8.1基本立体图形-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 8.1基本立体图形 题型一：棱柱的结构特征 棱柱结构的辨析方法 1．扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义. （1）看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； （2）看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. 2．举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 【例1】下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】D 【详解】对于A中，如图所示满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：D. 【例2】观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【答案】A 【详解】根据棱柱的结构特征：一对平行的平面且侧棱相互平行的几何体， 所以棱柱有（1）（3）（5）. 故选：A. 【变式1-1】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【答案】C 【详解】记水面与三棱柱四条棱的交点分别为，如图所示， 由三棱锥性质可知，和是全等的梯形， 又平面平面， 平面分别与平面和相交于， 所以，同理， 又，所以互相平行， 所以盛水部分的几何体是四棱柱. 故选：C 【变式1-2】几个特殊的棱柱 （1）直棱柱：侧面都是 的棱柱； （2）正棱柱：底面是 的直棱柱； （3）长方体：底面和侧面都是的 棱柱； （4）正方体：所有棱长 的长方体； （5）平行六面体：两个底面是 的棱柱. 【答案】 矩形 正多边形 矩形 都相等 平行四边形 【详解】略 【变式1-3】如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？ ①四面体；    ②四棱锥；    ③四棱柱； ④五棱锥；    ⑤五棱柱；    ⑥六棱锥； ⑦七面体． （找出可能的结果，并将序号填在横线上） 【答案】①③⑤⑦ 【详解】 如图，平面截正方体，可得到四面体； 如图，平面截正方体，可得到四棱柱； 如图，平面截正方体，可得到五棱柱，也是七面体. 故答案为：①③⑤⑦. 题型二： 棱锥、棱台的结构特征 判断棱锥、棱台形状的两个方法 （1）反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. （2）直接法 类别 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形， 此面即为底面 两个互相平行的面， 即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 【例3】如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【答案】B 【详解】剩余部分是四棱锥A'-BCC'B'. 故选：B. 【例4】下列说法正确的有（    ） ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． ②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【详解】解析 ①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥． ②如图1，不正确，侧棱延长线可能不交于一点. ③错误．不一定是正三棱锥,如图2所示： 三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD．满足底面BCD为等边三角形．三个侧面ABD， ABC，ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定等于AD，即三条侧棱不一定全部相等． ④不正确，不存在这样的正六棱锥.极限考虑，如图3的正六边形ABCDEF分割成了6个全等的小正三角形，三角形所有边长相等，从而不存在答案所说的正六棱锥. 故选：A. 【变式2-1】下列说法正确的是 （填序号）. ①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱； ②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间那部分的几何体是棱台； ⑤存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形. 【答案】⑤ 【详解】对于①，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱，故①不正确； 对于②，如图1中的几何体，满足有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形，但其不是棱柱，故②不正确； 对于③，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥，故③不正确； 对于④，由棱台的定义，知截面和棱锥的底面平行，故④不正确； 对于⑤，如图2所示，在正方体中，四棱的四个侧面均为直角三角形，故⑤正确. 故答案为：⑤． 【点睛】本题考查棱柱、棱锥、棱台的定义，掌握棱柱、棱锥、棱台的定义是解题关键． 【变式2-2】如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，P是对角线AC与BD的交点，若P为四棱锥的顶点，四棱锥的底面为长方体的一个面，则这样的四棱锥有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【详解】由题意可知四棱锥分别为：P-ABB′A′；P-BB′C′C；P-ABCD；P-CC′D′D；P-DD′A′A；共5个； 故选C． 【点睛】本题考查棱锥的结构特征，排列组合的应用，是基础题． 【变式2-3】下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 【答案】②③④ 【详解】①：若平面不与棱锥底面平行，用这个平面去截棱锥， 棱锥底面和截面之间的部分不是棱台，故①错误； ②：棱台的侧面一定是梯形，而不是平行四边形，故②正确； ③：由棱锥的定义知棱锥的侧面只能是三角形，故③正确； ④：由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥，故④正确； ⑤：如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥，故⑤错误； 故答案为：②③④. 题型三：旋转体的结构特征 简单旋转体判断问题的解题策略 （1）准确掌握圆柱，圆锥，圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键. （2）解题时要注意两个明确： ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线. 【例5】（多选）用一张长为，宽为的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【详解】如图所示，设底面半径为，若矩形的长为卷成圆柱底面的周长，则，所以； 同理，若矩形的宽为卷成圆柱底面的周长，则，所以． 故选：CD．    【例6】下列命题是假命题的是（    ） A．棱柱的所有侧面都是平行四边形 B．将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱； C．正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心； D．将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥. 【答案】D 【详解】解：对于A：由棱柱的定义得棱柱的所有侧面都是平行四边形，故A正确； 对于B：由圆柱的定义得将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱，故B正确； 对于C：由正棱锥的定义得正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心，故C正确； 对于D：将直角三角形绕其斜边旋转一周所形成的几何体不是圆锥，故D不正确， 所以假命题的是D选项， 故选：D. 【变式3-1】下列说法不正确的是（    ） A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等 B．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 【答案】ABC 【详解】一个正方形绕其一边旋转而成的圆柱的底面半径与母线长相等，故A项不正确； 把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体包括一个圆柱、两个圆锥，故B项错误； 底面是矩形的直四棱柱才是长方体，当底面不是矩形时，侧面都是矩形的直四棱柱不是长方体，故C项错误； 根据棱台的定义，可知棱台是由用平行与棱锥的底面的平面截棱台，所得截面与底面间的部分叫做棱台，所以任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥，故D项正确. 故选：ABC. 【变式3-2】（多选）下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【答案】ABD 【详解】圆柱的侧面展开图是一个矩形，A正确； 因为母线长相等，得到圆锥的轴截面是一个等腰三角形，B正确； 圆台平行于底面的截面是圆面，D正确； 直角三角形绕它的斜边旋转一周形成的曲面围成的几何体是两个圆锥的组合体， C不正确， 故选：ABD. 【变式3-3】（多选）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 【答案】BD 【详解】对于A，各侧棱都相等，但无法保证底面为正多边形，所以A错误； 对于B，易知长方体的侧棱和底面垂直，所以是直四棱柱，故B正确； 对于C，根据圆台的定义，用一个平行于底面的平面去截圆锥， 圆锥底面和截面之间的部分为圆台，故C错误； 对于D，球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面，故D正确． 故选：BD 题型四： 简单组合体的结构特征 识别简单组合体的结构特征的策略 （1）组合体是由简单几何体拼接，截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱体，锥体，台体，球体的几何结构特征，对原组合体进行分割； （2）用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线 （或面），进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体． 【例7】如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【答案】答案见解析 【详解】当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由底面半径为的圆柱和圆锥拼接而成的组合体，如图1； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是圆柱，如图2； 当时，四边形绕旋转一周所得的几何体是由圆柱挖去一个同底的圆锥而得到的，如图3.    【例8】某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【答案】B 【详解】据图可得该几何体的面是等边三角形或正方形，A正确；该几何体恰有14个面，B不正确；该几何体恰有24条棱，C正确；该几何体恰有12个顶点，D正确． 故选：B 【变式4-1】如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成 （1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是 （答案不唯一）． （2）若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是 （答案不唯一）． 【答案】 ②（或③或④） ①③⑤（或②③④） 【详解】（1）由已知条件可知，①～⑤中选出一个模块可以是②，也可以是③，也可以是④． （2）以②③④为例，中间层用③补齐，最上层用②④， 还可以是①③⑤，中间层用③补齐，最上层用①⑤， 故答案为：②（或③或④），①③⑤（或②③④）． 【变式4-2】指出如图所示的图形是由哪些简单几何体构成的． 【答案】见解析． 【详解】分割原图，使它的每一部分都是简单几何体． 图(1)是由一个三棱柱和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 图(2)是由一个圆锥和一个四棱柱拼接而成的简单组合体． 图(3)是由一个四棱锥、一个四棱柱拼接，又在四棱柱中挖去了一个圆柱而成． 图(4)是由一个六棱柱和一个圆柱拼接而成的． 【变式4-3】如图所示，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC=45°，将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.    【答案】见解析. 【详解】由题意，当直角绕直线旋转一周，得到一个圆锥， 当半圆绕直线旋转一周，得到一个半球， 所以将这个平面图形绕直线AB旋转一周， 得到这个组合体是由一个圆锥和一个半球拼接而成的. 【点睛】本题主要考查了旋转体的定义及其应用，其中解答中熟记旋转体的概念，合理判定是解得的关键，着重考查了空间想象能力，属于基础题. 题型五： 空间几何体的平面展开图 与展开图相关问题的解题策略 （1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图. （2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图． （3）求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某些棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题． 【例9】如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【答案】 【详解】将绕翻折到与共面，平面图形如下所示： 连接，则的长度即为的最小值， 因为，所以 ， 所以，所以，即的最小值为. 故答案为：. 【例10】如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】长方体由展开图知道，有4个面是阴影，两个空白部分是相对的，剩余是4个阴影部分.则围成的是下面图形 . 故选：D． 【变式5-1】如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【答案】2 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 【变式5-2】（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【答案】（1）；（2） 【详解】解：（1）根据题意，把圆柱的侧面沿过点A的母线剪开，然后展开成为矩形，如图所示， 连接AB，则AB就是为蚂蚁爬行的最短距离， 因为， 所以 ， 所以蚂蚁爬行的最短路线长为； （2）根据题意，沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法， ①如图1，以DC为轴展开， 此时， ②如图2.以BC为轴展开， 此时，， ③如图3、以 BB1为轴展开， 此时， 综上，蚂蚁爬行的最短路线长为 . 【变式5-3】圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【详解】为圆台母线的中点，分别为上下底面的圆心， 把圆台扩成圆锥，如图①所示， 则, 由,有, 圆锥底面半径，底面圆的周长为，母线长， 所以侧面展开图的扇形的圆心角为， 即，如图②所示， 质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点， 则运动的最短路径为展开图弦， 所以. 故选：A. 题型六： 与球有关的“切”与“接”问题 求几何体外接球半径的常用方法： （1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径； （2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径； （3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 【例11】棱长为a的正方体的顶点都在半径为R的球面上，则（    ） A．R=a B．R= C．R=2a D．R= 【答案】B 【详解】由题意，棱长为的正方体的对角线长为， 则正方体外接球的直径为，可得. 故选：B. 【例12】如图，三个半径都是的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则碗的半径是 . 【答案】/ 【详解】设三个小球的球心、、在上底面圆（碗口所在的截面圆）所在平面内的射影分别为、、，如下图所示： 则几何体为正三棱柱，且该正三棱柱的底面边长为，高为， 则， 设半球面的半径为，因为球与球内切， 则，所以，. 因此，碗的半径为. 故答案为：. 【变式6-1】三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，已知是边长为2的正三角形，，则面积的最大值为 . 【答案】/ 【详解】 由于三棱锥P-ABC的四个顶点均在半径为2的球面上， 设球心为，过做平面的垂线交平面于，则为的中心， 延长交于点，则为的中点，连接， 因为，所以，， 要使的面积最大，则最大，即点、、在一条直线上， 而， 故， 故，当且仅当即点、、在一条直线上等号成立， 故的面积的最大值为. 故答案为：. 【点睛】本题考查求内接三棱锥的问题，关键是找到棱锥与球的共同的量. 【变式6-2】在三棱锥中，，，，则此三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D．13 【答案】C 【解析】三棱锥对棱相等，可放到一个长方体中，三棱锥的棱为长方体的面对角线，长方体的对角线就是外接球直径，由此可得结论． 【详解】将三棱锥放在长方体中，设长方体的长、宽、高分别为，则，所以，所以该三棱锥外接球的半径为． 故选：C 【点睛】本题考查三棱锥的外接球，考查长方体的外接球问题，解题关键是把对棱相等的三棱锥扩展为一个长方体，由长方体性质易求解． 【变式6-3】已知一个四面体的一条边长为，其余棱长均为2，则此四面体的外接球的半径为 ． 【答案】 【详解】如图所示，画出几何体的图形，的中点为， 连接，则， 因为且平面，所以平面， 在等边和中，可得， 又因为，可得，所以， 所以外接球的球心在的中点与的连线， 设球心为，所以，球的半径为，可得， 且在上，所以， 所以，解得， 所以此四面体的外接球的半径为. 故答案为：. 1．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面均是平行四边形的多面体是棱柱 B．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面 C．侧面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱 D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 【答案】ACD 【详解】如下图的多面体，有两个面互相平行，其余各面均是平行四边形的，但它不是棱柱，A错； 用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面，B正确； 侧面是全等的矩形的五棱柱的底面不一定是正五边形，C错； 过圆锥顶点的所有截面中，设两条母线的平角为，母线长为，则截面面积为， 当轴截面等腰三角形的顶角大于，截面中两条母线夹角为的截面面积最大，D错. 故选：ACD. 2．已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 【答案】 【详解】设圆锥的母线长为，则. 故答案为： 3．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由图知，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，圆锥底面圆的半径为， 设扇形半径为，则有，解得，因此圆锥的母线长为， 所以圆锥的高. 故选：D 4．（多选）如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（   ）    A．圆锥SO的母线长为12 B．圆锥SO的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D．在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 【答案】BCD 【详解】    如图1，圆锥的轴截面为等腰三角形，则. 因为与底面所成角的正弦值为，所以， 所以，解得，故错误； 如图2，在圆锥的侧面展开图中，， 则圆锥的侧面积为， 所以圆锥的表面积为，故B正确； 如图2，过点作，垂足为. 在中，， 由余弦定理可得， 则，即，解得，故C正确； 如图1，设圆锥内切球的球心为，过点作，垂足分别为， 由题意可知，则，所以. 因为，所以，所以，解得. 设该正方体棱长的最大值为， 则，解得， 所以该正方体的体积的最大值是，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点睛：D选项的解题关键在于得到当正方体为圆锥内切球的内接正方体时，正方体的体积最大，然后通过计算内切球的半径求正方体的体积. 5．图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 【答案】组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台 【详解】因为平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成， 若将它绕直线l旋转形成一个组合体从上到下依次为圆锥、球、半球、圆柱、圆台. 6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 【答案】D 【详解】当该平面过圆柱上、下底中心时截面图形为（1）； 当不过上、下底的中心时，截面图形为（5）. 所以只有（1）、（5）正确. 故选：D. 7．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从一顶点出发的边数为双数的顶点叫偶点，凡是偶点组成的图形一定可以一笔画，所以C 选项正确; 从一顶点出发的边数为单数的顶点叫奇点，凡是奇点组成的图形，必须满足只有两个奇点，其余点为偶点才可以一笔画， 而ABD选项图形中，每个点都是奇点，所以不能一笔画. 故选：C 8．如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由长方体的结构特征知，关于面对称的点为， 所以， 当且仅当共线时，取等号. 故选：C 9．如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 【答案】作图见解析 【详解】连接并延长交延长线于点， 连接并延长交于点，交延长线于点， 连接交于点，则截面即为所求. 10．已知棱长为1的正方体内接于球O，在球O与正方体之间放入一个小正方体，则小正方体的棱长的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题，棱长为1的正方体内接于球，令球的半径为， 则球的直径即为正方体的体对角线，，所以， 当小正方体的下底面与正方体相接，且上底面的四个顶点均在球面上时， 小正方体的棱长最大，此时小正方体的正中心与球心的连线垂直于正方体的上下底面， 令小正方体的棱长为， 由球心，小正方体上底面的中心，小正方体上底面的顶点组成的三角形为直角三角形， 有，将代入，解得， 故小正方体的棱长为 故选：C 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学同步题型训练（人教A版2019必修第二册） 8.1基本立体图形 题型一：棱柱的结构特征 棱柱结构的辨析方法 1．扣定义：判定一个几何体是不是棱柱的关键是棱柱的定义. （1）看“面”，即观察这个多面体是否有两个互相平行的面，其余各面都是四边形； （2）看“线”，即观察每相邻两个四边形的公共边是否平行. 2．举反例：通过举反例，如与常见几何体或实物模型、图片等不吻合，给予排除. 【例1】下列命题中正确的是（　　） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【例2】观察下面的几何体，哪些是棱柱？（    ） A．（1）（3）（5） B．（1）（2）（3）（5） C．（1）（3）（5）（6） D．（3）（4）（6）（7） 【变式1-1】如图，一个三棱柱形容器中盛有水，则盛水部分的几何体是（    ） A．四棱台 B．四棱锥 C．四棱柱 D．三棱柱 【变式1-2】几个特殊的棱柱 （1）直棱柱：侧面都是 的棱柱； （2）正棱柱：底面是 的直棱柱； （3）长方体：底面和侧面都是的 棱柱； （4）正方体：所有棱长 的长方体； （5）平行六面体：两个底面是 的棱柱. 【变式1-3】如图，给定一个正方体形状的土豆块，只切一刀，可以得到下面哪些类型的多面体？ ①四面体；    ②四棱锥；    ③四棱柱； ④五棱锥；    ⑤五棱柱；    ⑥六棱锥； ⑦七面体． （找出可能的结果，并将序号填在横线上） 题型二： 棱锥、棱台的结构特征 判断棱锥、棱台形状的两个方法 （1）反例法 结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确. （2）直接法 类别 棱锥 棱台 定底面 只有一个面是多边形， 此面即为底面 两个互相平行的面， 即为底面 看侧棱 相交于一点 延长后相交于一点 【例3】如图，在三棱台A'B'C'-ABC中，截去三棱锥A'-ABC，则剩余部分是(　　) A．三棱锥 B．四棱锥 C．三棱柱 D．三棱台 【例4】下列说法正确的有（    ） ①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥． ②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台． ③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ④棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是正六棱锥 A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-1】下列说法正确的是 （填序号）. ①有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体是棱柱； ②有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱； ③有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ④用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间那部分的几何体是棱台； ⑤存在一个四棱锥，其四个侧面都是直角三角形. 【变式2-2】如图，在长方体ABCD­A′B′C′D′中，P是对角线AC与BD的交点，若P为四棱锥的顶点，四棱锥的底面为长方体的一个面，则这样的四棱锥有(　　) A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式2-3】下列关于棱锥、棱台的说法： ①用一个平面去截棱锥，底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台； ②棱台的侧面一定不会是平行四边形； ③棱锥的侧面只能是三角形； ④由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥； ⑤棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥． 其中正确的序号是 ． 题型三：旋转体的结构特征 简单旋转体判断问题的解题策略 （1）准确掌握圆柱，圆锥，圆台和球的生成过程及其特征性质是解决此类概念问题的关键. （2）解题时要注意两个明确： ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线. 【例5】（多选）用一张长为，宽为的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径可以是（    ） A． B． C． D． 【例6】下列命题是假命题的是（    ） A．棱柱的所有侧面都是平行四边形 B．将矩形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆柱； C．正棱锥顶点在底面的投影是底面正多边形的中心； D．将直角三角形绕其一边旋转一周所形成的几何体叫做圆锥. 【变式3-1】下列说法不正确的是（    ） A．圆柱的母线长与圆柱的底面圆半径不可能相等 B．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得的几何体是一个圆锥 C．侧面都是矩形的直四棱柱是长方体 D．任何一个棱台都可以补一个棱锥使它们组成一个新的棱锥 【变式3-2】（多选）下列说法正确的是（   ） A．圆柱的侧面展开图是一个矩形 B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形 C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥 D．圆台平行于底面的截面是圆面 【变式3-3】（多选）下列说法中正确的是（   ） A．各侧棱都相等的棱锥为正棱锥 B．长方体是直四棱柱 C．用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台； D．球面可以看作一个半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面． 题型四： 简单组合体的结构特征 识别简单组合体的结构特征的策略 （1）组合体是由简单几何体拼接，截去或挖去一部分而成的，因此，要仔细观察组合体的组成，结合柱体，锥体，台体，球体的几何结构特征，对原组合体进行分割； （2）用分割法识别简单组合体，则需要根据几何体的结构特征恰当地作出辅助线 （或面），进而将几何体“分拆”成几个简单的几何体． 【例7】如图所示，四边形绕边所在直线旋转，其中，．当点在射线上的不同位置时，形成的几何体大小、形状不同，比较其不同点．    【例8】某广场设置了一些石凳供大家休息，如图，每个石凳都是由正方体截去八个相同的正三棱锥得到的几何体，则下列结论不正确的是（    ）    A．该几何体的面是等边三角形或正方形 B．该几何体恰有12个面 C．该几何体恰有24条棱 D．该几何体恰有12个顶点 【变式4-1】如图，模块①～⑤均由若干个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成 （1）若从模块⑥中拿掉一个小正方体，再从模块①～⑤中选出一个模块放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个长方体，则①～⑤中选出的模块可以是 （答案不唯一）． （2）若从模块①～⑤中选出三个放到模块⑥上，使模块⑥成为棱长为3的大正方体，则选出的三个模块是 （答案不唯一）． 【变式4-2】指出如图所示的图形是由哪些简单几何体构成的． 【变式4-3】如图所示，AB为圆弧BC所在圆的直径，∠BAC=45°，将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.    题型五： 空间几何体的平面展开图 与展开图相关问题的解题策略 （1）绘制展开图：绘制多面体的平面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图. （2）由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的平面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个平面展开图． （3）求几何体表面上两点间的距离的方法：求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体沿某些棱剪开，使两点展在一个平面上，转化为求平面上两点间的最短距离问题． 【例9】如图，在长方体中，，点为上的动点，则的最小值为 . 【例10】如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为 ． 【变式5-2】（1）如图1，底面半径为1cm，高为3cm的圆柱，在点A处有一只蚂蚁，现在这只蚂蚁要围绕圆柱，由点A爬到点B，求蚂蚁爬行的最短路线长（π取3）； （2）如图2，在长方体中，M是CC1的中点，，，一只蚂蚁从点A出发沿长方体表面爬行到点M，求蚂蚁爬行的最短路线长. 【变式5-3】圆台的上底面半径为1，下底面半径为2，母线长为6.已知为该圆台某条母线的中点，若一质点从点出发，绕着该圆台的侧面运动一圈后又回到点，则该质点运动的最短路径长为（    ） A．9 B．6 C． D． 题型六： 与球有关的“切”与“接”问题 求几何体外接球半径的常用方法： （1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径； （2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径； （3）如果涉及几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心. 【例11】棱长为a的正方体的顶点都在半径为R的球面上，则（    ） A．R=a B．R= C．R=2a D．R= 【例12】如图，三个半径都是的小球放在一个半球面的碗中，小球的顶端恰好与碗的上沿处于同一水平面，则碗的半径是 . 【变式6-1】三棱锥的四个顶点均在半径为2的球面上，已知是边长为2的正三角形，，则面积的最大值为 . 【变式6-2】在三棱锥中，，，，则此三棱锥外接球的半径为（    ） A． B． C． D．13 【变式6-3】已知一个四面体的一条边长为，其余棱长均为2，则此四面体的外接球的半径为 ． 1．（多选）下列说法不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面均是平行四边形的多面体是棱柱 B．用任意一个平面去截球得到的截面一定是一个圆面 C．侧面是全等的矩形的五棱柱一定是正五棱柱 D．过圆锥顶点的所有截面中，轴截面面积最大 2．已知圆锥底面半径为，侧面展开图是圆心角为的扇形，则此圆锥的母线长为 3．如图所示，在正方形铁皮上剪下一个扇形和一个直径为4的圆，使之恰好围成一个圆锥，则圆锥的高为（    ） A． B． C． D． 4．（多选）如图，圆锥SO底面圆的圆心为O，AB是圆O的一条直径，SA与底面所成角的正弦值为，，P是母线SA的中点，C是母线SB上一动点，则下列说法正确的是（   ）    A．圆锥SO的母线长为12 B．圆锥SO的表面积为 C．一只蚂蚁沿圆锥SO的侧面上的曲线从点A爬到点P处，在蚂蚁所爬的最短路径中，这只蚂蚁离圆锥SO的顶点S的最短距离是 D．在圆锥SO内放置一个可以绕着中心任意旋转的正方体，则该正方体的体积的最大值是 5．图中平面图形从上往下依次由等腰三角形、圆、半圆、矩形、等腰梯形拼接形成，若将它绕直线l旋转形成一个组合体，试分析该组合体由哪些简单几何体构成． 6．如图所示的几何体是由一个圆柱挖去一个以圆柱上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的几何体，现用一个竖直的平面去截这个几何体，则截面图形可能是（    ） A．（1）（2） B．（1）（3） C．（1）（4） D．（1）（5） 7．从几何体的某一顶点开始，沿着棱不间断、不重复地画完所有棱的画法称为“一笔画”．下列几何体可以“一笔画”的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在长方体中，，若点在平面上运动，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．如图，正方体的棱长为分别为棱的中点.请在正方体的表面完整作出过点的截面，并写出作图过程；（不用证明） 10．已知棱长为1的正方体内接于球O，在球O与正方体之间放入一个小正方体，则小正方体的棱长的最大值为（   ） A． B． C． D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$