上海市嘉定区2024-2025学年高三下学期第二次质量调研数学试题

2024-2025学年嘉定区高三二模 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置填写结果， 1.已知集合A=(X-1<x≤3}，集合B={h≤x<4,则A∩B=一 解析：A={-1<x≤3引，B={x劝≤x<4) A∩B=h≤x≤3) 2.不等式X-2<0的解集为一 X+1 解析：-2<0→(X-2(x+1)<0→×e(-1,2) x+1 3.已知向量而=(1，-2)，万=(k,4),若m1万，则k=一 解析：m⊥方 .m万=k-8=0 ,k=8 4.已知等比数列(a)的首项为1，公比为a,其前n项和为Sn若5，>S.,则g的取值范 围为 解析：由题意得S,>S。,即S。-S,<0,即a,<0,又a,=1,所以g3<0,即g<0. .g∈(-0∞，0) 5在2- 的二项展开式中，常数项的值为 解析：二项式 的展开式的通项公式为 令6-3，=0，解得r=4 2 ∴.二项式的展开式中的常数项为(-1)c22=60 6.已知B∈R,若tanB+cot8=5,则sin28=一 解析：由题意可得sin巳+cos 1 =5→ cose sine sineose =5=sinGos8=1 5 .sin20=2sin dos e=2 7.直线1：y=x+1与圆c:x2+y2-4x-2y=0相交所得的弦长为 解析：由C:x2+y2-4x-2y=0,得(x-2)+(y-1)=5, 则圆心坐标为c(2,1),半径r=√5. 圆心到直线：y=x+1,即×-y+1=0的距离-2-11-5， √2 ∴直线1：y=x+1与圆C:x2+y2-4x-2y=0相交所得的弦长为 2VP-d2=2V5-2=23. 8.已知复数z,满足引z=1=22-=V万，则名+z的值为 解析：记0Z,表示复数z,0z,表示复数2，因为2=3，，=22-=万， 所以0z-20Z·0Z,+bz=7即oZoz,=-1, 则3+z=0z+20Z0z,+Dz=1-2+4=3,则3+z=5. 9.在由1、2、3、4.，5这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为一 解析：P=4×3×2=24=1 5×4×3×21205 10.已知某次数学的测试成绩X服从1=75、σ2=64的正态分布，若小明的成绩不低 于91分，那么他的成绩大约超过了%的学生（精确到0.1%）. (参考数据：PdX-小<a)≈68.3%，PdX-小<20)≈95.4%， P(dX-小<30)≈99.7%) 解析：数学的测试成绩X~N(75,64), .1=75,0=8, P(X29j=-P-20<<+20]--095)=023, 即小明的成绩不低于91分，那么他的成绩大约超过了2.3%的学生 11某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36立方米的 球形景观灯所在球面上考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度/需满足 2V3≤1≤3√3当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为米（精确到 0.01米) 解析：设正四棱锥的底面边长为，高为h,则底面外接圈的半径为三。，球形景观灯 2 的半径为 364 =3,所以 +(h-3)2=9,所以a2=12h-2n 所以正四棱锥的体积V=1a'h=4h2-2 3 V=8h-2h2=2h(4-h) 当0<h<4时，>0，当h>4时，<0 所以当h=4时，V取得最大值，此时a2=12×4-2×42=16 √2 所以a=4,所以正四棱锥的侧棱长为 +h2=8+16=26≈4.90米， 12.在平面直角坐标系中，一质点P从原点0出发，第一次从点0移动到点？，第二次 从点R移动到点R,…,第k次从点P,(规定R=0移动到点P记向量v=P,P, 其模长为k,方向与x轴正方向成(90k)°角.设S。为经过n次移动的位移向量，即 5。=0P,则当5=V85时，n的值为一 解析：方向与x轴正方向成(90k),每4次方向循环一次； k=1,P(0,1),k=2,月(-2,1)，k=3,R(-2,-2),k=4,P(4,-2) 将每次移动的向量y,用复数表示为z,=kcos(90k)+iksin(90°k),则n次移动后的 位移向量对应复数为 3.-22.=(-2t4-6+-1+12)+1-3+5-7+-1+131=6+71 k=l Isl=/85 .n=13的值为13. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5 分)每题有且只有一个正确选项考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小 方格涂黑。 13.已知实数a,b满足a>b,则下列不等式中，不恒成立的是（). A.a'>b a B.->1 C.a2+b2>2ab D.2°>2° b 解析：由题易知：a>b,日>1不恒成立： b 所以选B. 14.已知平面a和平面B,直线mca,直线ncB,则下列结论一定成立的是() A.若m11n,则a11B B.若m与n为异面直线，则a11B c.若m1n,则a⊥B D.若n⊥a,则m⊥n 解析：对于A,若m11n,则a11B或a与B相交，故A错误； 对于B,若m与n为异面直线，则a11B或a与B相交，故B错误； 对于c,若m1n,则a1B或a11B或a与B相交，故c错误； 对于D,若n1a,mca,则m⊥n,故D正确 所以选：D 15.已知关于x的不等式sin2X>cosx在区间10,2m内有k个整数解，则k的值（) A.3 B.4 c.5 D.6 c0sx≥0 解析： sin 2x>cos x ][竖 由y=n州与y=cas的图象知在][竖2]内 不等式5in2>cosx的整数解为x=1或x=5, 在( 内，不等式sin2×>cosx的整数解为x=2或x=3或x=4 所以k=5. 所以选：c 16.设数列(0，)满足a,=s1n ）(-1co(2）,记其前n项和为5，前n项积为 则下列结论正确的是() A.数列(S)和数列(T)均不是周期数列 B.数列(S,)是周期数列，数列{T)不是周期数列 C.数列(S,)不是周期数列，数列(T,}是周期数列 D.数列(S,}和数列(T。)均为周期数列 解折：设6=m(）=-co(2） 则b)周期为6，(c}周期为8； 则b+b,+…+b。=0,G+c2+…+c=0, 所以S24=b+G+6+62+…+b,+C6=0, 所以数列5。=54%是周期为24的周期数列， =sn(g）-ica(}=o 又T。=cb,92…bcw=0, 所以当n之6时，T,=0 所以数列(T)不是周期数列， 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置 写出必要的步骤， 17.(本题满分14分，共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分)】 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA1平面ABCD,PA=AC=2,BC=1,AB=√5. (1)若AD11平面PBC,证明：AD1PB; (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥一一鳖儒，其四 个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖臑，并计算它的体积和表面积， 解析：(1)证明：：为PA⊥底面ABCD,ADc面ABCD, PA⊥AD, :平面ABCD∩平面PBC=BC,ADI1平面PBC, ..AD//BC AC=2.BC=1.AB=3, ..AB2+BC2=AC2, .AB⊥BC, 又，PA⊥底面ABCD,BCC面ABCD, ,PA⊥BC, PA∩AB=A ,BC⊥平面PAC .AD⊥平面PAC .AD 1 PB (2)由题知：△APC,△APB,△ABC,△PBC均为直角三角形； “P-ABC为一个鳖臑 yc=x名x1x5x2=5 32 3 sc=1x5+2x5+2x2+1x5,=3y5+5+4 2 18.(本题满分14分，共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 已知函数y=f(x),其中f(x)=ae+b·e“,a,b为实常数且ab≠0. ()若y=f(x)为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值； (2)若a=1,9(x)=e-×,对任意实数x均满足f(x)≥g(x),求实数b的取值范围. 解：(1f(x)=ae+be“为偶函数 .'f (-x)=f (x),ae""+be'=ae"+be", ..a=b. :f(x)的最小值为4， .'f(x)=ae'ae*22ae'.ae=2a=4, a=2, .a=b=2 (2)a=1, ..f(x)=e'+be, 对任意实数x均满足f(x)≥9(x), .e'+be‘2e-x, .b≥-xe, 令h(x)=-xe,则h'(x)=-(x+1)e, ∴x<-1时，h'(x)>0,x>-1时，h(x)<0, .x=-1时，h(x)取得最大值e, .b2e1. 19.(本题满分14分，共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分 6分) 某学校对学生的课外阅读时间进行调查，随机抽取了150位学生，得到如下样本数据 频率分布直方图， (1)估计该校学生的平均课外阅读时间：（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)估计该校学生课外阅读时间位于区间30,60)（单位：小时/月）的概率； (3)已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%，且 初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例（精确到 0.1%)】2024学年高三年级第二次质量调研 数学试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1一6题每题4分，第7~12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置填写结果， 1.已知集合A={x|-1<x≤3}，集合B={x1≤x<4},则A∩B= 2.不等式七-2 <0的解集为 x+1 3.已知向量m=(1,-2),n=(k,4),若m⊥n,则k= 4.已知等比数列{an}的首项为1，公比为q,其前n项和为Sn,若S>S4,则g的取 值范围为 8在(2x-左的二或展开式中，常数项的值为 6.已知8∈R,若tanB+cot0=5,则sin28= 7.直线1：y=x+1与圆C:x2+y2-4x-2y=0相交所得的弦长为 8.已知复数名，22满足引名=1，|22=2，|名-z2=√7，则|名+z21的值为 9.在由1、2、3、45这五个数组成的无重复数字的四位数中，其能被3整除的概率为 10.已知某次数学的测试成绩X服从4=75、σ2=64的正态分布，若小明的成绩不低 于91分，那么他的成绩大约超过了%的学生（精确到01%）. (参考数据：P(0Xo)≈68.3%，P0XK2o)≈95.4%，P0Xk3σ)≈99.7%) 11.某建筑公司欲设计一个正四棱锥形纪念碑，要求其顶点位于容积为36π立方米的球形 景观灯所在球面上.考虑到抗风、抗震等结构安全需求，侧棱长度【需满足 2√5≤1≤3√5.当纪念碑体积取得最大值时，正四棱锥的侧棱长约为 米 (精确到0.01米). 12.在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点P,第二次 从点P移动到点P,,第k次从点P(规定B=O)移动到点P、记向量 =PE,其模长为k,方向与x轴正方向成(90)°角.设S,为经过n次移动 的位移向量，即S,=OP,则当|仁√⑧5时，n的值为 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每 题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的 小方格涂黑。 13.已知实数4，b满足a>b,则下列不等式中，不恒成立的是（) Aa>b3 C.a2+b2>2ab D.24>2b 14,已知平面a和平面B,直线mca,直线nc阝，则下列结论一定成立的是() A.若mlln,则a∥B B.若m与n为异而直线，则a∥B C.若m⊥n,则a⊥B D.若n⊥a,则m⊥n 15.已知关于x的不等式1sin2x>cosx在区间[0,2π]内有k个整数解，则k的值为 (). A.3 B.4 C.5 D.6 16.设数列{an}满足an=sin -co 记其前n项和为Sn,前n项积为 T,则下列结论正确的是（ A.数列{Sn}和数列{T}均不是周期数列 B.数列{S}是周期数列，数列{T}不是周期数列 C.数列{S}不是周期数列，数列{T}是周期数列 D.数列{Sn}和数列{T}均为周期数列 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置 写出必要的步骤。 17.(本题满分14分，共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PA=AC=2, BC=1,AB=√5 (1)若AD∥平面PBC,证明：AD⊥PB: (2)在我国古代数学典籍《九章算术》中，记载了一种特殊的三棱锥一一鳖需，其 四个面均为直角三角形，找出本题图中的一个鳖需，并计算它的体积和表面积 18.(本题满分14分，共2小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分) 己知函数y=f(x),其中f(x)=ae+be，a,b为实常数且ab≠0. (1)若y=f(x)为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值： (2)若a=1,g(x)=e-x,对任意实数x均满足f(x)≥g(x),求实数b的取值 范围。 2 19.(本题满分14分，共3小恩，第1小题满分4分，第2小题湖分4分，第3小题洲分 6分) 某学校对学生的课外阅读时间进行调查，舶机抽取了160位学生，得到如下样木数 据频率分布直方图。 (1)估计该校学生的平均课外阅读时间：（同一组数据用该区间的中点值作代表） (2)估计该校学生课外阅读时间位于区间[30,60)（单位：小时/月）的概率： (3)已知该校喜欢阅读的学生占比为18%，初一年级学生占该校总学生数的28%， 且初一年级学生中喜欢阅读的占40%，求其他年级学生中喜欢阅读的比例.（精确到 0.1%) 簧 20.(本题满分18分，共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小 题满分8分) 已知椭图C:亡+y=1.F为情圈的右焦点，过椭圆上一点P3,0)的直线交辅圆 9 于另一点2，点M为椭圆上（膝P.O之外）任意一点. (1)求MF的最小值： (2)当直线L的斜率为1时，求△POM面积的最大值及此时点M的坐标： (3)若直线P2与直线l2:x=-3交于点D,点D不在x轴上，关于原点的对称 点为点R,直线PR与I2交于点E,求线段|DE1的取值范围. 21.(本题满分18分，共3小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满 分8分) 已知函数y=f(x),其中f(x)=x2+ax+b,(a,beR),定义集合 S()={(x,yly=f(x),x∈R).对于点P(P,g),定义集合 D(P)={(x,y)1lx-p1,(x,y)∈S()}.若对任意(x,y)∈D(P),均有y-q1, 则称点P为平衡点. (1)当a=b=0时，判断点P(0,0)是否为平衡点： (2)当a=0时，求实数b的取值范围，使得点P(O,0)是平衡点： (3)求所有实数a和b,使得点P(0,0)是平衡点. 4