∴M＝N， 故选：B． 六．相交线（共1小题） 28．观察如图，并阅读图形下面的相关文字： 两条直线相交，最多有1个交点；三条直线相交，最多有3个交点；4条直线相交，最多有6个交点…… 像这样，20条直线相交，交点最多的个数是（　　） A．100个 B．135个 C．190个 D．200个 【答案】C 【解答】解：2条直线相交最多有1个交点，11×2， 3条直线相交最多有3个交点，3＝1+22×3， 4条直线相交最多有6个交点，6＝1+2+33×4， 5条直线相交最多有10个交点，10＝1+2+3+44×5， … n条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）． 20条直线相交最多有交点的个数是：n（n﹣1）20×19＝190． 故选：C． 七．平行线的判定（共3小题） 29．如图，下列条件：①∠1＝∠2，②∠3+∠4＝180°，③∠5+∠6＝180°，④∠2＝∠3，⑤∠7＝∠2+∠3，⑥∠7+∠4﹣∠1＝180°中能判断直线a∥b的有（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【解答】解：①由∠1＝∠2，可得a∥b； ②由∠3+∠4＝180°，可得a∥b； ③由∠5+∠6＝180°，∠3+∠6＝180°，可得∠5＝∠3，即可得到a∥b； ④由∠2＝∠3，不能得到a∥b； ⑤由∠7＝∠2+∠3，∠7＝∠1+∠3可得∠1＝∠2，即可得到a∥b； ⑥由∠7+∠4﹣∠1＝180°，∠7﹣∠1＝∠3，可得∠3+∠4＝180°，即可得到a∥b； 故选：C． 30．一副三角板按如图所示叠放在一起，其中点B、D重合，若固定三角形AOB，改变三角板ACD的位置（其中A点位置始终不变），当∠BAD＝　30°或150°　 时，CD∥AB． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图所示：当CD∥AB时，∠BAD＝∠D＝30°； 如图所示，当AB∥CD时，∠C＝∠BAC＝60°， ∴∠BAD＝60°+90°＝150°； 故答案为：150°或30°． 31．如图所示，一条公路修到湖边时，需要拐弯绕湖而过，第一次拐的角∠A＝110°，第二次拐的角∠B＝145°，则第三次拐的角∠C＝　145°　 时，道路CE才能恰好与AD平行． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：如图，延长AB，EC，交于点F， 当AD∥EF时，∠F＝∠A＝110°， ∵∠FBC＝180°﹣∠ABC＝35°， ∴∠BCE＝∠F+∠FBC＝110°+35°＝145°， 即第三次拐的角为145°时，道路CE才能恰好与AD平行． 故答案为：145°． 八．平行线的性质（共16小题） 32．如图，AB∥CD，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A．α+β+γ＝180° B．α﹣β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝180° D．α+β+γ＝360° 【答案】C 【解答】解：如图，延长AE交直线CD于F， ∵AB∥CD， ∴∠α+∠AFD＝180°， ∵∠AFD＝∠β﹣∠γ， ∴∠α+∠β﹣∠γ＝180°， 故选：C． 33．如图，已知直线AB、CD被直线AC所截，AB∥CD，E是平面内任意一点（点E不在直线AB、CD、AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β．下列各式：①α+β，②α﹣β，③β﹣α，④360°﹣α﹣β，∠AEC的度数可能是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【解答】解：（1）如图，由AB∥CD，可得∠AOC＝∠DCE1＝β， ∵∠AOC＝∠BAE1+∠AE1C， ∴∠AE1C＝β﹣α． （2）如图，过E2作AB平行线，则由AB∥CD，可得∠1＝∠BAE2＝α，∠2＝∠DCE2＝β， ∴∠AE2C＝α+β． （3）如图，由AB∥CD，可得∠BOE3＝∠DCE3＝β， ∵∠BAE3＝∠BOE3+∠AE3C， ∴∠AE3C＝α﹣β． （4）如图，由AB∥CD，可得∠BAE4+∠AE4C+∠DCE4＝360°， ∴∠AE4C＝360°﹣α﹣β． ∴∠AEC的度数可能为β﹣α，α+β，α﹣β，360°﹣α﹣β． （5）当点E在CD的下方时，同理可得，∠AEC＝α﹣β或β﹣α． 故选：D． 34．如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于（　　） A．112° B．110° C．108° D．106° 【答案】D 【解答】解：∵∠AGE＝32°，∠AGD＝180°， ∴∠DGE＝148°， 由折叠可得，∠DGH∠DGE＝74°， ∵AD∥BC， ∴∠GHC＝180°﹣∠DGH＝106°， 故选：D． 35．如图，已知AB∥EG，BC∥DE，CD∥EF，则x、y、z三者之间的关系是（　　） A．x+y+z＝180° B．x﹣z＝y C．y﹣x＝z D．y﹣x＝x﹣z 【答案】B 【解答】解：如图所示，延长AB交DE于H， ∵BC∥DE， ∴∠ABC＝∠AHE＝x， ∵CD∥EF，AB∥EG， ∴∠D＝∠DEF＝z，∠AHE＝∠DEG＝z+y， ∴∠ABC＝∠DEG， 即x＝z+y， ∴x﹣z＝y， 故选：B． 36．如图1的长方形纸带中∠DEF＝25°，将纸带沿EF折叠成图2，再沿BF折叠成图3，则图3中∠CFE度数是（　　） A．105° B．120° C．130° D．145° 【答案】A 【解答】解：∵四边形ABCD为长方形， ∴AD∥BC， ∴∠BFE＝∠DEF＝25°． 由翻折的性质可知： 图2中，∠EFC＝180°﹣∠BFE＝155°，∠BFC＝∠EFC﹣∠BFE＝130°， 图3中，∠CFE＝∠BFC﹣∠BFE＝105°． 故选：A． 37．如图，AB∥EF，∠C＝60°，则α，β，γ的关系为（　　） A．β＝α+γ B．α+β﹣γ＝60° C．β+γ﹣α＝90° D．α+β+γ＝180° 【答案】B 【解答】解：延长DC交AB与G，延长CD交EF于H． 在△BGC中，∠1＝60°﹣α， ∵∠β＝∠2+∠γ， ∴∠2＝β﹣γ， ∵AB∥EF， ∴∠1＝∠2， ∴60°﹣α＝β﹣γ，即α+β﹣γ＝60°． 故选：B． 38．如图，已知AB∥CD，BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∠BAD＝70°，∠BCD＝40°，则∠BED的度数为　55°　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC， ∴∠ABE＝∠CBE∠ABC，∠ADE＝∠CDE∠ADC， ∵∠ABE+∠BAD＝∠E+∠ADE，∠BCD+∠CDE＝∠E+∠CBE， ∴∠ABE+∠BAD+∠BCD+∠CDE＝∠E+∠ADE+∠E+∠CBE， ∴∠BAD+∠BCD＝2∠E， ∵∠BAD＝70°，∠BCD＝40°， ∴∠E（∠BAD+∠BCD）（70°+40°）＝55°． 故答案为：55°． 39．将一条两边互相平行的纸带沿EF折叠，如图（1），AD∥BC，ED'∥FC'，设∠AED'＝x° （1）∠EFB＝　90°x°　 ．（用含x的代数式表示） （2）若将图1继续沿BF折叠成图（2），∠EFC″＝　90°　 ．（用含x的代数式表示）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1所示： ∵AD∥BC， ∴∠DEF＝∠EFB，∠AEH+∠EHB＝180°， 又∵∠DEF＝∠D'EF， ∴∠D'EF＝∠EFB， 又∵∠EHB＝∠D'EF+∠EFB， ∴∠EFB∠EHB， 又∵∠AED'＝x°， ∴∠EHB＝180°﹣x° ∴∠EFB90°x° （2）如图2所示： ∵∠EFB+∠EFC'＝180°， ∴∠EFC'＝180°﹣（90°°）＝90°， 又∵∠EFC'＝2∠EFB+∠EFC''， ∴∠EFC''＝∠EFC'﹣2∠EFB ＝90°2（90°°） ， 故答案为． 40．如图，AB∥CD，P2E平分∠P1EB，P2F平分∠P1FD，若设∠P1EB＝x°，∠P1FD＝y°则∠P1＝　（x+y）　 度（用x，y的代数式表示），若P3E平分∠P2EB，P3F平分∠P2FD，可得∠P3，P4E平分∠P3EB，P4F平分∠P3FD，可得∠P4…，依次平分下去，则∠Pn＝　（）n﹣1（x+y）　 度． 【答案】（1）（x+y）；（2）（）n﹣1（x+y）． 【解答】解：（1）如图，分别过点P1、P2作直线MN∥AB，GH∥AB， ∴∠P1EB＝∠MP1E＝x°． 又∵AB∥CD， ∴MN∥CD． ∴∠P1FD＝∠FP1M＝y°． ∴∠EP1F＝∠EP1M+∠FP1M＝x°+y°． （2）∵P2E平分∠BEP1，P2F平分∠DFP1， ∴． ． 以此类推：，，...，． 故答案为：（x+y），（）n﹣1（x+y）． 41．如图，AB∥CD，BF、DF分别平分∠ABE和∠CDE，BF∥DE，∠F与∠ABE互补，则∠F的度数为 　36　 °． 【答案】36． 【解答】解：延长FB交CD于点G，如图： ∵BF，DF分别平分∠ABE和∠CDE， ∴∠1＝∠2，∠FBA＝∠FBE， ∵AB∥CD， ∴∠FBA＝∠3， ∵BF∥DE，∠F与∠ABE互补， ∴∠3＝∠EDC＝2∠2，∠F＝∠1，∠F+∠ABE＝180°， 设∠F＝x°，则∠1＝∠2＝x°，∠3＝2x°，∠ABE＝4x°， ∴x+4x＝180， 解得，x＝36， 即∠F的度数为36°． 故答案为：36． 42．已知AB∥CD，点M、N分别是AB、CD上两点，点G在AB、CD之间，连接MG、NG． （1）如图1，若GM⊥GN，求∠AMG+∠CNG的度数； （2）如图2，若点P是CD下方一点，MG平分∠BMP，ND平分∠GNP，已知∠BMG＝30°，求∠MGN+∠MPN的度数； （3）如图3，若点E是AB上方一点，连接EM、EN，且GM的延长线MF平分∠AME，NE平分∠CNG，2∠MEN+∠MGN＝105°，求∠AME的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，过G作GH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GH∥AB∥CD， ∴∠AMG＝∠HGM，∠CNG＝∠HGN， ∵MG⊥NG， ∴∠MGN＝∠MGH+∠NGH＝∠AMG+∠CNG＝90°； （2）如图2，过G作GK∥AB，过点P作PQ∥AB，设∠GND＝α， ∵GK∥AB，AB∥CD， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝α， ∵GK∥AB，∠BMG＝30°， ∴∠MGK＝∠BMG＝30°， ∵MG平分∠BMP，ND平分∠GNP， ∴∠GMP＝∠BMG＝30°， ∴∠BMP＝60°， ∵PQ∥AB， ∴∠MPQ＝∠BMP＝60°， ∵ND平分∠GNP， ∴∠DNP＝∠GND＝α， ∵AB∥CD， ∴PQ∥CD， ∴∠QPN＝∠DNP＝α， ∴∠MGN＝30°+α，∠MPN＝60°﹣α， ∴∠MGN+∠MPN＝30°+α+60°﹣α＝90°； （3）如图3，过G作GK∥AB，过E作ET∥AB，设∠AMF＝x，∠GND＝y， ∵AB，FG交于M，MF平分∠AME， ∴∠FME＝∠FMA＝∠BMG＝x， ∴∠AME＝2x， ∵GK∥AB， ∴∠MGK＝∠BMG＝x， ∵ET∥AB， ∴∠TEM＝∠EMA＝2x， ∵CD∥AB∥KG， ∴GK∥CD， ∴∠KGN＝∠GND＝y， ∴∠MGN＝x+y， ∵∠CND＝180°，NE平分∠CNG， ∴∠CNG＝180°﹣y，∠CNE∠CNG＝90°y， ∵ET∥AB∥CD， ∴ET∥CD， ∴∠TEN＝∠CNE＝90°y， ∴∠MEN＝∠TEN﹣∠TEM＝90°y﹣2x，∠MGN＝x+y， ∵2∠MEN+∠G＝105°， ∴2（90°y﹣2x）+x+y＝105°， ∴x＝25°， ∴∠AME＝2x＝50°． 43．当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等例如：在图①、图②中，都有∠1＝∠2，∠3＝∠4．设镜子AB与BC的夹角∠ABC＝α． （1）如图①，若α＝90°，判断入射光线EF与反射光线GH的位置关系，并说明理由． （2）如图②，若90°＜α＜180°，入射光线EF与反射光线GH的夹角∠FMH＝β．探索α与β的数量关系，并说明理由． （3）如图③，若α＝120°，设镜子CD与BC的夹角∠BCD＝γ（90°＜γ＜180°），入射光线EF与镜面AB的夹角∠1＝m（0°＜m＜90°），已知入射光线EF从镜面AB开始反射，经过n（n为正整数，且n≤3）次反射，当第n次反射光线与入射光线EF平行时，请直接写出γ的度数．（可用含有m的代数式表示） 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）EF∥GH，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°，α＝90°， ∴∠2+∠3＝90°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠1+∠2+∠3+∠4＝180°， ∵∠1+∠2+∠FEG＝180°， ∠3+∠4+∠EGH＝180°， ∴∠FEG+∠EGH＝180°， ∴EF∥GH； （2）β＝2α﹣180°，理由如下： 在△BEG中，∠2+∠3+α＝180°， ∴∠2+∠3＝180°﹣α， ∵∠1＝∠2，∠1＝∠MEB， ∴∠2＝∠MEB， ∴∠MEG＝2∠2， 同理可得，∠MGE＝2∠3， 在△MEG中，∠MEG+∠MGE+β＝180°， ∴β＝180°﹣（∠MEG+∠MGE） ＝180°﹣（2∠2+2∠3） ＝180°﹣2（∠2+∠3） ＝180°﹣2（180°﹣α） ＝2α﹣180°； （3）90°+m或150°． 理由如下：①当n＝3时，如图所示： ∵∠BEG＝∠1＝m， ∴∠BGE＝∠CGH＝60°﹣m， ∴∠FEG＝180°﹣2∠1＝180°﹣2m， ∠EGH＝180°﹣2∠BGE＝180°﹣2（60°﹣m）， ∵EF∥HK， ∴∠FEG+∠EGH+∠GHK＝360°， 则∠GHK＝120°， 则∠GHC＝30°， 由△GCH内角和，得γ＝90°+m． ②当n＝2时，如果在BC边反射后与EF平行，则α＝90°， 与题意不符； 则只能在CD边反射后与EF平行， 如图所示： 根据三角形外角定义，得 ∠G＝γ﹣60°， 由EF∥HK，且由（1）的结论可得， ∠G＝γ﹣60°＝90°， 则γ＝150°． 综上所述：γ的度数为：90°+m或150°． 44．如图1，AB∥CD，直线EF交AB于点E，交CD于点F，点G在CD上，点P在直线EF左侧、且在直线AB和CD之间，连接PE、PG． （1）求证：∠EPG＝∠AEP+∠PGC； （2）连接EG，若EG平分∠PEF，∠AEP+∠PGE＝110°，∠PGC∠EFC，求∠AEP的度数； （3）如图2，若EF平分∠PEB，∠PGC的平分线所在的直线与EF相交于点H，则∠EPG与∠EHG之间的数量关系为　∠EPG+2∠EHG＝180°．　 ． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）如图1，延长EP交CD于M， ∵AB∥CD， ∴∠AEP＝∠GMP， ∵∠EPG是△PGM的外角， ∴∠EPG＝∠PMG+∠PGC＝∠AEP+∠PGC； （2）如图1，连接EG， ∵GE平分∠PEF， ∴∠PEG＝∠FEG， 设∠AEP＝α，∠PGC＝β，则∠PGE＝110°﹣α，∠EFG＝2β， ∵AE∥CG，∠AEP+∠PGE＝110°， ∴∠PEG+∠PGC＝180°﹣110°＝70°，即∠PEG＝70°﹣β， ∵∠CGE是△EFG的外角， ∴∠FEG＝∠CGE﹣∠EFG＝β+（110°﹣α）﹣2β＝110°﹣α﹣β， 70°﹣β＝110°﹣α﹣β， 解得α＝40°， ∴∠AEP＝40°； （3）如图2，∵EF平分∠PEB， ∴可设∠BEF＝∠PEF＝α， ∵AB∥CD， ∴∠GFE＝∠BEF＝α， ∴四边形PGFE中，∠PGF＝360°﹣∠P﹣2α， ∴∠PGC＝180°﹣（360°﹣∠P﹣2α）＝∠P+2α﹣180°， ∵∠EFG是△FGH的外角， ∴∠FGH＝∠EFG﹣∠EHG＝α﹣∠EHG， 又∵QG平分∠PGC， ∴∠PGC＝2∠FGH， 即∠P+2α﹣180°＝2（α﹣∠EHG）， 整理可得，∠P+2∠EHG＝180°． 故答案为：∠P+2∠EHG＝180°． 45．如图①，直线l1∥l2，直线EF和直线l1、l2分别交于C、D两点，点A、B分别在直线l1、l2上，点P在直线EF上，连接PA、PB． 猜想：如图①，若点P在线段CD上，∠PAC＝15°，∠PBD＝40°，则∠APB的大小为 　55　 度． 探究：如图①，若点P在线段CD上，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 拓展：如图②，若点P在射线CE上或在射线DF上时，直接写出∠PAC、∠APB、∠PBD之间的数量关系． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：猜想：如图①，过点P作PG∥l1， ∵l1∥l2， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC＝15°，∠BPG＝∠PBD＝40°， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD＝15°+40°＝55°， ∴∠APB的大小为55度， 故答案为：55； 探究：如图①，∠PAC＝∠APB﹣∠PBD，理由如下： ∵l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠APB＝∠APG+∠BPG＝∠PAC+∠PBD， ∴∠PAC＝∠APB﹣∠PBD； 拓展：∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD，理由如下： 如图，当点P在射线CE上时， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠BPG﹣∠APB， ∴∠PAC＝∠PBD﹣∠APB； 当点P在射线DF上时， 过点P作PG∥l1， ∴l1∥l2∥PG， ∴∠APG＝∠PAC，∠BPG＝∠PBD， ∴∠PAC＝∠APG＝∠APB+∠BPG， ∴∠PAC＝∠APB+∠PBD， 综上所述：当点P在射线CE上或在射线DF上时，∠PAC＝∠PBD﹣∠APB或∠PAC＝∠APB+∠PBD． 46．如图，已知AC∥FE，∠1+∠2＝180°． （1）求证：∠FAB＝∠BDC； （2）若AC平分∠FAD，EF⊥BE于点E，∠FAD＝80°，求∠BCD的度数． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）50°． 【解答】（1）证明：∵AC∥EF， ∴∠1+∠FAC＝180°， 又∵∠1+∠2＝180°， ∴∠FAC＝∠2， ∴FA∥CD， ∴∠FAB＝∠BDC； （2）解：∵AC平分∠FAD， ∴∠FAC＝∠CAD，∠FAD＝2∠FAC， 由（1）知∠FAC＝∠2， ∴∠FAD＝2∠2， ∴∠2∠FAD， ∵∠FAD＝80°， ∴∠280°＝40°， ∵EF⊥BE，AC∥EF， ∴AC⊥BE， ∴∠ACB＝90°， ∴∠BCD＝90°﹣∠2＝50°． 47．如图，直线PQ∥MN，点C是PQ、MN之间（不在直线PQ，MN上）的一个动点， （1）若∠1与∠2都是锐角，如图甲，请直接写出∠C与∠1，∠2之间的数量关系； （2）若把一块三角尺（∠A＝30°，∠C＝90°）按如图乙方式放置，点D，E，F是三角尺的边与平行线的交点，若∠AEN＝∠A，求∠BDF的度数； （3）将图乙中的三角尺进行适当转动，如图丙，直角顶点C始终在两条平行线之间，点G在线段CD上，连接EG，且有∠CEG＝∠CEM，求的值． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∠C＝∠1+∠2． 理由：如图，过C作CD∥PQ， ∵PQ∥MN， ∴PQ∥CD∥MN， ∴∠1＝∠ACD，∠2＝∠BCD， ∴∠ACB＝∠ACD+∠BCD＝∠1+∠2． （2）∵∠AEN＝∠A＝30°， ∴∠MEC＝30°， 由（1）可得，∠C＝∠MEC+∠PDC＝90°， ∴∠PDC＝90°﹣∠MEC＝60°， ∴∠BDF＝∠PDC＝60°； （3）设∠CEG＝∠CEM＝x，则∠GEN＝180°﹣2x， 由（1）可得，∠C＝∠CEM+∠CDP， ∴∠CDP＝90°﹣∠CEM＝90°﹣x， ∴∠BDF＝90°﹣x， ∴2． 九．平行线的判定与性质（共4小题） 48．将一副三角板按如图放置，则下列结论：①如果∠2＝30°，则有AC∥DE；②∠BAE+∠CAD＝180°；③如果BC∥AD，则有∠2＝30°；④如果∠CAD＝150°，必有∠4＝∠C；正确的有（　　） A．①②④ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】A 【解答】解：∵∠2＝30°， ∴∠1＝60°， 又∵∠E＝60°， ∴∠1＝∠E， ∴AC∥DE，故①正确； ∵∠1+∠2＝90°，∠2+∠3＝90°， 即∠BAE+∠CAD＝∠1+∠2+∠2+∠3＝90°+90°＝180°，故②正确； ∵BC∥AD， ∴∠1+∠2+∠3+∠C＝180°， 又∵∠C＝45°，∠1+∠2＝90°， ∴∠3＝45°， ∴∠2＝90°﹣45°＝45°，故③错误； ∵∠D＝30°，∠CAD＝150°， ∴∠CAD+∠D＝180°， ∴AC∥DE， ∴∠4＝∠C，故④正确． 故选：A． 49．如图，已知DC∥FP，∠1＝∠2，∠FED＝30°，∠AGF＝80°，FH平分∠EFG． （1）说明：DC∥AB； （2）求∠PFH的度数． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）∵DC∥FP， ∴∠3＝∠2， 又∵∠1＝∠2， ∴∠3＝∠1， ∴DC∥AB； （2）∵DC∥FP，DC∥AB，∠DEF＝30°， ∴∠DEF＝∠EFP＝30°，AB∥FP， 又∵∠AGF＝80°， ∴∠AGF＝∠GFP＝80°， ∴∠GFE＝∠GFP+∠EFP＝80°+30°＝110°， 又∵FH平分∠EFG， ∴∠GFH∠GFE＝55°， ∴∠PFH＝∠GFP﹣∠GFH＝80°﹣55°＝25°． 50．如图1，E点在BC上，∠A＝∠D，∠ACB+∠BED＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，AB∥CD，BG平分∠ABE，与∠EDF的平分线交于H点，若∠DEB比∠DHB大60°，求∠DEB的度数． （3）在（1）的结论下，保持（2）中所求的∠DEB的度数不变，如图3，BM平分∠EBK，DN平分∠CDE，作BP∥DN，则∠PBM的度数是否改变？若不变，请求值；若改变，请说明理由． 【答案】（1）证明过程请看解答； （2）100°； （3）40°． 【解答】（1）证明：如图1，延长DE交AB于点F， ∵∠ACB+∠BED＝180°，∠CED+∠BED＝180°， ∴∠ACB＝∠CED， ∴AC∥DF， ∴∠A＝∠DFB， ∵∠A＝∠D， ∴∠DFB＝∠D， ∴AB∥CD； （2）如图2，作EM∥CD，HN∥CD， ∵AB∥CD， ∴AB∥EM∥HN∥CD， ∴∠1+∠EDF＝180°，∠MEB＝∠ABE， ∵BG平分∠ABE， ∴∠ABGABE， ∵AB∥HN， ∴∠2＝∠ABG， ∵CF∥HN， ∴∠2+∠β＝∠3， ∴ABE+∠β＝∠3， ∵DH平分∠EDF， ∴∠3EDF， ∴ABE+∠βEDF， ∴∠β（∠EDF﹣∠ABE）， ∴∠EDF﹣∠ABE＝2∠β， 设∠DEB＝∠α， ∵∠α＝∠1+∠MEB＝180°﹣∠EDF+∠ABE＝180°﹣（∠EDF﹣∠ABE）＝180°﹣2∠β， ∵∠DEB比∠DHB大60°， ∴∠α﹣60°＝∠β， ∴∠α＝180°﹣2（∠α﹣60°） 解得∠α＝100° ∴∠DEB的度数为100°； （3）∠PBM的度数不变，理由如下： 如图3，过点E作ES∥CD，设直线DF和直线BP相交于点G， ∵BM平分∠EBK，DN平分∠CDE， ∴∠EBM＝∠MBKEBK， ∠CDN＝∠EDNCDE， ∵ES∥CD，AB∥CD， ∴ES∥AB∥CD， ∴∠DES＝∠CDE， ∠BES＝∠ABE＝180°﹣∠EBK， ∠G＝∠PBK， 由（2）可知：∠DEB＝100°， ∴∠CDE+180°﹣∠EBK＝100°， ∴∠EBK﹣∠CDE＝80°， ∵BP∥DN， ∴∠CDN＝∠G， ∴∠PBK＝∠G＝∠CDNCDE， ∴∠PBM＝∠MBK﹣∠PBK ∠EBKCDE （∠EBK﹣∠CDE） 80° ＝40°． 51．如图①，已知AD∥BC，∠B＝∠D＝120°． （1）请问：AB与CD平行吗？为什么？ （2）若点E、F在线段CD上，且满足AC平分∠BAE，AF平分∠DAE，如图②，求∠FAC的度数． （3）若点E在直线CD上，且满足∠EAC∠BAC，求∠ACD：∠AED的值（请自己画出正确图形，并解答）． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）平行． 如图①，∵AD∥BC， ∴∠A+∠B＝180°， 又∵∠B＝∠D＝120°， ∴∠D+∠A＝180°， ∴AB∥CD； （2）如图②，∵AD∥BC，∠B＝∠D＝120°， ∴∠DAB＝60°， ∵AC平分∠BAE，AF平分∠DAE， ∴∠EAC∠BAE，∠EAF∠DAE， ∴∠FAC＝∠EAC+∠EAF（∠BAE+∠DAE）∠DAB＝30°； （3）①如图3，当点E在C点左侧时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：3； ②如图4，当点E在C点右侧时， 由（1）可得AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，∠AED＝∠BAE， 又∵∠EAC∠BAC， ∴∠ACD：∠AED＝2：1． 一十．随机事件（共1小题） 52．下列语句所描述的事件是随机事件的是（　　） A．任意画一个四边形，其内角和为180° B．经过任意两点画一条直线 C．任意画一个菱形，是中心对称图形 D．过平面内任意三点画一个圆 【答案】D 【解答】解：A、任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件； B、经过任意两点画一条直线是必然事件； C、任意画一个菱形，是中心对称图形是必然事件； D、过平面内任意三点画一个圆是随机事件； 故选：D． 一十一．概率的意义（共1小题） 53．先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是， 故选：A． 一十二．概率公式（共1小题） 54．小明同学上学途中要经过一个有交通信号灯的路口，该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，则小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解答】解：∵该路口交通信号灯红灯时间为30秒，绿灯时间为25秒，黄灯时间为5秒，共60秒， ∴小明过该路口时恰好遇到绿灯的概率为． 故选：A． 一十三．列表法与树状图法（共1小题） 55．在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校九年级（1）班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．根据图中信息回答问题： （1）求九年级（1）班的人数并补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求m的值； （3）如果选择C类书籍的同学中有2名女同学，其余为男同学，现要在选择C类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，请你用画树状图或列表的方法求出恰好是一男一女同学去参加读书交流活动的概率． 【答案】（1）40人，补全条形统计图如图所示； （2）40； （3）． 【解答】解：（1）九年级（1）班的人数为：12÷30%＝40（人）， 选择C类书籍的人数为：40﹣12﹣16﹣8＝4（人）， 补全条形统计图如图所示； （2）m%100%＝40%， 则m＝40； （3）∵选择C类书籍的同学共4人，有2名女同学， ∴有2名男同学， 画树状图如图所示： 则P（一男一女）． 一十四．利用频率估计概率（共5小题） 56．关于频率和概率的关系，下列说法正确的是（　　） A．频率等于概率 B．当实验次数很大时，频率稳定在概率附近 C．当实验次数很大时，概率稳定在频率附近 D．实验得到的频率与概率不可能相等 【答案】B 【解答】解：A、频率只能估计概率； B、正确； C、概率是定值； D、可以相同，如“抛硬币实验”，可得到正面向上的频率为0.5，与概率相同． 故选：B． 57．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45． 其中合理的是（　　） A．① B．② C．①② D．①③ 【答案】B 【解答】解：①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，“正面向上”的概率不一定是0.47，故错误； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.5，故正确； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率不一定是0.45，故错误． 故选：B． 58．某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下： 射击次数 20 40 100 200 400 1000 “射中9环以上”的次数 15 33 78 158 321 801 “射中9环以上”的频率 0.75 0.825 0.78 0.79 0.8025 0.801 则该运动员“射中9环以上”的概率约为（结果保留一位小数）（　　） A．0.7 B．0.75 C．0.8 D．0.9 【答案】C 【解答】解：∵从频率的波动情况可以发现频率稳定在0.8附近， ∴这名运动员射击一次时“射中9环以上”的概率大约是0.8． 故选：C． 59．近年来，洞庭湖区环境保护效果显著，南迁的候鸟种群越来越多．为了解南迁到该区域某湿地的A种候鸟的情况，从中捕捉40只，戴上识别卡并放回；经过一段时间后观察发现，200只A种候鸟中有10只佩有识别卡，由此估计该湿地约有 　 　 只A种候鸟． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：设该湿地约有x只A种候鸟， 则200：10＝x：40， 解得x＝800． 故答案为：800． 60．在一个不透明的口袋里装有颜色不同的黑、白两种颜色的球共4个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数n 2048 4040 10000 12000 24000 摸到白球的次数m 1061 2048 4979 6019 12012 摸到白球的频率 0.518 0.5069 0.4979 0.5016 0.5005 （1）请估计：当n很大时，摸到白球的频率将会接近 　 　 ；（精确到0.1） （2）试估算口袋中白球有多少个？ （3）若从中先摸出一球，放回后再摸出一球，请用列表或树状图的方法（只选其中一种），求两次摸到的球颜色相同的概率． 【答案】见试题解答内容 【解答】解：（1）由题可得，当n很大时，摸到白球的频率接近0.5； 故答案为：0.5； （2）由（1）摸到白球的概率为0.5， 所以可估计口袋中白种颜色的球的个数＝4×0.5＝2（个）； （3）列表得： 第二次 第一次 白1 白2 黑1 黑2 白1 （白1，白1） （白1，白2） （白1，黑1） （白1，黑2） 白2 （白2，白1） （白2，白2） （白2，黑1） （白2，黑2） 黑1 （黑1，白1） （黑1，白2） （黑1，黑1） （黑1，黑2） 黑2 （黑2，白1） （黑2，白2） （黑2，黑1） （黑2，黑2） 由列表可得，共有16种等可能结果，其中两个球颜色相同的有8种可能． ∴P（颜色相同）． 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$