5.6第1课时 函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象(一)导学案-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第一册

第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 学案 学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响. 2.会利用图象的变换解决简单的问题. .　 情境导入 游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光，摩天轮承载着游客从底部匀速旋转到最高点，游客距离地面的高度y与时间x之间的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋b，我们本节课就研究此类函数. 新知探究 知识点一　φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 问题引导 　1.观察如图所示的图象，思考下面的问题. (1)比较函数y＝sin(x＋)与函数y＝sin x的图象的形状和位置，你有什么发现？ (2)比较函数y＝sin(x－)与函数y＝sin x的图象.你有什么发现呢？ 知识点总结 φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响 典例探究 例1函数y＝sin(x＋)的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ [延伸探究] 1.函数y＝sin(－x＋)的图象可以看作由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换得到的？ 2.求函数y＝sin(2x＋)向右平移个单位长度后的函数解析式. 变式训练 1.(1)(链接教材P239练习T2)将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A.y＝sin(2x＋) B.y＝2sin(2x＋) C.y＝2sin(2x－) D.y＝2sin(2x－) (2)为了得到y＝sin(x＋)的图象只需将函数y＝cos x的图象　　　　　　　而得到. 知识点二　ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 问题引导　 2.观察下图，你能发现什么？ 知识点总结 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 典例探究 例2　(链接教材P239练习T2)为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 变式训练 2.把函数f(x)＝sin 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期为(　　) A.2π B.π C. D. 知识点三　A(A＞0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 问题引导 　3.借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sin(2x－)和y＝3sin(2x－)的图象，如图所示，你能发现什么？ 知识点总结 A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 典例探究 例3　将函数y＝sin(3x＋)的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标　　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　，就会得到函数y＝sin(3x＋)的图象. 变式训练 3.为了得到函数y＝cos x的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 课堂小结 1.知识网络 2.特别提醒 探究平移变换时，需要保证x的系数为1. 课堂练习 1.函数y＝cos(2x＋)的图象经过怎样的平移可得到函数y＝cos 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 2.为了得到函数y＝4sin(x－)，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin(x－)，x∈R的图象上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 3.将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0＜φ＜π)的图象，则φ的值为　　　　. 4.将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象对应的函数y＝　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1课时　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象 学案 学习目标 1.理解y＝Asin(ωx＋φ)中φ，ω，A对图象的影响. 2.会利用图象的变换解决简单的问题. .　 情境导入 游客在游乐场的摩天轮上可以俯瞰整个城市的风光，摩天轮承载着游客从底部匀速旋转到最高点，游客距离地面的高度y与时间x之间的函数解析式为y＝Asin(ωx＋φ)＋b，我们本节课就研究此类函数. 新知探究 知识点一　φ对y＝sin(x＋φ)，x∈R图象的影响 问题引导 　1.观察如图所示的图象，思考下面的问题. (1)比较函数y＝sin(x＋)与函数y＝sin x的图象的形状和位置，你有什么发现？ 提示：两图象形状完全相同，只是位置不同，把正弦曲线y＝sin x上所有点向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(x＋)，x∈R的图象. (2)比较函数y＝sin(x－)与函数y＝sin x的图象.你有什么发现呢？ 提示：函数y＝sin(x－)的图象可看作是把正弦曲线y＝sin x上所有的点向右平移个单位长度而得到. 知识点总结 φ对函数y＝sin(x＋φ)的图象的影响 典例探究 例1函数y＝sin(x＋)的图象可以看作是由y＝sin x的图象经过怎样的变换而得到的？ 解：函数y＝sin(x＋)的图象，可以看作是函数y＝sin x图象上所有的点向左平移个单位长度得到的. [延伸探究] 1.函数y＝sin(－x＋)的图象可以看作由y＝sin(－x)的图象经过怎样的变换得到的？ 解：因为y＝sin(－x＋)＝sin[－(x－)]，故是由y＝sin(－x)的图象向右平移个单位长度得到的. 2.求函数y＝sin(2x＋)向右平移个单位长度后的函数解析式. 解：函数y＝sin(2x＋)向右平移个单位长度可得y＝sin[2(x－)＋]＝sin(2x－). 对平移变换应先观察函数名是否相同，若函数名不同，则先化为同名函数，再观察x的系数，当x的系数不为1时，应提取系数确定平移的单位和方向，方向遵循左加右减，且从ωx→ωx＋φ的平移量为||个单位长度. 变式训练 1.(1)(链接教材P239练习T2)将函数y＝2sin(2x＋)的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为(　　) A.y＝sin(2x＋) B.y＝2sin(2x＋) C.y＝2sin(2x－) D.y＝2sin(2x－) 解析：D　由y＝2sin(2x＋)可知，周期T＝π， 所以＝π， y＝2sin(2x＋)y＝2sin[2(x－)＋]＝2sin(2x－). (2)为了得到y＝sin(x＋)的图象只需将函数y＝cos x的图象　　　　　　　而得到. 解析：y＝sin(x＋)＝cos[－(x＋)]＝cos(－x)＝cos(x－)，只需把y＝cos x的图象向右平移个单位长度即可得到y＝sin(x＋)的图象. 答案：向右平移 个单位长度 知识点二　ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响 问题引导　 2.观察下图，你能发现什么？ 提示：由图象我们可以看到，函数周期从2π变成了4π，即函数的图象拉长了，对于同一个y值，y＝sinx的图象上的点的横坐标总是等于y＝sin x的图象上对应点的横坐标的2倍，这说明y＝sinx的图象可以看作是把正弦曲线y＝sin x上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)而得到的. 知识点总结 ω(ω>0)对函数y＝sin(ωx＋φ)的图象的影响 典例探究 例2　(链接教材P239练习T2)为了得到y＝cos 4x，x∈R的图象，只需把余弦曲线上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 解析：B　由题意得ω＝4>1，因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，即可得到y＝cos 4x，x∈R的图象. 在研究ω(ω＞0)对y＝sin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(x＋φ)图象上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，即可得到y＝sin(ωx＋φ). 变式训练 2.把函数f(x)＝sin 2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，则g(x)的最小正周期为(　　) A.2π B.π C. D. 解析：A　由题意知g(x)＝sin (2×x)＋1＝sin x＋1，故T＝2π. 知识点三　A(A＞0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响 问题引导 　3.借助多媒体，在同一坐标系下画出y＝sin(2x－)和y＝3sin(2x－)的图象，如图所示，你能发现什么？ 提示：可以发现对于同一x值，y＝3sin(2x－)的图象上的点的纵坐标总是等于y＝sin(2x－)的图象上对应点纵坐标的3倍. 知识点总结 A(A>0)对函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 典例探究 例3　将函数y＝sin(3x＋)的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标　　　　(填“伸长”或“缩短”)为原来的　　　　，就会得到函数y＝sin(3x＋)的图象. 解析：因为0＜A＝＜1，故将函数y＝sin(3x＋)的图象上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的，就会得到函数y＝sin(3x＋)的图象. 答案：缩短　 在研究A(A＞0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)纵坐标(横坐标不变)变成原来的A倍即可得到y＝Asin(ωx＋φ). 变式训练 3.为了得到函数y＝cos x的图象，只需把余弦曲线y＝cos x上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的4倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 解析：D　将y＝cos x图象上所有点的纵坐标缩短到原来的，横坐标不变，得到y＝cos x. 课堂小结 1.知识网络 2.特别提醒 探究平移变换时，需要保证x的系数为1. 课堂练习 1.函数y＝cos(2x＋)的图象经过怎样的平移可得到函数y＝cos 2x的图象(　　) A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析：D　因为y＝cos(2x＋)＝cos 2(x＋)，所以y＝cos(2x＋)的图象向右平移个单位长度可得到函数y＝cos 2x. 2.为了得到函数y＝4sin(x－)，x∈R的图象，只需将函数y＝4sin(x－)，x∈R的图象上所有点的(　　) A.横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B.横坐标缩短到原来的，纵坐标不变 C.纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变 D.纵坐标缩短到原来的，横坐标不变 答案：A 3.将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝sin(4x＋φ)(0＜φ＜π)的图象，则φ的值为　　　　. 解析：将函数y＝sin 4x的图象向左平移个单位长度，得到y＝sin [4(x＋)]＝sin(4x＋)＝sin(4x＋φ)，∵0＜φ＜π，故φ＝. 答案： 4.将函数y＝sin 2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，然后纵坐标缩短为原来的，则所得图象对应的函数y＝　　　　. 解析： 把y＝sin 2x图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，得y＝sin x的图象，再将各点的纵坐标缩短为原来的，得y＝sin x的图象. 答案：sin x 学科网（北京）股份有限公司 $$